| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О величинах типа модулей непрерывности и аналогах Р. А. Ласурия Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010285 
Реферативные базы данных:
  1. Обозначения, определения, предложенияВ статье продолжаются исследования автора, начатые в работах [1]–[5]. Пусть $\mathbb R^m$, $m\geqslant 3$, – $m$-мерное евклидово пространство векторов $x:=(x_1,\dots,x_m)$ со скалярным произведением и нормой
$$
\begin{equation*}
|x|:=\biggl(\,\sum_{k=1}^mx_k^2\biggr)^{1/2},\qquad \sigma^{m-1}:=\{x\in\mathbb R^m:|x|=1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $dx$ – мера Хаара на сфере $\sigma^{m-1}$, инвариантная относительно группы вращений $SO(m)$ и нормированная единицей. Пусть, далее, $L_p(\sigma^{m-1})$, $p\in(0,\infty]$, – пространство комплексных функций $f$, измеримых на $\sigma^{m-1}$, с заданным на нем функционалом
$$
\begin{equation*}
\|f\|_p=\|f\|_{L_p(\sigma^{m-1})}:=\begin{cases} \displaystyle{\biggl(\int_{\sigma^{m-1}}|f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p}<\infty}, &p\in(0,\infty), \\ \displaystyle{\operatorname*{ess\,sup}_{x\in\sigma^{m-1}}|f(x)|<\infty}, &p=\infty. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Функционал $\|\cdot\|_p$ при $p\geqslant 1$ задает норму, а при $p\in(0,1)$ – квазинорму в пространстве $L_p(\sigma^{m-1})$. Пусть
$$
\begin{equation}
S^\lambda[f]:=\sum_{k=0}^\infty Y_k^\lambda(f),\qquad \lambda=\frac{m-2}{2}\,,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
– ряд Фурье–Лапласа функции $f\in L(\sigma^{m-1}):=L_1(\sigma^{m-1})$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Y_k^\lambda(f)=Y_k^\lambda(f,x):=\sum_{j=1}^{a_k}\overset{\frown}{f}_{k,j}Y_{k,j}(x), \\ \overset{\frown}{f}_{k,j}:=(f,Y_{k,j}),\qquad j=1,\dots,a_k,\quad k=0,1,\dots, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
– коэффициенты Фурье–Лапласа функции $f$, $\{Y_{k,j}(x)\}$, $j=1,\dots,a_k$, – сферические гармоники степени $k$, образующие ортонормированный базис в пространстве $H_k$ сферических гармоник степени $k$ размерности
$$
\begin{equation*}
a_k:=\frac{(2k+m-2)(k+m-3)!}{k!(m-2)!}\,,\qquad (f,g):=\int_{\sigma^{m-1}}f(x)\overline{g(x)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференциальные свойства функций на сфере $\sigma^{m-1}$ определим следующим образом (см., например, [1], [6]). Пусть $\psi:=\{\psi(k)=\psi(k,\lambda)\}$, $k\in\mathbb N$, – произвольная система комплексных чисел, $\psi(k)\ne 0$, $k\in\mathbb N$, и ряд является рядом Фурье–Лапласа некоторой функции $\varphi\in L(\sigma^{m-1})$. Функция $\varphi$ называется $\psi $-производной функции $f\colon\varphi(x)=D^\psi f(x)=f^\psi(x)$ по аналогии с [7]. Таким образом,
$$
\begin{equation}
S^\lambda[f^\psi] =\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\psi(k)}\,Y_k^\lambda(f) =\sum_{k=1}^\infty Y_k^\lambda(f^\psi).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Подмножество функций $f\in L(\sigma^{m-1})$, у которых существуют $\psi$-производные, обозначим через $L^\psi(\sigma^{m-1})$. Если $f\in L^\psi(\sigma^{m-1})$ и $f^\psi\in\mathfrak N$, пишем $f\in L^\psi\mathfrak N$. Введем следующие множества функций [1]–[4]. При каждом фиксированном $p\in(0,\infty]$ и $q\in(0,\infty)$ обозначим
$$
\begin{equation*}
S^{(p,q)}=S^{(p,q)}(\sigma^{m-1}) :=\biggl\{f\in L(\sigma^{m-1}):\sum_{k=0}^\infty \|Y_k^\lambda(f)\|_p^q<\infty\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементы $f,g\in S^{(p,q)}$ считаем тождественными, если $\widehat f_{k,j}=\widehat g_{k,j}$, $j=1,\dots,a_k$, $k=0,1,\dots$ . Определим в пространстве $S^{(p,q)}$ функционал посредством равенства
$$
\begin{equation}
