| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О равенстве размерностей для некоторых паракомпактных И. М. Лейбо Московский центр непрерывного математического образования
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030215 
Реферативные базы данных:
  ВведениеВ данной работе, если не оговорено противное, все рассматриваемые пространства будем считать нормальными $T_1$-пространствами, все отображения непрерывными, все пространства конечномерными в смысле $\operatorname{Ind}$ ($\operatorname{Ind}X <{\infty}$, поэтому $\operatorname{dim}X\leqslant \operatorname{Ind}X$ [1; неравенство Веденисова] и, таким образом, $\operatorname{dim}X<{\infty})$. В этой работе существенным является понятие сети, введенное профессором Архангельским [2], [3]: система множеств $\mu=\{F_\alpha\}$ в пространстве $X$ называется сетью, если для каждой точки $x\in X$ и каждой окрестности $Ox$ точки $x\in X$ существует элемент $F_\alpha\in \mu$ такой, что выполняется $x \in F_\alpha \subseteq Ox$. Если в регулярном пространстве $X$ дана сеть $\mu$, то замыкания элементов сети $\mu$ тоже образуют сеть. Это позволяет нам в дальнейшем рассматривать сети, состоящие из замкнутых множеств. Существуют три основных размерностных инварианта $\operatorname{Ind}X$, $\operatorname{dim}X$, $\operatorname{ind}X$, соотношения между которыми для различных классов пространств представляют особый интерес. П. С. Урысон доказал равенства $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X =\operatorname{ind}X$ для метрических компактов, Л. А. Тумаркин и В. Гуревич доказали эти равенства для любых метрических пространств со счетной базой. Так как каждая база является сетью, то совершенно естественым является вопрос Архангельского о равенстве размерностей для пространств со счетной сетью. В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Пространство со счетной сетью и с несовпадающими размерностями построил М. Дж. Караламбус в аксиоматике ZFC. Архангельский уточнил свой вопрос: будут ли совпадать размерности для пространства со счетной сетью и с первой аксиомой счетности? В силу теоремы Архангельского пространства со счетной сетью и с первой аксиомой счетности всегда имеют семи-метрику, порождающую топологию исходного пространства, т.е. семи-метризуемы. В настоящей работе дан частичный положительный ответ на вопрос Архангельского, а именно, показано, что равенство $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X=\operatorname{ind}X$ выполняется для пространства со счетной сетью, с первой аксиомой счетности и с 1-непрерывной семи-метрикой, т.е. с некоторой такой семи-метрикой $d(x,y)$, которая непрерывна только по одной переменной. М. Катетов и К. Морита доказали равенство $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$ для любых метрических пространств. Автором [4] доказано равенство $\operatorname{Ind}X =\operatorname{dim}X$ для замкнутых образов метрических пространств. С. Ока показал, что $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$ для паракомпактных $\sigma$-пространств нульмерных в смысле $\operatorname{ind}$. Автор данной работы [5] и Ока доказали $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$ для специального класса кружевных пространств. Доказательство равенства $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X=\operatorname{ind}X$ для метрических пространств со счетной базой требует отдельных специальных методов и рассуждений [1; гл. 4, § 5]. Равенство $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$ для любых метрических пространств сводится к случаю равенства размерностей для пространств со счетной базой [4]. Все остальные выше перечисленные случаи равенства размерностей $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$ сводятся либо к случаю пространств со счетной базой, либо к случаю метрических пространств способом, указанным в работах [4], [5]. Архангельский в работе [2] ввел понятие пространств с $\sigma$-дискретной сетью и доказал их основные важные свойства. Окуяма рассмотрел пространства с $\sigma$-локально конечной сетью. Сивец и Нагата доказали, что если в пространстве $X$ имеется $\sigma$-консервативная сеть, то в нем имеется и $\sigma$-локально конечная сеть, и $\sigma$-дискретная сеть. Таким образом, классы пространств, введенных Архангельским и Окуямой, совпадают и называются $\sigma$-пространствами. Свойства $\sigma$-пространств и паракомпактных $\sigma$-пространств подробно изложены в работе Архангельского [3]. В данной работе доказывается равенство размерностей $\operatorname{dim}X$ и $\operatorname{Ind}X$ для паракомпактных $\sigma$-пространств с первой аксиомой счетности и с 1-непрерывной семи-метрикой (семи-метрика $d(x,y)$ $1$-непрерывна на пространстве $X$, если функция $d(x,y)$ непрерывна только по одной переменной [6]). В качестве следствия получаем частичный положительный ответ на вопрос Архангельского. Для пространств Нагаты (т.е. кружевных пространств с первой аксиомой счетности), имеющих 1-непрерывную семи-метрику, совпадение размерностей было доложено на Международной конференции по теоретико-множественной топологии и топологической алгебре, посвященной 80-летию профессора А. Архангельского [7]. 1. Основные определения, известные факты, вспомогательные утвержденияВ данной работе основным результатом является теорема 2.15. Для доказательства теоремы 2.15 нам потребуется доказать теорему 1.17, к которой сводится теорема 2.15 и которая, на наш взгляд, представляет самостоятельный интерес. Нам при этом потребуются следующие определения и результаты. Определение 1.1 [5], [8]. Для пространства $Z$ размерности $\operatorname{Ind}Z=n$ мы будем говорить, что замкнутое в $Z$ множество $F$ и его открытая окрестность $OF$ определяют размерность $\operatorname{Ind}Z$ пространства $Z$, если для каждой открытой окрестности $U$ множества $F$ такой, что $F\subseteq U\subseteq \overline{U} \subseteq OF$, имеем $\operatorname{Ind}\operatorname{Fr}U \geqslant n-1$. Далее мы будем придерживаться терминологии, используемой в работе [8]. Определение 1.2 [8], [5]. Некоторый набор $\varphi=\{F_{\alpha}, OF_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ замкнутых в пространстве $Z$ множеств $F_{\alpha}$ и их открытых окрестностей $OF_{\alpha}$ мы будем называть всюду $f$-системой (соответственно $f$-системой), если для каждого (соответственно каждого замкнутого) множества $M$, $M \subseteq Z$, существует такой индекс $\alpha_0\in A$, что пара $\{M \cap F_{\alpha_0},\,M \cap OF_{\alpha_0}\}$ определяет размерность $\operatorname{Ind}M$. В определении 1.2 в случае, если от пространства $Z$ требуется только нормальность, то система открытых множеств $\{OF_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ предполагается $\sigma$-дискретной в $Z$. В случае, если пространство $Z$ – паракомпактное $\sigma$-пространство, то система открытых множеств $\{OF_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ предполагается не только $\sigma$-дискретной, но и $\sigma$-локально конечной в $Z$ (следствие 1.11). Определение 1.3 [8]. Пространство $X$, имеющее всюду $f$-систему, мы будем называть всюду $f$-пространством, а пространства, имеющее $f$-систему, будем называть $f$-пространствами. Отметим, что в работе [8] наше пространство $X$, имеющее $f$-систему, называлось $F$-пространством. Однако термин “$F$-пространство” уже “занят” определенным подклассом линейных метрических пространств, давно называемых $F$-пространствами. Поэтому мы будем использовать термин $f$-пространство. Понятие $f$-пространства позволяет дать следующее достаточное условие для совпадения размерностей $\operatorname{Ind}X$ и $\operatorname{dim}X$ в нормальном пространстве $X$. Теорема 1.4 [5], [8]. Если $X$ является $f$-пространством, то выполняется равенство $\operatorname{Ind}X =\operatorname{dim}X$. В случае наследственно нормального пространства теорема 1.4 может быть уточнена следующим образом: Теорема 1.5 [5]. Если $X$ – наследственно нормальное пространство и $X$ является всюду $f$-пространством, то следующие условия эквивалентны: Полезно сравнить с [1; гл. 6, теорема 10]. Теорема 1.6 [5]. Если $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство и $X$ – всюду $f$-пространство, то следующие условия эквивалентны: Полезно сравнить с [1; гл. 6, теорема 11]. Определение 1.7 [5]. Мы будем называть замкнутую сеть $\gamma=\{F_{\alpha}\}$ в пространстве $Y$ $S$-сетью, если для любого замкнутого множества $F \subseteq Y$ и любой его открытой окрестности $OF$ существует такая подсистема $\gamma (F)$ сети $\gamma$, что объединение всех элементов подсистемы $\gamma (F)$, т.е. множество $\bigcup \gamma(F)$ замкнуто в $Y$ и $F\subseteq \bigcup \gamma (F)\subseteq OF$. Часто удобнее пользоваться этим определением в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
Y \setminus OF \subseteq \bigcup \gamma (Y\setminus OF)\subseteq Y \setminus F.
