Математические заметки
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 1, страницы 11–20
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13679
(Mi mzm13679)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

О решеточных свойствах пространств Лоренца $L_{p,q}$

С. В. Асташкин

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева
Список литературы:
Аннотация: Показано, что пространство $l_r$ финитно грубо представимо в пространстве Лоренца $L_{p,q}[0,1]$, $1<p\leqslant q<\infty$, если и только если $r=p$ или $r=q$. Насколько нам известно, это первый пример “естественного” симметричного пространства $E$ на $[0,1]$, для которого множество всех $r$ таких, что $l_r$ финитно грубо представимо в $E$, не является интервалом на прямой.
Библиография: 21 название.
Ключевые слова: финитная представимость, пространство Лоренца, симметричное пространство, банахова решетка, верхняя (нижняя) оценка, ${\mathcal K}$-функционал.
Финансовая поддержка Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 075-02-2022-878
Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа, соглашение № 075-02-2022-878.
Поступило: 30.07.2022
Исправленный вариант: 10.08.2022
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages 10–17
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010029
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.982.27

1. Введение

Пространство $l_r$, $1\leqslant r<\infty$ ($c_0$, если $r=\infty$), финитно грубо представимо в банаховом пространстве $X$, если существует константа $K>0$ такая, что для каждого $n\in\mathbb{N}$ найдутся элементы $x_k\in X$, $k=1,2,\dots,n$, удовлетворяющие следующему условию: для произвольных $a_k\in\mathbb{R}$

$$ \begin{equation} K^{-1}\|(a_k)\|_{l_r}\leqslant \biggl\|\sum_{k=1}^n a_kx_k\biggr\|_X\leqslant K\|(a_k)\|_{l_r}. \end{equation} \tag{1} $$
В том случае, когда $X$ – банахова решетка и элементы $x_k\in X$, $k=1,2,\dots,n$, удовлетворяющие условию (1), можно выбирать попарно дизъюнктными, говорят, что $l_r$ решеточно финитно грубо представимо в $X$.

Пусть $X$ – банахова решетка. Следуя [1; § 10, с. 288], определим множество

$$ \begin{equation*} \mathrm{LFR}(X):=\{r\geqslant 1: l_r \text{ решеточно финитно грубо представимо в }X\}. \end{equation*} \notag $$

В [1] построено симметричное пространство $E$ на $[0,1]$ такое, что множество $\mathrm{LFR}(E)$ не является интервалом на прямой (см. пример 10.6). При этом авторы используют абстрактную интерполяционную конструкцию, в результате чего этот пример является весьма “экзотическим”. В этой заметке мы покажем, что подобный результат имеет место даже для такого хорошо известного “естественного” пространства, как пространство Лоренца $L_{p,q}[0,1]$, если $1<p<q<\infty$. Точнее, будет доказана следующая теорема.

Теорема 1. Для любых $1<p\leqslant q<\infty$ имеет место равенство $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])=\{p,q\}$.

Близкий вопрос о симметричной финитной представимости $l_r$-пространств в симметричных пространствах на полуоси $(0,\infty)$ и на отрезке $[0,1]$ рассматривался в недавних работах [2] и [3] соответственно. Пространство $l_r$ симметрично финитно грубо представимо в симметричном пространстве $E$ на $I$, где $I=[0,1]$ или $(0,\infty)$, если функции $x_k\in E$, $k=1,2,\dots,n$, удовлетворяющие соотношению (1), могут выбраны не только попарно дизъюнктными, но и равноизмеримыми. Напомним, что функции $x$ и $y$, измеримые по Лебегу на интервале $I$ равноизмеримы, если

$$ \begin{equation*} m\{s\in I:\,|x(s)|>\tau\}=m\{s\in I:\,|y(s)|>\tau\} \quad\text{для всех}\quad \tau>0, \end{equation*} \notag $$
где через $m$ обозначается мера Лебега.

Заметим, что вложение $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])\supset\{p,q\}$ – следствие хорошо известных результатов (см. [4; предложение 1] и [5; теорема 2.b.6]). Более того, из результатов работы [3] следует, что $l_r$ симметрично финитно грубо представимо в $L_{p,q}$, если и только если $r=p$.

В доказательстве противоположного вложения $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])\subset\{p,q\}$ будет использован классический вариант вещественного метода интерполяции, точнее, тот факт, что пространство $L_{p,q}(0,\infty)$ может быть решеточно изоморфно вложено в $l_q$-сумму пространств $L_r(0,\infty)+L_s(0,\infty)$, если $1\leqslant r<s$ и $p\in (r,s)$ (см. предложение 1).

