| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О решеточных свойствах пространств Лоренца С. В. Асташкин Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010029 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПространство $l_r$, $1\leqslant r<\infty$ ($c_0$, если $r=\infty$), финитно грубо представимо в банаховом пространстве $X$, если существует константа $K>0$ такая, что для каждого $n\in\mathbb{N}$ найдутся элементы $x_k\in X$, $k=1,2,\dots,n$, удовлетворяющие следующему условию: для произвольных $a_k\in\mathbb{R}$
$$
\begin{equation}
K^{-1}\|(a_k)\|_{l_r}\leqslant \biggl\|\sum_{k=1}^n a_kx_k\biggr\|_X\leqslant K\|(a_k)\|_{l_r}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
В том случае, когда $X$ – банахова решетка и элементы $x_k\in X$, $k=1,2,\dots,n$, удовлетворяющие условию (1), можно выбирать попарно дизъюнктными, говорят, что $l_r$ решеточно финитно грубо представимо в $X$. Пусть $X$ – банахова решетка. Следуя [1; § 10, с. 288], определим множество
$$
\begin{equation*}
\mathrm{LFR}(X):=\{r\geqslant 1: l_r \text{ решеточно финитно грубо представимо в }X\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В [1] построено симметричное пространство $E$ на $[0,1]$ такое, что множество $\mathrm{LFR}(E)$ не является интервалом на прямой (см. пример 10.6). При этом авторы используют абстрактную интерполяционную конструкцию, в результате чего этот пример является весьма “экзотическим”. В этой заметке мы покажем, что подобный результат имеет место даже для такого хорошо известного “естественного” пространства, как пространство Лоренца $L_{p,q}[0,1]$, если $1<p<q<\infty$. Точнее, будет доказана следующая теорема. Теорема 1. Для любых $1<p\leqslant q<\infty$ имеет место равенство $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])=\{p,q\}$. Близкий вопрос о симметричной финитной представимости $l_r$-пространств в симметричных пространствах на полуоси $(0,\infty)$ и на отрезке $[0,1]$ рассматривался в недавних работах [2] и [3] соответственно. Пространство $l_r$ симметрично финитно грубо представимо в симметричном пространстве $E$ на $I$, где $I=[0,1]$ или $(0,\infty)$, если функции $x_k\in E$, $k=1,2,\dots,n$, удовлетворяющие соотношению (1), могут выбраны не только попарно дизъюнктными, но и равноизмеримыми. Напомним, что функции $x$ и $y$, измеримые по Лебегу на интервале $I$ равноизмеримы, если
$$
\begin{equation*}
m\{s\in I:\,|x(s)|>\tau\}=m\{s\in I:\,|y(s)|>\tau\} \quad\text{для всех}\quad \tau>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где через $m$ обозначается мера Лебега. Заметим, что вложение $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])\supset\{p,q\}$ – следствие хорошо известных результатов (см. [4; предложение 1] и [5; теорема 2.b.6]). Более того, из результатов работы [3] следует, что $l_r$ симметрично финитно грубо представимо в $L_{p,q}$, если и только если $r=p$. В доказательстве противоположного вложения $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])\subset\{p,q\}$ будет использован классический вариант вещественного метода интерполяции, точнее, тот факт, что пространство $L_{p,q}(0,\infty)$ может быть решеточно изоморфно вложено в $l_q$-сумму пространств $L_r(0,\infty)+L_s(0,\infty)$, если $1\leqslant r<s$ и $p\in (r,s)$ (см. предложение 1). 2. Предварительные сведения2.1. Пространства $L_{p,q}$ и симметричные пространстваНачнем с определения пространств Лоренца $L_{p,q}$, $1<p<\infty$, $1\leqslant q<\infty$, являющихся естественным обобщением $L_p$-пространств. Пространство $L_{p,q}:=L_{p,q}(I)$, где $I=[0,1]$ или $(0,\infty)$, состоит из всех измеримых функций $f$ на интервале $I$, для которых выполнено
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,q}:=\biggl(\int_I f^*(t)^q\,d(t^{q/p})\biggr)^{1/q}<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $f^*(t)$ – невозрастающая непрерывная справа перестановка функции $|f|$, определяемая следующим образом:
