| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О росте сумм Биркгофа над поворотом окружности А. В. Кочергин Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050206 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ – окружность длины 1 с естественной метрикой и лебеговской мерой. Рассмотрим поворот окружности на угол $2\pi\rho$:
$$
\begin{equation*}
T_{\rho}\colon\mathbb{T}\to \mathbb{T}, \qquad T_{\rho}x=x+\rho\ (\operatorname{mod}1), \quad \rho\text{ иррационально},
\end{equation*}
\notag
$$
а также непрерывную на окружности функцию $f$ с нулевым средним:
$$
\begin{equation*}
f \colon\mathbb{T}\to\mathbb{R}, \qquad \int_{\mathbb{T}}f(x)\, dx=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $ f ^{r}(x) $, задаваемая формулой
$$
\begin{equation*}
f ^{r}(x)= \begin{cases} f(x)+f(T_{\rho}x)+\dots+f(T^{r-1}_{\rho}x) &\text{при } r>0, \\ 0 &\text{при } r=0, \\ -f(T^{-1}_{\rho}x)-\dots - f(T^{r+1}_{\rho} x )- f (T^{r}_{\rho}x) &\text{при } r<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
называется $r$-й суммой Биркгофа, построенной по отображению $T_{\rho}$ и функции $f\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$, (или $r$-й суммой Биркгофа над $T_{\rho}$ для функции $f$). Некоторые свойства сумм Биркгофа удобно иллюстрировать на примере цилиндрического отображения
$$
\begin{equation*}
T_{\rho,f}(x,y)\colon \mathbb{T}\times\mathbb{R}\to\mathbb{T}\times\mathbb{R}, \qquad T_{\rho,f}(x,y)= (T_{\rho} x, y+f(x)),
\end{equation*}
\notag
$$
которое Пуанкаре [1] рассматривал в качестве нетривиальной модели отображения плоскости. Итерации цилиндрического отображения описываются с помощью сумм Биркгофа: В частности, стремление $f^{r}(x)$ к бесконечности при $r\to\infty$ можно рассматривать как убегание в бесконечность траектории цилиндрического отображения. Иррациональный поворот окружности является строго эргодическим преобразованием, лебеговская мера является единственной инвариантной относительно $T_{\rho}$ вероятностной мерой, а последовательность $(1/r)f^{r}(x)$ средних Биркгофа для непрерывной функции $f$ равномерно сходится к среднему значению этой функции, т.е. в нашем случае, к нулю. Этот факт является естественным ограничением для скорости убегания траекторий в бесконечность, т.е. скорости роста сумм Биркгофа. Отсюда следует и то, что случай ненулевого среднего $f$ неинтересен, так как при ненулевом среднем все траектории цилиндрического отображения убегают в бесконечность (суммы Биркгофа равномерно стремятся к бесконечности) при $r\to \infty$. С поворотами окружности естественным образом связаны сохраняющие меру Лебега потоки на двумерном торе $\mathbb{T}^{2}=\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}$. Например, рассмотрим линейный поток, задаваемый системой дифференциальных уравнений $\dot{x}_1=\rho$, $\dot{x}_2=1$. Пусть $\varphi(x_1,x_2)$ – непрерывная на $\mathbb{T}^{2}$ функция. Аналогом суммы Биркгофа для потока является интеграл вдоль траектории:
$$
\begin{equation*}
\varphi^{t}(x_1,x_2)=\int_{0}^{t}\varphi(x_1+\rho s,\, x_2+s)\,ds.