2. Предварительные сведения

2.1. Пространства $L_{p,q}$ и симметричные пространства

Начнем с определения пространств Лоренца $L_{p,q}$, $1<p<\infty$, $1\leqslant q<\infty$, являющихся естественным обобщением $L_p$-пространств. Пространство $L_{p,q}:=L_{p,q}(I)$, где $I=[0,1]$ или $(0,\infty)$, состоит из всех измеримых функций $f$ на интервале $I$, для которых выполнено

$$ \begin{equation*} \|f\|_{p,q}:=\biggl(\int_I f^*(t)^q\,d(t^{q/p})\biggr)^{1/q}<\infty, \end{equation*} \notag $$
где $f^*(t)$ – невозрастающая непрерывная справа перестановка функции $|f|$, определяемая следующим образом:
$$ \begin{equation*} f^{*}(t):=\inf\{\tau\geqslant 0:m\{s\in I: |f(s)|>\tau\} \leqslant t\},\qquad t\in I. \end{equation*} \notag $$
Заметим, что функции $f^*$ и $f$ равноизмеримы (см. раздел 1).

Если $1\leqslant q\leqslant p$, то функционал $f\mapsto\|f\|_{p,q}$ является нормой на $L_{p,q}$; в случае $p<q<\infty$ это – квазинорма, которая эквивалентна норме $f\mapsto \|f^{**}\|_{p,q}$, где

$$ \begin{equation*} f^{**}(t):=\frac1t\int_0^t f^*(s)\,ds. \end{equation*} \notag $$
При этом $L_{p,q_1}\subset L_{p,q_2}$, если $1\leqslant q_1\leqslant q_2<\infty$, и $L_{p,p}=L_p$ изометрически для каждого $1<p<\infty$.

Пространства $L_{p,q}$ – это важный пример симметричных функциональных пространств. Напомним, что банахово пространство $E$ измеримых на $I$ функций называется симметричным (или перестановочно-инвариантным), если

Подробную информацию о симметричных пространствах см. в [5]–[7].

2.2. Интерполяционные пространства Лионса-Петре

Семейство пространств $L_{p,q}$, $1<p<\infty$, $1\leqslant q<\infty$, в частности, играет важную роль в связи с интерполяцией $L_p$-пространств.

Напомним, что пересечение $E_0\cap E_1$ и сумма $E_0+E_1$ двух симметричных пространств $E_0$ и $E_1$ являются также симметричными пространствами с нормами

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|f\|_{E_0\cap E_1}&=\max\{\|f\|_{E_0},\|f\|_{E_1}\}, \\ \|f\|_{E_0+E_1}&=\inf\{\|f_0\|_{E_0}+\|f_1\|_{E_1}: f=f_0+f_1,f_i\in E_i,i=0,1\} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
соответственно.

Симметричное пространство $E$ называется интерполяционным относительно пары симметричных пространств $(E_0,E_1)$, если $E_0 \cap E_1 \subset E \subset E_0+E_1$ и всякий линейный оператор $T\colon E_0+E_1\to E_0+E_1$, ограниченный в $E_0$ и в $E_1$, ограничен в $E$.

Одним из наиболее важных в теории и в приложениях способов построения интерполяционных пространств является вещественный метод интерполяции (см. [8] или [7]). Для произвольной пары симметричных пространств $(E_0,E_1)$ определим ${\mathcal K}$-функционал Петре:

$$ \begin{equation*} {\mathcal K}(t,x;E_0,E_1):=\inf\{\|x_0\|_{E_0}+t\|x_1\|_{E_1}: x=x_0+x_1,x_i\in{E_i}\}, \end{equation*} \notag $$
где $x\in {E_0+E_1},$ а $t>0.$ В частности (см., например, [6; § II.3 ]),
$$ \begin{equation*} {\mathcal K}(t,x;L_1(0,\infty),L_\infty(0,\infty))= \int_0^{t}x^\ast(s)\,ds,\qquad t>0. \end{equation*} \notag $$

Пусть $0<\theta<1$, $1\leqslant q<{\infty}$, $(E_0,E_1)$ – произвольная пара симметричных пространств. Классическое пространство Лионса–Петре $(E_0,E_1)_{\theta,q}$ состоит из всех $f\in E_0+E_1$, для которых конечна норма

$$ \begin{equation*} \|f\|_{(E_0,E_1)_{\theta,q}}=\biggl(\,\sum_{k\in \mathbb{Z}} ({\mathcal K}(2^{k},f;E_0,E_1)2^{-k\theta})^q\biggr)^{1/q}. \end{equation*} \notag $$
Пространства $(E_0,E_1)_{\theta,q}$ интерполяционны относительно пары $(E_0,E_1)$ для всех $0<\theta<1$, $1\leqslant q<{\infty}$; детальное описание их свойств см. в монографиях [8] и [9].

