| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Дифференциальные и интегральные операции в скрытой сферической симметрии и размерность кривой Коха Л. Н. Ляховabc, Е. Л. Санинаa a Воронежский государственный университет b Липецкий государственный педагогический университет c Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030227 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ основе статьи лежит наблюдение о том, что интеграл со степенным весом, имеющим дробный показатель, зависит от радиуса сферы в пространстве $\mathbb{R}_n$ так же, как если бы эта величина определялась мерой сферы дробной размерности. Это позволит определить на $n$-мерном евклидовом пространстве некоторую структуру дробной размерности $d\in(n-1,n)$. Последнее удалось доказать с привлечением интегральной меры со слабой сингулярностью. Исследование интегральных и дифференциальных операций на основе интегральной меры $x^{-\gamma}\,dx$, $0<\gamma<1$, было предложено И. А. Киприяновым на одном из научных семинаров в ВГУ в середине 70-х годов прошлого века. В этой связи указанную выше меру будем называть интегральной мерой Лебега–Киприянова. В работе [1] на основе меры $\prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i}\,dx_i$, $\gamma_i>-1$, было получено представление Бельтрами сингулярного дифференциального оператора
$$
\begin{equation}
\Delta_B=\sum_{i=1}^n B_{\gamma_i}, \qquad B_{\gamma_i}=\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}+\frac{\gamma_i}{ x_i}\,\frac{\partial}{\partial x_i}, \quad\gamma_i>-1,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
в виде
$$
\begin{equation}
\Delta_B=B_{n+|\gamma|-1}+\frac{1}{r^2}(\Delta_B)_{S^+},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $r=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$,
$$
\begin{equation*}
B_{n+|\gamma|-1}=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{n+|\gamma_i|-1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r},
\end{equation*}
\notag
$$
а через $(\Delta_B)_{S^+}$ обозначен оператор $\Delta_B$ на части сферы
$$
\begin{equation*}
S^+=S^+_r(n)=\bigl\{x\colon |x|=r,\, x_i>0,\, i=1,\dots,n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Площадь поверхности такой сферы в $\mathbb{R}_n$ определяется по формуле
$$
\begin{equation}
|S_1(n)|_\gamma={2}^n|S^+_1(n)|_\gamma, \qquad |S^+_1(n)|_\gamma=\int_{S_1^+(n)} \prod_{i=1}^n\Theta_i^{\gamma_i}\,dS= \frac{\prod_{i=1}^n\Gamma((\gamma_i+1)/2)}{2^{n-1}\Gamma((n+|\gamma|)/2)}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Формула (1.3) справедлива для всех показателей $\gamma_i>-1$. При $-1<\gamma_i<0$ оператор (1.1) называется оператором Киприянова [1]. При $\gamma_i\geqslant0$ представление Бельтрами $\Delta_B$-оператора в виде (1.2) известно (см. например [2]–[4]).Оператор (1.1) оказывается не только более общим, но при $-1<\gamma_i\leqslant 0$ обладает специфическими свойствами, что отчасти обнаружено в работе [1]. В этой работе рассматривается возможность определения дифференциальных и интегральных операций в метрических областях нецелой размерности на основе сферической симметрии. Мы увидим, что сферическая симметрия (в ряде случаев – предполагаемая) очень просто связана с евклидовой и хаусдорфовой размерностями этих областей (см. далее теорему 3). Исследования в области фундаментальной физики привели к пониманию того, что именно симметрия обуславливает взаимосвязи сил в природе. Приведем цитату [5; с. 12]: “Математический анализ сил, ответственных за формирование материи, … выявляет наличие скрытых симметрий с тонкими свойствами”. Такие “скрытые симметрии с тонкими свойствами” здесь (и в [1]) изучаются на основе введенной выше специальной интегральной меры Лебега–Киприянова со слабой сингулярностью по каждой из евклидовых переменных1. Через $\gamma=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$ обозначим мультииндекс, координаты которого $\gamma_i>-1$, $i=1,\dots,n$, при этом число $|\gamma|=\gamma_1+\dots+\gamma_n$ (обычно называемое длиной мультииндекса) может быть отрицательным, но всегда $n+|\gamma|>0$. Для радиальной функции из представления (1.2) имеем
$$
\begin{equation}
\Delta_B f(|x|)=B_\mu f(r), \qquad\mu={n-1+|\gamma|}, \quad |\gamma|=\gamma_1+\dots+\gamma_n,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\mu>-1$. В решениях многих классических и прикладных краевых задач математики, механики, физики с оператором Лапласа можно увидеть присутствие скрытых сферических симметрий. Простой пример: равенство
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 u(x_1,x')}{\partial x^2_1}=\sum_{j=1}^m B_{\gamma_i}u(y,x'), \qquad x_1=|y|, \quad y\in\mathbb{R}_m,
\end{equation*}
\notag
$$
выполняется для произвольной размерности $m$ евклидова пространства $\mathbb{R}_m$ с одним условием $|\gamma|=0$. Более общий случай заключается в том, что для выполнения равенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta_{B_\gamma}f(|x|)=\biggl(\sum_1^m \frac{\partial^2}{\partial y_i^2} +\frac{\delta_i}{y_i}\frac{\partial}{\partial y_i }\biggl)f(|y|), \qquad\text{где}\quad |x|=|y|, \\ \Bigl(r=|x|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}=|y|=\sqrt{y_1^2+\dots+y_m^2}, \qquad\gamma_i>-1\Bigr) \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
достаточно, чтобы $|\gamma|=|\delta|$ при соответствующих $\delta_i>-1$. Для положительных значений параметров $\gamma_i$ в работе [2] доказана теорема “о сложении особенностей” фундаментальных решений различных $\Delta_B$-операторов. Указанная теорема есть частный случай равенства (1.5), поскольку равенство операторов, вызванное введением координат со скрытой сферической симметрией, повлечет за собой равенство особенностей соответствующих фундаментальных решений. Сформулированные далее теоремы 1 и 2 представляют собой еще два варианта обобщения теоремы Киприянова–Иванова [2] “о сложении особенностей”. Множества дробной размерности по существу трансцендентные2. Проверить существование структур, наделенных скрытой сферической симметрией, все же можно на примере вычисления размерности структур, называемых фракталами, поскольку основной математической характеристикой фракталов служит именно дробная размерность. Мы приведем соответствующий пример для определения размерности кривой Коха и размерностей поколений кривой Коха, выраженные через коэффициент скрытой сферической симметрии. Оказалось, что предположив существование скрытой сферической симметрии, можно найти точное значение указанного коэффициента для соответствующего поколения кривой Коха и размерность $m$-го поколения этой кривой. Приведем также результаты вычисления размерностей предканторовых множеств. 2. Нецелочисленная размерность оператора ЛапласаИнтерес к теме этого пункта отчасти связан с работой [7], где оператор Бесселя с дробным индексом представлен как “обобщение оператора Лапласа нецелочисленной размерности”. Пусть оператор Бесселя
$$
\begin{equation*}
B_{\beta}=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{\beta}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}, \qquad \beta>0,
\end{equation*}
\notag
$$