\end{equation*}
\notag
$$
Пуанкаре [2] привел пример потока и непрерывной функции $\varphi$ с нулевым средним, для которых $\lim_{t\to +\infty}\varphi^{t}(0,0)=+\infty$. Подробно этот пример разобран в книге Козлова [3; гл. 8, § 2]. Его можно интерпретировать как пример потока на цилиндре $\{ (x_1,x_2,y)\colon (x_1,x_2)\in \mathbb{T}^{2},\, y\in \mathbb{R}\}$:
$$
\begin{equation*}
S^{t}(x_1,x_2,y)=\bigl(x_1+\rho t,\,x_2+1\cdot t,\,y+\varphi^{t}(x_1,x_2)\bigr);
\end{equation*}
\notag
$$
у этого потока некоторые траектории стремятся к бесконечности при $t\to\infty$, причем, как отметил Козлов, не медленнее, чем $|t|^{\gamma}$ при некотором $0<\gamma<1$. С другой стороны, у этого потока существуют траектории, возвращающиеся близко к исходной точке бесконечно много раз. Из этого примера, в частности, следует существование иррационального поворота окружности и функции $f$ с нулевым средним, для которых суммы Биркгофа в некоторых точках стремятся к бесконечности, а соответствующее цилиндрическое отображение имеет убегающую в бесконечность траекторию. В самом деле, возьмем $\rho$ из построенного примера и положим $f(x)=\varphi^{1}(x,0)$. С другой стороны, для гладкой функции $\varphi$ с нулевым средним справедлива теорема о возвращении: для каждой точки $(x_1,x_2)$ тора существует такая бесконечно большая последовательность моментов $t_i$, что $\varphi^{t_i}(x_1,x_2)\to 0$. Аналогичные эффекты были установлены для сумм Биркгофа над поворотом окружности. Вообще, динамика изменения сумм Биркгофа над поворотом окружности может быть весьма разнообразна и существенно зависит от соотношения свойств функции и угла поворота. Рассмотрим простейший пример – случай кограницы, который используется в дальнейшем. Функция $f$ называется кограницей над $T_{\rho}$, если существует такая непрерывная на $\mathbb{T}$ функция $F$, что для всех $x$ В этом случае суммы Биркгофа вычисляются по формуле и ограничены в совокупности. Разрешимость уравнения (1.1) является также и необходимым условием равномерной ограниченности сумм Биркгофа: если непрерывная $f$ не является кограницей, то суммы Биркгофа не ограничены (даже при нулевом среднем $f$). Более того, цилиндрическое отображение $T_{\rho,f}(x,y)= (T_{\rho} x, y+f(x))$ топологически транзитивно1 на $\mathbb{T} \times \mathbb{R}$ (см. [4]).Для функций $f$ ограниченной вариации справедливо утверждение (см. [6]): если несократимая дробь $p/q$ такова, что $|\rho-p/q|<1/q^{2}$, то для любых $x,y\in\mathbb{T}$ выполняется неравенство Значит, учитывая нулевое среднее $f$, получаем равномерную по $x$ возвращаемость в ограниченный интервал значений биркгофовых сумм для номеров – знаменателей подходящих к $\rho$ дробей. Козлов [7] доказал для функции класса $C^{2}$ равномерную сходимость к среднему значению сумм Биркгофа с подходящими номерами, потом Крыгин [8] доказал аналогичный факт для $C^{1}$, а Сидоров [9] обобщил этот результат на случай абсолютно непрерывных функций.