Если $E_0$ и $E_1$ – $L_p$-пространства, то применяя введенную конструкцию, мы получаем пространства $L_{p,q}$. Точнее, для произвольных $1\leqslant r<p< s<\infty$ и $1\leqslant q<\infty$ имеем

$$ \begin{equation} L_{p,q}=(L_r,L_s)_{\theta,q},\quad\text{где}\quad \frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{r}+\frac{\theta}{s} \end{equation} \tag{2} $$
(см., например, [8; теорема 5.2.1]).

2.3. Оценки для банаховых решеток

Пусть $1\leqslant p,q\leqslant\infty$. Говорят, что банахова решетка $X$ допускает верхнюю $p$-оценку (соответственно нижнюю $q$-оценку) (см., например, [5; 1.f]), если существует константа $M>0$ такая, что для произвольных попарно дизъюнктных элементов $x_1,x_2,\dots,x_n$ в $X$ имеет место неравенство

$$ \begin{equation*} \biggl\|\,\sum_{k=1}^n x_k \biggr\|_X \leqslant M\biggl(\,\sum_{k=1}^n\|x_k\|_X ^p\biggr)^{1/p} \end{equation*} \notag $$
(соответственно
$$ \begin{equation*} \biggl(\,\sum_{k=1}^n\|x_k\|_X^q\biggr)^{1/q}\leqslant M\biggl\|\,\sum_{k=1}^n x_k\biggr\|_X) \end{equation*} \notag $$
(с естественной модификацией выражений при бесконечных $p$ или $q$). Если банахова решетка $X$ допускает верхнюю $p$-оценку (соответственно нижнюю $q$-оценку) и $p_1<p$ (соответственно $q_1>q$), то из определений сразу вытекает, что она допускает верхнюю $p_1$-оценку (соответственно нижнюю $q_1$-оценку) с той же константой. Следуя работе [10], определим индексы Гроблера–Доддса банаховой решетки $X$:
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \sigma(X)&:=\inf\{q\geqslant 1:X\text{ допускает нижнюю } q\text{-оценку}\}, \\ s(X)&:=\sup\{p\geqslant 1: X \text{ допускает верхнюю } p\text{-оценку}\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Если решетка $X$ бесконечномерна, то $1\leqslant s(X)\leqslant \sigma(X)\leqslant\infty$. Кроме того, справедливы следующие соотношения двойственности:
$$ \begin{equation*} \frac{1}{s(X)}+\frac{1}{\sigma(X^*)}=1\qquad\text{и}\qquad \frac{1}{\sigma(X)}+\frac{1}{s(X^*)}=1. \end{equation*} \notag $$

Пусть $X$ – банахова решетка. Из определения множества $\mathrm{LFR}(X)$ (см. п. 1) вытекает следующее вложение:

$$ \begin{equation} \mathrm{LFR}(X)\subset [s(X),\sigma(X)]. \end{equation} \tag{3} $$
В частности, $s(L_p)=\sigma(L_p)=p$ и поэтому $\mathrm{LFR}(L_p)=\{p\}$ для каждого $1\leqslant p\leqslant\infty$.

Если $1\leqslant q<\infty$, то $l_q$-сумма $(\sum_{i=1}^\infty \oplus X_i)_q$ банаховых пространств $X_i$, $i=1,2,\dots$, состоит из всех последовательностей $x=(x(i))_{i=1}^\infty$ таких, что $x(i)\in X_i$ и

$$ \begin{equation*} \|x\|_{(\,\sum_{i=1}^\infty \oplus X_i)_q}:= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\|x(i)\|_{X_i}^q\biggr)^{1/q}<\infty. \end{equation*} \notag $$
В том случае, когда $X_i=X$, $i=1,2,\dots$, это пространство будет обозначаться через $l_q(X)$.

2.4. $P$-выпуклизация квазибанаховых решеток

Далее мы используем так называемую процедуру $p$-выпуклизации ($p$-convexification procedure), которая является естественным обобщением отображения $f\mapsto|f|^{p}\operatorname{sign}f$ из пространства $L_{r}(\mu)$, $0<r<\infty$, в пространство $L_{rp}(\mu)$. При этом нам будет удобно определить ее в более общей квазибанаховой ситуации, когда топология на функциональной решетке задается квазинормой, для которой неравенство треугольника выполняется с некоторой константой, вообще говоря, большей $1$.