\end{equation*}
\notag
$$
Понятие $S$-сети независимо от автора [5] ввел Ока. Пространство, которое имеет $\sigma$-консервативную $S$-сеть, мы будем называть $S$-пространством. Следующее утверждение вытекает из определения базы пространства $X$. Лемма 1.8. Пусть $\gamma=\{F_\alpha\}$ – $\sigma$-дискретная сеть в пространстве $X$, и пусть для каждой открытой окрестности $UF_\alpha$ существует открытая окрестность $OF_\alpha$ такая, что Тогда $\operatorname{Ind}X \leqslant n$. Доказательство. Пусть $A$ и $B$ – два непустых непересекающихся замкнутых множества в пространстве $X$. Все элементы сети $F_\alpha$, которые пересекаются не более чем с одним из множеств $A$ или $B$, образуют покрытие пространства $X$, и каждый имеет окрестность $OF_\alpha$, которая тоже пересекается не более чем с одним из множеств $A$ или $B$ и $\operatorname{Ind}\operatorname{Fr} OF_\alpha \leqslant n-1$. Ясно, что систему $\{OF_\alpha\}$ можно считать $\sigma$-дискретной. Поэтому мы можем применить лемму Веденисова [1], [9; лемма 2.3.16] и по теореме суммы для размерности $\operatorname{Ind}$ получим перегородку между множествами $A$ и $B$ нужной размерности. Поэтому $\operatorname{Ind}X \leqslant n$. Напомним, что паракомпактное $\sigma$-пространство является наследственно паракомпактным, наследственно $\sigma$-пространством и совершенно нормальным. Ясно [10], что если система открытых множеств $\{O_\alpha\}$ является $\sigma$-локально конечной в пространстве $X$, то система замкнутых множеств $\{F_\alpha\}$ $\sigma$-консервативна в $X$, где $F_\alpha =X \setminus O_\alpha$. Ока [11; лемма 3.2] доказал следующее. Теорема 1.9 [11; лемма 3.2]. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство, и пусть $\Im= \{\Im_i\}$ – $\sigma$-консервативная система замкнутых множеств в $X$ (для каждого $i=1,2,\dots$ система замкнутых множеств $\Im_i$ консервативна в $X)$. Тогда существует такое метрическое пространство $M$ и такое уплотнение $f\colon X\to M$, что $f(F)$ замкнуто в $M$ для каждого $F\in \Im$ и $f(\Im_i)$ консервативна в $M$ для каждого $i=1,2\dots$ . Из теоремы 1.9 непосредственно вытекает Следствие 1.10. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство, и пусть система открытых множеств $\{O_\alpha\}$ является $\sigma$-локально конечной в пространстве $X$, пусть для каждого $\alpha$ замкнутое множество $F_\alpha \subseteq O_\alpha$. Тогда существует такое метрическое пространство $M$ и такое уплотнение $\psi \colon X\to M$, что $\psi(O_\alpha)$ открыто в $M$, а $\psi(F_\alpha)$ замкнуто в $M$ и $\psi(F_\alpha)\subseteq \psi(O_\alpha)$ для каждого $\alpha$. Из следствия 1.10 и работы [4] непосредственно вытекает следующее утверждение, показывающее, что $f$-система, достаточная для совпадения размерностей $\operatorname{dim}X$ и $\operatorname{Ind}X$, может быть не только $\sigma$-дискретной [4], [5], но и $\sigma$-локально конечной. Следствие 1.11. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство, и пусть в $X$ существует $f$-система $\varphi=\{F_{\alpha}, OF_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ замкнутых в пространстве $X$ множеств $F_{\alpha}$ и их открытых окрестностей $OF_{\alpha}$, где система $\{OF_{\alpha}\}$ $\sigma$-локально конечна в $X$. Тогда $\operatorname{dim}X=\operatorname{Ind}X$. Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы 1 работы [4]. В силу следствия 1.11 выполняется утверждение 1 из указанной работы [4], а также выполняется утверждение 2 из этой работы. Далее используем факторизационную теорему Пасынкова [1; гл. 6, § 4] и равенство $\operatorname{dim}=\operatorname{Ind}$ для метрических пространств аналогично работе [4]. Следствие 1.11 необходимо для доказательства теоремы 1.17, а именно, в условиях теоремы 1.17 в пространстве $X$ будет построена $\sigma$-локально конечная в пространстве $X$ некоторая $f$-система и, таким образом, доказано равенство $\operatorname{dim}X=\operatorname{Ind}X$. Для доказательства теоремы 1.17 потребуется еще понятие семи-канонического пространства, которое по сути определил в своей работе Дугунджи [12]. Он же в этой работе показал его основные свойства. Коти для таких пространств ввел термин семи-канонические пространства. Определение 1.12. Пусть $A$ – замкнутое подмножество пространства $X$. Тогда пара $(X,A)$ называется семи-канонической, если существует открытое покрытие $\omega$ открытого множества $X\setminus A$ такое, что для каждой открытой окрестности $OA$ множества $A$ существует открытая окрестность $UA\subseteq OA$ такая, что если элемент покрытия $G \in \omega$ и $G \cap UA \neq \varnothing$, то $G \subseteq OA$. Если для каждого замкнутого подмножества $A$ пространства $X$ пара $(X,A)$ является семи-канонической, то такое пространство $X$ называется семи-каноническим пространством. Указанное в определении 1.12 покрытие $\omega$ мы будем называть семи-каноническим для пары $(X,A)$. Замечание 1.13 (свойство семи-канонического покрытия $\omega$). Обозначим $X\setminus OA$ через $B$. Если элемент покрытия $G \in \omega$ таков, что $G \cap B\neq \varnothing$, то $G \cap UA= \varnothing$, т.е. $\overline{G} \cap A= \varnothing$. Так как в определении 1.12 окрестность $OA$ множества $A$ любая, то для каждого $G \in \omega$ имеем $\overline{G} \cap A=\varnothing$. Если $\omega$ локально конечна на $X\setminus A$, то, как вытекает из определения 1.12, система $\{G\colon G \cap B\neq \varnothing\}$ уже локально конечна во всем пространстве $X$. Тогда $A\cap \overline{\mathrm{st}(B, {\omega})}=\varnothing$. Из замечания 1.13 вытекает Следствие 1.14. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство, пусть $A$ и $B$ – два непересекащиеся в $X$ замкнутых множества, и пусть $\omega$ – семи-каноническое для пары $(X,A)$ покрытие. Если для каждого $G \in \omega$ граница $G$ имеет надлежащую размерность (например, $\operatorname{Ind}\operatorname{Fr} G \leqslant n-2$) и $\omega$ локально конечна на $X \setminus A$, то между множествами $A$ и $B$ можно провести перегородку $L$ надлежащей размерности ($\operatorname{Ind}L \leqslant n-2$). Доказательство. Следствие 1.14 легко получается из замечания 1.13: это следует из того, что $L\subseteq \bigcup \{\operatorname{Fr}G\colon G \in \omega,\, G \cap B \neq \varnothing\}$, и теоремы суммы для размерности $\operatorname{Ind}$ для локально конечной системы замкнутых множеств в паракомпактных $\sigma$-пространствах. Следствие 1.14 будет использовано при доказательстве теоремы 1.17. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство. Пусть в пространстве $X$ выбрана некоторая $\sigma$-дискретная сеть из замкнутых множеств $\gamma=\{F_{\alpha} \colon \alpha \in A,\,A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\}$, система $\gamma_i=\{F_{\alpha}\colon \alpha \in A_{i}\}$ дискретна в $X$ для каждого $i=1,2, \dots$. Пусть $F_i=\bigcup \{F_{\alpha},\,\alpha \in A_{i}\}$ для данной сети $\gamma$. Определение 1.15. Паракомпактное $\sigma$-пространство $X$ мы будем называть почти семи-каноническим, если каждая пара $(X,F_{i})$ является семи-канонической. Класс почти семи-канонических пространств достаточно широк. Так, в него входят все метрические пространства и их замкнутые образы. Ниже мы покажем, что в него входят и паракомпактные $\sigma$-пространства с первой аксиомой счетности и 1-непрерывной семи-метрикой, а следовательно, и пространства Нагаты с 1-непрерывной семи-метрикой. Однако, как следует из работы Сан Он, кружевное пространство в общем случае не обязано быть почти семи-каноническим. В качестве полезного примера рассмотрим следующее утверждение. Доказательство. Пусть $A$ – замкнутое подмножество пространства $X$. У каждой точки $x \in X \setminus A$ расстояние от точки $x \in X \setminus A$ до замкнутого множества $A$ положительно $\rho(x,A)>0$. Пусть $r(x)=\rho (x,A)/4$. Положим $\omega=\{O_{r(x)}x\colon x \in X \setminus A\}$. Покажем, что открытое покрытие $\omega$ является семи-каноническим для пары $(X,A)$. Пусть $B$ – любое замкнутое подмножество пространства $X$ такое, что $A \cap B=\varnothing$. У каждой точки $y \in A$ возьмем окрестность $O_{r(y)} y$, где $r(y)=\rho (y,B)/4$. Пусть $OA=\bigcup \{O_{r(y)}y\colon y \in A\}$. Из неравенства треугольника в метрическом пространстве $X$ следует, что если $OA\cap O_{r(x)} x\neq \varnothing$, то $B\cap O_{r(x)}x=\varnothing$. Поэтому открытое покрытие $\omega$ является семи-каноническим для пары $(X,A)$. Утверждение доказано. Теорема 1.17. Пусть $X$ – почти семи-каноническое пространство. Тогда в пространстве $X$ существует $f$-система и всюду $f$-система, а также пространство $X$ является $S$-пространством. Данная теорема была подробно доложена автором на “Международной конференции по топологии и ее приложениям, посвященная 100-летию со дня рождения Ю. М. Смирнова” (20–21 сентября 2021 г., Москва, Россия). Напомним, что в силу определения 1.15 пространство $X$ является паракомпактным $\sigma$-пространством. Доказательство теоремы 1.17. Пусть $\operatorname{Ind}X=n$. Для построения $f$-системы нам понадобится лемма 1.8, следствие 1.14, теоремы 1.4–1.6. Для наглядности проведем полное доказательство для случая счетной сети. Лемма 1.18. Пусть $X$ – почти семи-каноническое пространство со счетной сетью. Тогда в пространстве $X$ существует $f$-система. Доказательство. В пространстве $X$ есть счетная сеть из замкнутых множеств $\gamma=\{F_{i}\colon i \in \mathbb N\}$. Для каждого $i\in \mathbb N$ пара $(X,F_{i})$ является семи-канонической, т.е. существует семи-кононическое открытое покрытие $\omega_i$ открытого множества $X\setminus F_{i}$. Фиксируем $i \in \mathbb N$. Для каждой открытой окрестности $OF_{i}$ существует открытая окрестность $U F_{i} \subseteq OF_{i}$ такая, что если элемент покрытия $G \in \omega_i$ такой, что $G \cap UF_{i} \neq \varnothing$, то $G \subseteq OF_{i}$. Так как пространство $X$ наследственно паракомпактно, то мы можем вписать в $\omega_i$ открытое локально конечное на $X \setminus F_{i}$ покрытие $X\setminus F_{i}$. Чтобы не усложнять обозначения, будем считать, что $\omega_i$ локально конечное на $X \setminus F_{i}$ покрытие $X \setminus F_{i}$. Существует [3] уплотнение пространства $X$ на метрическое пространство $M$ (расстояние в нем $\rho$) $f\colon X \to M$ такое, что $f(F_{i})=D_{i}$ замкнуто в $M$. У каждой точки $m \in M \setminus D_{i}$ расстояние от точки $m \in M \setminus D_{i}$ до замкнутого множества $D_{i}$ положительно $\rho (m, D_{i} )>0$. Пусть $r(m)= \rho (m, D_{i})/4$. Положим $\vartheta=\{O_{r(m)}m\colon m \in M \setminus D_{i}\}$. В силу утверждения 1.16 открытое покрытие $\vartheta$ семи-каноническое. Открытое покрытие $\vartheta$ множества $M \setminus D_{i}$ имеет в силу неравенства треугольника еще одно свойство. Пусть точка $d\in D_{i}$, и пусть тогда имеет местоСвойство 1.19. Для каждого элемента покрытия $O_{r(m)}m$ из открытого покрытия $\vartheta (m\in M \setminus D_{i})$ существует $n\in \mathbb N$ такое, что $O_{r(m)} m \cap O_n D_{i}=\varnothing$. Кроме того, В открытое покрытие $\vartheta$ открытого множества $M \setminus D_{i}$ впишем локально конечное на множестве $M \setminus D_{i}$ открытое покрытие $\vartheta_1$. Пусть $\omega=\omega_i \wedge f^{-1}(\vartheta_1)$. Тогда $\omega$ – локально конечное на $X \setminus F_{i}$ семи-кононическое открытое покрытие открытого множества $X \setminus F_{i}$. Пусть $\omega=\{V_{\beta}\colon \beta\in B\}$. В силу замечания 1.13 для каждого $V_{\beta} \in \omega$ имеем $\overline{V_{\beta}} \cap F_{i}=\varnothing$. В покрытие $\omega$ можно канонически вписать замкнутое покрытие $K_{\beta} \subseteq V_{\beta}$, где $K_{\beta}$ замкнуто в пространстве $X$. Получили для данного $i\in \mathbb N$ систему ${\varphi}^{\circ}_i=\{K_{\beta},V_{\beta}\}$ замкнутых в $X$ множеств и их открытых окрестностей. Предположим, что система ${\varphi}^{\circ}_i$ не определяет размерность $\operatorname{Ind}X$, тогда для каждого $K_{\beta}$ существует открытая окрестность $WK_{\beta}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
K_{\beta} \subseteq W K_{\beta} \subseteq \overline{WK_{\beta}} \subseteq V_{\beta}, \qquad \operatorname{Ind}\operatorname{Fr}W K_{\beta} \leqslant n-2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу следствия 1.14 между множествами $F_{i}$ и $X \setminus OF_{i}$ можно провести перегородку $L$ такую, что $\operatorname{Ind}L \leqslant n-2$. Так как окрестность $OF_{i}$ выбирается произвольно для каждого $F_{i} \in \gamma$, то по лемме 1.8 $\operatorname{Ind}X \leqslant n-1$, но у нас $\operatorname{Ind}X=n$. Противоречие. Получили, что счетная система ${\varphi}^{\circ}_i$, $i=1,2,\dots$, замкнутых в $X$ множеств и их открытых окрестностей определяет размерность $\operatorname{Ind}X$. К сожалению, счетная система замкнутых множеств и их окрестностей ${\varphi}^{\circ}_i$, $i=1,2,\dots$, хотя и определяет размерность $\operatorname{Ind}X$, не может входить в $\sigma$ локально конечную систему, являющуюся $f$-системой, так как $\omega$, а следовательно, и система $\{V_{\beta}\}$ локально конечна не во всем пространстве $X$. Построим для данного $i\in \mathbb N$ на основе системы ${\varphi}^{\circ}_i$ счетное число систем замкнутых множеств и их открытых окрестностей, где каждая система будет локально конечна в $X$. А именно, для каждого $n\in \mathbb N$ положим