С другой стороны, Безикович [10] обобщил пример Пуанкаре и показал, что для любого иррационального $\rho$ существует непрерывная функция, для которой суммы Биркгофа над $T_\rho$ в некоторых точках стремятся к бесконечности. Для соответствующего цилиндрического отображения $T_{\rho,f}$ это означает, что оно имеет дискретные орбиты, являющиеся замкнутыми множествами. Множество точек $x\in\mathbb{T}$, в которых $f^{r}(x)\to\infty$ при $|r|\to\infty$, мы называем множеством Безиковича. Вопросы о том, насколько массивным может быть множество Безиковича и для каких функций и поворотов оно непусто, как связаны степень непрерывности функции и массивность множества Безиковича, а также некоторые другие вопросы изучались в ряде работ. Очевидно, как уже отмечалось выше, что множество Безиковича пусто для функций ограниченной вариации и более гладких. В силу строгой эргодичности иррационального поворота множество Безиковича имеет нулевую меру Лебега. Леманчик и Фрончек показали [11], что оно может иметь положительную размерность Хаусдорфа даже для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. В существующих примерах [12], [13] прослеживается некоторая связь между показателем Гёльдера $\gamma$ и оценками массивности множества Безиковича: для любого $\gamma\in(0,1)$ существуют иррациональный поворот окружности $T_{\rho}$ и функция $f$, удовлетворяющая условию Гёльдера с показателем $\gamma$, такие, что размерность множества Безиковича $B$ удовлетворяет неравенству При этом в примерах прослеживается закономерность: чем массивнее удается получить множество Безиковича, тем жестче условия, налагаемые на угол $\rho$.В работе [14] Дымек для каждого иррационального поворота построил такую непрерывную функцию, что множество Безиковича для сумм Биркгофа имеет полную размерность Хаусдорфа. Вопрос о скорости роста сумм Биркгофа в указанных работах не рассматривался, хотя похожий вопрос для интеграла вдоль траектории линейного потока на трехмерном торе изучался в работе Мощевитина [15]. При изучении спектральных свойств оператора взвешенного сдвига Антоневич [16] сформулировал вопрос о возможной скорости роста сумм Биркгофа. Поворот окружности $T_{\rho}$ порождает в $C(\mathbb{T})$ и в каждом из пространств $L_p(\mathbb{T})$, $p\ge 1$, оператор сдвига и семейство операторов взвешенного сдвига где $a \in C(\mathbb{T})$. Итерации оператора взвешенного сдвига (при $a>0$) имеют вид
$$
\begin{equation*}
(A_{a,\rho}^{n} u)(x) = a(x)a(T_{\rho}x)\dotsb a(T_{\rho}^{n-1}x)u(T_{\rho}^{n}x) =\exp(f^{n}(x))u(T_{\rho}^{n}x),
\end{equation*}
\notag
$$
где Поэтому рост норм $\|A_{a,\rho}^{n}\|$, а значит, и норма резольвенты, связаны с ростом сумм Биркгофа функции $f(x)=\ln a(x)$. В работе [17] предложена конструкция, позволяющая для любого иррационального $\rho$ и наперед заданной последовательности вида $o(r)$ построить такую непрерывную функцию $f$, что последовательность $f^{r}(0)$ при $r\to\infty$ растет быстрее заданной последовательности. С помощью этой конструкции показано, что для любой наперед заданной бесконечно большой при $t\to +0$ положительной выпуклой функции $\Phi(t)$ существует оператор взвешенного сдвига со спектральным радиусом 1, норма резольвенты $\|R(\lambda)\|$ которого растет при $|\lambda|\to 1+0$ быстрее, чем $\exp(\Phi(|\ln\lambda|)) $. В настоящей статье обобщены результаты [14] и [17]: убегание орбиты с наперед заданной допустимой (с учетом эргодической теоремы) скоростью происходит не для одной точки, а для множества полной размерности Хаусдорфа. 