\|f\|_{p,q}=\|f\|_{S^{(p,q)}}(\sigma^{m-1}) :=\biggl(\,\sum_{k=0}^\infty\|Y_k^\lambda(f)\|_p^q\biggr)^{1/q}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Множество $S^{(p,q)}(\sigma^{m-1})$ при $p\in[1,\infty]$, $q\in[1,\infty)$ образует линейное нормированное пространство с операциями сложения и умножения на число, определенными на всем пространстве $L(\sigma^{m-1})$, и является сепарабельным [1], [2]. При $p=q=2$ в силу равенства Парсеваля в $L_2(\sigma^{m-1})$
$$
\begin{equation*}
\|f\|_2=\biggl(\,\sum_{k=0}^\infty\|Y_k^\lambda(f)\|_2^2\biggr)^{1/2} =\|f\|_{S^{(2,2)}},\qquad L_2(\sigma^{m-1})=S^{(2,2)}(\sigma^{m-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Пространство $S^{(2,2)}$ является гильбертовым, а при всех остальных $q$ и $p$ пространство $S^{(p,q)}$ наследует важнейшие свойства гильбертовых пространств – равенство Парсеваля в виде соотношения (1.3) и минимальное свойство частичных сумм $S_n^\lambda(f)$ ряда (1.1) (см. [1], [2]). Пространство $S^{(2,q)}(\sigma^{m-1})$ при $1\leqslant q\leqslant 2$ является банаховым. Определим следующие классы функций (см. [1], [4], [6]). Обозначим
$$
\begin{equation*}
L^\psi S^{(p,q)}=L^\psi S^{(p,q)}(\sigma^{m-1}) :=\{f\in L^\psi(\sigma^{m-1}):f^\psi\in S^{(p,q)}(\sigma^{m-1})\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $f\in L^\psi S^{(p,q)}$ и система $\psi$ ограничена, то из определения (1.2) следует, что $f\in S^{(p,q)}$, $p\in(0,\infty]$, $q\in(0,\infty)$. Разностные свойства функций будем характеризовать следующим образом [4], [5]. Пусть задана некоторая система комплексных функций $h=\{h_k(u)=h_k^\lambda(u)\}$, $k=0,1,\dots$, $u\in(\tau_0,\tau_1)$, таких, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, h_0(u):=1,\quad |h_k(u)|<1,\quad k\in\mathbb N,\qquad u\in(\tau_0,\tau_1), \\ \lim_{u\to\tau_1-0}h_k(u)=1\qquad \text{или}\qquad \lim_{u\to\tau_0+0}h_k(u)=1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
и для любой функции $f\in L(\sigma^{m-1})$ ряд – это ряд Фурье–Лапласа соответствующей функции $S_uf=S_{h,u}f(x)\in L(\sigma^{m-1})$, т.е.
$$
\begin{equation}
Y_n^\lambda(S_uf)=h_n(u)Y_n^\lambda(f),\qquad n=0,1,\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
В дальнейшем везде полагаем, что система $h$ удовлетворяет условиям (1.4) и (1.5). Таким образом, система $h$ порождает оператор $S_{h,u}$, действующий из $L(\sigma^{m-1})$ в $L(\sigma^{m-1})$. Пусть, далее, $E$ – тождественный оператор, $r$ – положительное действительное число, $g_r(t):=(1-t)^{r/2}$. Рассмотрим разностный оператор порядка $r>0$ [4]
$$
\begin{equation}
\Delta_u^r=\Delta_{h,u}^r :=(E-S_{h,u})^{r/2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\,g_r^k(0)S_{h,u}^k,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
$$
\begin{equation*}
S_{h,u}^0 :=f,\qquad S_{h,u}^k=S_{h,u}(S_{h,u}^{k-1}),\qquad k\in \mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
Y_n^\lambda(\Delta_u^rf) =(1-h_n(u))^{r/2}Y_n^\lambda(f).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Ввиду (1.5)–(1.7) для каждой функции $f\in S^{(p,q)}$ и для всех $u\in(\tau_0,\tau_1)$ получаем
$$
\begin{equation}
\|\Delta_u^rf\|_{p,q} :=\|\Delta_u^rf\|_{S^{(p,q)}(\sigma^{m-1})} =\biggl(\,\sum_{n=0}^\infty(1-h_n(u))^{rq/2}\|Y_n^\lambda(f)\|_p^q\biggr)^{1/q}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Примеры систем функций $h$, удовлетворяющих условиям (1.4), (1.5) и соответствующие им операторы $S_{h,u}$, порождающие обычные модули непрерывности, а также операторы, построенные посредством свертки с соответствующей зональной функцией, в частности, операторы Пуассона, Гаусса–Вейерштрасса и др. рассмотрены в [4], [5]. Введем в рассмотрение величину типа модуля непрерывности порядка $r>0$ функции $f\in S^{(p,q)}$, порожденную системой $h$ и определенную равенством [5]
$$
\begin{equation}
\Omega_r(f;t)_{p,q} =\Omega_r(f;t;h)_{S^{(p,q)}(\sigma^{m-1})} :=\sup_{0<u\leqslant t}\|\Delta_u^r\|_{p,q},\qquad t\in(0,1).