имеет дробный параметр $\beta=[\beta]+\{\beta\}$ с целой частью $[\beta]=n-1$. Тогда, полагая $r=|x|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$ или $r=|x|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_{n+1}^2}$, имеем два равенства (первое из которых хорошо известно [3], а второе вытекает из представления оператора (1.1) формулой (1.2) или (1.4)):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, B_\beta f(r)=\Delta_nf(|x|)+\frac{\{\beta\}}{x_1}\,\frac{\partial f(|x|)}{\partial x_1}, \qquad 0<\{\beta\}<1, \\ B_\beta f(r)=\Delta_{n+1}f(|x|)+ \frac{(-1+\{\beta\})}{x_i}\,\frac{\partial_if(|x|)}{\partial x_i}, \qquad -1+\{\beta\}=\gamma_i, \quad 0>\gamma_i>-1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если в первой формуле $\{\beta\}\to0$, а во второй $\{\beta\}\to1$, то оператор Бесселя $B_\beta$ окажется соответственно оператором Лапласа в $\mathbb{R}_n$ или в $\mathbb{R}_{n+1}$. При этом число $\beta+1=n+\{\beta\}$ принадлежит интервалу $(n,n+1)$ и поэтому имеет право называться дробной размерностью оператора Лапласа. По-видимому, это использовано в [7] (и не только там, см. имеющиеся в этой работе ссылки), но без должного обоснования. Однако если принять формулу (1.3) за площадь поверхности сферы дробной размерности, то соответствующий интеграл по шару дробной размерности окажется определенным интегралом Римана–Лиувилля3 [8]. При этом каждая евклидова координатная ось $x_i$ (с $\gamma_i\neq0$) приобретает дробную размерность $1+\gamma_i>0$. Функцию $f=f(r)\in C_2(0,\infty)$ будем называть четной по Киприянову, если $\lim_{x\to+0}f'(r)=0$ (см. [3; с. 21]). Теорема 1. Пусть $\beta=n+\gamma_1+\dots+\gamma_n=n+|\gamma|$, и пусть функция $f$ четная по Киприянову по каждой координате точки $x\in\mathbb{R}_n$. Если $[|\gamma|]$ и $\{|\gamma|\}$ – целая и дробная части числа $|\gamma|$, то Доказательство непосредственно вытекает из формулы (1.2) и предварительных рассуждений. Из этой теоремы следует, что число $n+|\gamma|$ (вообще говоря, дробное) играет роль размерности оператора Лапласа в неком трансцендентном пространстве дробной размерности. 3. Дробная размерность области интегрирования по весовой мере со слабой особенностьюMеру интегрирования Лебега–Киприянова в $\mathbb{R}_n$ определим равенством
$$
\begin{equation*}
d\mu_n^{\gamma}(x)=x^\gamma dx= \prod_{i=1}^n|x_i|^{\gamma_i}\,dx_i, \qquad\gamma_i>-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее будем предполагать, что радиальная функция $f(|x|)\in L_1^\gamma(\mathbb{R}_n)$, т.е. абсолютно интегрируема по мере $d\mu_n^{\gamma}$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}_n} f(|x|)x^\gamma\,dx= |S_1(n)|_\gamma\int_0^\infty f(r)r^{n+|\gamma|-1}\,dr, \qquad |\gamma|=\gamma_1+\dots+\gamma_n, \quad \gamma_i>-1,
\end{equation*}
\notag
$$
где площадь нагруженной сферы $|S_1(n)|_\gamma$ вычисляется по формуле (1.3) (напомним, что эта формула справедлива для всех $\gamma_i>-1$, см. [1]). Теорема 2. Пусть $\gamma=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$, $\gamma_i>-1$, $|\gamma|=n-1+\{|\gamma|\} =[|\gamma|]+\{|\gamma|\}$ и $f=f(|x|)$ – интегрируемая по мере $d\mu_n^{\gamma}$ функция. Тогда Доказательство. Пусть выполнено равенство Перейдем к доказательству (3.3). Вначале заметим, что интегрирование радиальной функции позволяет произвольно расставлять показатели весов $\gamma_i$ в произведении $\prod |x_i|^{\gamma_i}$ при неизменной длине мультииндекса $|\gamma|$ (см. (1.5)). Поэтому можем положить, что
$$
\begin{equation*}
\gamma'=\bigl([\gamma_1],\dots,[\gamma_{n-1}],[\gamma_n]+1,-\beta\bigr), \qquad \{|\gamma'|\}=1-\beta=\{|\gamma|\}, \qquad |\gamma|=|\gamma'|.