2. Основная теоремаТеорема 1. Для любого иррационального поворота окружности $T_\rho$ и любой строго убывающей бесконечно малой последовательности $\{ \sigma_r\colon \sigma_1<1\}$ найдется непрерывная на $\mathbb{T}$ функция $f$ с единичной нормой и нулевым средним, а также несчетное множество $D$ такие, что для любого $r\in \mathbb{N} $ и любого $x\in D$ выполняется неравенство При этом Схема доказательства. Мы построим искомую функцию $f$ в виде суммы ряда где $\sum_k a_k$ – произвольный ряд, удовлетворяющий условиям а последовательность – это подпоследовательность построенной ниже последовательности непрерывных функций $\{ f_n\}$ единичной нормы и со значением $f_n(0)=1$. Выбор подпоследовательности зависит от числа $\rho$, последовательности $\{\sigma_r\}$ и ряда $\sum_k a_k$. Нетрудно видеть, что Каждой из функций $f_n$ соответствует множество $D_n\subset \mathbb{T}$ и, условно говоря, срок службы $t_n$, причем $t_n\to\infty$. Для каждой точки $x\in D_n$ при изменении номера итерации $r$ в пределах срока службы, от 0 до $t_n$, значения сумм Биркгофа $f_n^{\pm r}(x)$ растут с единичной скоростью. По окончании срока рост сумм Биркгофа прекращается, но известно, что на множестве $D_n$ всегда $f_n^{r}(x)\ge -1/2$. Соответственно, положим
$$
\begin{equation*}
D=\bigcap_k \overline D_k, \qquad \overline D_k=D_{n_k}, \quad \overline t_k=t_{n_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $D$ непусто, так как $\{0\}\in D$. Сначала в пределах наименьшего для выбранных слагаемых срока службы на множестве $D$ все слагаемые обеспечивают единичную скорость роста сумм $f^{\pm r}(x)$. По истечении $\overline t_1$ первое слагаемое “выбывает из строя”, но не очень портит картину, остальные слагаемые поддерживают чуть более низкую скорость роста $f^{\pm r}(x)$, и т.д. Нужно только так выбрать последовательность $n_k$, чтобы скорость роста $f^{\pm r}(x)$ с ростом $r$ снижалась достаточно медленно, а значит, слагаемые “выбывали из строя” достаточно редко, следовательно, сроки службы $\overline t_k=t_{n_k}$ достаточно быстро росли с ростом $k$. Вторая проблема – размерность Хаусдорфа $\dim_H(D)$ – решается за счет увеличения количества элементов множества $D_n$. Это увеличение достигается путем модификации функций $f_n$, но с сокращением срока их службы. Эти противоречивые требования удается согласовать. 3. Построение $f$, $D$ и скорость роста сумм Биркгофа3.1. Построение $f_n$ и $D_n$Пусть задано иррациональное число $\rho$, $\{ {p_n}/{q_n}\} $ – последовательность подходящих к $\rho$ дробей. Пусть $\{ m_n\} $ – последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая условию
$$
\begin{equation}
\frac{q_{n+1}}{m_n}\to \infty \qquad\text{при}\quad n\to\infty.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Собственно, это условие используется в этом пункте для построения функции с быстрым ростом сумм Биркгофа. Для того чтобы выполнялось условие на размерность Хаусдорфа, мы потребуем достаточно быстрого роста $m_n$, но так, чтобы это не противоречило (3.1):
$$
\begin{equation}
m_n\asymp q_{n+1}^{1-\theta_n}, \qquad\text{где} \quad \theta_n \searrow 0, \quad q_{n+1}^{\theta_n}\to \infty.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Например, можно взять $\theta_n={1}/{\ln(n+1)}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\frac{q_{n+1}}{m_n}\asymp q_{n+1}^{\theta_n}\asymp \exp\biggl( \frac{\ln q_{n+1}}{\ln (n+1)}\biggr) \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
так как в аргументе экспоненты числитель растет не медленнее, чем линейно, а в знаменателе стоит логарифм. Последнее условие в (3.2) влечет (3.1). Обозначим $\delta_n=| \rho-{p_n}/{q_n}|$. Известно, что [18]
$$
\begin{equation*}
\rho=\frac{p_n}{q_n}+(-1)^{n}\delta_n, \qquad \frac{1}{2q_nq_{n+1}}<\delta_n <\frac{1}{q_nq_{n+1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим где $F_n$ – функция периода ${1}/(m_nq_n)$, задаваемая формулой
