| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об однородности произведений топологических пространств А. Ю. Грознова Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010212 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и основные результатыВ 1956 году Рудин в своей статье [1] доказал, в предположении справедливости континуум-гипотезы (CH), неоднородность нароста $\omega^*=\beta\omega\setminus\omega$ стоун-чеховской компактификации $\beta\omega$ дискретного счетного пространства $\omega$. Для этой цели он показал, что из условия CH вытекает существование $P$-точки [2] в $\omega^*$; отсюда немедленно получается неоднородность $\omega^*$, поскольку в компакте все точки не могут быть $P$-точками. В [3] Фролик доказал то же самое иначе, заметив, что если две дискретные последовательности сходятся к одной и той же точке $x\in\omega^*$ по ультрафильтрам $p$ и $q$, то $p$ и $q$ сравнимы в порядке Рудин–Фролика. Идея вполне естественная: если $p,q\in\omega^*$ несравнимы и $D=\{d_n:n\in\omega\}$ – счетное дискретное подмножество $\omega^*$, то не существует гомеоморфизма $h\colon\omega^*\to\omega^*$, переводящего $q\text{-}{\lim_nd_n}$ в $p\text{-}{\lim_nd_n}$, поскольку если он существует, то $(d_n)_{n\in\omega}$ и $(h(d_n))_{n\in\omega}$ – дискретные последовательности, сходящиеся к одной и той же точке $p\text{-}{\lim_nd_n}$ по ультрафильтрам $p$ и $q$ соответственно. Идея Фролика применима не только к наросту $\omega^*$, но и к произвольным $F$-пространствам и их важнейшему подклассу, экстремально несвязным пространствам. Пространство $X$ называется экстремально несвязным, если любые непересекающиеся открытые подмножества $X$ имеют непересекающиеся замыкания. Экстремально несвязные пространства играют важную роль в теории категорий (они являются проективными объектами в категории компактных пространств и непрерывных отображений) и в теории двойственности между топологическими пространствами и булевыми алгебрами (это в точности пространства Стоуна полных булевых алгебр [4]). Исследования Фролика положили начало активному изучению связи свойств топологических пространств типа однородности со свойствами типа экстремальной несвязности. Фролик показал, что все однородные экстремально несвязные компактные пространства конечны [5], а Архангельский доказал, что и все компакты, содержащиеся в экстремально несвязных топологических группах, конечны [6]. Ван Дауэн [7; теорема 2(c)] (см. также [8]) доказал, что все компакты, содержащиеся в экстремально несвязных однородных пространствах, конечны. К числу последних достижений относятся результаты Резниченко в статье [8] 2020 года. Он доказал, что конечны компакты, содержащиеся в однородных пространствах, которые вкладываются в куб экстремально несвязного пространства. Использование CH позволяет усилить этот результат:
Ближайшим обобщением класса экстремально несвязных пространств является класс $F$-пространств. Топологическое пространство $X$ называется $F$-пространством, если непересекающиеся функционально открытые подмножества $X$ функционально отделимы. $F$-Пространства, как и экстремально несвязные, на первый взгляд могут показаться экзотическими, однако они играют центральную роль в теории непрерывных отображений компактных пространств [9], [10]. Основные топологические свойства, в частности, алгебраическую характеризацию в терминах идеалов экстремально несвязных и $F$-пространств можно найти в основополагающей книге [11] Гиллмана и Джерисона по теории колец