Пусть $X$ – квазибанахова функциональная решетка на некотором пространстве с мерой и $p>0$. Тогда множество $X^{(p)}$ состоит из всех измеримых функций $f$ таких, что $|f|^{p}\in X$. Снабженное квазинормой $\|f\|_{X^{(p)}}:=\||f|^{p}\|^{1/p}$, пространство $X^{(p)}$ становится также квазибанаховой функциональной решеткой (см. [5; с. 53–54] или [11; предложение 1.2]).

Если $X$ – банахово пространство и $t>0$, то через $tX$ будет обозначаться пространство $X$ с нормой $\|x\|_{tX}:=t\cdot\|x\|_X$. Выражение вида $f\asymp g$ будет означать, что $cf\leqslant g\leqslant Cf$ для некоторых $c>0$ и $C>0$, причем эти константы не зависят от всех или части аргументов функций (квазинорм) $f$ и $g$. И наконец, всюду далее $E$ (вместо $E(0,\infty)$) обозначаются функциональные пространства на $(0,\infty)$, в то время как пространства на $[0,1]$ обозначаются через $E[0,1]$.

3. Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть $Z_{r,s,q}:=l_q(L_r+L_s)$, где $1\leqslant r<s<\infty$, $1\leqslant q<\infty$. Тогда пространство $Z_{r,s,q}$ допускает верхнюю $\min(r,q)$-оценку и нижнюю $\max(s,q)$-оценку. Поэтому $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\subset [\min(r,q),\max(s,q)]$ и, если $r\leqslant q\leqslant s$, то

$$ \begin{equation*} \mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})=\mathrm{LFR}(L_r+L_s)=[r,s]. \end{equation*} \notag $$

Доказательство. Предположим сначала, что $r\leqslant q$. Если элементы $z_k=(z_k(i))_{i=1}^\infty\in Z_{r,s,q}$, $k=1,2,\dots,n$, попарно дизъюнктны, то для каждого $i=1,2,\dots$ функции $z_k(i)$, $k=1,2,\dots,n$, также попарно дизъюнктны. Следовательно, учитывая, что пространство $L_r+L_s$ допускает верхнюю $r$-оценку с константой $1$, и применяя неравенство Минковского (так как $q\geqslant r$), получим

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k\biggr\|_{Z_{r,s,q}}&= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k(i)\biggr\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} \leqslant\biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^r\biggr)^{q/r}\biggr)^{1/q} \\ &\leqslant\biggl(\,\sum_{k=1}^n\biggl(\,\sum_{i=1}^\infty \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{r/q}\biggr)^{1/r} =\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k\|_{Z_{r,s,q}}^r\biggr)^{1/r}. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Таким образом, в этом случае пространство $Z_{r,s,q}$ допускает верхнюю $r$-оценку.

Пусть теперь $q<r$. Так как пространство $L_r+L_s$ допускает верхнюю $q$-оценку с константой $1$, то

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k\biggr\|_{Z_{r,s,q}}&= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k(i)\biggr\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} \\ &\leqslant \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\,\sum_{k=1}^n \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} =\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k\|_{Z_{r,s,q}}^q\biggr)^{1/q}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
откуда следует, что $Z_{r,s,q}$ допускает верхнюю $q$-оценку. Таким образом, утверждение о верхней оценке доказано.

То, что $Z_{r,s,q}$ допускает нижнюю $\max(s,q)$-оценку, проверяется аналогично. Действительно, предположим сначала, что $q\leqslant s$. Так как пространство $L_r+L_s$ допускает нижнюю $s$-оценку с константой $1$, опять в силу неравенства Минковского для произвольных попарно дизъюнктных $z_k=(z_k(i))_{i=1}^\infty\in Z_{r,s,q}$, $k=1,2,\dots,n$,

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k\biggr\|_{Z_{r,s,q}}&= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k(i)\biggr\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} \geqslant \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^s\biggr)^{q/s}\biggr)^{1/q} \\ &\geqslant \biggl(\,\sum_{k=1}^n\biggl(\,\sum_{i=1}^\infty \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{s/q}\biggr)^{1/s} =\biggl(\sum_{k=1}^n \|z_k\|_{Z_{r,s,q}}^s\biggr)^{1/s}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
и, значит, $Z_{r,s,q}$ допускает нижнюю $s$-оценку.