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
При $t\geqslant 1$
$$
\begin{equation*}
\Omega_r(f;t)_{p,q}:=\Omega_r(f;1)_{p,q} =\sup_{0<u<1}\|\Delta_u^rf\|_{p,q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь приведем лишь необходимые в дальнейшем свойства величины (1.9). Предложение 1. Величина $\Omega_r(f;t)_{p,q}$ удовлетворяет следующим условиям: Доказательство. Свойства 1) и 2) следуют из (1.4) и (1.8). Для доказательства (1.10) воспользуемся неравенствами Минковского для $L_p$-нормы при $p\in[1,\infty]$ и для суммы при $q\in[1,\infty)$. Вследствие этого получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\Delta_u^r(f+g)\|_{p,q} \\ &\qquad{}\leqslant\biggl(\,\sum_{k=0}^\infty(1-h_k(u))^{rq/2} \|Y_k^\lambda(f)\|_p^q\biggr)^{1/q} +\biggl(\,\sum_{k=0}^\infty(1-h_k(u))^{rq/2} \|Y_k^\lambda(g)\|_p^q\biggr)^{1/q} \\ &\qquad{}=\|\Delta_u^rf\|_{p,q}+\|\Delta_u^rg\|_{p,q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, с учетом определения системы $h$ и (1.3) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Delta_u^rf\|_{p,q}^q &\leqslant\sum_{k=0}^\infty(1+|h_k(u)|)^{rq/2}\|Y_k^\lambda(f)\|_p^q \\ &\leqslant 2^{rq/2}\sum_{k=0}^\infty\|Y_k^\lambda(f)\|_p^q =2^{rq/2}\|f\|_{p,q}^q,\qquad p\in(0,\infty],\quad q\in(0,\infty), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает (1.11). Перейдем к доказательству свойства 5). В силу условия $h_0(u)=1$, определения (1.2) и (1.12) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\Delta_u^rf\|_{p,q}^q &\leqslant\sum_{k=1}^\infty A_{\lambda,r}^q\frac{u^{srq}}{|\psi(k)|^q} \|Y_k^\lambda(f)\|_p^q =A_{\lambda,r}^qu^{srq}\sum_{k=1}^\infty\|Y_k^\lambda(f^\psi)\|_p^q \\ &=A_{\lambda,r}^qu^{srq}\|f^\psi\|_p^q,\qquad p\in(0,\infty],\quad q\in(0,\infty), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и тем самым неравенство (1.13) установлено, а вместе с ним и предложение 1. В дальнейшем запись означает, что найдутся две положительные константы $C_1$ и $C_2$ такие, что при всех $t\in(a,b)$ В этом случае говорят, что величины $A(t)$ и $B(t)$ эквивалентны.2. Постановка задачиВведем в рассмотрение аналог $K$-функционала, определенный равенством
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &K_D^\psi(f,t)_{p,q} :=\inf\{\|f-g\|_{p,q}+t\|D^\psi g\|_{p,g}:g\in L^\psi S^{(p.q)}\}, \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad t>0,\quad p\in[1,\infty),\quad q\in[1,\infty). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Если (см. [3]) тоТрадиционным предметом исследований теории интерполяции функциональных пространств являются построенные на паре банаховых пространств $K$-функционалы (см. [8]–[10]). В соответствии с задачами настоящей статьи банаховость пространств не предполагается. Оценки $K$-функционалов на сфере в случае пары пространств $L_p(\sigma^{m-1})$ и $W^\alpha L_p(\sigma^{m-1})$ (пространства Соболева), в которых дифференциальный оператор определяется оператором Лапласа–Бельтрами $\Lambda^\alpha$, через различные модули гладкости рассматривались в работах [11]–[16]. В случае пары пространств $S^{(p,q)}(\sigma^{m-1})$ и $W^\alpha S^{(p,q)}(\sigma^{m-1})$, где