\end{equation*}
\notag
$$
То есть мы ввели еще одну “скрытую” переменную размерности $-\beta=\{|\gamma|\}-1$. Ясно, что при этом $\lim_{|\{\gamma\}|\to1} \gamma'=\lim_{\beta\to0}\gamma'=[\gamma]$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}_n} f(|x|)x^\gamma\,dx= C \int_{\mathbb{R}_{n+1+[|\gamma|]}} f(|x|)x^{\{\gamma'\}}dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Сферические замены координат в $\mathbb{R}_n$ слева и в $\mathbb{R}_{n+1}$ справа приведут это равенство к виду
$$
\begin{equation*}
|S_1(n)|_\gamma \int_0^\infty f(r)r^{n-1+|\gamma|}\,dr= C\bigl|S_1(n+1+[|\gamma|])\bigr|_{\{\gamma'\}} \int_0^\infty f(r)r^{n-1+|\gamma|}\,dr.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы применили здесь частный случай формулы (1.3) с отрицательной степенью веса $\{\gamma\}-1=-\beta\in(-1,0)$ по одной из переменных:
$$
\begin{equation*}
|S_1(n+1)|_{-\beta}=2^{n+1} \int_{S_1^+(n+1)} \Theta_1^{-\beta}\,dS= 2^{n+1}|S^+_1(n+1)|_{-\beta}= \frac{2\pi^{n/2} \Gamma((-\beta+1)/2)}{\Gamma((n+1-\beta)/2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, C= \frac{|S_1(n)|_\gamma}{S_1(n+1+[|\gamma|])|_{\{\gamma'\}}}, \\ \lim_{\{\gamma\}\to1}\frac{|S_1(n)|_{\gamma}}{|S_1(n+1+[|\gamma'|])|_{\{\gamma'\}}}= \lim_{\beta\to0}\frac{|S_1(n)|_{\gamma}}{|S_1(n+1+[|\gamma|])|_\beta}= \frac{|S_1(n)|_{[\gamma]}}{|S_1(n+1+[|\gamma|])|}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, опять применив в равенстве (3.2) теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получим равенство (3.3). Доказательство закончено. Отметим, что частные случаи формул (3.2) и (3.3) встречаются во многих работах, см., например, книгу [9; с. 15, формула (1.3)]). Замечание 1. Формула (1.3) имеет смысл при $n=1$. В этом случае получаем $|S_1(1)|_{\gamma_1}=2$ – длина отрезка $[-1,1]$. Тогда в левой части равенства (1.3) интегрирование четной функции $f$ происходит по координатной оси. И равенство $|S_1(1)|_\gamma=2$ ($|S_1^+(1)|_\gamma=1$) выполняется при $n=1$ и, вообще говоря, при любом $\gamma>-1$. В работе [8] изучались конструкции весовых частных интегральных операторов произвольного положительного порядка на основе определенного интеграла Римана–Лиувилля. Определенный правосторонний интеграл Римана–Лиувилля (порядка $\alpha>0$) формально оказывается интегралом по евклидову шару, вообще говоря, дробной размерности $\alpha=n+|\{\alpha\}|$. 4. Размерность Хаусдорфа, порожденная скрытой сферической симметриейКлассическое определение размерности Хаусдорфа $d_H$ геометрического объекта $\Omega$ существенно зависит от выбранной меры покрытия (см. [10; с. 146], [11; с. 779]). В рамках этой статьи в качестве покрытия удобно использовать сферы малого радиуса $\delta$, а в качестве такой меры покрытия, – разумеется, меру Лебега–Киприянова
$$
\begin{equation*}
d\mu_n^{\gamma}=\prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i}\,dx, \qquad \gamma_i>-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для работы с классическими фракталами более удобным оказалось определение размерности, данное Безиковичем. Размерность Хаусдорфа–Безиковича $d_H$ представляет собой “критическое число” такое, что мера $M_d$ множества $\Omega$ изменяет значение с нуля на бесконечность:
$$
\begin{equation*}
M_d=\sum \eta(d)\delta^d=\eta(d)N(\delta)\delta^d\to \begin{cases} 0&\text{при }d>d_H, \\ \infty&\text{при }d<d_H, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\eta(d)$ – геометрический коэффициент, зависящий от формы элементов, покрывающих множество (см. [12; формула (2.3)]). В этом определении существенно, что при определении размерности необходимо покрывать множество элементами всевозможных размеров, не превышающих некоторое малое значение, и определить infimum выражения $\eta(d)\sum\delta^d$. Предположим, что покрытие области $\Omega$ в $\mathbb{R}_n$ осуществляется сферами (отрезками для $n=1$, см. замечание 1) радиуса $\varepsilon$, а минимальное покрытие $\Omega$ состоит из $N(\varepsilon)$ слагаемых. Предположим также наличие скрытой сферической симметрии с параметрами $\gamma(\varepsilon) =(\gamma_1(\varepsilon),\dots,\gamma_n(\varepsilon))$, $-1<\gamma_i(\varepsilon)\leqslant0$. В каждом шаре покрытия введем локальные координаты с началом в центре шара покрытия. Весовая мера каждой из сфер покрытия определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
K_{\gamma,\varepsilon}= \int_{|x|<\varepsilon} \prod_{i=1}^n|x_i|^{\gamma_i(\varepsilon)}\,dx= |S_1(n)|_{\gamma}\frac{\varepsilon^{ d}}{d}, \qquad\text{где}\quad d=n+|\gamma|>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Исходя из определения размерности Хаусдорфа–Безиковича предположим, что при некотором $\gamma$ с условием $\gamma_i>-1$ существует такое конечное положительное число $C$, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon\to0} |S_1(n)|_{\gamma}\frac{\varepsilon^{ d}}{d}N(\varepsilon)=C.