В случае же, когда $q>s$, пространство $L_r+L_s$ допускает нижнюю $q$-оценку с константой $1$, и поэтому

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k\biggr\|_{Z_{r,s,q}}&= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k(i)\biggr\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} \\ &\geqslant \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\,\sum_{k=1}^n \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} =\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k\|_{Z_{r,s,q}}^q\biggr)^{1/q}, \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
т.е. $Z_{r,s,q}$ допускает нижнюю $q$-оценку.

Вложение $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\subset [\min(r,q),\max(s,q)]$ теперь является непосредственным следствием соотношения (3). В частности, если $r\leqslant q\leqslant s$, то $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\subset [r,s]$. Так как $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\supset \mathrm{LFR}(L_r+L_s)$ и $\mathrm{LFR}(L_r+L_s)= [r,s]$ (см. [12; пример 2], а также [2]), получаем последнее утверждение леммы.

Лемма 2. Пусть $p>0$, $1\leqslant q<\infty$ и $X_k$, $Y_k$ – квазибанаховы функциональные решетки, $k=1,2,\dots$ . Тогда, если $Z:=(\,\sum_{k=1}^\infty \oplus (X_k+Y_k))_q$, то $Z^{(p)}=(\,\sum_{k=1}^\infty \oplus (X_k^{(p)}+Y_k^{(p)}))_{pq}$.

Доказательство. Прежде всего, легко проверить, что

$$ \begin{equation} Z^{(p)}=\biggl(\,\sum_{k=1}^\infty\oplus(X_k+Y_k)^{(p)}\biggr)_{pq}. \end{equation} \tag{4} $$
Поэтому лемма будет доказана, если показать, что для любых квазибанаховых функциональных решеток $X$ и $Y$ выполнено
$$ \begin{equation} (X+Y)^{(p)}=X^{(p)}+Y^{(p)} \end{equation} \tag{5} $$
с константами эквивалентности квазинорм, не зависящих от решеток $X$ и $Y$.

В силу [13; лемма 3.3] (в банаховом случае см. также [14; лемма 1] и [9; предложение 3.1.15]) справедливо равенство

$$ \begin{equation*} \|z\|_{X+Y}=\inf\{\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}:|z| \leqslant x+y,0\leqslant x\in X,0\leqslant y\in Y\} . \end{equation*} \notag $$
Следовательно, предполагая, что $p\geqslant 1$ (случай, когда $0<p<1$, рассматривается совершенно аналогично), имеем
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, \|z\|_{(X+Y)^{(p)}}^p&=\||z|^{p}\|_{X+Y}^p= \inf\{(\|x\|_{X}+\|y\|_{Y})^p:|z|^{p} \leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\geqslant \inf\{(\|x\|_{X}+\|y\|_{Y})^p:|z| \leqslant x^{1/p}+y^{1/p},\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &=\inf \{(\|x\|_{X^{(p)}}+\|y\|_{Y^{(p)}})^p:|z| \leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X^{(p)},\,0\leqslant y\in Y^{(p)}\} \\ &=\|z\|_{X^{(p)}+Y^{(p)}}^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Наоборот,
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, &(2\|z\|_{X^{(p)}+Y^{(p)}})^p \\ &\qquad=\inf \{(\|x\|_{X^{(p)}}+ \|y\|_{Y^{(p)}})^p:2|z| \leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X^{(p)},\,0\leqslant y\in Y^{(p)}\} \\ &\qquad=\inf \{(\|x\|_{X}^{1/p}+\|y\|_{Y}^{1/p})^p: 2|z| \leqslant x^{1/p}+y^{1/p},\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\qquad\geqslant \inf\{(\|x\|_{X}^{1/p}+\|y\|_{Y}^{1/p})^p: |z| \leqslant \max(x^{1/p},y^{1/p}),\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\qquad\geqslant \inf\{(\|x\|_{X}+\|y\|_{Y})^p:|z|^{p}\leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\qquad=\|z\|_{(X+Y)^{(p)}}^p. \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Тем самым получаем (5), и, таким образом, ввиду соотношения (4) лемма доказана.

4. Доказательство теоремы 1

Нам понадобятся два предложения. Первое из них показывает, что при подходящем выборе параметров пространство $L_{p,q}$ может быть решеточно изоморфно вложено в $l_q$-сумму пространств $L_r+L_s$ (см. [15; следствие 1] или [16; следствие 5.3]).

Предложение 1. Для любых $1\leqslant r<p< s<\infty$ и $1\leqslant q<\infty$ пространство $L_{p,q}$ решеточно изоморфно некоторому подпространству пространства $l_q(L_r+L_s)$.