$$
\begin{equation*}
{\varphi}^{\circ}_{in}=\bigl\{K_{\beta} \setminus f^{-1}(O_n D_{i}),\, V_{\beta} \setminus f^{-1}(\overline{O_{n+1}{D_{i}}})\bigr\}, \qquad n=1,2,\dotsc\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Счетная система замкнутых множеств и их окрестностей ${\varphi}^{\circ}_{in}$, $i,n=1,2,\dots$, локально конечная во всем пространстве $X$ при каждом $i,n \in \mathbb N$, и если она не определяет размерность $\operatorname{Ind}X$, то в силу свойства 1.19 и следствия 1.14 между множествами $F_{i}$ и $X \setminus OF_{i}$ можно провести перегородку $L$ такую, что $\operatorname{Ind}L \leqslant n-2$. Так как окрестность $OF_{i}$ выбирается произвольно для каждого $F_{i} \in \gamma$, то по лемме 1.8 $\operatorname{Ind}X \leqslant n-1$, но у нас $\operatorname{Ind}X=n$. Получили противоречие. Таким образом, локально конечная в $X$ счетная система замкнутых множеств и их окрестностей ${\varphi}^{\circ}_{in}$, $i,n=1,2,\dots$, определяет размерность $\operatorname{Ind}X$, т.е. является локально конечной $f$-системой. Отметим, что в силу следствия 1.11 имеем $\operatorname{dim}X=\operatorname{Ind}X$. Лемма 1.18 доказана. Вернемся к доказательству теоремы 1.17. В пространстве $X$ есть $\sigma$-дискретная сеть из замкнутых множеств
$$
\begin{equation*}
\gamma=\biggl\{F_{\alpha}\colon \alpha \in A,\, A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
система $\gamma_i=\{F_{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ дискретна в $X$ для каждого $i=1,2, \dots$, $F_i=\bigcup \{F_{\alpha}, \alpha\in A_{i}\}$. Для каждого $i\in \mathbb N$ существует дискретная в $X$ система открытых окрестностей $\{OF_{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ и существует система открытых окрестностей $\{O_1 F_{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
F_{\alpha} \subseteq O_1 F_{\alpha} \subseteq \overline{O_1F_{\alpha}} \subseteq OF_{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пара $(X,F_{i})$ является семи-канонической, т.е. существует семи-кононическое открытое покрытие $\omega_i$ открытого множества $X \setminus F_{i}$. Тогда пара $(F_{\alpha},X \setminus OF_{\alpha})$ семи-каноническая для каждого $\alpha$, т.е. существует открытое покрытие $\omega$ открытого множества $X \setminus F_{\alpha}$ и существует открытая окрестность $UF_{\alpha} \subseteq OF_{\alpha}$ такие, что если элемент покрытия $G \in \omega$ такой, что $G \cap U F_{\alpha} \neq \varnothing$, то $G \subseteq OF_{\alpha}$. Открытое покрытие $\omega$ получим следующим образом: положим
$$
\begin{equation*}
\omega^1_i=\Bigl\{\Bigl\{G \setminus\Bigl(\bigcup \overline{O_1F_{\alpha}}\Bigr) \Bigr\}\cup \{G \cap OF_{\alpha}\}\colon G \in \omega_i,\, \alpha \in A_{i}\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\omega=\omega^1_i \cup \{OF_{\beta}\colon \beta \neq \alpha,\, \beta \in A_{i}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\omega=\{V_{\beta}\colon \beta \in B\}$. Проведем рассуждения для конкретного $\alpha\in A_{i}$. В $\omega$ можно вписать открытое локально конечное на $X \setminus F_{\alpha}$ покрытие пространства $X \setminus F_{\alpha}$. Поэтому будем считать, что $\omega$ локально конечно на $X \setminus F_{\alpha}$. В силу замечания 1.13 для каждого $V_{\beta} \in \omega$ имеем $\overline{V_{\beta}} \cap F_{\alpha}=\varnothing$. В покрытие $\omega$ можно канонически вписать замкнутое покрытие $K_{\beta} \subseteq V_{\beta}$, где $K_{\beta}$ замкнуто в пространстве $X$. Получили систему ${\varphi}^{\circ}=\{K_{\beta},V_{\beta}\}$ замкнутых множеств и их окрестностей. Предположим, что система ${\varphi}^{\circ}$ не определяет размерность $\operatorname{Ind} X$, тогда для каждого $K_{\beta}$ существует окрестность $WK_{\beta}$ такая, что
$$
\begin{equation*}
K_{\beta} \subseteq WK_{\beta} \subseteq \overline{WK_{\beta}} \subseteq V_{\beta}, \qquad \operatorname{Ind}\operatorname{Fr}W K_{\beta} \leqslant n-2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу следствия 1.14 между множествами $F_{\alpha}$ и $X \setminus OF_{\alpha}$ можно провести перегородку $L$ такую, что $\operatorname{Ind}L \leqslant n-2$. Замечание 1.20. Отметим, что перегородка $L$ между множествами $F_{\alpha}$ и $X \setminus OF_{\alpha}$ лежит в $\bigcup \operatorname{Fr}W K_{\beta}$ только для тех $\beta \in B$, что $V_{\beta} \in \omega^1_i$. Пусть $VF_{\alpha}$ – любая окрестность $F_{\alpha}$; рассмотрим окрестность $VF_{\alpha} \cap OF_{\alpha}$, которую обозначим через $WF_{\alpha}$. Аналогично предыдущему в силу следствия 1.14 между множествами $F_{\alpha}$ и $X \setminus WF_{\alpha}$ можно провести перегородку $L$ такую, что $\operatorname{Ind}L \leqslant n-2$. Так как окрестность $WF_{\alpha}$ любая, то по лемме 1.8 $\operatorname{Ind}X \leqslant n-1$, но у нас $\operatorname{Ind}X=n$. Получили, что система ${\varphi}^{\circ}$ замкнутых в $X$ множеств и их открытых окрестностей определяет размерность $\operatorname{Ind} X$. К сожалению, система замкнутых множеств и их окрестностей ${\varphi}^{\circ}$, хотя и определяет размерность $\operatorname{Ind} X$, не может входить элементом в $\sigma$ локально конечную систему, являющуюся $f$-системой, так как $\omega$, а следовательно, и система $\{V_{\beta}\}$, локально конечна не во всем пространстве $X$. Но используя совершенную нормальность пространства $X$ (а именно, тот факт, что $F_{\alpha}$ есть $G_{\delta})$, на основе системы ${\varphi}^{\circ}$ стандартным образом (аналогично тому, как это было показано для случая счетной сети) легко построить счетный набор систем замкнутых в $X$ множеств и их открытых окрестностей, где каждый из наборов уже локально конечен во всем $X$ и этот счетный набор систем определяет размерность $\operatorname{Ind} X$. Построенная система $\omega^1_i$ общая для всех $\alpha\in A_{i}$. Поэтому в силу замечания 1.20 легко построить $\sigma$-локально конечную в $X$ $f$-систему (см. следствие 1.11). Так как любое подмножество $X$ – тоже паракомпактное $\sigma$-пространство, то, как в работе [8], легко показать, что построенная $\sigma$-локально конечная в $X$ $f$-система является всюду $f$-системой (определение 1.2). В силу теоремы 1.6 (пункт б) пространство $X$ является $S$-пространством. Теорема 1.17 доказана. 