\end{equation*}
\notag
$$
Логарифмируя это выражение, имеем
$$
\begin{equation}
d_H=\lim_{\varepsilon\to0}d =\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\ln C- \ln(|S_1(n)|_{\gamma}/d)-\ln N(\varepsilon)}{\ln\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Учитывая, что константа $C$ (мера Лебега–Киприянова области $\Omega$) предполагается известной (разумеется, конечной), можем считать $C=1$. Тогда получим равенство
$$
\begin{equation}
d_H=n+|\gamma|=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln(1/\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Здесь выражение
$$
\begin{equation*}
\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln(1/\varepsilon)}=d_f
\end{equation*}
\notag
$$
– хорошо известная клеточная размерность (box-counting dimensions, см. в [13; формулы (3.4)–(3.6)]) фрактальной структуры, а слева размерность Хаусдорфа–Безиковича. На самом деле, известно, что эти размерности для произвольных фрактальных структур не обязаны совпадать. Они связаны неравенством $d_H\leqslant d_f$ и есть примеры фракталов, для которых эти неравенства строгие4. Сказанное подчеркивает факт присутствия скрытой сферической симметрии во фрактальных структурах, для которых клеточная и хаусдорфова размерности совпадают (афинно-самоподобные фракталы). Число $|\gamma|$, $\gamma_i>-1$, назовем коэффициентом скрытой сферической симметрии евклидовой области интегрирования $\Omega$. Из (4.2) вытекает следующая теорема о связи этого коэффициента с хаусдорфовой и евклидовой (топологической) размерностями области $\Omega$. Теорема 3. Если совпадают хаусдорфова и фрактальная размерности $d_H=d_f$ области $\Omega\in\mathbb{R}_n$, то существует коэффициент $|\gamma|$ скрытой сферической симметрии области $\Omega$, определяемый по формуле $|\gamma|=d_f-n$. Замечание 2. При условии $\gamma_i>-1$ величина $|\gamma|$ может быть отрицательной, но размерность соответствующего фрактала $d_f=n+|\gamma|$ всегда положительная. Таким образом, формально определенная в п. 2 и в п. 3 дробная размерность евклидова шара $\Omega$, равная $n+|\gamma|$, может быть определена как фрактальная размерность или размерность Хаусдорфа области $\Omega\subset\mathbb{R}_n$. Из этой теоремы вытекает, вообще говоря, известный факт, что если все $\gamma_i=0$, то фрактальная (хаусдорфова) размерность равна евклидовой. Далее мы проверим присутствие скрытой симметрии для простейших фракталов, для которых отношение
$$
\begin{equation}
\frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln({1}/{\varepsilon})}=\mathrm{const}=\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln({1}/{\varepsilon})}=d_f
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
не зависит от $\varepsilon$ (множества Кантора, ковер и салфетка Серпинского, кривая Коха, кривая Гивена и др.). Для простоты считаем, что мера евклидовой области $\Omega$ равна 1 и весовой интеграл $K_\gamma^\varepsilon$ взят по самоподобной части структуры, определяющей соответствующий фрактал. Предложение 1. Коэффициент скрытой сферической симметрии $\gamma$ самоподобных структур, удовлетворяющих условию (4.3), отвечающих масштабу $\varepsilon(m)=1/m$, где $m$ – соответствующее натуральное число, вычисляется из уравнения Приведенная формула (4.4) по сути эмпирическая. Общий вариант этой формулы выглядит так:
$$
\begin{equation}