Доказательство. Для произвольных $1\leqslant r<p< s<\infty$ и $1\leqslant q<\infty$ справедливо равенство (2), где $(L_r,L_s)_{\theta,q}$ – пространство вещественного метода интерполяции, построенное по паре $(L_r,L_s)$ (см. п. 2.2). Поэтому, если $K(t,\,\cdot\,;L_r,L_s)$ – соответствующий $K$-функционал, то

$$ \begin{equation} \|f\|_{p,q}\asymp\biggl(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} 2^{-n\theta q} K(t,f;L_r,L_s)^q\biggr)^{1/q} \end{equation} \tag{6} $$
с константами, зависящими от $p$, $q$, $r$ и $s$.

Пусть $t>0$. Обозначим через $L_r+tL_s$ сумму $L_r+L_s:=(L_r+L_s)(0,\infty)$ с нормой $f\mapsto {\mathcal K}(t,f;L_r,L_s)$. Очевидно, что по определению ${\mathcal K}$-функционала для произвольных $t>0$ и $\lambda>0$

$$ \begin{equation*} {\mathcal K}(t,f;L_r,L_s)=\inf\{\lambda^{1/r}\|g(\lambda x)\|_r+ t\lambda^{1/s}\|h(\lambda x)\|_s:f=g+h\}. \end{equation*} \notag $$
Выбирая $\lambda=t^{rs/(s-r)}$, получим
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, K(t,f;L_r,L_s)&=\lambda^{1/r}\inf\{\|g(\lambda x)\|_r+ \|h(\lambda x)\|_s:\,f=g+h\} \\ &=t^{s/(s-r)}K(1,f(\lambda\cdot);L_r,L_s). \end{aligned} \end{equation*} \notag $$
Следовательно,
$$ \begin{equation*} t^{-\theta}{\mathcal K}(t,f;L_r,L_s)=t^{s/(s-r)-\theta}{\mathcal K}(1,f(t^{rs/(s-r)}\,\cdot\,);L_r,L_s). \end{equation*} \notag $$
Так как $\|g\|_{L_r+L_s}={\mathcal K}(1,g;L_r,L_s)$, то отображение
$$ \begin{equation*} f(\,\cdot\,)\mapsto t^{s/(s-r)-\theta}f(t^{rs/(s-r)}\,\cdot\,) \end{equation*} \notag $$
является изометрией пространства $t^{-\theta}(L_r+tL_s)$ на пространство $L_r+L_s$ для каждого $t>0$. Таким образом, пространства
$$ \begin{equation*} \biggl(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (2^{-n\theta}(L_r+2^n L_s)\biggr)_q\qquad\text{и}\qquad \biggl(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (L_r+L_s)\biggr)_q \end{equation*} \notag $$
изометрически изоморфны. Тем самым, учитывая (6), заключаем, что $L_{p,q}$ изометрически вложено в пространство $(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (L_r+L_s))_q$. Более того, как нетрудно видеть, соответствующее отображение
$$ \begin{equation*} f(\,\cdot\,)\mapsto (2^{(s/(s-r)-\theta)n} f(2^{rsn/(s-r)}\,\cdot\,))_{n\in\mathbb{Z}} \end{equation*} \notag $$
сохраняет решеточную структуру. В итоге, так как пространство $(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (L_r+L_s))_q$ решеточно изометрично пространству $l_q(L_r+L_s)$, предложение доказано.

Предложение 2. Пусть $1\leqslant r\leqslant s<2r$, $s<q<\infty$. Тогда, если $d\in (s,q)$, то $d\notin \mathrm{LFR}(l_q(L_r+L_s))$.

Доказательство. Предположим, что $d\in \mathrm{LFR}(l_q(L_r+L_s))$. Простая проверка показывает, что тогда $2d/s\in \mathrm{LFR}((l_q(L_r+L_s))^{(2/s)})$, и, значит, по лемме 2 $2d/s\in \mathrm{LFR}(l_{2q/s}(L_{2r/s}+L_2))$.

Так как $1\leqslant r\leqslant s<2r$, то $1<{2r/s}\leqslant 2$. Следовательно, согласно [1; § 8] (см. также [17; теорема 3.2] или [18] для более общих результатов об изоморфизмах между симметричными пространствами на $[0,1]$ и $(0,\infty)$) пространство $L_{2r/s}+L_2$ изоморфно пространству $L_{2r/s}[0,1]$. Таким образом, $l_{2d/s}$ финитно грубо представимо (возможно, не решеточно) в пространстве $l_{2q/s}(L_{2r/s}[0,1])$. Заметим, что $2d/s>2$, и, значит, канонический базис в $l_{2d/s}$ является $2$-выпуклым. Поэтому, так как $c_0$ не представимо (финитно) в $l_{2q/s}(L_{2r/s}[0,1])$, можно применить лемму 10.5 из [1], согласно которой $l_{2d/s}$ грубо решеточно финитно представимо в этом пространстве. Тем самым, как и ранее, $2d/r\in \mathrm{LFR}((l_{2q/s}(L_{2r/s}[0,1]))^{(s/r)})$, т.е. по лемме 2 получаем, что $2d/r\in \mathrm{LFR}(l_{2q/r}(L_{2}[0,1]))$. Как нетрудно видеть, последнее пространство изоморфно вложено в пространство $L_{2q/r}:=L_{2q/r}(0,\infty)$.