$$
\begin{equation*}
F_n(x)=\frac{1}{\delta_n}|x|, \qquad x\in \biggl[-\frac{1}{2m_nq_n},\frac{1}{2m_nq_n}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, положим
$$
\begin{equation*}
D_n=\bigcup_j D_{n,j}, \qquad D_{n,j}=\biggl[-\frac{\delta_n}{2},\frac{\delta_n}{2}\biggr]+\frac{j}{m_nq_n}, \quad j=0,\dots,m_nq_n-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, множество $D_n$ имеет, как и функции $F_n$ и $f_n$, период $1/(m_nq_n)$. Назовем число сроком службы функции $f_n$. В силу наложенных выше условийЛемма 1. Функции $F_n$, $f_n$ и множество $D_n$ обладают следующими свойствами: 1) для любого $x\in \mathbb{T}$ и любого $r\in\mathbb{Z}$ справедливы равенства
$$
\begin{equation}
F_n(T_\rho x)=F_n(x+(-1)^{n}\delta_n), \qquad f_n(T_\rho x)=f_n(x+(-1)^{n}\delta_n), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
2) для любого $x\in D_n$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
f^{r}_n(x)\ge -\frac12 \qquad \textit{для любого} \quad r\in \mathbb{Z};
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
3) для любого номера $r\in [0,t_n ]$ и любого $x\in D_n$ справедливо неравенство 4) $f_n\in C(\mathbb{T})$, $\|f_n\|_{C}=1$, $|f_n(0)|=1$; 5) $\int_{\mathbb{T}}f_n(x)\, dx= 0 $. Таким образом, в период “срока службы” функции $f_n$, т.е. при $r\in [0,t_n]$ для точек множества $D_n$ значения сумм Биркгофа $f^{\pm r}_n(x)$ при изменении $r$ растут с единичной скоростью; далее этот рост прекращается. За пределами “срока службы” для этих точек $f^{r}_n(x)\ge -1/2$. Графики функций $F_n$ и $f_n$, а также элементы множества $D_n$, схематично изображены на рис. 1. С помощью графика функции $F_n$ легко получить график зависимости от $r$ значений сумм $f_n^{r}(x_j)$, где $x_j=j/(m_nq_n)$ – центр отрезка $D_{n,j}$. Для этого по оси абсцисс нужно откладывать значения $r$ в масштабе $\delta_n$, а начало координат поместить в точку $x_j$. В силу равенства (3.4) точки $(r;f_n^{r}(x_j))$ будут расположены на графике $F_n$ с шагом 1 по вертикали до перехода через точку излома графика, что и соответствует сроку службы функции $f_n$. Из-за малости значений $F_n(x)$ на $D_{n,j}$ графики зависимости $f_n^{r}(x)$ от $r$ для других точек $D_{n,j}$ отличаются не более чем на $1/2$. Доказательство леммы 1. Первые три равенства п. 1) следуют из периодичности функций $F_n$ и $f_n$, а также из соотношения Четвертое равенство получается из третьего и соотношения
Пусть $x\in D_n$. В силу одинаковой периодичности функций и множества $D_n$, можно считать, что $|x|\le \delta_n/2$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
0\le F_n(x)\le\frac{1}{\delta_n}\biggl|\frac{\delta_n}{2}\biggr|=\frac 12.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу (3.4) и неотрицательности $F_n$ мы получаем (3.6).
Пусть теперь $1\le r\le t_n$, $|x|\le \delta_n/2$. Покажем, что $|x\pm (-1)^{n}r\delta_n|<1/(2m_nq_n)$. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
|x\pm (-1)^{n}r\delta_n|\le |x|+r\delta_n\le \delta_n\biggl(\frac12+ t_n\biggr) <\frac{1}{q_nq_{n+1}}\,\frac{q_{n+1}}{2m_n}=\frac{1}{2m_nq_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда по определению $F_n$ при $1\le r\le t_n$, $|x|\le \delta_n/2$ имеем
$$
\begin{equation*}
F_n(x\pm (-1)^{n}r\delta_n)=\frac{1}{\delta_n}|x\pm (-1)^{n}r\delta_n| \ge \frac{1}{\delta_n}(r\delta_n-|x|)\ge r-\frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, учитывая (3.4) и (3.5), получаем (3.7).