непрерывных функций. Идея Фролика доказательства неоднородности с помощью порядка на ультрафильтрах была развита Куненом. Используя порядок Рудин–Кейслера и понятие cлабой $P$-точки, являющееся ослаблением понятия $P$-точки, он доказал лемму [12; лемма 4] о сравнимости двух ультрафильтров, по которым могут сходиться к одной и той же точке последовательности в $F$-пространстве. С помощью своей леммы Кунен доказал, что произведение компактных $F$-пространств никогда не бывает однородным [12]. Класс $F$-пространств (и, тем более, экстремально несвязных пространств) довольно узок, и важной задачей является поиск более широких классов пространств, которые обладают теми или иными полезными свойствами $F$-пространств. Так, ван Дауэн в своей диссертации [13] ввел понятие $\beta\omega$-пространства. Этот класс оказался весьма полезным при изучении свойств ультрафильтров [14] и непрерывных отображений на подпространства произведений [15]. Пространство $X$ называется $\beta\omega$-пространством, если из того, что $D\subset X$, $|D|=\omega$, $D$ дискретно и $\overline D$ компактно, следует, что $\overline D$ гомеоморфно $\beta\omega$. Известно, что любое $F$-пространство является $\beta\omega$-пространством и что некоторые полезные утверждения об $F$-пространствах остаются верными для $\beta\omega$-пространств. Однако многие важные результаты перенести на $\beta\omega$-пространства не удается, хотя различия между $F$- и $\beta\omega$-пространствами довольно тонкие. В [16] рассмотрены $\mathscr R_1$-, $\mathscr R_2$- и $\mathscr R_3$-пространства, являющиеся обобщениями экстремально несвязных пространств и $F$-пространств. Все эти пространства являются $\beta\omega$-пространствами. Свойства $\mathscr R_1$, $\mathscr R_2$ и $\mathscr R_3$ удобны тем, что полностью определяются счетными подмножествами и при этом обладают свойством наследственности, в отличие, например, от экстремальной несвязности, которая наследуется только счетными подпространствами. В настоящей статье мы обобщаем теорему Кунена о неоднородности произведений на класс $\mathscr R_2$-пространств, а в предположении существования дискретного ультрафильтра – и на класс $\beta\omega$-пространств. Дискретные ультрафильтры впервые появились в статье Баумгартнера [17], где он ввел понятие $I$-ультрафильтра и связанные с ним классы ультрафильтров: пусть $I$ – семейство подмножеств множества $X$, содержащее все одноточечные подмножества и замкнутое относительно взятия подмножеств, тогда ультрафильтр $p$ на $\omega$ называется $I$-ультрафильтром, если для любого отображения $f\colon\omega\to X$ найдется $A\in p$ такой, что $f(A)\in I$. Также Баумгартнер доказал, что для $I=\{Y\subset 2^\omega:Y$ конечно, порядкового типа $\omega$ или $\omega+1\}$ неглавные $I$-ультрафильтры – это в точности $P$-точки из $\omega^*$. Если $X=\mathbb R$ и $I$ – семейство всех дискретных подмножеств $\mathbb R$, то ультрафильтр называется дискретным. В [18] доказано, что всякий дискретный ультрафильтр является $X$-дискретным. Известно, что дискретные ультрафильтры существуют не во всех моделях теории множеств (см. [18]). Всюду ниже предполагаем, что $X$ – тихоновское (вполне регулярное) топологическое пространство. Для данного пространства $X$ и $A\subset X$ через $\overline{A}$ мы обозначаем замыкание $A$ в $X$ и через $|A|$ – его мощность. Скажем, что два множества $A$ и $B$ в топологическом пространстве $X$ отделены, если $\overline A\cap B=A\cap\overline B=\varnothing$. Последовательность