$$
\begin{equation*}
f^{*}(t):=\inf\{\tau\geqslant 0:m\{s\in I: |f(s)|>\tau\} \leqslant t\},\qquad t\in I.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что функции $f^*$ и $f$ равноизмеримы (см. раздел 1). Если $1\leqslant q\leqslant p$, то функционал $f\mapsto\|f\|_{p,q}$ является нормой на $L_{p,q}$; в случае $p<q<\infty$ это – квазинорма, которая эквивалентна норме $f\mapsto \|f^{**}\|_{p,q}$, где При этом $L_{p,q_1}\subset L_{p,q_2}$, если $1\leqslant q_1\leqslant q_2<\infty$, и $L_{p,p}=L_p$ изометрически для каждого $1<p<\infty$.Пространства $L_{p,q}$ – это важный пример симметричных функциональных пространств. Напомним, что банахово пространство $E$ измеримых на $I$ функций называется симметричным (или перестановочно-инвариантным), если
Подробную информацию о симметричных пространствах см. в [5]–[7]. 2.2. Интерполяционные пространства Лионса-ПетреСемейство пространств $L_{p,q}$, $1<p<\infty$, $1\leqslant q<\infty$, в частности, играет важную роль в связи с интерполяцией $L_p$-пространств. Напомним, что пересечение $E_0\cap E_1$ и сумма $E_0+E_1$ двух симметричных пространств $E_0$ и $E_1$ являются также симметричными пространствами с нормами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|f\|_{E_0\cap E_1}&=\max\{\|f\|_{E_0},\|f\|_{E_1}\}, \\ \|f\|_{E_0+E_1}&=\inf\{\|f_0\|_{E_0}+\|f_1\|_{E_1}: f=f_0+f_1,f_i\in E_i,i=0,1\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Симметричное пространство $E$ называется интерполяционным относительно пары симметричных пространств $(E_0,E_1)$, если $E_0 \cap E_1 \subset E \subset E_0+E_1$ и всякий линейный оператор $T\colon E_0+E_1\to E_0+E_1$, ограниченный в $E_0$ и в $E_1$, ограничен в $E$. Одним из наиболее важных в теории и в приложениях способов построения интерполяционных пространств является вещественный метод интерполяции (см. [8] или [7]). Для произвольной пары симметричных пространств $(E_0,E_1)$ определим ${\mathcal K}$-функционал Петре:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal K}(t,x;E_0,E_1):=\inf\{\|x_0\|_{E_0}+t\|x_1\|_{E_1}: x=x_0+x_1,x_i\in{E_i}\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x\in {E_0+E_1},$ а $t>0.$ В частности (см., например, [6; § II.3 ]),
$$
\begin{equation*}
{\mathcal K}(t,x;L_1(0,\infty),L_\infty(0,\infty))= \int_0^{t}x^\ast(s)\,ds,\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $0<\theta<1$, $1\leqslant q<{\infty}$, $(E_0,E_1)$ – произвольная пара симметричных пространств. Классическое пространство Лионса–Петре $(E_0,E_1)_{\theta,q}$ состоит из всех $f\in E_0+E_1$, для которых конечна норма
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{(E_0,E_1)_{\theta,q}}=\biggl(\,\sum_{k\in \mathbb{Z}} ({\mathcal K}(2^{k},f;E_0,E_1)2^{-k\theta})^q\biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пространства $(E_0,E_1)_{\theta,q}$ интерполяционны относительно пары $(E_0,E_1)$ для всех $0<\theta<1$, $1\leqslant q<{\infty}$; детальное описание их свойств см. в монографиях [8] и [9]. Если $E_0$ и $E_1$ – $L_p$-пространства, то применяя введенную конструкцию, мы получаем пространства $L_{p,q}$. Точнее, для произвольных $1\leqslant r<p< s<\infty$ и $1\leqslant q<\infty$ имеем
$$
\begin{equation}
L_{p,q}=(L_r,L_s)_{\theta,q},\quad\text{где}\quad \frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{r}+\frac{\theta}{s}
\end{equation}
\tag{2}
$$
(см., например, [8; теорема 5.2.1]). 2.3. Оценки для банаховых решетокПусть $1\leqslant p,q\leqslant\infty$. Говорят, что банахова решетка $X$ допускает верхнюю $p$-оценку (соответственно нижнюю $q$-оценку) (см., например, [5; 1.f]), если существует константа $M>0$ такая, что для произвольных попарно дизъюнктных элементов $x_1,x_2,\dots,x_n$ в $X$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl\|\,\sum_{k=1}^n x_k \biggr\|_X \leqslant M\biggl(\,\sum_{k=1}^n\|x_k\|_X ^p\biggr)^{1/p}