2. Основные теоремыОсновным результатом работы является теорема 2.15. Для сведения теоремы 2.15 к теореме 1.17 нам потребуются некоторые дополнительные понятия и результаты. Для пространства $X$ с первой аксиомой счетности Рид в работе [13] ввел понятие измельчающегося множества $M$ в пространстве $X$. Определение 2.1 [13]. Подпространство $M$ пространства $X$ с первой аксиомой счетности называется измельчающимся в пространстве $X$, если существует такая последовательность $\{G_i\colon i=1,2,3,\dots\}$ открытых покрытий пространства $X$, что для каждой точки $m \in M$ и каждой окрестности $Om$ в $X$ существует такой номер $n\in \mathbb N$, что $\mathrm{st}(m, G_n)\subseteq Om$, и для каждой точки $m \in M$ существует невозрастающая последовательность открытых в $X$ множеств $\{U_km \colon k=1,2,3,\dots\}$, которая является базой точки $m \in M$ в $X$ и такая, что $U_k m \in G_k$. Теорема 2.2 [13; лемма 1.2]. Если $K$ – дискретное подмножество пространства $X$ с первой аксиомой счетности, то $K$ – измельчающиеся в $X$ подмножество пространства $X$. Теорема 2.3 [13; лемма 1.4]. Если $K= \bigcup \{K_i \colon i=1,2,3,\dots\}$ – подмножество пространства $X$ с первой аксиомой счетности, и для каждого $i \in \mathbb N$ $K_i $ будет измельчающимся в $X$ подмножеством в пространстве $X$, то множество $K$ будет измельчающимся в $X$ подмножеством в пространстве $X$. Получаем очевидное Следствие 2.4. Если $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство с первой аксиомой счетности, то в $X$ имеется всюду плотное измельчающееся в $X$ муровское подпространство $M$ пространства $X$, а так как $X$ наследственно паракомпактно, то подпространство $M$ метризуемо. Для построения подпространства $M$ пространства $X$ в следствии 2.4 достаточно взять по одной точке в каждом элементе $\sigma$-дискретной сети пространства $X$. Построенное подпространство $M$ искомое. Построим теперь в паракомпактном $\sigma$-пространстве с первой аксиомой счетности пространстве $X$ метрическое подпространство $M$, которе будет всюду плотное не только в пространстве $X$, но и на каждом элементе $\sigma$-дискретной сети этого пространства. Теорема 2.5. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство с первой аксиомой счетности. Пусть в пространстве $X$ есть $\sigma$-дискретная сеть из замкнутых множеств система $\gamma_i=\{F_{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ дискретна в $X$ для каждого $i=1,2,\dots$. Тогда в $X$ существует такое метрическое подмножество $M$, что $M$ всюду плотно в $X$ и $M \cap F_{\alpha}$ всюду плотно в $F_{\alpha}$ для каждого $\alpha \in A$. На основании $\sigma$-дискретной сети из замкнутых множеств
$$
\begin{equation*}
\gamma=\biggl\{F_{\alpha}\colon \alpha \in A, A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_i=\{F_{\alpha}\colon \alpha\in A_i\}$ дискретна в $X$, в пространстве $X$ построим новую $\sigma$-дискретную сеть $\gamma_0$, на основании которой получим метрическое подмножество $M$ в $X$ с нужными свойствами. Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\gamma_{i,j}=\gamma_i \wedge \gamma_j=\{F_{\alpha} \cap F_{\beta} \colon F_{\alpha} \in \gamma_i,\, F_{\beta} \in \gamma_j,\, i,j=1,2,3,\dots\}.
\end{equation*}
\notag
$$
При фиксированных $i$, $j$ система $\gamma_{i,j}$ дискретна в $X$. Положим $\gamma_0=\{\gamma_{i,j},\, i,j=1,2,3,\dots\}$. Получили $\sigma$-дискретную сеть из замкнутых множеств в $X$. Возьмем в каждом элементе новой построенной сети $\gamma_0$ по одной точке. В силу теоремы 2.3, следствия 2.4 и проведенного построения полученное подмножество $M$ пространства $X$ обладает требуемыми свойствами. Так как подмножество $M$ пространства $X$ $\sigma$-дискретно, то по теореме суммы $\operatorname{dim}M=0$. Построение 2.6 (построение специальной системы окрестностей точек $x\in X$, образующих базу в точках $x\in X$, необходимой для определения новой семи-метрики на $X$). Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство с первой аксиомой счетности. Пусть в пространстве $X$ есть $\sigma$-дискретная сеть из замкнутых множеств Так как пространство $X$ – паракомпакт, для каждого покрытия $G_i$ существует вписанное в него локально конечное открытое покрытие $G_i^0$. Ясно, что для каждой точки $m \in M$ и каждой окрестности $Om$ в $X$ существует такой номер $n \in \mathbb N$, что $\mathrm{st}(m, G_n^0)\subseteq Om$. Поэтому для паракомпактного $\sigma$-пространства $X$ с первой аксиомой счетности будем изначально считать последовательность открытых покрытий $\{G_i \colon i=1,2,3,\dots\}$ последовательностью локально конечных покрытий $X$. Пусть $G_i =\{G_i^{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$. Так как в каждое локально конечное покрытие $G_i$ пространства $X$ можно вписать каноническое замкнутое покрытие $\{F_i^{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ пространства $X$, т.е. $F_i^{\alpha} \subseteq G_i^{\alpha}$, и подмножество $M$ пространства $X$ нульмерно, тогда существует такая открытая окрестность $OF_i^{\alpha}$, что
$$
\begin{equation*}
OF_i^{\alpha} \subseteq \overline{OF_i^{\alpha}} \subseteq G_i^{\alpha}, \qquad \operatorname{Fr} OF_i^{\alpha} \cap M= \varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы не усложнять обозначения, будем считать, что изначально $\operatorname{Fr} G_i^{\alpha} \cap M= \varnothing$. Выберем и фиксируем в пространстве $X$ для каждой точки $x \in X$ счетную последовательность открытых в $X$ окрестностей $\{O_n x\colon n=1,2,3,\dots\}$, образующих базу в точке $x \in X$, причем $O_{n+1} x \subseteq O_n x$. Так как $X$ с первой аксиомой счетности, то последовательность окрестностей $\{O_n x\colon n=1,2,3,\dots\}$ с указанными свойствами существует [2] для каждой точки $x\in X$. Пусть $x \in X \setminus M$. Для такой точки $x\in X \setminus M$ возьмем указанную выше последовательность окрестностей $\{O_n x\colon n=1,2,3,\dots\}$. Пусть теперь $x\in M$. Напомним, что $G_i =\{G_i^{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$. Индексное множество $A_{i}$ вполне упорядочено. Положим
$$
\begin{equation*}
\widehat{G}_i^{\alpha}=G_i^{\alpha} \setminus\Bigl(\bigcup \{\overline{G^{\beta}_i} \colon \beta<\alpha\}\Bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