n+|\gamma(\varepsilon)|=-\frac{\ln(|S^+_1(n)|_{\gamma(\varepsilon)}/(n+|\gamma(\varepsilon)|))} {\ln\varepsilon(\varepsilon)}+d_f, \qquad\text{где}\quad d_f=d_H=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln(1/\varepsilon)}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Здесь числа $d_f$ и натуральное число $n$ считаются известными, поэтому (4.5) – это уравнение относительно $|\gamma|$. Впрочем, утверждение (4.4) можно считать следствием равенства (4.1), в котором выполнено условие (4.3) и $\varepsilon=\varepsilon(m)={1}/{3^m}$. Вычислительная проверка формулы (4.5) проведена ниже. 5. О размерности кривой Коха и о размерностях поколений кривой КохаВ качестве примера решения уравнения размерности (4.5) вычислим размерность ломанных в триадной процедуре построения кривой Коха (см. [14; с. 73], [12; с. 24]). Справка. Кривую Коха ($K$-кривую) используют в курсах математического анализа в качестве примера границы неквадрируемой фигуры [15; с. 384] или непрерывной кривой, у которой отсутствует производная в любой точке, что равносильно отсутствию касательной к “графику” этой кривой. Если представить функцию со значениями в точках кривой Коха, то, будучи непрерывной, такая функция оказывалась бы не дифференцируемой ни в одной точке области ее определения. Триадное построение $K$-кривой следующее. Отрезок делится на три равные части, средняя часть заменена углом со сторонами, равными 1/3 первоначальной длины; те же действия повторяются с каждым из четырех полученных отрезков и повторяются бесконечно. От каждого такого действия получается “пушистая” кривая, “пушистость” которой стремится к нулю. В итоге получится конечная кривая (в смысле принадлежности конечной области в $\mathbb{R}_2$) бесконечной длины5. Многие известные математики восприняли кривую Коха как “чудовище” из мира идей [14; с. 61–62]. Кривая $m$-го поколения $K$-кривой (при любом конечном $m$) легко вытягивается в отрезок и поэтому должна иметь евклидову и топологическую размерности равные единице. Из-за увеличения длины отрезка его размерность не должна увеличиваться. Но парадокс в другом: каждое поколение ломаной Коха (разумеется, конечной длины) имеет фрактальную размерность кривой Коха (бесконечной длины). Соответствующие рассуждения заключаются в следующем. Степенной закон Мандельброта ([14; с. 62], см. также [12; с. 25, формула (2.5)] или в [16; дискретный вариант формулы (1)]) определяет зависимость длины ломаной от ее фрактальной размерности по формуле
$$
\begin{equation*}
L(\varepsilon)=\varepsilon^{1-d_f}, \qquad\varepsilon\ \unicode{x2013} \text{ длина одного отрезка ломаной Коха}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $m$-го поколения $K$-кривой, очевидно, что $\varepsilon={1}/{3^m}$, $L(\varepsilon)=(4/3)^m$. Отсюда
$$
\begin{equation*}
1-d_f=-\frac{\ln L(\varepsilon)}{\ln\varepsilon}= -\frac{\ln4^m}{\ln3^m}+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, фрактальная размерность $d_f$ $K$-кривой не зависит от $m$ (и от $\varepsilon$) и равна числу которое совпадет с размерностью $d_H$ (4.5). Видим, что по формуле размерности Мандельброта даже первое поколение $K$-кривой уже имеет размерность кривой Коха. Этот факт получается из (4.4) предельным переходом при $m\to\infty$ и обычно трактуется как свойство “самоподобия”, лежащего в самом определении фрактала [14; с. 483]. Если предположить существование скрытой сферической симметрии для каждого поколения кривой Коха, то из уравнения (4.4), полагая в нем натуральное число $m$ фиксированным, можно получить другой результат. О размерности поколений. Из теоремы 3 мы уже знаем, что существование размерности Хаусдорфа у некоторого множества евклидова пространства влечет за собой существование для этого множества коэффициента $\gamma$ скрытой сферической симметрии. Можем предположить, что поколения $K$-кривой так же, как и сама кривая Коха, обладают скрытой сферической симметрией. Далее мы убедимся, что в этом случае коэффициент скрытой сферической симметрии действительно существует и просто вычисляется, а размерность поколения уже не совпадает с размерностью $K$-кривой (она больше и лишь стремится к размерности кривой Коха). А это значит, что каждое поколение $K$-кривой обладает скрытой симметрией со своим коэффициентом. И поэтому размерность $m$-го поколения $K$-кривой должна вычисляться не по формуле (4.3) (которая приведет к размерности (5.1)), а по формуле (4.4) (или (4.5)), учитывающей коэффициент $\gamma$. Положим в (4.5) $n=1$ (см. замечание 1), $\varepsilon(m)={1}/{3^m}$ и, воспользовавшись фрактальной размерностью кривой Коха (5.1), получим следующее уравнение относительно размерности $m$-го поколения кривой Коха $d(m)=1+\gamma$:
$$
\begin{equation}
1+\gamma(m)=-\frac{\ln({2}/({1+\gamma(m)}))}{\ln(1/3^m)}+ d_f.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Таблица размерностей, вычисленных6 из уравнения (5.2), учитывающего коэффициент скрытой сферической симметрии $\gamma(m)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &m=1 &\qquad(d(m)=1+\gamma(m))_{m=1}&\approx 1.14144188, \\ &m=2 &\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=2}&\approx 1.18471551, \\ &m=5&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=5}&\approx 1.22492561, \\ &m=10&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=10}&\approx 1.24212348, \\ & m=100&\qquad (d(m) =1+\gamma(m))_{m=100}&\approx 1.25975758, \\ & m=1000&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=1\,000}&\approx 1.26164795, \\ &m=10\,000&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=10\,000}&\approx 1.26183833, \\ &m=50\,000&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=50\,000}&\approx 1.26185527, \\ &m=100\,000&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=100\,000}&\approx 1.26185739, \\ &m=500\,000&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=500\,000}&\approx 1.26185908, \\ &m=1\,000\,000&\qquad (d(m)=1+\gamma(m))_{m=1\,000\,000}&\approx 1.26185929. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент скрытой симметрии для каждого поколения кривой Коха равен дробной части чисел в правой части таблицы: $\gamma(m)=1-d(m)$ (см. теорему 3, где $n=1$ – евклидова размерность $m$-го поколения кривой Коха). Сравним эти табличные результаты с фрактальной размерностью кривой Коха (5.1). Все размерности поколений кривой Коха, вычисленные из уравнения (5.2), находятся между евклидовой (топологической) и фрактальной (5.1) размерностями кривой Коха. То, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}d(m)=\lim_{m\to\infty}(1+\gamma(m))=d_f \qquad (=d_H\ \unicode{x2013}\text{ размерность Хаусдорфа})
\end{equation*}
\notag
$$
легко вытекает из равенства (4.5), поскольку величина ${|S^+_1(n)|_{\gamma(m)}}/(n+|\gamma(m)|)$ положительна и ограничена. Отметим, что коэффициент скрытой сферической симметрии канторового множества отрицательный. Результаты вычислений приведены в [17]. В качестве примера приведем первый и последний из полученных в [17] результатов вычислений:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, m=1, \qquad \gamma\approx 0.8160-1=-0.1840, \\ m=1\,000\,000, \qquad\gamma\approx 0.63093017-1=-0.6906983. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент скрытой сферической симметрии множества Кантора
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\gamma(m)=\gamma=\frac{\ln2}{\ln3}-1\approx-0.3690703.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент скрытой сферической симметрии кривой Коха
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to\infty}\gamma(m)=\gamma =\frac{\ln4}{\ln3}-1\approx 0.2618593.
\end{equation*}
\notag
$$
Работа [17] также содержит результаты вычисления размерностей самоподобий ковра Серпинского с круглыми дырками и куба Серпинского со сферическими полостями. В заключение авторы благодарят рецензента, сделавшего не только замечания, способствующие улучшению структуры и текста работы, но и в ряде случаев давшего необходимые пояснения к некоторым тонкостям теории фрактальной геометрии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LyaSan23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|