\end{equation*}
\notag
$$
(соответственно
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\sum_{k=1}^n\|x_k\|_X^q\biggr)^{1/q}\leqslant M\biggl\|\,\sum_{k=1}^n x_k\biggr\|_X)
\end{equation*}
\notag
$$
(с естественной модификацией выражений при бесконечных $p$ или $q$). Если банахова решетка $X$ допускает верхнюю $p$-оценку (соответственно нижнюю $q$-оценку) и $p_1<p$ (соответственно $q_1>q$), то из определений сразу вытекает, что она допускает верхнюю $p_1$-оценку (соответственно нижнюю $q_1$-оценку) с той же константой. Следуя работе [10], определим индексы Гроблера–Доддса банаховой решетки $X$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sigma(X)&:=\inf\{q\geqslant 1:X\text{ допускает нижнюю } q\text{-оценку}\}, \\ s(X)&:=\sup\{p\geqslant 1: X \text{ допускает верхнюю } p\text{-оценку}\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если решетка $X$ бесконечномерна, то $1\leqslant s(X)\leqslant \sigma(X)\leqslant\infty$. Кроме того, справедливы следующие соотношения двойственности:
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{s(X)}+\frac{1}{\sigma(X^*)}=1\qquad\text{и}\qquad \frac{1}{\sigma(X)}+\frac{1}{s(X^*)}=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $X$ – банахова решетка. Из определения множества $\mathrm{LFR}(X)$ (см. п. 1) вытекает следующее вложение: В частности, $s(L_p)=\sigma(L_p)=p$ и поэтому $\mathrm{LFR}(L_p)=\{p\}$ для каждого $1\leqslant p\leqslant\infty$.Если $1\leqslant q<\infty$, то $l_q$-сумма $(\sum_{i=1}^\infty \oplus X_i)_q$ банаховых пространств $X_i$, $i=1,2,\dots$, состоит из всех последовательностей $x=(x(i))_{i=1}^\infty$ таких, что $x(i)\in X_i$ и
$$
\begin{equation*}
\|x\|_{(\,\sum_{i=1}^\infty \oplus X_i)_q}:= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\|x(i)\|_{X_i}^q\biggr)^{1/q}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В том случае, когда $X_i=X$, $i=1,2,\dots$, это пространство будет обозначаться через $l_q(X)$. 2.4. $P$-выпуклизация квазибанаховых решетокДалее мы используем так называемую процедуру $p$-выпуклизации ($p$-convexification procedure), которая является естественным обобщением отображения $f\mapsto|f|^{p}\operatorname{sign}f$ из пространства $L_{r}(\mu)$, $0<r<\infty$, в пространство $L_{rp}(\mu)$. При этом нам будет удобно определить ее в более общей квазибанаховой ситуации, когда топология на функциональной решетке задается квазинормой, для которой неравенство треугольника выполняется с некоторой константой, вообще говоря, большей $1$. Пусть $X$ – квазибанахова функциональная решетка на некотором пространстве с мерой и $p>0$. Тогда множество $X^{(p)}$ состоит из всех измеримых функций $f$ таких, что $|f|^{p}\in X$. Снабженное квазинормой $\|f\|_{X^{(p)}}:=\||f|^{p}\|^{1/p}$, пространство $X^{(p)}$ становится также квазибанаховой функциональной решеткой (см. [5; с. 53–54] или [11; предложение 1.2]). Если $X$ – банахово пространство и $t>0$, то через $tX$ будет обозначаться пространство $X$ с нормой $\|x\|_{tX}:=t\cdot\|x\|_X$. Выражение вида $f\asymp g$ будет означать, что $cf\leqslant g\leqslant Cf$ для некоторых $c>0$ и $C>0$, причем эти константы не зависят от всех или части аргументов функций (квазинорм) $f$ и $g$. И наконец, всюду далее $E$ (вместо $E(0,\infty)$) обозначаются функциональные пространства на $(0,\infty)$, в то время как пространства на $[0,1]$ обозначаются через $E[0,1]$. 