Действительно, во-первых, ясно, что $l_{2q/r}(L_{2}[0,1])$ изоморфно $l_{2q/r}(l_{2})$. Далее, определим отображение $T\colon l_{2q/r}(l_{2})\to L_{2q/r}$ следующим образом: если $(a^k)_{k=1}^\infty\in l_{2q/r}(l_{2})$ (т.е. $a^k=(a_i^k)_{i=1}^\infty\in l_2$, $k=1,2,\dots$), то

$$ \begin{equation*} T((a^k))(t):=\sum_{k=1}^\infty\, \sum_{i=1}^\infty a_i^k r_i(t-k+1)\chi_{(k-1,k]}(t),\qquad t>0. \end{equation*} \notag $$
Здесь $r_i$ – обычные функции Радемахера, т.е. $r_i(t):=\operatorname{sign}\sin (2^i\pi t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$. Тогда в силу неравенства Хинчина (см., например, [19; теорема V.8.4])
$$ \begin{equation*} \|T((a^k))\|_{2q/r}^{2q/r}=\sum_{k=1}^\infty\int_{k-1}^k \biggl|\sum_{i=1}^\infty a_i^kr_i(t-k+1)\biggr|^{2q/r}\,dt \asymp \sum_{k=1}^\infty\|a^k\|_{l_2}^{2q/r}= \|(a^k)\|_{l_{2q/r}(l_{2})}^{2q/r}. \end{equation*} \notag $$
Таким образом, сформулированное выше утверждение доказано, и в итоге $l_{2d/r}$ финитно грубо представимо в $L_{2q/r}$. Замечая, что $2d/r>2$, и применяя еще раз [1; лемма 10.5], заключаем, что, более того, $l_{2d/r}$ решеточно финитно грубо представимо в $L_{2q/r}[0,1]$, откуда следует: $d=q$. Так как это противоречит условию, утверждение доказано.

Теорема 2. Для любых $1<p\leqslant q<\infty$ имеет место равенство $\mathrm{LFR}(L_{p,q})=\{p,q\}$.

Доказательство. Так как утверждение очевидно в случае, когда $p=q$ (см., например, [20; предложение 6.4.1]), будем считать, что $p<q$.

Выберем $r$ и $s$ так, чтобы выполнялись неравенства $1\leqslant r<p<s<2r$ и $s<q<\infty$. Тогда в силу предложения 1 пространство $L_{p,q}$ решеточно изоморфно некоторому подпространству пространства $l_q(L_r+L_s)$. Поэтому, применяя лемму 1 и предложение 2, получаем, что $\mathrm{LFR}(L_{p,q})\subset [r,s]\cup\{q\}$. Так как $r$ и $s$ можно взять сколь-угодно близкими к $p$, отсюда следует, что $\mathrm{LFR}(L_{p,q})\subset\{p,q\}$.

Наоборот, хорошо известно, что всякая последовательность нормированных, попарно дизъюнктных функций в $L_{p,q}$ содержит подпоследовательность, эквивалентную каноническому базису пространства $l_q$ (см. [4; предложение 1] или [21; теорема 5.1]). Таким образом, $q\in \mathrm{LFR}(L_{p,q})$. Кроме того, в силу варианта теоремы Кривина для симметричных пространств [5; теорема 2.b.6] (доказательство этого результата, а также более общие утверждения см. в работах [12] и [2]) $l_p$ симметрично финитно представимо в $L_{p,q}$ (см. раздел 1). Следовательно, $p\in \mathrm{LFR}(L_{p,q})$, и теорема доказана.

Доказательство теоремы 1. Прежде всего, ясно, что пространство $L_{p,q}[0,1]$ решеточно изометрично подпространству пространства $L_{p,q}$, состоящему из всех функций $f\in L_{p,q}$ таких, что $f(t)=0$ при $t\geqslant 1$. Поэтому в силу теоремы 2

$$ \begin{equation*} \mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])\subset \{p,q\}. \end{equation*} \notag $$
Что касается противоположного вложения, то, как и в доказательстве теоремы 2, оно следует из [4; предложение 1] и [5; теорема 2.b.6] (см. также [3]).