По построению функция $F_n$ непрерывна, поэтому и $f_n$ непрерывна. Функция $F_n$ удовлетворяет условию Липшица с константой $1/\delta_n$, поэтому для любого $x\in \mathbb{T}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
|f_n(x)|=|F(x+(-1)^{n}\delta_n)-F(x)|\le \frac{1}{\delta_n}\cdot\delta_n=1.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, $f_n(0)=1$. Таким образом, $\|f_n\|_C=1.$
Наконец,
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}}f_n(x)\, dx= \int_{\mathbb{T}}F_n(T_\rho x)\, dx - \int_{\mathbb{T}}F_n(x)\, dx= 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма доказана. 3.2. Выбор подпоследовательности функцийПусть заданы последовательность $\{\sigma_k\searrow 0\colon \sigma_1<1\}$ и ряд $\sum_k a_k$ с положительными слагаемыми и единичной суммой. Для начала выберем последовательность номеров $r_k$, удовлетворяющих неравенствам
$$
\begin{equation}
\sigma_{r_k}\le 1-a_1-\dots -a_k=\sum_{i=k+1}^{\infty}a_i,
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Такой выбор возможен в силу положительности величины $1-a_1-\dots -a_k$ и бесконечной малости $\{\sigma_r \}$. Число $r_k$ задает минимально необходимый срок службы слагаемого с номером $k$. Теперь можно наложить условия на выбор последовательности $n_k$: для любого $k$ Оба эти условия всегда можно выполнить, так как $t_n\to \infty$ и $q_n\to \infty$. Второе условие гарантирует непустоту, более того, несчетность множества $D$, что будет показано ниже.Для получения необходимой оценки $\dim_H(D)$ введем еще одно, усиливающее (3.11), условие на скорость роста $q_{n_k}$, а значит, и $n_k$:
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}\frac{q_{n_{k+1}}}{q_{n_k}q_{1+n_k}}=\infty.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Из этого неравенства, начиная с некоторого номера, следует предыдущее. Чтобы избавиться, где это возможно, от двойных индексов, введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\overline f_k=f_{n_k}, \qquad \overline D_k=D_{n_k}, \qquad \overline t_k =t_{n_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, в дальнейшем мы будем использовать обозначения
$$
\begin{equation*}
\overline \delta_k=\delta_{n_k}, \qquad \overline D_{k,j}=D_{n_k,j}, \qquad \overline q_k =q_{n_k}
\end{equation*}
\notag
$$
и т.д. Наконец, положим
$$
\begin{equation*}
f=\sum_{k=1}^{\infty}a_k\overline f_k, \qquad D=\bigcap_{k=1}^{\infty}\overline D_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2. Функция $f$ и множество $D$ удовлетворяют следующим условиям: 1) множество $D$ несчетно; 2) для любого $x\in D$ и любого номера $r$ справедливо неравенство Доказательство. 1) Множество $D$ несчетно, поскольку неравенство (3.11) гарантирует, что каждый из отрезков вида $\overline D_{k,j}$, образующих $\overline D_k=D_{n_k}$ (будем их называть отрезками ранга $k$), содержит не менее двух отрезков ранга $k+1$, образующих $\overline D_{k+1}$. Покажем это. Длина отрезка ранга $k$ равна $|\overline D_{k,j}|=\overline \delta_k=\delta_{n_k}>1/(2q_{n_k}q_{1+n_k})$. С другой стороны, расстояние от начала одного отрезка ранга $k+1$ до начала следующего такого же отрезка составляет $1/(\overline m_{k+1}\overline q_{k+1})$. Оценим отношение этих величин:
$$
\begin{equation*}
\overline \delta_k\colon \frac{1}{\overline m_{k+1}\overline q_{k+1}} >\frac{ q_{n_{k+1}}}{2q_{n_k}q_{1+n_k}}>4
\end{equation*}
\notag
$$
(последняя оценка верна в силу (3.11)), что гарантирует попадание не менее двух отрезков ранга $k+1$ в каждый отрезок ранга $k$.