3. Вспомогательные утвержденияЛемма 1. Пусть $Z_{r,s,q}:=l_q(L_r+L_s)$, где $1\leqslant r<s<\infty$, $1\leqslant q<\infty$. Тогда пространство $Z_{r,s,q}$ допускает верхнюю $\min(r,q)$-оценку и нижнюю $\max(s,q)$-оценку. Поэтому $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\subset [\min(r,q),\max(s,q)]$ и, если $r\leqslant q\leqslant s$, то Доказательство. Предположим сначала, что $r\leqslant q$. Если элементы $z_k=(z_k(i))_{i=1}^\infty\in Z_{r,s,q}$, $k=1,2,\dots,n$, попарно дизъюнктны, то для каждого $i=1,2,\dots$ функции $z_k(i)$, $k=1,2,\dots,n$, также попарно дизъюнктны. Следовательно, учитывая, что пространство $L_r+L_s$ допускает верхнюю $r$-оценку с константой $1$, и применяя неравенство Минковского (так как $q\geqslant r$), получим Пусть теперь $q<r$. Так как пространство $L_r+L_s$ допускает верхнюю $q$-оценку с константой $1$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k\biggr\|_{Z_{r,s,q}}&= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k(i)\biggr\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} \\ &\leqslant \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\,\sum_{k=1}^n \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} =\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k\|_{Z_{r,s,q}}^q\biggr)^{1/q}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $Z_{r,s,q}$ допускает верхнюю $q$-оценку. Таким образом, утверждение о верхней оценке доказано. То, что $Z_{r,s,q}$ допускает нижнюю $\max(s,q)$-оценку, проверяется аналогично. Действительно, предположим сначала, что $q\leqslant s$. Так как пространство $L_r+L_s$ допускает нижнюю $s$-оценку с константой $1$, опять в силу неравенства Минковского для произвольных попарно дизъюнктных $z_k=(z_k(i))_{i=1}^\infty\in Z_{r,s,q}$, $k=1,2,\dots,n$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k\biggr\|_{Z_{r,s,q}}&= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k(i)\biggr\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} \geqslant \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^s\biggr)^{q/s}\biggr)^{1/q} \\ &\geqslant \biggl(\,\sum_{k=1}^n\biggl(\,\sum_{i=1}^\infty \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{s/q}\biggr)^{1/s} =\biggl(\sum_{k=1}^n \|z_k\|_{Z_{r,s,q}}^s\biggr)^{1/s}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и, значит, $Z_{r,s,q}$ допускает нижнюю $s$-оценку. В случае же, когда $q>s$, пространство $L_r+L_s$ допускает нижнюю $q$-оценку с константой $1$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k\biggr\|_{Z_{r,s,q}}&= \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\biggl\|\,\sum_{k=1}^n z_k(i)\biggr\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} \\ &\geqslant \biggl(\,\sum_{i=1}^\infty\,\sum_{k=1}^n \|z_k(i)\|_{L_r+L_s}^q\biggr)^{1/q} =\biggl(\,\sum_{k=1}^n \|z_k\|_{Z_{r,s,q}}^q\biggr)^{1/q}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $Z_{r,s,q}$ допускает нижнюю $q$-оценку. Вложение $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\subset [\min(r,q),\max(s,q)]$ теперь является непосредственным следствием соотношения (3). В частности, если $r\leqslant q\leqslant s$, то $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\subset [r,s]$. Так как $\mathrm{LFR}(Z_{r,s,q})\supset \mathrm{LFR}(L_r+L_s)$ и $\mathrm{LFR}(L_r+L_s)= [r,s]$ (см. [12; пример 2], а также [2]), получаем последнее утверждение леммы. Лемма 2. Пусть $p>0$, $1\leqslant q<\infty$ и $X_k$, $Y_k$ – квазибанаховы функциональные решетки, $k=1,2,\dots$ . Тогда, если $Z:=(\,\sum_{k=1}^\infty \oplus (X_k+Y_k))_q$, то $Z^{(p)}=(\,\sum_{k=1}^\infty \oplus (X_k^{(p)}+Y_k^{(p)}))_{pq}$. Доказательство. Прежде всего, легко проверить, что Поэтому лемма будет доказана, если показать, что для любых квазибанаховых функциональных решеток $X$ и $Y$ выполнено с константами эквивалентности квазинорм, не зависящих от решеток $X$ и $Y$. В силу [13; лемма 3.3] (в банаховом случае см. также [14; лемма 1] и [9; предложение 3.1.15]) справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\|z\|_{X+Y}=\inf\{\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}:|z| \leqslant x+y,0\leqslant x\in X,0\leqslant y\in Y\} .