точек $(x_n)_{n\in\omega}$ пространства $X$ назовем дискретной, если множество значений $\{x_n:n\in\omega\}$ – дискретное (не обязательно замкнутое) подпространство $X$. Любое тихоновское пространство $X$ имеет стоун-чеховскую компактификацию $\beta X$. Это компактное пространство, в которое $X$ вкладывается всюду плотным образом так, что любое непрерывное отображение $f\colon X\to K$ в компактное пространство $K$ имеет непрерывное продолжение $\beta f\colon\beta X\to K$. Мы используем стандартное обозначение $\omega$ для множества неотрицательных целых чисел, $\mathbb R$ для множества вещественных чисел. Через $\beta\omega$ мы обозначаем стоунчеховскую компактификацию дискретного пространства $\omega$, а через $\omega^*$ – стоун-чеховский нарост $\beta\omega\setminus\omega$. Точки пространства $\beta\omega$ отождествляются с ультрафильтрами на $\omega$, а точки $\omega^*$ – с неглавными ультрафильтрами на $\omega$. Само множество $\omega$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех главных ультрафильтров. Говорят, что последовательность точек $(x_n)_{n\in\omega}$ в топологическом пространстве $X$ сходится к точке $x\in X$ по ультрафильтру $p\in\beta\omega$, если для любой окрестности $U$ точки $x$ множество $\{n:x_n\in U\}$ принадлежит $p$. Обозначение: $x=p\text{-}{\lim_nx_n}$. Пусть $A$ и $X_\alpha$, $\alpha\in A$, – множества. Для $A_0\subseteq A$ обозначим через $\pi_{A_0}$ естественное отображение проектирования $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha\to\prod_{\alpha\in A_0}X_\alpha$, определенное правилом $(x_\alpha)_{\alpha\in A}\mapsto(x_\alpha)_{\alpha\in A_0}$. Все топологические произведения рассматриваются с тихоновской топологией. Все понятия и обозначения, использованные ниже без пояснений, можно найти в [19]. 2. Обобщение результатов об однородности на новые классы пространствВ [16] были введены следующие классы пространств, представляющие собой естественные обобщения класса $F$-пространств и содержащиеся в классе $\beta\omega$- пространств:
В [16] доказано, что $\mathscr R_1\subset\mathscr R_2\subset\mathscr R_3$, а также построены примеры, показывающие, что обратные вложения неверны. Определение 1 [2]. Точка $x$ в топологическом пространстве $X$ называется $P$-точкой, если для любой счетной последовательности ее окрестностей $U_0,U_1,\dots$ пересечение $\bigcap_{n\in\omega}U_n$ тоже является ее окрестностью (не обязательно открытой). Определение 2 [20]. Точка $x\in X$ называется слабой $P$-точкой, если она не является предельной точкой никакого счетного подмножества $X$. Определение 3. Точка $x\in X$ называется дискретно слабой $P$-точкой, если она не является предельной точкой никакого счетного дискретного подмножества $X$. Ясно, что всякая $P$-точка является слабой $P$-точкой и дискретно слабой $P$-точкой. В $\omega^*$ $P$-точки – это в точности $P$-ультрафильтры. Определение 4 [2]. Ультрафильтр $p$ на $\omega$ является $P$-ультрафильтром, если для любой функции $f\colon\omega\to\omega$ найдется $A\in p$ такой, что $f|_A$ конечнократно или является константой. Замечание 1. Нетрудно показать, что это определение эквивалентно следующему: для любой последовательности $(A_i)_{i\in\omega}$ элементов $p$ найдется $A\in p$ такой, что $|A\setminus A_i|<\omega$ для всех $i\in\omega$. Заметим, что в предположении CH и даже аксиомы Мартина $P$-точки в $\omega^*$ существуют. Слабые же $P$-точки в $\omega^*$ существуют без дополнительных теоретико-множественных