При каждом фиксированном $i \in \mathbb N$ система открытых в $X$ множеств $\{\widehat{G}_i^{\alpha} \colon \alpha\in A_{i}\}$ дизъюнктна, локально конечна в $X$ и является покрытием множества $M$, а система $\{\widehat{G}_i^{\alpha} \cap M\}$ является дискретным в $M$ (открыто-замкнутым в $M$) покрытием множества $M$. Для каждого $n \in \mathbb N$ точка $x\in M$ принадлежит только одному $\widehat{G}_n^{\alpha}$. Определим для $x\in M$ и $x\in \widehat{G}_n^{\alpha}$ окрестность $O_nx=\widehat{G}_n^{\alpha}$. Если $y \in M$ и $y \in \widehat{G}_n^{\alpha}$, то окрестность $O_ny=\widehat{G}_n^{\alpha}$, т.е. $O_nx=O_ny$. Если каждая из двух дизъюнктных открытых в $X$ указанных выше систем множеств покрывает $M$, то их попарное пересечение является дизъюнктной и локально конечной в $X$ системой открытых множеств, покрывающей $M$. Поэтому, не теряя общности, можно считать, что и для точки $x\in M$ имеем $O_{n+1}x\subseteq O_n x$. А именно, обозначим дизъюнктную и локально конечную в $X$ систему открытых множеств $\{\widehat{G}_i^{\alpha} \colon \alpha\in A_{i}\}$, покрывающих множество $M$, через $\lambda_i$. Попарное пересечение дизъюнктных локально конечных в $X$ систем $\lambda_1$ и $\lambda_2$ обозначим $\lambda_{12}$, $\lambda_{12}=\lambda_1 \wedge \lambda_2$. Пусть $\lambda_{123}=\lambda_{12} \wedge \lambda_3$ и т.д., $\lambda_{123\dots n} =\lambda_{12\dots(n-1)} \wedge \lambda_n$. Упорядочим построенные дизъюнктные локально конечные в $X$ системы по вложению, обозначим $\lambda_{123\dots n}$ через $\varsigma_{n}$, т.е. $\varsigma_1 \prec \varsigma_2 \prec \dots \prec \varsigma_{n}\prec\dotsb$ . Получаем $O_n x\in \varsigma_{n}$ для $x\in M$. Построенную выше систему открытых окрестностей точек пространства $X$, образующих убывающую базу в каждой точке $x\in X$, обозначим через $\eta$, т.е. Для паракомпактного $\sigma$-пространства $X$ с первой аксиомой счетности и с $\sigma$-дискретной сетью из замкнутых множеств построенную выше систему окрестностей $\eta= \{O_n x\colon n=1,2,3,\dots,\, x\in X\}$ точек пространства $X$, которая образует локальную базу в каждой точке $x\in X$, будем называть специальной системой окрестностей. Известна следующая важная теорема Архангельского о семи-метризуемости пространства $X$. Теорема 2.7 [2; теорема 2.8]. Пусть в пространстве $X$ есть $\sigma$-дискретная сеть из замкнутых множеств $\gamma=\{F_{\alpha}\colon \alpha \in A,\, A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}\}$, система $\gamma_i=\{F_{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ дискретна в $X$ для каждого $i=1,2, \dots$ . И пусть для каждого $x\in X$ система $\{O_nx\}$, $n \in \mathbb N$, счетная база в точке $x\in X$. Тогда пространство $X$ семи-метризуемо. Напомним построение семи-метрики в пространстве $X$ из теоремы 2.7 [2; теорема 2.8]. Мы можем считать, что $\{O_{n+1} x\}\subseteq \{O_nx\}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M^k_x=\bigcup \{F^i_{\alpha}\colon i\leqslant k,\, \alpha \in A_i,\,x\notin F^i_{\alpha}\}, \qquad O^{\sim}_kx= O_kx\setminus M^k_x, \quad k=1,2, \\ N(x,y)=\max\{n\colon (O^{\sim}_n x \cap O^{\sim}_n y) \cap (x \cup y) \neq \varnothing\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда семи-метрика $d_1(x,y)$ определяется так: $d_1 (x,y)=1/N(x,y)$. Пусть теперь имеем паракомпактное $\sigma$-пространство $X$ с первой аксиомой счетности и с $\sigma$-дискретной сетью из замкнутых множеств. В нем имеется специальная система окрестностей $\eta= \{O_n x\colon n=1,2,3,\dots,\, x\in X\}$, образующая убывающую базу в каждой точке $x\in X$. Как в теореме 2.7, получаем в $X$ на основании системы окрестностей $\eta$ семи-метрику $d_1(x,y)$. Построим в пространстве $X$ новую семи-метрику $d(x,y)$ следующим образом. Построение 2.8. 1. Если точка $x\in X \setminus M$ или точка $y \in X \setminus M$, то положим $d(x,y)=d_1(x,y)$. 2. Если $x\in M$ и $y\in M$, то $d(x,y)$ определим следующим образом. Пусть
$$
\begin{equation*}
n= \max\bigl\{i\colon \text{существует }\alpha \in A_i\text{ такое, что } x\in \widehat{G}_i^{\alpha},\, y\in \widehat{G}_i^{\alpha}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $d(x,y)=1/n$. Легко проверить аналогично [2; теорема 2.8], что $d(x,y)$ – семи-метрика и семи-метрики $d(x,y)$ и $d_1(x,y)$ порождают на $X$ исходную топологию пространства $X$. Такую семи-метрику $d(x,y)$ в $X$ мы будем называть семи-метрикой Архангельского в паракомпактном $\sigma$-пространстве $X$ с первой аксиомой счетности. Заметим, что у паракомпактного $\sigma$-пространства $X$ с первой аксиомой счетности семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ всегда существует. Это следует из построения семи-метрики $d(x,y)$. Отметим, что если две любые точки $x,y\in M$ и $x,y \in \widehat{G}_n^{\alpha}$, то $d(x,y) \leqslant 1/n$. Напомним, что у паракомпактного $\sigma$-пространства $X$ с первой аксиомой счетности и с $\sigma$-дискретной сетью из замкнутых множеств $\gamma$ существует в $X$ такое метрическое подмножество $M$, что $M$ всюду плотно в $X$ и $M \cap F_{\alpha}$ всюду плотно в $F_{\alpha}$ для каждого $\alpha \in A$. Теорема 2.9. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство с первой аксиомой счетности и с $\sigma$-дискретной сетью из замкнутых множеств, и пусть $d(x,y)$ семи-метрика Архангельского на $X$. Тогда семи-метрика $d(x,y)$ на построенном в теореме 2.5 подмножестве $M$ будет метрикой. Доказательство. Нам надо доказать, что на множестве $M$ семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ удовлетворяет неравенству треугольника (все остальные свойства метрики выполнены). Пусть произвольные три точки $A$, $B$, $C$ принадлежат $M$. Покажем, что Пусть $B \in O_n C$ и $B \notin O_{n+1} C$, т.е. $d(B,C)=1 / n$. Напомним, что окрестность $O_n C=\widehat{G}_n^{\alpha}$ и система $\{\widehat{G}_i^{\alpha} \cap M\}$, $i \in \mathbb N$, $\alpha\in A_{i}$, является дискретным в $M$ покрытием множества $M$.Если $A \notin O_n C$, то из определения семи-метрики на $M$ имеем $d(A,C) \geqslant 1 / (n-1)$, и неравенство треугольника выполнено. Пусть $A \in O_n C$. Если $A \notin O_{n+1} C$, тогда получаем $d(A,C)\geqslant 1 / n$ и неравенство треугольника выполнено. Если $A \in O_{n+1} C$, а $B \notin O_{n+1} C$, тогда получаем $d(A,B)=1 / n$, так как $B \notin O_{n+1} C$, т.е. $B \notin O_{n+1} A$, но $A \in O_n C$ и $B \in O_n C$, т.е. $B \in O_n A$ (система $\{\widehat{G}_i^{\alpha} \cap M\}$ дискретна в $M$ и в силу построения 2.6 имеем $O_n C=O_n A=O_n B$, т.е. неравенство треугольника выполнено. Теорема доказана. Напомним [6], семиметрика $d(x,y)$ на пространстве $X$ называется 1-непрерывной, если вещественная функция $d(x,y)$ непрерывна только по одному переменному. Известны [6] следующие факты про пространства и 1-непрерывную семи-метрику. Предложение 2.10. Если $d(x,y)$ – 1-непрерывная семи-метрика в $X$, то $O_{\varepsilon}x$ – открытое в $X$ множество (где $x\in X$, $\varepsilon >0$, $O_{\varepsilon} x=\{y\colon d(x,y)< \varepsilon\}$). Предложение 2.11. Существует пространство Нагаты (кружевное с первой аксиомой счетности) со счетной сетью, которое не имеет 1-непрерывной семи-метрики. Но пространство Нагаты является паракомпактным $\sigma$-пространством с первой аксиомой счетности, поэтому имеет семи-метрику Архангельского, которая не будет 1-непрерывной. Поэтому требование 1-непрерывности к семи-метрике Архангельского не является излишним. Предложение 2.12. Существует пространство $X$ со счетной сетью, с 1-непрерывной семи-метрикой, которое не является кружевным (и, следовательно, не является метризуемым). Метрика на метрическом пространстве $X$ является 1-непрерывной семи-метрикой. Из определения 1-непрерывной семи-метрики вытекает следующее утверждение. Утверждение 2.13 [6; лемма 2.2]. Семи-метрика $d(x,y)$ на пространстве $X$ 1-непрерывна тогда и только тогда, когда для любых двух точек $x,y \in X$ и любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к точке $x$, $\{x_n\} \to x$ при $n \to \infty$ имеем $\lim_n d(x_n,y)= d(x,y)$. Лемма 2.14. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство с первой аксиомой счетности и с $\sigma$-дискретной сетью из замкнутых множеств, и пусть $d(x,y)$ – семи-метрика Архангельского на $X$. Метрическое подмножество $M$ в пространстве $X$ построено в теореме 2.5. Пусть точка $x\in X \setminus M$, а точки $m_n \in M$, и пусть последовательность $\{m_n\}$ сходится к точке $x\in X \setminus M$, т.е. $\{m_n\} \to x$. Тогда из последовательности $\{m_n\}$ можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $\{m_{n_i}\}$, которая сходится к точке $x\in X \setminus M$. Напомним, последовательность $\{m_n\}$, $\{m_n\} \to x$ при $n\to \infty$ в пространстве $X$ с некоторой семи-метрикой $d(x,y)$ называется фундаментальной, если для любого положительного $\varepsilon$ существует такое натуральное число $N$, что для каждых натуральных $i>N$, $j>N$ имеем $d(m_i,m_j)<\varepsilon$. Доказательство леммы 2.14. Пусть $\{m_j\} \to x$ при $j\to \infty$ и точка $x\in X \setminus M$, $m_j \in M$. У точки $x\in X \setminus M$ существует счетная последовательность открытых в пространстве $X$ окрестностей $\{U_n x\colon n=1,2,3,\dots\}$, образующих базу в точке $x\in X \setminus M$, причем $U_{n+1} x \subseteq U_n x$, и такая, что $U_n x$ пересекается лишь с конечным числом элементов из $\varsigma_{n}$ (напомним, $\varsigma_1 \prec \varsigma_2 \prec \dots \prec \varsigma_{n}\prec \dotsb$ и каждая система открытых множеств $\varsigma_{n}$ локально конечна в $X$). Пусть $n=1$, все точки нашей последовательности $\{m_j\}$, кроме конечного числа, содержатся в $U_1x$, а значит, бесконечное число элементов последовательности $\{m_j\}$ содержится в некотором открытом $\widehat{G}_1^{\alpha}$, $\alpha\in A_{1}$, где $\widehat{G}_1^{\alpha} \in \lambda_1=\varsigma_1$. Это бесконечное число элементов последовательности $\{m_j\}$ образует подпоследовательность $\{m_{j_k}\}$ последовательности $\{m_j\}$, тоже сходящуюся к точке $x\in X \setminus M$. Перенумеруем подпоследовательность $\{m_{j_k}\}$, получим подпоследовательность первого уровня $\{m^1_i\colon i \in \mathbb N\}$, сходящуюся к $x\in X \setminus M$, и для любых двух точек $x$, $y$ из этой подпоследовательности $\{m^1_i\}$ имеем $d(x,y) \leqslant 1$. Пусть $n=2$, все точки последовательности $\{m^1_i\}$, кроме конечного числа, содержатся в $U_2 x$, а значит, бесконечное число элементов последовательности $\{m^1_i\}$ содержится в некотором открытом элементе системы $\varsigma_2$. Аналогично предыдущему, получаем из последовательности $\{m^1_i\}$ подпоследовательность второго уровня $\{m^2_i\}$, и для любых двух точек $x$, $y$ из этой подпоследовательности $\{m^2_i\}$ имеем $d(x,y) \leqslant 1/2$. И так далее для всех $n$ (всех $U_n x$ и $\varsigma_n$) получим для каждого $n \in \mathbb N$ подпоследовательность $n$-ого уровня $\{m^n_i\colon i \in \mathbb N\}$. Для любых двух точек $x$, $y$ из этой подпоследовательности $\{m^n_i\}$ имеем $d(x,y) \leqslant 1/n$. Отметим, что из построения подпоследовательность большего уровня содержится в подпоследовательности меньшего уровня и каждая точка исходной последовательности $\{m_j\}$ входит лишь в конечное число построенных подпоследовательностей. Выбирем из каждой построенной подпоследовательности $\{m^n_i\colon n \in \mathbb N\}$ по одному элементу (например, первому). Получим нужную фундаментальную подпоследовательность $\{m_{j_i}\}$ нашей последовательности $\{m_j\}$, которая сходится к точке $x\in X \setminus M$. Лемма 2.14 доказана. Теперь мы можем сформулировать и доказать основную теорему. Теорема 2.15. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство с первой аксиомой счетности, в котором семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ 1-непрерывна. Тогда следующие условия эквивалентны: Для доказательства теоремы 2.15 в силу теорем 1.4–1.6 нам достаточно показать, что пространство $X$ является всюду $f$-пространством. Это будет следовать из теоремы 1.17, если мы докажем, что пространство $X$ является почти семи-каноническим. Доказательство теоремы 2.15. В пространстве $X$ есть $\sigma$-дискретная сеть из замкнутых множеств система $\gamma_i=\{F_{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ дискретна в $X$ для каждого $i=1,2, \dots$ . Для каждого $i \in \mathbb N$ и каждого $F_{\alpha}$, $\alpha\in A_{i}$, существует $OF_{\alpha}$ такая, что система $\{OF_{\alpha}\colon \alpha\in A_{i}\}$ дискретна в $X$. Поэтому достаточно показать, что пара $(X,F_{\alpha})$ является семи-канонической для каждого $F_{\alpha}$, $\alpha\in A_{i}$, $i=1,2,\dots$ . Возьмем конкретное $F_{\alpha}$, $\alpha\in A_{i}$. Надо доказать, что существует открытое покрытие $\omega$ открытого множества $X \setminus F_{\alpha}$ такое, что для каждого замкнутого в $X$ множества $B$ такого, что $B\cap F_{\alpha}=\varnothing$, существует окрестность $UF_{\alpha} \subseteq X\setminus B$ такая, что если элемент покрытия $G \in \omega$ и $G \cap UF_{\alpha} \neq \varnothing$, то $G \cap B=\varnothing$. Так как $X$ нормально, то мы можем считать замкнутое множество $B$ каноническим замкнутым множеством (замыканием открытого). Напомним, что у паракомпактного $\sigma$-пространства $X$ с первой аксиомой счетности и с $\sigma$-дискретной сетью из замкнутых множеств существует в $X$ такое метрическое подмножество $M$, что $M$ всюду плотно в $X$ и $M \cap F_{\alpha}$ всюду плотно в $F_{\alpha}$ для каждого $\alpha \in A$. Поэтому метрическая часть $B \cap M$ всюду плотна в $B$. По условию семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ на пространстве $X$ 1-непрерывна. Для каждой точки $x\in(X \setminus F_{\alpha})$ имеем $d(x,F_{\alpha}) >0$, а значит, и для $m \in ((X \setminus F_{\alpha})\cap M)$ имеем $d(m,F_{\alpha})>0$. У каждой точки $m \in((X \setminus F_{\alpha})\cap M)$ возьмем открытую окрестность $O_{r_m} m$, где $r_m=d(m,F_{\alpha})/4$. Пусть $\omega=\{O_{r_m} m\colon m \in(X \setminus F_{\alpha})\cap M\}$. Покажем, что $\omega$ является покрытием $X \setminus F_{\alpha}$ и что покрытие $\omega$ семи-каноническое. Так как $\omega$ является покрытием множества $(X \setminus F_{\alpha})\cap M$, то надо рассмотреть точку $x\in(X \setminus F_{\alpha})$ и $x \notin M$. Покажем, что эта точка $x$ содержится в некотором $G$, $G \in \omega$. Так как $M$ всюду плотно в $X \setminus F_{\alpha}$, то существует последовательность $\{m_n\}$, сходящаяся к точке $x$, $\{m_n\} \to x$, $m_n \in M$. В силу леммы 2.14 последовательность $\{m_n\}$ будем считать фундаментальной. Возьмем убывающую к нулю последовательность положительных чисел $\{\epsilon_i\}$, например, $\epsilon_i <1/i$. Для каждого $k \in \mathbb N$ положим Если при некотором $k \in \mathbb N$ будет $a_k>0$, то существует $n \in \mathbb N$ такое, что $x\in O_{r_{m_n}} m_n$, так как $\{m_n\} \to x$ и, следовательно, $d(m_n,x)\to 0$ при $n\to \infty$, а $a_k >0$. Пусть для каждого $k \in \mathbb N$ будет $a_k=0$. Так как последовательность $\{m_n\}$ фундаментальная, то для каждого $\epsilon_i$ существует $N_i$ такое, что для любых $n \in \mathbb N$ и $k \in \mathbb N$ таких, что $n>N_i$, $k>N_i$ имеем $d(m_n,m_k)<\epsilon_i$. Так как $a_{N_i}=0$, то существует $p\in \mathbb N$ такое, что член $m_p$, $p>N_i$ из нашей последовательности $\{m_n\}$ такой, что $d(m_p, f)<\epsilon_i$, где $f\in F_{\alpha}$.Так как $M \cap F_{\alpha}$ всюду плотно в $F_{\alpha}$, то существует последовательность точек $\{m^F_j\}$, $m^F_j \in M \cap F_{\alpha}$, сходящаяся к точке $f\in F_{\alpha}$. Напомним, что $d(m_p, f)<\epsilon_i$. Так как $d(x,y)$ 1-непрерывна в $X$, то в силу утверждения 2.13 имеем $d(m_p, f)=\lim_j d(m_p, m^F_j)$. Поэтому существует точка $m^p_0 \in M \cap F_{\alpha}$, $m^p_0 \in \{m^F_j\}$, такая, что Последовательность $\{m_n\colon n>p>N_i\}$ сходится к точке $x$. Для каждой точки $m_n$ при $n>p>N_i$ из фундаментальности последовательности $\{m_n\}$ имеем $d(m_n,m_p)< \epsilon_i$. Напомним, что семи-метрика $d(x,y)$ на множестве $M$ является метрикой, поэтому для $d(x,y)$ на $M$ выполнено неравенство треугольника. У нас $d(m_p,m^p_0)<2\epsilon_i$, поэтому в силу неравенства треугольника получаем
$$
\begin{equation*}
d(m_n, m^p_0)\leqslant d(m_n,m_p)+d(m_p,m^p_0)<3\epsilon_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\{m_n\} \to x$, где $n>p>N_i$, то в силу 1-непрерывности семи-метрики Архангельского $d(x,y)$ получаем, что $d(x,m^p_0)\leqslant 3 \epsilon_i$, т.е. в силу определения расстояния от точки $x$ до $F_{\alpha}$ имеем $d(x,F_{\alpha})\leqslant 3 \epsilon_i$. Аналогичное рассуждение можно проделать для выбранной точки $x$ и каждого $\epsilon_i$, $i \in \mathbb N$. Из того, что $\epsilon_i \to 0$, получаем, что $d(x,F_{\alpha})=0$, но мы выбрали точку $x$ так, что $d(x,F_{\alpha})>0$. Получили противоречие. Поэтому для некоторого $k \in \mathbb N$ имеем $a_k>0$. Следовательно, $\omega$ – открытое покрытие $X \setminus F_{\alpha}$. Построим теперь открытую окрестность $UF_{\alpha}$ для выбранного выше множества $B$. У каждой точки $m\in M \cap F_{\alpha}$ возьмем открытую окрестность $O_{r_m} m$, где $r_m=d(m,B)/4$. Так как для каждой точки $f\in F_{\alpha}$ расстояние до замкнутого множества $B$ больше нуля, а $M \cap F_{\alpha}$ плотно в $F_{\alpha}$ и, кроме того, $M \cap B$ плотно в $B$ (так как $B$ каноническое замкнутое множество), то $\bigcup \{O_{r_m} m\colon m\in M \cap F_{\alpha} \}$ является открытой окрестностью множества $F_{\alpha}$ в $X$, т.е. покрывает множество $F_{\alpha}$. Доказательство этого совершенно аналогично предыдущему, где мы доказывали, что $\omega$ является покрытием множества $X\setminus F_{\alpha}$. Обозначим открытое множество $\bigcup \{O_{r_m} m\colon m\in M \cap F_{\alpha} \}$ через $UF_{\alpha}$. Покажем, что $\omega$ – семи-каноническое покрытие, т.е. что если элемент покрытия $G \in \omega$ и $G \cap UF_{\alpha} \neq \varnothing$, то $G \cap B=\varnothing$. Так как из того, что $G \cap UF_{\alpha} \neq \varnothing$, следует, что $G \cap(UF_{\alpha} \cap M)\neq \varnothing$, а из того, что $G \cap B\neq \varnothing$, следует, что $G \cap(B \cap M)\neq \varnothing$, то в силу утверждения 1.16 для метрических пространств и того, что $d(x,y)$ – метрика на $M$, получаем: если элемент покрытия $G \in \omega$ и $G \cap UF_{\alpha} \neq \varnothing$, то $G \cap B=\varnothing$. Поэтому пара $(X, F_{\alpha})$ является семи-канонической для каждого $F_{\alpha}$. Тогда в силу теоремы 1.17 в $X$ есть всюду $f$-система. Теорема 2.15 доказана. Из свойства d) теоремы 2.15 получаем Следствие 2.16. Пусть $X$ – паракомпактное $\sigma$-пространство с первой аксиомой счетности, в котором семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ 1-непрерывна. Тогда пространство $X$ является $S$-пространством (см. определение 1.7). Следствие 2.17. Пусть $X$ – пространство со счетной сетью и с первой аксиомой счетности, в котором семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ 1-непрерывна. Тогда следующие условия эквивалентны: Таким образом, для пространства $X$ со счетной сетью, с первой аксиомой счетности, в котором семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ 1-непрерывна, имеем следующие равенства: $\operatorname{ind}X=\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$. Кроме того, из свойства d) вытекает, что пространство $X$ со счетной сетью, с первой аксиомой счетности, в котором семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ 1-непрерывна, является $S$-пространством. Так как пространство Нагаты (кружевное с первой аксиомой счетности) является [10] паракомпактным $\sigma$-пространством, то получаем Следствие 2.18 [7]. Пусть $X$ – пространство Нагаты, в котором семи-метрика Архангельского $d(x,y)$ 1-непрерывна. Тогда следующие условия эквивалентны: Можно показать, что пункт d) в следствии 2.18 можно переформулировать следующим образом:
Из свойства d) вытекает, что указанное в следствии 2.18 пространство является $S$-пространством. Как известно [14], пространство Нагаты является $M_1$ пространством (пространством с $\sigma$-консервативной базой). Вопрос 2.19. Пусть $X$ – $M_1$ пространство. Верно ли тогда равенство $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$? Вопрос 2.20 (А. В. Архангельский). Пусть пространство $X$ будет кружевной топологической группой. Верно ли тогда равенство $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$? Вопрос 2.21. Пусть $X$ – нормальное муровское пространство (пространство с измельчением). Верно ли тогда равенство $\operatorname{Ind}X=\operatorname{dim}X$? Мне приятно выразить благодарность профессору А. В. Архангельскому за внимание к работе и полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lei23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|