$$
\begin{equation*}
W^\alpha S^{(p,q)} :=\{f\in S^{(p,q)}(\sigma^{m-1}):\Lambda^\alpha f\in S^{(p,q)}(\sigma^{m-1})\},
\end{equation*}
\notag
$$
подобные оценки получены в [17]. В настоящей работе устанавливается эквивалентность между величинами $K_{D^\psi}(f,\,\cdot\,)_{p,q}$ и $\Omega_r(f;\cdot;h)_{p,q}$, задаваемыми равенствами (2.1) и (1.9) соответственно. Приводятся соотношения между величинами $\Omega_r(f;\cdot;h)_{p,q}$ и приближением функций $f\in S^{(p,q)}$ сферическими полиномами в пространствах $S^{(p,q)}$, а также рассматриваются конкретные реализации полученных результатов. 3. Вспомогательные утвержденияПриведенные ниже вспомогательные утверждения не лишены, по-видимому, и самостоятельного интереса. Лемма 1. Пусть выполнены следующие условия: Доказательство. В работе [4] было установлено неравенство типа Джексона где $p\in(0,\infty]$, $q\in[1,\infty)$, В силу условия (3.1)
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{(1-h_k(u))^{rq/2}} \leqslant\frac{1}{A^{\prime q}_{\lambda,r}} \frac{|\psi(k)|^q}{u^{srq}}\,,\qquad u\in\biggl(0,\frac{a}{n}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом условия 2
$$
\begin{equation*}
C_n\biggl(h,r,\frac{1}{n}\,,q\biggr) =\sup_{k\geqslant n}\frac{1}{(1-h_k(\frac{1}{n}))^{rq/2}} \leqslant\frac{1}{A^{\prime q}_{\lambda,r}}|\psi(n)|^qn^{srq}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (3.3) получаем
$$
\begin{equation*}
E_n^q(f)_{p,q} \leqslant\frac{1}{A^{\prime q}_{\lambda,r}}|\psi(n)|^q n^{srq}\Omega_r^q\biggl(f;\frac{1}{n}\biggr)_{p,q},
\end{equation*}
\notag
$$
и, тем самым, приходим к оценке (3.2). Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть выполнено условие (3.1). Тогда если $f\in S^{(p,q)}$, $p\in(0,\infty]$, $q\in(0,\infty)$, $u\in(0,1)$ и $un\leqslant a$, $a\geqslant 1$, то В частности, при $u=1/n$ Доказательство. Согласно условию (3.1) и равенству (1.8) будем иметь Лемма 3. Пусть для систем $\psi$ и $h$ выполнено условие (1.12). Тогда для любого сферического полинома $P_{n-1}$ степени $n-1$ и при всех $\delta\in(0,1)$ Доказательство. В силу условия (1.12) Отсюда при всех $\delta\in(0,1)$ вытекает неравенство (3.6). Далее, если выполнено условие (3.1), то при $f=P_{n-1}$ из неравенства (3.4) леммы 2, с учетом равенства $S_n^\lambda(P_n)=P_n$ получаем
$$
\begin{equation*}
\|P_{n-1}^\psi\|_{p,q} \leqslant\frac{1}{A'_{\lambda,r}}\,u^{-sr}\|\Delta_u^rP_{n-1}\|_{p,q},\qquad u\in(0,1),\quad un\leqslant a,\quad a\geqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда где $u\in(0,1)$, $un\leqslant a$, $a\geqslant 1$. Неравенства (3.6) и (3.7) являются аналогами неравенства Стечкина–Никольского. 