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, предполагая, что $p\geqslant 1$ (случай, когда $0<p<1$, рассматривается совершенно аналогично), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|z\|_{(X+Y)^{(p)}}^p&=\||z|^{p}\|_{X+Y}^p= \inf\{(\|x\|_{X}+\|y\|_{Y})^p:|z|^{p} \leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\geqslant \inf\{(\|x\|_{X}+\|y\|_{Y})^p:|z| \leqslant x^{1/p}+y^{1/p},\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &=\inf \{(\|x\|_{X^{(p)}}+\|y\|_{Y^{(p)}})^p:|z| \leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X^{(p)},\,0\leqslant y\in Y^{(p)}\} \\ &=\|z\|_{X^{(p)}+Y^{(p)}}^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наоборот,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(2\|z\|_{X^{(p)}+Y^{(p)}})^p \\ &\qquad=\inf \{(\|x\|_{X^{(p)}}+ \|y\|_{Y^{(p)}})^p:2|z| \leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X^{(p)},\,0\leqslant y\in Y^{(p)}\} \\ &\qquad=\inf \{(\|x\|_{X}^{1/p}+\|y\|_{Y}^{1/p})^p: 2|z| \leqslant x^{1/p}+y^{1/p},\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\qquad\geqslant \inf\{(\|x\|_{X}^{1/p}+\|y\|_{Y}^{1/p})^p: |z| \leqslant \max(x^{1/p},y^{1/p}),\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\qquad\geqslant \inf\{(\|x\|_{X}+\|y\|_{Y})^p:|z|^{p}\leqslant x+y,\,0\leqslant x\in X,\,0\leqslant y\in Y\} \\ &\qquad=\|z\|_{(X+Y)^{(p)}}^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым получаем (5), и, таким образом, ввиду соотношения (4) лемма доказана. 4. Доказательство теоремы 1Нам понадобятся два предложения. Первое из них показывает, что при подходящем выборе параметров пространство $L_{p,q}$ может быть решеточно изоморфно вложено в $l_q$-сумму пространств $L_r+L_s$ (см. [15; следствие 1] или [16; следствие 5.3]). Предложение 1. Для любых $1\leqslant r<p< s<\infty$ и $1\leqslant q<\infty$ пространство $L_{p,q}$ решеточно изоморфно некоторому подпространству пространства $l_q(L_r+L_s)$. Доказательство. Для произвольных $1\leqslant r<p< s<\infty$ и $1\leqslant q<\infty$ справедливо равенство (2), где $(L_r,L_s)_{\theta,q}$ – пространство вещественного метода интерполяции, построенное по паре $(L_r,L_s)$ (см. п. 2.2). Поэтому, если $K(t,\,\cdot\,;L_r,L_s)$ – соответствующий $K$-функционал, то с константами, зависящими от $p$, $q$, $r$ и $s$. Пусть $t>0$. Обозначим через $L_r+tL_s$ сумму $L_r+L_s:=(L_r+L_s)(0,\infty)$ с нормой $f\mapsto {\mathcal K}(t,f;L_r,L_s)$. Очевидно, что по определению ${\mathcal K}$-функционала для произвольных $t>0$ и $\lambda>0$
$$
\begin{equation*}
{\mathcal K}(t,f;L_r,L_s)=\inf\{\lambda^{1/r}\|g(\lambda x)\|_r+ t\lambda^{1/s}\|h(\lambda x)\|_s:f=g+h\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая $\lambda=t^{rs/(s-r)}$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K(t,f;L_r,L_s)&=\lambda^{1/r}\inf\{\|g(\lambda x)\|_r+ \|h(\lambda x)\|_s:\,f=g+h\} \\ &=t^{s/(s-r)}K(1,f(\lambda\cdot);L_r,L_s). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