предположений. Любую функцию можно рассматривать как отображение $\omega\to\beta\omega$, поэтому у нее существует непрерывное продолжение $\beta\omega\colon\beta\omega\to\beta\omega$, которое описывается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\beta f(p)=\{A\subset\omega:f^{-1}(A)\in p\},\qquad p\in\beta\omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 5. Порядок Рудин–Кейслера $\leqslant_{\mathrm{RK}}$ на $\beta\omega$ определяется следующим правилом: для $p,q\in\beta\omega$ $p\leqslant_{\mathrm{RK}}q$, если существует функция $f\colon\omega\to\omega$ такая, что $\beta f(q)=p$. Нам понадобится следующая теорема, доказанная в [16]: Теорема 1. Пусть $q\in\omega^*$ – любой неглавный ультрафильтр на $\omega$ и $p\in\omega^*$ – неглавный ультрафильтр, являющийся слабой $P$-точкой. Предположим, что существуют компактное $\mathscr R_2$-пространство $X$, точка $x\in X$ и две последовательности $(d_m)_{m\in\omega}$ и $(e_n)_{n\in\omega}$ точек $X$ такие, что $\{d_m:m\in\omega\}$ – дискретное множество попарно различных точек и $e_n\ne x$ для всеx $n\in\omega$, причем $x=p\text{-}{\lim_md_m}=q\text{-}{\lim_n e_n}$. Тогда $p\leqslant_{\mathrm{RK}}q$. Напомним определение $\beta\omega$-пространства. Определение 6 [13]. Топологическое пространство $X$ называется $\beta\omega$-пространством, если для любого дискретного счетного множества $D\subset X$ с компактным замыканием замыкание $\overline D$ гомеоморфно стоун-чеховской компактификации $\beta D$. Определение 7 [17]. Пусть $X$ – топологическое пространство. Скажем, что ультрафильтр $p$ на $\omega$ является $X$-дискретным, если для любой функции $f\colon\omega\to X$ найдется $A\in p$ такой, что $f(A)$ дискретно в $X$. Для $X=\mathbb R$ мы пишем “дискретный” вместо “$\mathbb R$-дискретный”. Как уже отмечалось выше, дискретные ультрафильтры существуют не во всех моделях теории множеств [18], однако всякий $P$-ультрафильтр является дискретным (см. [17]). В [18] доказано следующее утверждение: Предложение 1. Любой дискретный ультрафильтр является $X$-дискретным для любого вполне регулярного пространства $X$. С помощью этого предложения удалось обобщить лемму Кунена [12; лемма 4] следующим образом. Теорема 2 [18]. Пусть $X$ – компактное $\beta\omega$-пространство. Предположим, что $x\in X$, $(d_m)_{m\in\omega}$ – дискретная последовательность различных точек $X$, $(e_n)_{n\in\omega}$ – произвольная последовательность точек $X$ и $x=p\text{-}{\lim_md_m}=q\text{-}{\lim_n e_n}$, где $p,q\in\omega^*$, $p$ – дискретно слабая $P$-точка и $q$ – дискретный ультрафильтр. Если $\{n:e_n=x\}\notin q$, то $p\leqslant_{\mathrm{RK}}q$. В определении 8, предложении 2 и теореме 4 для удобства обозначений точки из произведений и их окрестности будем нумеровать верхними индексами. Определение 8. Назовем множество $\{d^n:n\in\omega\}$ $S$-разделенным в произвольном компактном пространстве $X$, если найдутся открытые окрестности $U^n\ni d^n$ ($n\in\omega$) такие, что для любых $y^n\in U^n$, $n\in\omega$, и для всех $A\subseteq\omega$ В доказательстве нашего первого основного результата используются следующие три утверждения. Предложение 2. Пусть $X=\prod_{\alpha<\kappa}X_\alpha$, где каждый $X_\alpha$ – компакт, и предположим, что каждый $d^n\in X$ для $n\in\omega$. Тогда следующие условия связаны импликациями 1) $\Rightarrow$ 2) и 2) $\Leftrightarrow$ 3): Доказательство. Импликации 1) $\Rightarrow$ 2) и 2) $\Rightarrow$ 3) очевидны. Докажем 3) $\Rightarrow$ 2). Любая окрестность $U^n$ точки $d^n$ содержит каноническую окрестность $V^n$, которая зависит от конечного множества координат $B_n$, т.