Из условия (3.12) следует, что количество отрезков ранга $k+1$, попадающих в отрезок предыдущего ранга, стремится к бесконечности при $k\to\infty$. 2) Пусть теперь $x\in D$. Это значит, что $x\in D_k$ для каждого $k$. Возьмем произвольный номер $r$ и выберем такое $k$, что $r_k\le r <r_{k+1}$. В соответствии с этим сумму Биркгофа $f^{r}(x)$ представим в виде
$$
\begin{equation*}
f^{r}(x)=\sum_{i=1}^{k}a_i\overline f_i^{r}(x)+\sum_{i=k+1}^{\infty}a_i\overline f_i^{r}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства (3.10) $r$ попадает в срок службы каждого из слагаемых, начиная с $a_{k+1}\overline f_{k+1}(x)$, т.е. $r\le \overline t_i$ при $i\ge k+1$, поэтому, применяя (3.7) и затем (3.8), имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=k+1}^{\infty}a_i\overline f_i^{r}(x)\ge (r-1)(a_{k+1}+a_{k+2}+\dotsb)\ge (r-1)\sigma_{r_{k}}\ge (r-1)\sigma_r.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого из первых $k$ слагаемых согласно (3.6) выполнено неравенство $a_i\overline f_{i}^{r}(x)\ge -a_i/2$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{k}a_i\overline f_i^{r}(x)\ge -\frac{1}{2}(a_{1}+\dots+ a_{k})> -\frac12.
\end{equation*}
\notag
$$
Складывая два последних неравенства, получаем (3.13). Из неравенства (3.13) следует выполнение неравенства (1) основной теоремы. 4. Размерность Хаусдорфа Доказательство. Используем метод оценки размерности Хаусдорфа из книги Фальконера [19; пример 4.6]. Отрезки, из которых состоит множество $\overline D_{k}$, мы называем отрезками ранга $k$. Обозначим через $s_k$ наименьшее число отрезков ранга $k$, содержащихся в каждом отрезке ранга $k-1$, $\varepsilon_k$ – наименьшее расстояние между отрезками ранга $k$. Тогда
Покажем, что в нашем примере
$$
\begin{equation}
\lim_{k\to \infty} \dfrac{\ln (s_2 \dotsb s_k)}{-\ln(s_{k+1}\varepsilon_{k+1})}= \lim_{k\to \infty} \dfrac{\ln s_k}{-\ln(s_{k+1}\varepsilon_{k+1})+\ln(s_{k}\varepsilon_{k})}=1,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
откуда и следует утверждение леммы, ибо больше 1 размерность Хаусдорфа множества на окружности быть не может. Переход осуществлен с помощью теоремы Штольца. Для ее применения достаточно доказать второе равенство в (4.1).
В центре каждого отрезка вида
$$
\begin{equation*}
\frac{j}{\overline m_k\overline q_k}+\biggl[-\frac{1}{2\overline m_k\overline q_k}, \frac{1}{2\overline m_k\overline q_k}\biggr]
\end{equation*}
\notag
$$
длины $1/(\overline m_k\overline q_k)$ содержится ровно один отрезок ранга $k$ длины $\overline\delta_k$. Это означает, что можно записать
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s_k=\overline \delta_{k-1}\colon \frac{1}{\overline m_k\overline q_k}+O(1)=\overline m_k\overline q_k \overline\delta_{k-1} +O(1),\\ \varepsilon_{k+1} =\frac{1}{\overline m_{k+1}\overline q_{k+1}}-\overline\delta_{k+1} =\frac{1}{\overline m_{k+1}\overline q_{k+1}} (1- \overline m_{k+1}\overline q_{k+1}\overline\delta_{k+1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия (3.1) следует, что для любого $n$ (в том числе для $n=n_{k+1}$) выполняется $m_nq_n\delta_n\to 0$. В самом деле, в силу $\delta_n\asymp 1/(q_nq_{n+1})$
$$
\begin{equation*}
m_nq_n\delta_n\asymp\frac{m_nq_n}{q_nq_{n+1}}=\frac{m_n}{q_{n+1}}\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, можно записать, что $\overline m_{k+1}\overline q_{k+1}\overline\delta_{k+1}=o(1)$ и
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{k+1}=\dfrac{1}{\overline m_{k+1}\overline q_{k+1}}(1+o(1)).