t^{-\theta}{\mathcal K}(t,f;L_r,L_s)=t^{s/(s-r)-\theta}{\mathcal K}(1,f(t^{rs/(s-r)}\,\cdot\,);L_r,L_s).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\|g\|_{L_r+L_s}={\mathcal K}(1,g;L_r,L_s)$, то отображение
$$
\begin{equation*}
f(\,\cdot\,)\mapsto t^{s/(s-r)-\theta}f(t^{rs/(s-r)}\,\cdot\,)
\end{equation*}
\notag
$$
является изометрией пространства $t^{-\theta}(L_r+tL_s)$ на пространство $L_r+L_s$ для каждого $t>0$. Таким образом, пространства
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (2^{-n\theta}(L_r+2^n L_s)\biggr)_q\qquad\text{и}\qquad \biggl(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (L_r+L_s)\biggr)_q
\end{equation*}
\notag
$$
изометрически изоморфны. Тем самым, учитывая (6), заключаем, что $L_{p,q}$ изометрически вложено в пространство $(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (L_r+L_s))_q$. Более того, как нетрудно видеть, соответствующее отображение сохраняет решеточную структуру. В итоге, так как пространство $(\,\sum_{n\in\mathbb{Z}} \oplus (L_r+L_s))_q$ решеточно изометрично пространству $l_q(L_r+L_s)$, предложение доказано. Предложение 2. Пусть $1\leqslant r\leqslant s<2r$, $s<q<\infty$. Тогда, если $d\in (s,q)$, то $d\notin \mathrm{LFR}(l_q(L_r+L_s))$. Доказательство. Предположим, что $d\in \mathrm{LFR}(l_q(L_r+L_s))$. Простая проверка показывает, что тогда $2d/s\in \mathrm{LFR}((l_q(L_r+L_s))^{(2/s)})$, и, значит, по лемме 2 $2d/s\in \mathrm{LFR}(l_{2q/s}(L_{2r/s}+L_2))$. Так как $1\leqslant r\leqslant s<2r$, то $1<{2r/s}\leqslant 2$. Следовательно, согласно [1; § 8] (см. также [17; теорема 3.2] или [18] для более общих результатов об изоморфизмах между симметричными пространствами на $[0,1]$ и $(0,\infty)$) пространство $L_{2r/s}+L_2$ изоморфно пространству $L_{2r/s}[0,1]$. Таким образом, $l_{2d/s}$ финитно грубо представимо (возможно, не решеточно) в пространстве $l_{2q/s}(L_{2r/s}[0,1])$. Заметим, что $2d/s>2$, и, значит, канонический базис в $l_{2d/s}$ является $2$-выпуклым. Поэтому, так как $c_0$ не представимо (финитно) в $l_{2q/s}(L_{2r/s}[0,1])$, можно применить лемму 10.5 из [1], согласно которой $l_{2d/s}$ грубо решеточно финитно представимо в этом пространстве. Тем самым, как и ранее, $2d/r\in \mathrm{LFR}((l_{2q/s}(L_{2r/s}[0,1]))^{(s/r)})$, т.е. по лемме 2 получаем, что $2d/r\in \mathrm{LFR}(l_{2q/r}(L_{2}[0,1]))$. Как нетрудно видеть, последнее пространство изоморфно вложено в пространство $L_{2q/r}:=L_{2q/r}(0,\infty)$. Действительно, во-первых, ясно, что $l_{2q/r}(L_{2}[0,1])$ изоморфно $l_{2q/r}(l_{2})$. Далее, определим отображение $T\colon l_{2q/r}(l_{2})\to L_{2q/r}$ следующим образом: если $(a^k)_{k=1}^\infty\in l_{2q/r}(l_{2})$ (т.е. $a^k=(a_i^k)_{i=1}^\infty\in l_2$, $k=1,2,\dots$), то
$$