е. $V^n=\prod_{\alpha<\kappa}W_\alpha$, где $W_\alpha\in\mathscr B_\alpha$ ($\mathscr B_\alpha$ – база $X_\alpha$) для $\alpha$ из $B_n$ и $W_\alpha=X_\alpha$ для всех остальных $\alpha$. Зафиксируем произвольную точку $x\in X$. Для каждого $n$ выберем точку $y^n$ из $V^n$ такую, что $y^n_\alpha=x_\alpha$ для $\alpha\in\kappa\setminus B_n$. Покажем, что для $B=\bigcup B_n$ множество является $S$-разделенным в $X_B=\prod_{\alpha\in B}X_\alpha$. Зафиксируем произвольное множество $I\subseteq\omega$. Пусть Дополним координаты точки $z$, положив $z_\alpha=x_\alpha$ для $\alpha\in\kappa\setminus B$, получим точку $\widetilde z\in X$. Возьмем окрестность $W\subset X$ точки $\widetilde z$ такую, что такая окрестность найдется в силу условия 3): $\overline{\{y^n:n\in I\}}\cap\overline{\{y^n:n\notin I\}}=\varnothing$. Тогда сужение $W|_B$ окрестности $W$ на подпространство $X_B$ не пересекается с одним из множеств $\overline{\{(y^n_\alpha)_{\alpha\in B}:n\in I\}}$ или $\overline{\{(y^n_\alpha)_{\alpha\in B}:n\notin I\}}$. Противоречие.Лемма 1. Любая дискретная последовательность в $\mathscr R_3$-пространстве $X$ является $S$-разделенной. Доказательство. Возьмем произвольное дискретное множество $A=\{a_n:n\in\omega\}$ из $X$. Зафиксируем окрестность $V_0$ у точки $a_0$ такую, что $a_n\notin V_0$ для любого $n\in\omega\setminus\{0\}$. В силу регулярности пространства $X$ найдется окрестность $U_0$, для которой $\overline U_0\subset V_0$. Построим по индукции систему непересекающихся окрестностей $W_0,W_1,\dots$ для точек из множества $A$: Для каждого $n$ выберем произвольную точку $b_n\in W_n$. Зафиксируем произвольное множество индексов $I\subseteq\omega$. Заметим, что множества $\{b_n:n\in I\}$ и $\{b_n:n\in\omega\setminus I\}$ дискретные и отделенные по построению. Из определения $\mathscr R_3$-пространства получаем требуемое. Определение 9 [12]. Топологическое пространство $X$ называется секвенциально малым, если любое бесконечное множество из $X$ содержит бесконечное подмножество, замыкание которого не содержит копию $\beta\omega$. Теорема 3 [21]. Если $\beta\omega$ вкладывается в $\prod_{\alpha\in\omega}X_\alpha$, то $\beta\omega$ вкладывается по крайней мере в один $X_i$. Следующая теорема – первый основной результат статьи. В ее доказательстве используется идея Кунена, теоремы 1 и 2 и понятие $S$-разделенности. Теорема 4. Пусть $\kappa$ – кардинал и $X=\prod_{\alpha<\kappa}X_\alpha$, где каждый $X_\alpha$ удовлетворяет по крайней мере одному из следующих условий: Пусть также $X_\alpha$ – бесконечное компактное $\mathscr R_2$-пространство для хотя бы одного $\alpha\in A$. Тогда $X$ неоднородно. Доказательство. Разобьем $\kappa$ на три подмножества $R$, $S$ и $T$ такие, что $R\ne\varnothing$ и каждое $X_\alpha$ – бесконечное компактное $\mathscr R_2$-пространство для $\alpha\in R$, содержащее слабую $P$-точку для $\alpha\in S$ и содержащее непустое секвенциально малое открытое подмножество для $\alpha\in T$. Выберем $d^n\in X$ следующим образом: для каждого $\alpha\in R$ $\{d^n_\alpha:n\in\omega\}$ – дискретная последовательность в $X_\alpha$. Для каждого $\alpha\in S$ $d^n_\alpha$ – одна и та же слабая $P$-точка в $X_\alpha$. Для каждого $\alpha\in T$ $U_\alpha$ – непустое открытое подмножество $X_\alpha$, замыкание которого является секвенциально малым, и $d^n_\alpha$ – один и тот же элемент $U_\alpha$ для всех $n\in\omega$. Пусть $p\not\leqslant_{\mathrm{RK}}q$, $p$ – слабая $P$-точка в $\omega^*$ и $x=p\text{-}{\lim_md^m}$, $y=q\text{-}{\lim_md^m}$. Допустим, что $h\colon X\to X$ – гомеоморфизм такой, что $h(y)=x$, и придем к противоречию. Положим $e^n=h(d^n)$. Последовательность $(d^n)_{n\in\omega}$ дискретная, поскольку $R\ne\varnothing$ и множество $\{d^n_\alpha:n\in\omega\}$ образует дискретную последовательность в $X_\alpha$. Следовательно, в силу леммы 1, точки $d^n$ $S$-разделены в $X$; таким образом, $e^n$ $S$-разделены в $X$, так как $h$ – гомеоморфизм. В соответствии с предложением 2 зафиксируем счетное $J\subseteq\kappa$ такое, что $\{\pi_J(e^n)\}$ $S$-разделены в $\prod_{\alpha\in J}X_\alpha$. Заметим, что для каждого $\alpha$ выполнено $x_\alpha=q\text{-}{\lim e^m_\alpha}=p\text{-}{\lim d^m_\alpha}$, поскольку $\pi_\alpha$ является непрерывным отображением. Рассмотрим три типа пространств $X_\alpha$ отдельно. Во-первых, для каждого $\alpha\in J\cap R$ мы можем применить теорему 1 к $X_\alpha$ и выбрать $A_\alpha\in q$ так, чтобы выполнялось $e^m_\alpha=x_\alpha$ для всех $m\in A_\alpha$. Аналогично поступим с каждым $\alpha\in J\cap S$, пользуясь тем, что $x_\alpha$ – слабая $P$-точка. Также для каждого $\alpha\in J\cap T$ найдется $A_\alpha\in q$ такой, что $e^n_\alpha\in U_\alpha$ для любого $n\in A_\alpha$. Перенумеруем элементы счетного множества $C=J\cap(R\cup S\cup T)$: $C=\{\alpha_1,\alpha_2,\dots\}$. В каждом пересечении $A_{\alpha_1}\cap\dotsb\cap A_{\alpha_{k-1}}$ выберем точку $a_k$ и получим бесконечное множество $\widetilde A=\{a_k:k\in\omega\}$ такое, что $|\widetilde A\setminus A_\alpha|<\omega$. Для $\alpha\in C$ имеем $e^m_\alpha=x_\alpha$ для всех, кроме конечного числа, $m\in\widetilde A$. Так что для каждого из этих $\alpha$ множество $\{e^m_\alpha:m\in\widetilde A\}$ конечно. Теперь, пользуясь определением секвенциальной малости, для $\alpha_1$ выберем бесконечное подмножество $B_1\subset\widetilde A$ такое, что множество $\overline{\{e^m_{\alpha_1}:m\in B_1\}}$ не содержит копию $\beta\omega$, для $\alpha_2$ выберем $B_2\subset B_1$ такое, что $\overline{\{e^m_{\alpha_2}:m\in B_2\}}$ не содержит копию $\beta\omega$. Продолжая этот процесс, получим вложенную последовательность множеств $\dotsb\supset B_n\supset\dots\supset B_1\supset\widetilde A$. Выберем различные точки $b_n\in B_n$ для всех $n\in\omega$. Получим множество $\widetilde B=\{b_n:n\in\omega\}$ со свойством $|\widetilde B\setminus B_n|<\omega$ для любого $n\in\omega$. Для каждого $\beta\in J$ положим $P_\beta=\overline{\{e^m_\beta:m\in\widetilde B\}}$. Стоун-чеховская компактификация $\beta\omega$ не вкладывается ни в одно $P_\beta$, следовательно, не вкладывается и в произведение $\prod_{\beta\in J}P_\beta$ по теореме 3. Это противоречие, потому что произведение содержит замыкание $\overline{\{\pi_J(e^n):n\in\widetilde B\}}$, которое гомеоморфно $\beta\omega$, поскольку точки $\pi_J(e^n)$ $S$-разделены. Теорема 5. Предположим, что существует дискретный ультрафильтр $q\in \omega^*$, $\kappa$ – кардинал и $X=\prod_{\alpha<\kappa}X_\alpha$, где каждый $X_\alpha$ удовлетворяет по крайней мере одному из следующих условий: Пусть также $X_\alpha$ – бесконечное компактное $\beta\omega$-пространство для хотя бы одного $\alpha\in A$. Тогда $X$ неоднородно. Доказательство практически полностью повторяет предыдущее с той разницей, что вместо теоремы 1 используется теорема 2. 