В заключение сформулируем естественный вопрос, который пока остается без ответа.

Вопрос. Верно ли, что $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])=\{p,q\}$, если $1\leqslant q<p<\infty$?

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. W. B. Johnson, B. Maurey, G. Schechtman, L. Tzafriri, Symmetric Structures in Banach Spaces, Mem. Amer. Math. Soc., 19, no. 217, Amer. Math. Soc., 1979  mathscinet
2. S. V. Astashkin, “Symmetric finite representability of $\ell^p$-spaces in rearrangement invariant spaces on $(0,\infty)$”, Math. Ann., 383:3-4 (2022), 1489–1520  crossref  mathscinet
3. S. V. Astashkin, G. P. Curbera, Symmetric Finite Representability of $\ell^p$-Spaces in Rearrangement Invariant Spaces on $[0,1]$, 2022, arXiv: 2204.13904v1
4. S. J. Dilworth, “Special Banach lattices and their applications”, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, Vol. I, North-Holland, North-Hollan, 2001, 497–532  mathscinet
5. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces. II. Function Spaces, Springer-Verlag, Berlin, 1979  mathscinet
6. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семенов, Интерполяция линейных операторов, Наука, М., 1978  mathscinet  zmath
7. C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, Boston, 1988  mathscinet
8. Й. Берг, Й. Лёфстрём, Интерполяционные пространства. Введение, Мир, М., 1980  mathscinet  zmath
9. Yu. A. Brudnyi, N. Ya. Kruglyak, Interpolation Functors and Interpolation Spaces. I, North-Holland, Amsterdam, 1991  mathscinet
10. A. R. Shepp, “Krivine's theorem and the indices of a Banach lattice”, Acta Appl. Math., 27 (1992), 111–121  crossref  mathscinet
11. B. Cuartero, M. A. Triana, “$(p,q)$-Convexity in quasi-Banach lattices and applications”, Studia Math., 84 (1986), 113–124  crossref  mathscinet
12. С. В. Асташкин, “О финитной представимости $l_p$-пространств в симметричных пространствах”, Алгебра и анализ, 23:2 (2011), 77–101  mathnet  mathscinet  zmath
13. S. V. Astashkin, P. G. Nilsson, “Arazy-Cwikel property for quasi-Banach couples”, Positivity, 26:4 (2022), Paper No. 72  crossref  mathscinet
14. L. Maligranda, “The $K$-functional for $p$-convexifications”, Positivity, 17 (2013), 707–710  crossref  mathscinet
15. N. L. Carothers, S. J. Dilworth, “Some Banach space embeddings of classical function spaces”, Bull. Austral. Math. Soc., 43 (1991), 73–77  crossref  mathscinet
16. S. J. Dilworth, “Some probabilistic inequalities with applications to functional analysis”, Contemp. Math., 144 (1993), 53–67  crossref  mathscinet
17. N. L. Carothers, S. J. Dilworth, “Inequalities for sums of independent random variables”, Proc. Amer. Math. Soc., 104:1 (1988), 221–226  crossref  mathscinet
18. S. V. Astashkin, “Rademacher series and isomorphisms of rearrangement invariant spaces on the finite interval and on the semi–axis”, J. Funct. Anal., 260 (2011), 195–207  crossref  mathscinet
19. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Т. 1, Мир, М., 1965  mathscinet
20. F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach Space Theory, Grad. Texts in Math., 233, Springer, New York, 2006  mathscinet
21. T. Figiel, W. B. Johnson, L. Tzafriri, “On Banach lattices and spaces having local unconditional structure with applications to Lorentz function spaces”, J. Approx. Theory, 13 (1975), 395–412  crossref  mathscinet

Образец цитирования: С. В. Асташкин, “О решеточных свойствах пространств Лоренца $L_{p,q}$”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 11–20; Math. Notes, 113:1 (2023), 10–17
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ast23}
\by С.~В.~Асташкин
\paper О~решеточных свойствах пространств Лоренца~$L_{p,q}$
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 1
\pages 11--20
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13679}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13679}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4563345}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 1
\pages 10--17
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010029}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85174594162}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm13679
  • https://doi.org/10.4213/mzm13679
  • https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i1/p11
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Математические заметки Mathematical Notes
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:231
    PDF полного текста:31
    HTML русской версии:181
    Список литературы:43
    Первая страница:14
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024