| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Соотношения Фробениуса для ассоциативных Ли нильпотентных алгебр С. В. Пчелинцев Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030100 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеЕсли не оговорено противное, термин “алгебра” означает ассоциативную алгебру над полем $K$ произвольной конечной характеристики $p$. Введем следующие обозначения:
Изучение Ли нильпотентных алгебр было начато в работах [1] и [2]. В коммутативной алгебре хорошо известны соотношения Фробениуса: В частности, отображение $a\mapsto a^p$ является автоморфизмом поля конечной характеристики $p$, он называется автоморфизмом Фробениуса.Следуя [4], первое из соотношений (1) называется аддитивным, а второе – мультипликативным соотношениями Фробениуса. В [3; с. 207] для любых $a,b\in F$ доказаны соотношения где $v$ – подходящая линейная комбинация коммутаторов степени $p$ от элементов $a$, $b$, причем в эту комбинацию входит элемент $[a,b,\dots,b]$ с коэффициентом 1.Из (2) следует, что аддитивное соотношение Фробениуса (1) выполняется в Ли нильпотентной алгебре $F^{(p)}$. В [4] для алгебры $F^{(p)}$ было доказано мультипликативное соотношение Фробениуса и доказано, что В связи с равенством (4) отметим, что идеал, порожденный коммутаторами в конечно порожденной Ли нильпотентной алгебре, нильпотентен [1]. В [5] доказан наиболее общий результат в этом направлении: во всякой 3-порожденной алгебре $A$ справедливо включение где $N=(\sum_{i=1}^kn_i)-(k-1)$; указанная оценка для $N$ является точной.По индукции из (1) вытекают тождества
$$
\begin{equation}
(a+b)^{p^s}=a^{p^s}+b^{p^s}, \qquad (ab)^{p^s}=a^{p^s}b^{p^s},
\end{equation}
\tag{6}
$$
выполняющиеся в алгебре $F^{(p)}$. В [4] доказано, что для любого $l$ существует число $q_0$ такое, что для любого ${p^s}\geqslant q_0$ в алгебре $F^{(l)}$ справедливы соотношения Фробениуса (6). Там же отмечался вопрос о нахождении наименьшего возможного числа $q_0$. Целью данной заметки является нахождение такого числа $q_0$. Более точно, справедливы теоремы. Теорема 1. Пусть $F^{(l)}$ – свободная Ли нильпотентная класса $l$ алгебра над полем конечной характеристики $p$, $s\geqslant 1$. В алгебре $F^{(l)}$ выполнено аддитивное соотношение Фробениуса (6) тогда и только тогда, когда Теорема 2. Пусть $F^{(l)}$ – свободная Ли нильпотентная класса $l$ алгебра над полем конечной характеристики $p$, $s\geqslant 1$. В алгебре $F^{(l)}$ мультипликативное соотношение Фробениуса (6) является следствием аддитивного соотношения. В случае $l\leqslant p$ теорема 2 доказана в [4]. Ясно, что теоремы 1 и 2 справедливы для альтернативных алгебр. В связи с теоремой 2 сделаем следующее Замечание 1. Пусть $C$ – коммутативная алгебра с ассоциативными степенями над полем характеристики $p\ne 2$, $q=p^s$. Если $(a+b)^q=a^q+b^q$ для любых $a,b\in C$, то $(ab)^q=a^qb^q$. В самом деле, так как $2^q\equiv 2\,(\operatorname{mod}{p})$ и $(-1)^q=-1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2(ab)^q&=((a+b)^2-a^2-b^2)^q=((a+b)^q)^2-a^{2q}-b^{2q} \\ &=(a^q+b^q)^2-a^{2q}-b^{2q}=2a^q\cdot b^q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, в йордановой алгебре мультипликативное соотношение Фробениуса является следствием аддитивного соотношения. Вопрос о справедливости аналогов теоремы 1 для правоальтернативных и йордановых алгебр пока остается открытым. 2. Вес многочленаПусть $F$ и $L$ – свободная ассоциативная и свободная алгебра Ли над множеством $X=\{x,y\}$ свободных порождающих соответственно. Так как алгебра $L$ изоморфна подалгебре коммутаторной алгебры $[F]$, порожденной множеством $X$, будем считать, что $L$ совпадает с указанной подалгеброй. Пусть $\{\dots,e_{\alpha},\dots\}$ – аддитивный базис алгебры Ли $L$. При этом можно считать, что базисные элементы обладают свойствами:
Из теоремы Пуанкаре–Бирхгофа–Витта (см. [3]) вытекает, что всякий элемент алгебры $F$ однозначно представим в виде линейной комбинации единицы и правильных слов вида где $t\geqslant 1$, $e_{i_1} \leqslant \dots \leqslant e_{i_t}$; в слове $\pi_i$ элементы $e_{i_{j}}$ перемножаются в алгебре $F$. Иначе говоря, правильные слова составляют аддитивный базис алгебры $F$ над полем $K$.Следуя [5], напомним понятие веса $\operatorname{wt}(a)$ многочлена $a\in F$. Положим если $e_i\in L$ коммутатор. Для правильного слова $\pi_i$ вида (8) положим
$$
\begin{equation*}
\operatorname{wt}(\pi_i)= \biggl(\,\sum_{j=1}^t\operatorname{wt}(e_{i_j})\biggr)-(t-1),
\end{equation*}
\notag
$$
и назовем $\operatorname{wt}(\pi_i)$ весом слова $\pi_i$. Весом $\operatorname{wt}(a)$ элемента $a\in F$ назовем наименьший из весов правильных слов $\pi_i$, входящих в разложение
$$
\begin{equation*}
a=\sum_i \alpha_i \pi_i,\qquad \text{где}\quad 0\ne \alpha_i\in K.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1. Многочлен от двух переменных $f(x_1,x_2)\in F$ является тождеством свободной Ли нильпотентной алгебры $F^{(n)}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{wt}(f)\geqslant n$. Эта лемма является частным случаем теоремы 2 из [5]. 3. Доказательство теоремы 1Элементы, пропорциональные коммутаторам, будем снова называть коммутаторами. Всюду ниже через $v_i$ обозначаются коммутаторы степени $p^i$ от переменных $a$ и $b$; сами элементы $a$ и $b$ можно считать свободными порождающими ассоциативной алгебры. Лемма 2. Для $s\geqslant 1$ и подходящих коммутаторов $v_i$ от переменных $a$ и $b$ верно равенство где знак $\sum_{v}$ означает суммирование по всевозможным коммутаторам, причем среди элементов $v_i$ обязательно присутствует коммутатор $u=[a,b,\dots,b]$ с коэффициентом $1$. Доказательство. Заметим сначала, что в силу (2) всякий коммутатор степени $p$ от элементов вида является суммой коммутаторов степени $p^{s+1}$ от переменных $a$ и $b$. Докажем равенство (9) индукцией по $s$. Основанием индукции при $s=1$ является равенство (3). Сделав индуктивное предположение, рассмотрим $(a+b)^{p^{s+1}}$. В силу (3) и замечания относительно коммутаторов от элементов вида (10) получаем соотношение (9) для $p^{s+1}$. Докажем теперь теорему 1, т.е. выполнение аддитивного соотношения (6) в алгебре $F^{(l)}$ равносильно выполнению неравенства (7). Допустим, что в алгебре $F^{(l)}$ выполнено аддитивное соотношение (6); тогда в силу (9) верно равенство Положим $n= p^{s}-p^{s-1}+2$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{wt}(v_{i}^{p^{s-i}}) \geqslant p^{i}\cdot p^{s-i}-(p^{s-i}-1)=p^{s}-(p^{s-i}-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, при $i\geqslant 2$
$$
\begin{equation*}