3. Метризуемость однородных подпространств произведенийРезультаты этого пункта обобщают теоремы Резниченко. В доказательствах используются его идеи. Предложение 3. Пусть $X$ – топологическое пространство, $p\in\omega^*$ – $P$-ультрафильтр, $\zeta=(z_n)_{n\in\omega}$ – последовательность точек произведения $X^\omega$ и $z=p\text{-}{\lim_n\zeta}\in X^\omega$. Предположим, что множество $Z=\{z\}\cup\{z_n:n\in M\}$ не метризуемо ни для какого $M\in p$ и $\pi_k\colon X^\omega\to X$ – проекция $X^\omega$ на $k$-й множитель. Тогда существуют $m\in\omega$ и $N\in p$ такие, что множество $\{\pi_m(z_n):n\in N\}$ дискретно, и для каждого $i\in N$ количество индексов $j$ таких, что $\pi_m(z_j)=\pi_m(z_i)$, конечно. Доказательство. Заметим, что можно выбрать такое $m$, что $\pi_m(\zeta_M)$ бесконечна для любого $M\in p$, где $\zeta_M$ – подмножество точек из последовательности $\zeta$ с номерами из множества $M$. В противном случае для каждого $m\in\omega$ возьмем $M_m\in p$ такое, что $|\pi_m(\zeta_{M_m})|<\omega$. Так как ультрафильтр $p$ является $P$-точкой в $\omega^*$, существует $M\in p$ такое, что $M\setminus M_m$ конечно для любого $m\in\omega$. Тогда множество $Z$ метризуемо, поскольку проекции множества $Z$ на любую координату $m$ конечны, так что $Z$ содержится в произведении конечных пространств с тихоновской топологией. Противоречие. Выберем $m$ так, чтобы проекция $\pi_m(\zeta_M)$ была бесконечна для любого $M\in p$. Заметим, что $\pi_m(z)=p\text{-}{\lim_n}\{\pi_m(z_n):n\in\omega\}$ из-за непрерывности операции проектирования. В силу того, что всякий $P$-ультрафильтр является дискретным, существует $N\in p$ такое, что множество $\{\pi_m(z_n):n\in N\}$ дискретно. Возьмем окрестность $U_n$ точки $\pi_m(z)$ такую, что $\pi_m(z_n)\notin U_n$ для любого $n\in N$. Для каждого $n$ окрестность $U_n$ содержит точки с номерами из некоторого элемента ультрафильтра $p$; обозначим его $A_n$. Получаем последовательность $A_1,A_2,\dots$ элементов ультрафильтра $p$. Так как $P$-ультрафильтр является $P$-точкой в $\omega^*$, найдется $A\in p$ такой, что $|A\setminus A_n|$ – конечно для любого $n$ (см. замечание 1). В силу выбора окрестности $U_n$ для каждого $i\in A$ количество индексов $j$ таких, что $\pi_m(z_j)=\pi_m(z_i)$, конечно. Определение 10. Порядок Рудин–Бласса $\leqslant_{\mathrm{RB}}$ на $\beta\omega$ определяется следующим правилом: для $p,q\in\beta\omega$ будем считать, что $p\leqslant_{\mathrm{RB}}q$, если существует конечнократная функция $f\colon\omega\to \omega$ такая, что $\beta f(q)=p$. Из определения сходимости последовательности по ультрафильтру получаем предложение: Предложение 4. Пусть $p\in\omega^*$, $g\colon\omega\to\omega$ и $(x_n)_{n\in\omega}$, $(y_k)_{k\in\omega}$ – последовательности точек топологического пространства $X$ и существует $P\in p$ такой, что $y_{g(n)}=x_n$ для $n\in P$. Если $x=p\text{-}{\lim_nx_n}$, то $x=\beta g(p)\text{-}{\lim_ky_k}$. Определение 11. Ультрафильтр $p$ на $\omega$ называется селективным, если для любой функции $f\colon\omega\to\omega$ найдется $A\in p$ такой, что $f|_A$ взаимно-однозначно или является константой. Определение 12. Ультрафильтры $p,q\in\omega^*$ называются почти когерентными, если существуют конечнократные функции $f\colon\omega\to\omega$ и $g\colon\omega\to\omega$ такие, что $\beta f(p)=\beta g(q)$. Введем следующее теоретико-множественное предположение. Условие NNCPP$_\kappa$. Существует $\kappa$ попарно $\leqslant_{\mathrm{RB}}$-несовместимых (т.