4. Основные результатыВ следующем утверждении устанавливается эквивалентность между величиной $K_{D^\psi}(f,\delta^\alpha)_{p,q}$ и величиной $\Omega_r(f;\delta)_{p,q}=\Omega_r(f;\delta;h)_{p,q}$. Теорема 1. Пусть система функций $\psi$ и $h$ удовлетворяют условиям (1.12) и (3.1), а также пусть $\{|\psi(n)|\}$, $n\in\mathbb N$, монотонно убывает, Доказательство. Докажем сначала левостороннюю оценку в (3.9). Пусть $g\in L^\psi S^{(p,q)}$. Пользуясь свойствами 3), 4) и 5) величины $\Omega_r(f;\delta)_{p,q}$ из предложения 1, в силу условия (1.12) будем иметь Принимая во внимание определение величины $K_{D^\psi}(f,\,\cdot\,)_{p,q}$, из (3.10) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Omega_r(f;\delta)_{p,q} &\leqslant\widetilde A_{\lambda,r} \inf\{\|f-g\|_{p,q}+\delta^{sr}\|g^\psi\|_{p,q}:g\in L^\psi S^{(p,q)}\} \nonumber \\ &=\widetilde A_{\lambda,r}K_{D^\psi}(f,\delta^{sr})_{p,q},\qquad \delta\in(0,1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Перейдем к доказательству правосторонней оценки в (3.9). Пусть $g=S_{n-1}^\lambda(f)$, $f\in S^{(p,q)}$. Тогда, учитывая определение величины $K_{D^\psi}(f,\delta^{sr})_{p,q}$, имеем
$$
\begin{equation}
K_{D^\psi}(f,\delta^{sr})_{p,q} \leqslant\|f-S_{n-1}^\lambda(f)\|_{p,q} +\delta^{sr}\|D^\psi S_{n-1}^\lambda(f)\|_{p,q}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Вследствие равенства условия (3.1), а также неравенств (3.2), (3.5) из (3.12) находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K_{D^\psi}(f,\delta^{sr})_{p,q} &\leqslant\frac{1}{A'_{\lambda,r}}|\psi(n)|n^{sr} \Omega_r\biggl(f;\frac{1}{n}\biggr)_{p,q} +\frac{1}{A'_{\lambda,r}}(\delta n)^{sr} \Omega_r\biggl(f;\frac{1}{n}\biggr)_{p,q} \\ &=\frac{1}{A'_{\lambda,r}}(|\psi(n)\mid n^{sr}+(\delta n)^{sr}) \Omega_r\biggl(f;\frac{1}{n}\biggr)_{p,q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом условия (3.8) будем иметь
$$
\begin{equation*}
K_{D^\psi}(f,\delta^{sr})_{p,q} \leqslant\frac{1}{A'_{\lambda,r}}(c+(\delta n)^{sr}) \Omega_r\biggl(f;\frac{1}{n}\biggr)_{p,q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксировав $\delta\in(0,1)$, выбираем номер $n$ так, чтобы $1/n\leqslant\delta<1/(n-1)$, $n>1$. Тогда в силу монотонности величины $\Omega_r(f;t)_{p,q}$ будем иметь
$$
\begin{equation}
{K_{D^\psi}(f,\delta^{sr})_{p,q} \leqslant\frac{1}{A'_{\lambda,r}} \biggl(c+\biggl(\frac{n}{n-1}\biggr)^{rs}\biggr) \Omega_r\biggl(f;\frac{1}{n}\biggr)_{p,q} \leqslant\frac{1}{A'_{\lambda,r}}(c+2^{rs}) \Omega_r(f;\delta)_{p,q}.}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Сопоставляя оценки (3.11) и (3.13), приходим к двойному неравенству (3.9). Теорема доказана. Следующее утверждение устанавливает связь между величиной $\Omega_r(f;\delta)_{p,q}$ и приближением функции $f\in S^{(p,q)}$ сферическими полиномами в пространстве $S^{(p,q)}$. Теорема 2. Пусть $f\in S^{(p,q)}$, системы $\psi$ и $h$ удовлетворяют условиям (1.12) и (3.1). Тогда для каждого сферического полинома $P_{n-1}$, удовлетворяющего неравенству Доказательство. В силу свойств 3), 4) и 5) величины $\Omega_r(f;\delta)_{p,q}$ (из предложения 1) и условия (1.12) имеем Правосторонняя оценка (3.15) установлена. Далее, при $\delta\in(0,1)$ и $\delta n\leqslant a$, $a\geqslant 1$, на основании условия (3.1), неравенства (3.7) и условия (3.14) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f-P_{n-1}\|_{p,q}+\delta^{sr}\|P_{n-1}^\psi\|_{p,q} \leqslant c_3\Omega_r(f;\delta)_{p,q} +\frac{1}{A'_{\lambda,r}}\,\Omega_r(P_{n-1};\delta)_{p,q} \\ &\qquad\leqslant c_3\Omega_r(f;\delta)_{p,q} +\frac{1}{A'_{\lambda,r}}(\Omega_r(P_{n-1}-f;\delta)_{p,q} +\Omega_r(f;\delta)_{p,q}) \\ &\qquad\leqslant c_3\Omega_r(f;\delta)_{p,q} +\frac{1}{A'_{\lambda,r}}(2^{r/2}\|P_{n-1}-f\|_{p,q} +\Omega_r(f;\delta)_{p,q}) \leqslant A''_{\lambda,r}\Omega_r(f;\delta)_{p,q}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. Следствие 1. Пусть $f\in S^{(p,q)}$, системы $\psi$ и $h$ удовлетворяют условиям (1.12) и (3.1). К тому же, пусть система $\psi$ такова, что $\{|\psi(n)|\}$ монотонно убывает и удовлетворяет условию (3.8). Тогда если $\delta\in(0,1)$, $1\leqslant\delta n\leqslant a$, $a\geqslant 1$, то справедливы соотношения Действительно, на основании условий следствия 1 с учетом монотонности функции $\Omega_r(f;t)_{p,q}$ из неравенства (3.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
E_n(f)_{p,q} \leqslant\frac{C}{A'_{\lambda,r}}\,\Omega_r\biggl(f;\frac{1}{n}\biggr)_{p,q} \leqslant\frac{C}{A'_{\lambda,r}}\,\Omega_r(f;\delta)_{p,q},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. выполнено условие (3.14), в котором $P_{n-1}=S_{n-1}^\lambda(f)$, $c_3=C/A'_{\lambda,r}$, и следствие 1 доказано. Перейдем к рассмотрению примеров. Если
$$
\begin{equation*}
h_n(u)=\frac{P_n^\lambda(\cos u)}{P_n^\lambda(1)}\,,\qquad u\in(0,\pi),
\end{equation*}
\notag
$$
$P_n^\lambda(\,\cdot\,)$ – многочлены Гегенбауэра, то в качестве оператора $S_{h,u}$ выступает оператор сферического сдвига с шагом $u$ (см., например, [18])
$$
\begin{equation*}
S_uf(x)=\frac{1}{|\sigma^{m-2}|\sin^{2\lambda}u} \int_{(x,y)=\cos u}f(y)\,dt(y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $|\sigma^{m-2}|$ – “площадь поверхности” сферы $\sigma^{m-2}$. В этом случае система $h$ удовлетворяет условиям (1.4), (1.5) (см. [5]). Пусть, далее,
$$
\begin{equation*}
\psi(n)=\psi(n,\lambda)=(n(n+2\lambda))^{-r/2},\qquad r>0,\quad \lambda=\frac{m-2}{2}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
– мультипликатор, отвечающий дифференциальному оператору Лапласа–Бельтрами $\Lambda^r$,
$$
\begin{equation*}
W_r^{(p,q)}=W_r^{(p,q)}(\sigma^{m-1}) :=L^\psi S^{(p,q)},\qquad D^\psi=\Lambda^r,\quad f^\psi=f^{(r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
$W_r^{(p,q)}$ – пространство типа Соболева,
$$
\begin{equation*}
\omega_r(f;\delta)_{p,q} :=\Omega_r(f;\delta)_{p,q} =\sup_{0<u\leqslant\delta}\biggl(\,\sum_{n=0}^\infty \biggl(1-\frac{P_n^\lambda(\cos u)}{P_n^\lambda(1)}\biggr)^{rq/2} \|Y_n^\lambda(f)\|_p^q\biggr)^{1/q}
\end{equation*}
\notag
$$
– модуль непрерывности порядка $r>0$ функции $f$ в пространстве $S^{(p,q)}$. Поскольку (см. [19])
$$
\begin{equation*}
1-\frac{P_n^\lambda(\cos u)}{P_n^\lambda(1)} \leqslant c_6n(n+2\lambda),\qquad c_6=c_6(\lambda),\quad u\in\biggl(0,\frac{\pi}{2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
то т.е. условие (1.12) здесь выполнено при $s=1$. Условие (3.1) также выполнено при $s=1$, $a=2$ в силу того, что [19]
$$
\begin{equation*}
1-\frac{P_n^\lambda(\cos u)}{P_n^\lambda(1)} \geqslant c_7n(n+2\lambda)u^2,\qquad un\leqslant 2,\quad u\in[0,1],