\operatorname{wt}(v_{i}^{p^{s-i}}) \geqslant p^{s} -(p^{s-i}-1)\geqslant n.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу равенства (11) и леммы 1 в алгебре $F^{(n)}$ для свободных порождающих $a$, $b$ верно тождество где суммирование ведется по коммутаторам степени $p$ и среди них обязательно присутствует коммутатор $u=[a,b,\dots,b]$. Рассмотрим однородную компоненту $g$ левой части тождества (12) минимальной степени по переменной $a$ (эта степень равна значению $p^{s-1}$. Ясно, что $g=u^{p^{s-1}}$. Поскольку многообразие алгебр с тождеством $\operatorname{LN}(n)$ однородно [6], то $g=0$. Так как
$$
\begin{equation*}
\operatorname{wt}(g)= p\cdot p^{s-1}-(p^{s-1}-1)=p^{s}-p^{s-1}+1= n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
получаем противоречие с леммой 1. Из приведенных выше рассуждений следует, что аддитивное соотношение (6) является следствием тождества $\operatorname{LN}(p^{s}-p^{s-1}+1)$. Тем самым теорема 1 доказана. 4. Доказательство теоремы 2Пусть в алгебре $F^{(l)}$ выполнено аддитивное соотношение Фробениуса (6). Тогда по теореме 1 верно неравенство (7). Значит достаточно доказать, что в алгебре $F^{(m)}$ при $m=p^s-p^{s-1}+1$ верно равенство $(ab)^{p^s}=a^{p^s}b^{p^s}$ для любых $a$, $b$. 4.1. Случай $p=2$В этом случае имеем т.е. Докажем индукцией по $s$ справедливость равенства
$$
\begin{equation}
(ab)^{2^{s}}+a^{2^{s}}b^{2^{s}} \in T^{(m)},\qquad m=2^{s-1}+1.
\end{equation}
\tag{14}
$$
При $s=1$ соотношение (14) вытекает из (13). Допустим, что для подходящего $t\in T^{(m)}$ верно равенство $(ab)^{2^{s}}+a^{2^{s}}b^{2^{s}}=t$. Тогда $a^{2^{s}}b^{2^{s}}=(ab)^{2^{s}}+t$ и после возведения в квадрат обеих частей последнего равенства получаем
$$
\begin{equation*}
(a^{2^{s}}b^{2^{s}})^2=(ab)^{2^{s+1}}+t^2+[t,(ab)^{2^{s}}].
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, в силу (13) имеем
$$
\begin{equation*}
(a^{2^{s}}b^{2^{s}})^2= a^{2^{s+1}}b^{2^{s+1}}+ a^{2^{s}}[a^{2^{s}}b^{2^{s}}]b^{2^{s}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из двух последних равенств получаем
$$
\begin{equation}
(ab)^{2^{s+1}}+a^{2^{s+1}}b^{2^{s+1}}=t^2+[t,(ab)^{2^{s}}]+ a^{2^{s}}[a^{2^{s}},b^{2^{s}}]b^{2^{s}},
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $t\in T^{(m)}$. Покажем, что правая часть равенства (15) лежит в $T^{(n)}$, где $n=2^{s}+1$. В самом деле, учитывая соотношения (2) и (5), получаем:
Тем самым, соотношение (14) доказано по индукции, значит, теорема 2 справедлива для $p=2$. 4.2. Случай $p\ne 2$Пусть $q=p^s$, $s\geqslant 1$. Напомним, что в алгебре $F^{(m)}$ верно соотношение $(a+b)^q=a^q+b^q$ для любых $a$, $b$, где $m=p^s-p^{s-1}+1$. Дальнейшие рассуждения следуют работе [4] и приводятся только для полноты изложения. Положим Тогда В силу малой теоремы Ферма $2^p\equiv 2\,(\operatorname{mod}{p})$. Значит, $2^q\equiv 2\,(\operatorname{mod}{p})$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 4(ab)^q&=(2a\cdot 2b)^q=((x+y)\cdot(x-y))^q=(x^2-y^2-[x,y])^q =x^{2q}-y^{2q}-[x,y]^q, \\ 4(a^q b^q)&=(2a)^q\cdot(2b)^q=(x+y)^q\cdot(x-y)^q= (x^q+y^q)\cdot(x^q-y^q) \\ &=x^{2q}-y^{2q}-[x^q,y^q]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства осталось заметить, что $[x_1,x_2]^q=0$ и $[x_1^q,x_2^q]= 0$. Первое равенство верно в силу (4), поскольку $q \geqslant m$; второе равенство верно в силу (2) и свойства $2q > m$. Тем самым, теорема 2 полностью доказана.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pch23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|