е. не почти когерентных) $P$-точек в $\omega^*$. Для $\kappa=\omega_1$ это предположение вытекает из аксиомы Мартина [22; теорема 2], которая является следствием CH [22]. Действительно, если аксиома Мартина выполнена, то существует $2^{2^\omega}$ $\leqslant_{\mathrm{RK}}$-несравнимых селективных ультрафильтров, а они не почти когерентны, поскольку являются минимальными в смысле порядка Рудина–Кейслера [23; теорема 9.6]. Заметим, что условие NNCPP$_{\omega_1}$ строго слабее CH, т.е. есть модели, в которых NNCPP$_{\omega_1}$ выполнена, а CH нет, поскольку аксиома Мартина совместима с отрицанием CH. Теорема 6 (NNCPP$_{\omega_1}$). Пусть $Y$ – $\beta\omega$-пространство, $X\subset Y^\omega$ – однородное подпространство. Тогда любое компактное подпространство пространства $X$ метризуемо. Доказательство. Будем доказывать от противного. Допустим, что $X$ содержит неметризуемое компактное подпространство. Из утверждения 7 в статье Резниченко [8] следует, что найдется дискретная последовательность $\zeta=(z_n)_{n\in\omega}$ с компактным замыканием $\overline\zeta$, гомеоморфным $\beta\omega$. Возьмем точку $z\in X$. Для каждого $p\in\omega^*$ зафиксируем $f_p\in\operatorname{Aut}(X)$ такой, что $f_p(p\text{-}{\lim}\zeta)=z$ (это можно сделать в силу однородности подпространства $X$). Из условия NNCPP$_{\omega_1}$ следует, что найдется множество $C\subset\omega^*$, $|C|=\omega_1$, состоящее из попарно $\leqslant_{\mathrm{RB}}$-несовместимых $P$-точек в $\omega^*$. Из предложения 3 вытекает, что для каждого $p\in C$ существуют $m_p\in\omega$ и $N_p\in p$ такие, что множество $Y_p=\{\pi_{m_p}(f_p(z_n)):n\in N_p\}$ дискретно и для каждого $i\in N_p$ количество индексов $j$ таких, что $\pi_m(f_p(z_j))=\pi_m(f_p(z_i))$, конечно. Поскольку $|C|>\omega$, найдутся два ультрафильтра $p$ и $q$ из $C$, для которых $m=m_p=m_q$. Перенумеруем точки множества $Y_p$ натуральными числами и получим последовательность $(y^p_k)_{k\in\omega}$. Рассмотрим конечнократное отображение $g_p\colon\omega\to\omega$, которое каждому $n$ ставит в соответствие $k$ такое, что $\pi_m(f_p(z_n))=y^p_k$. Отображение $g_q$ для множества $Y_q$ определим аналогично. Из предложения 4 имеем Следовательно, $\beta g_p(p)$ и $\beta g_q(q)$ – $\leqslant_{\mathrm{RB}}$-совместимые $P$-точки в $\omega^*$. Противоречие.Следствие 1 (MA). Пусть $Y$ – $\beta\omega$-пространство, $X\subset Y^\omega$ – однородное подпространство. Тогда любое компактное подпространство пространства $X$ метризуемо. Теорема 7 (NNCPP$_{n+1}$). Пусть $X$ – однородное пространство, которое вкладывается в $Y^n$ для некоторого $\beta\omega$-пространства $Y$. Тогда любое компактное подпространство $X$ конечно. Доказательство. Пусть $K$ есть компактное подпространство $X$. Метризуемость $K$ доказывается так же, как и в теореме 6. Предположим, что $K$ бесконечно. Из утверждения 7 статьи [8] вытекает, что $\beta\omega$ вкладывается в $K$. Противоречие с метризуемостью $K$. Следовательно, $K$ конечно. Следствие 2 (MA). Пусть $X$ – однородное пространство, которое вкладывается в $Y^n$ для некоторого $\beta\omega$-пространства $Y$. Тогда любое компактное подпространство $X$ конечно. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Ольге Викторовне Сипачёвой за постановку задачи, многочисленные полезные обсуждения, заботу и терпение и Евгению Александровичу Резниченко за стимулирующие беседы, а также рецензенту за ценные замечания.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gro23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|