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из (3.12) и (3.11) следует, что при $k\to\infty$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, s_k=\overline m_k \overline q_k\overline\delta_{k-1}+O(1)\to\infty, \nonumber \\ \overline\delta_k<\overline\delta_{k-1}^{2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Действительно (со сдвигом индекса $k$ на единицу),
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \overline m_k \overline q_k\overline\delta_{k-1}=m_{n_k}q_{n_k}\delta_{n_{k-1}}\asymp \frac{m_{n_k}q_{n_k}}{q_{n_{k-1}}q_{1+n_{k-1}}}> \frac{q_{n_k}}{q_{n_{k-1}}q_{1+n_{k-1}}}\to\infty, \\ \frac{\overline\delta_k}{\overline\delta_{k-1}^{2}} =\frac{\delta_{n_{k}}}{\delta_{n_{k-1}}^{2}}\asymp \frac{q_{n_{k-1}}q_{1+n_{k-1}}}{q_{n_k}}\,\frac{q_{n_{k-1}}q_{1+n_{k-1}}}{q_{1+n_k}}< \frac{q_{n_{k-1}}q_{1+n_{k-1}}}{q_{n_k}}\,\frac{q_{n_{k-1}}q_{1+n_{k-1}}}{q_{n_k}}<\frac{1}{64}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s_{k+1}\varepsilon_{k+1}=\overline\delta_{k}(1+o(1)), \\ \ln s_k=\ln \overline m_k+\ln\overline q_k+\ln\overline\delta_{k-1}+o(1), \qquad \ln s_{k+1}\varepsilon_{k+1}=\ln\overline\delta_k+o(1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Применим эти равенства к (4.1).
Покажем, что последовательность
$$
\begin{equation*}
\frac{\ln s_k}{-\ln(s_{k+1}\varepsilon_{k+1})+\ln(s_{k}\varepsilon_{k})}-1
\end{equation*}
\notag
$$
бесконечно мала при $k\to\infty$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber \frac{\ln s_k}{-\ln(s_{k+1}\varepsilon_{k+1})+\ln(s_{k}\varepsilon_{k})}-1 &=\frac{\ln \overline m_k+\ln\overline q_k+\ln\overline\delta_{k-1}+o(1)} {-\ln\overline\delta_k+\ln\overline\delta_{k-1}+o(1)}-1 \\ &=\frac{\ln \overline m_k+\ln\overline q_k+\ln\overline\delta_{k}+o(1)} {-\ln\overline\delta_k+\ln\overline\delta_{k-1}+o(1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Из определения $m_n$ (3.2) и неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2q_{n}q_{n+1}}<\delta_n<\frac{1}{q_{n}q_{n+1}}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что при $k\to\infty$ выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\ln\overline m_k=(1-\theta_{n_k})\ln q_{1+n_k}+O(1), \qquad \ln\overline\delta_k=-\ln q_{n_k}-\ln q_{1+n_k}+O(1),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в числителе получаем $-\theta_{n_k}\ln q_{1+n_k}+O(1)$.
Для знаменателя, используя (4.2), получаем оценку
$$
\begin{equation*}
-\ln\overline\delta_k+\ln\overline\delta_{k-1}+o(1)>-\frac{1}{2}\ln\overline\delta_{k}+o(1)= \frac{1}{2}(\ln q_{1+n_k}+\ln q_{n_k})+O(1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, выражение в (4.3) – бесконечно малая последовательность, откуда и следует (4.1). Таким образом, теорема 1 полностью доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koc23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|