\end{equation*}
\notag
$$
и тогда Условие (3.8) также выполняется для системы $\psi$ при $s=1$, поскольку
$$
\begin{equation*}
|\psi(n)|n^r \leqslant n^{-r/2}\biggl(n\biggl(1+\frac{2\lambda}{n}\biggr)\biggr)^{-r/2}n^r \leqslant (1+2\lambda)^{-r/2}=C.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь Тогда в качестве оператора $S_{h,u}$ будем иметь известный оператор Гаусса–Вейерштрасса $W_u$, определенный равенством с ядром (зональной функцией)
$$
\begin{equation*}
w_u(\cos\theta) =\sum_{k=0}^\infty e^{-k(k+2\lambda)u}z_k(\cos\theta),\qquad 0\leqslant\theta\leqslant\pi,
\end{equation*}
\notag
$$
где $z_k(\,\cdot\,)$ – система зональных сферических гармоник. В этом случае [18] и при $\psi(n)=(n(n+2\lambda))^{-r/2}$
$$
\begin{equation*}
(1-h_n(u))^{r/2}|\psi(n)|\asymp u^{r/2},\qquad u\to 0+0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. условия (1.12) и (3.1) выполняются при $s=1/2$. При таком $s$ будет выполняться и условие (3.8)
$$
\begin{equation*}
|\psi(n)|n^{r/2}\leqslant\frac{c_8}{n^{r/2}}\leqslant c_8.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим в рассматриваемом случае
$$
\begin{equation*}
\widetilde\omega_r(f;\delta)_{p,q} :=\sup_{0<u\leqslant\delta} \biggl(\,\sum_{n=0}^\infty(1-e^{-n(n+2\lambda)u})^{rq/2} \|Y_n^\lambda(f)\|_p^q\biggr)^{1/q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, пусть
$$
\begin{equation*}
D(x;y):=\{y:y\in\sigma^{m-1},\,(x,y)\geqslant\cos u,\,u>0\}
\end{equation*}
\notag
$$
– сферический сегмент поверхности $\sigma^{m-1}$ с центром в точке $x$ и сферическим радиусом $u$, $D(u)$ – площадь ее поверхности. Полагая
$$
\begin{equation*}
h_n(u)=B_n^\lambda(u):=\frac{|\sigma^{m-2}|}{P_n^\lambda(1)D(u)} \int_0^uP_n^\lambda(\cos\theta)\sin^{2\lambda}\theta\,d\theta,
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к оператору, определяющему среднее значение функции $f\in L(\sigma^{m-1})$ при этом [18]
$$
\begin{equation*}
Y_n^\lambda(Muf)=B_n^\lambda(u)Y_n^\lambda(f),\qquad n=0,1,\dots,
\end{equation*}
\notag
$$
и В таком случае для систем $\psi(n)=(n(n+2\lambda))^{-r/2}$ и $h$ справедливы условия (1.12) и (3.1) при $s=1$, поскольку Полагая
$$
\begin{equation*}
\omega_r^*(f;\delta)_{p,q} :=\sup_{0<u\leqslant\delta}\biggl(\,\sum_{n=0}^\infty(1-B_n^\lambda(u))^{rq/2} \|Y_n^\lambda(f)\|_p^q\biggr)^{1/q},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем модуль гладкости порядка $r>0$ функции $f\in S^{(p,q)}$ в пространстве $S^{(p,q)}$. Обозначая
$$
\begin{equation*}
K_\Lambda^r(f,\delta)_{p,q} :=\inf\{\|f-g\|_{p,q}+\delta\|\Lambda^rg\|_{p,q}:g\in W_r^{(p,q)}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На основании приведенных выше рассуждений и теоремы 1 приходим к следующему утверждению. Теорема 3. Для каждой функции $f\in S^{(p,q)}$, $p\in[1,\infty]$, $q\in[1,\infty)$ при всех $r>0$, $\delta\in(0,1)$ имеют место соотношения В частности, Отметим, что соотношение 1) при четных $r$ ранее было установлено в [17].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Las23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|