\begin{equation*}
T((a^k))(t):=\sum_{k=1}^\infty\, \sum_{i=1}^\infty a_i^k r_i(t-k+1)\chi_{(k-1,k]}(t),\qquad t>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $r_i$ – обычные функции Радемахера, т.е. $r_i(t):=\operatorname{sign}\sin (2^i\pi t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$. Тогда в силу неравенства Хинчина (см., например, [19; теорема V.8.4])
$$
\begin{equation*}
\|T((a^k))\|_{2q/r}^{2q/r}=\sum_{k=1}^\infty\int_{k-1}^k \biggl|\sum_{i=1}^\infty a_i^kr_i(t-k+1)\biggr|^{2q/r}\,dt \asymp \sum_{k=1}^\infty\|a^k\|_{l_2}^{2q/r}= \|(a^k)\|_{l_{2q/r}(l_{2})}^{2q/r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, сформулированное выше утверждение доказано, и в итоге $l_{2d/r}$ финитно грубо представимо в $L_{2q/r}$. Замечая, что $2d/r>2$, и применяя еще раз [1; лемма 10.5], заключаем, что, более того, $l_{2d/r}$ решеточно финитно грубо представимо в $L_{2q/r}[0,1]$, откуда следует: $d=q$. Так как это противоречит условию, утверждение доказано. Доказательство. Так как утверждение очевидно в случае, когда $p=q$ (см., например, [20; предложение 6.4.1]), будем считать, что $p<q$. Выберем $r$ и $s$ так, чтобы выполнялись неравенства $1\leqslant r<p<s<2r$ и $s<q<\infty$. Тогда в силу предложения 1 пространство $L_{p,q}$ решеточно изоморфно некоторому подпространству пространства $l_q(L_r+L_s)$. Поэтому, применяя лемму 1 и предложение 2, получаем, что $\mathrm{LFR}(L_{p,q})\subset [r,s]\cup\{q\}$. Так как $r$ и $s$ можно взять сколь-угодно близкими к $p$, отсюда следует, что $\mathrm{LFR}(L_{p,q})\subset\{p,q\}$. Наоборот, хорошо известно, что всякая последовательность нормированных, попарно дизъюнктных функций в $L_{p,q}$ содержит подпоследовательность, эквивалентную каноническому базису пространства $l_q$ (см. [4; предложение 1] или [21; теорема 5.1]). Таким образом, $q\in \mathrm{LFR}(L_{p,q})$. Кроме того, в силу варианта теоремы Кривина для симметричных пространств [5; теорема 2.b.6] (доказательство этого результата, а также более общие утверждения см. в работах [12] и [2]) $l_p$ симметрично финитно представимо в $L_{p,q}$ (см. раздел 1). Следовательно, $p\in \mathrm{LFR}(L_{p,q})$, и теорема доказана. Доказательство теоремы 1. Прежде всего, ясно, что пространство $L_{p,q}[0,1]$ решеточно изометрично подпространству пространства $L_{p,q}$, состоящему из всех функций $f\in L_{p,q}$ таких, что $f(t)=0$ при $t\geqslant 1$. Поэтому в силу теоремы 2 Что касается противоположного вложения, то, как и в доказательстве теоремы 2, оно следует из [4; предложение 1] и [5; теорема 2.b.6] (см. также [3]). В заключение сформулируем естественный вопрос, который пока остается без ответа. Вопрос. Верно ли, что $\mathrm{LFR}(L_{p,q}[0,1])=\{p,q\}$, если $1\leqslant q<p<\infty$?
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ast23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|