| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой А. С. Петросянab, Х. А. Хачатрянcb a Национальный аграрный университет Армении, г. Ереван b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова c Ереванский государственный университет, Армения
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030239 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеКак известно, нелинейные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью и с интегральными операторами типа свертки, кроме чисто математического интереса, имеют важные значения в различных прикладных задачах математической физики и математической биологии. В частности, уравнения такого характера встречаются в динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов, в математической теории пространственно-временного распространения пандемии в рамках нелинейной модели Дикмана–Капера, в теории переноса излучения в спектральных линиях и в кинетической теории газов (см. [1]–[10]). В перечисленных приложениях эти уравнения являются уравнениями с выпуклой нелинейностью. В настоящей работе мы рассмотрим следующий класс интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полуоси:
$$
\begin{equation}
Q(f(x))=\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f(t)\,dt,\qquad x\in\mathbb{R}^+:=[0,+\infty),
\end{equation}
\tag{1}
$$
относительно искомой измеримой неотрицательной и ограниченной функций $f(x)$. В уравнении (1) нелинейность $Q$ удовлетворяет следующим условиям:
$$
\begin{equation*}
K(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi a}}e^{-x^2/(4a)},\qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
$Q(u)=au^3+(1-a)u$, $a\in(0,1]$ – константа, уравнение (1) изучалось в работе [15]. В указанных работах в основном обсуждены вопросы существования нетривиальных неотрицательных и ограниченных решений, приведены некоторые качественные свойства построенных решений (монотонность, гладкость, асимптотическое поведение на бесконечности и т.д.). Однако вопрос единственности построенного решения в том или ином классе ограниченных функций долгое время оставался открытой проблемой. В работе [16] доказана единственность решения уравнения (1) в следующем классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}:=\bigl\{f\in C(\mathbb{R}^+)\colon u^\alpha(x)\leqslant f(x)\leqslant 1,\, x\in\mathbb{R}^+,\,1-f\in L_1^0(\mathbb{R}^+)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольных ядер, удовлетворяющих условиям 1), 2), и для нелинейностей вида $Q(u)=u^p$, $p>2$, где $\alpha=1/p$, $u(x)$ является неотрицательным нетривиальным монотонно возрастающим и ограниченным на $\mathbb{R}^+$ решением следующего нелинейного интегрального уравнения Вольтерра:
$$
\begin{equation*}
u(x)=\int_x^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)u^\alpha(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation*}
\notag
$$
а $L_1^0(\mathbb{R}^+)$ – пространство суммируемых функций на $\mathbb{R}^+$ с нулевым пределом в бесконечности. Далее этот результат был усилен в работе [17]: доказана теорема о единственности решения уравнения (1) для общих нелинейностей $Q$, удовлетворяющих условиям a)–c), и ядер $K$, обладающих свойствами 1), 2), в следующем классе ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{M}:=\bigl\{f\in C(\mathbb{R}^+)\colon 0<f(x)\leqslant\eta,\, x>0,\, \eta-f\in L_1(\mathbb{R}^+)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в недавней работе авторов (см. [18]) был исследован вопрос единственности неотрицательного и ограниченного решения уравнения (1), удовлетворяющего граничному условию $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\eta$. Возникает естественный вопрос: является ли единственным любое неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение уравнения (1)? В настоящей работе с использованием совершенно новых подходов удается ответить на этот вопрос для общих выпуклых нелинейностей, удовлетворяющих условиям a)–c), и ядерных функций со свойствами 1), 2). Из этого результата как частный случай получается окончательное решение открытой проблемы Владимирова о единственности роллингового решения нелинейных $p$-адических уравнений (см. [2]). При дополнительном ограничении на ядро $K$ мы докажем также, что любое неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение является выпуклой (вверх) функцией на множестве $\mathbb{R}^+$ и ее первая производная принадлежит пространству $L_1(\mathbb{R}^+)$. В конце работы приведем также прикладные частные примеры уравнения (1) для иллюстрации важности полученных результатов. 2. Обозначения и вспомогательные фактыВо-первых, отметим, что в [17] одним из авторов настоящей работы доказано существование неотрицательного нетривиального непрерывного монотонно неубывающего и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения уравнения (1), являющегося поточечным пределом следующих последовательных приближений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q(f_{n+1}(x))=\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f_n(t)\,dt, \\ f_0(x)\equiv\eta, \qquad n=0,1,2,\dots, \qquad x\in \mathbb{R}^+. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из свойств a)–c) нелинейности $Q$ немедленно следует, что существует число $\varepsilon\in(0,1)$ такое, что функциональное уравнение $Q(u)=\varepsilon u$, кроме нулевого решения, обладает положительным решением $\xi$, причем $\xi<\eta$. Зафиксируем число $\varepsilon$ (и, следовательно, число $\xi$) и рассмотрим следующее характеристическое уравнение: относительно переменой $p\geqslant0$. Из условий 1) и 2) легко следует, что характеристическое уравнение (3) обладает единственным положительным решением $p=p_\varepsilon$. В [17] доказано также, что последовательные приближения (2) снизу ограничены функцией $\xi(1-e^{-px})$, $x\in\mathbb{R}^+$, и предельная функция $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ удовлетворяет предельному соотношению $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\eta$ и обладает интегральной асимптотикой: Пусть теперь $f^*(x)$ – произвольное неотрицательное нетривиальное и ограниченное на множестве $\mathbb{R}^+$ решение уравнения (1). Докажем следующие вспомогательные леммы.Доказательство. Действительно, непрерывность функции на множестве $\mathbb{R}^+$ следует из непрерывности свертки суммируемых и ограниченных функций (см. [19]). В силу условия 1) получаем также, что Следовательно, поскольку $Q(u)\uparrow$ на $\mathbb{R}^+$ и $Q\in C(\mathbb{R}^+)$, то из (1) заключаем, что $f^*\in C(\mathbb{R}^+)$. Лемма 2. Функция $f^*(x)$ удовлетворяет неравенству $f^*(x)\leqslant \eta$, $x\in \mathbb{R}^+$, где число $\eta>0$ определяется из условия a). Доказательство. Поскольку $f^*(x)$ представляет собой ограниченную неотрицательную и тождественно ненулевую на $\mathbb{R}^+$ функцию, то существует причем С другой стороны, из условий 1) и 2) легко следует, что Заметим теперь, что из условий 1), 2) в силу леммы 1 имеем $Q(f^*(0))=0$. Так как $Q(0)=0$, $Q\in C(\mathbb{R}^+)$ и $Q(u)\uparrow$ на $\mathbb{R}^+$, то из равенства $Q(f^*(0))=0$ следует, что $f^*(0)=0$. Поскольку $f^*(x)\geqslant 0$, $f^*(x)\not\equiv0$, $f^*(0)=0$, то существует $x_0>0$ такое, что $f^*(x_0)>0$. Так как $f^*\in C(\mathbb{R}^+)$ (см. лемму 1), то существует число $\delta\in(0,x_0)$ такое, что $m:=\inf_{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)}f^*(x)>0$. Принимая во внимание неравенство (8) и тот факт, что $m>0$, из (1) получим
$$
\begin{equation}
Q(f^*(x))\geqslant m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt>0, \qquad x\in(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Согласно условию b) с учетом непрерывности функции $Q$ на $\mathbb{R}^+$ из (9) следует, что
$$
\begin{equation}
f^*(x)\geqslant Q^{-1}\biggl(m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt\biggr):=\psi(x)>0, \qquad x>0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Очевидно, что $\psi(x)\leqslant \eta$, $x\in(0,+\infty)$. Ниже убедимся, что Действительно, из (10), во-первых, следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber 0\leqslant Q(\psi(x))&=m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt\leqslant m\int_{x-x_0-\delta}^{x-x_0+\delta}K(y)\,dy \\ &\leqslant m \int_{x-x_0-\delta}^\infty K(y)\,dy, \qquad x>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
С другой стороны, в силу конечности первого момента ядра $K$ (см. условие 2)) согласно теореме Фубини (см. [20]) можем утверждать, что
$$
\begin{equation}
\chi(x):=m\int_{x-x_0-\delta}^\infty K(y)\,dy\in L_1(0,+\infty),
\end{equation}
\tag{13}
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty \chi(x)\,dx= \int_{-x_0-\delta}^\infty(y+x_0+\delta) K(y)\,dy<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (12) и (13) приходим к (11). Из (10), a), b) и (12) следует также, что существует $\lim_{x\to+\infty}\psi(x)=0$. Итак, мы доказали следующую лемму. Лемма 3. Функция $f^*(x)$ удовлетворяет неравенству (10), причем Имеет место также следующая Лемма 4. Если $f(x)$ является неотрицательным нетривиальным монотонно неубывающим непрерывным и ограниченным на $\mathbb{R}^+$ решением уравнения (1), построенным при помощи последовательных приближений (2), то Доказательство. Действительно, согласно лемме 2 сперва имеем $f_0(x)\geqslant f^*(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$. Предположим, что $f_n(x)\geqslant f^*(x)$, $ x\in \mathbb{R}^+$, при некотором натуральном $n$. Тогда принимая во внимание (7), из (2) будем иметь Следующая лемма играет существенную роль в наших дальнейших рассуждениях. Лемма 5. Для неотрицательного (ненулевого) и ограниченного решения $f^*(x)$ уравнения (1) справедливо следующее включение: $f^*-Q(f^*)\in L_1(0,+\infty)$. Доказательство. Имея в виду утверждение леммы 2, условия a), b), 1) и 2), из (1) имеем Используя включение (17), можно доказать следующую простую и одновременно полезную лемму. Лемма 6. Для решения $f^*(x)$ уравнения (1) также имеет место включение Доказательство. Действительно, принимая во внимание утверждения лемм 2 и 5, свойства функции $Q$ a)–c) и теорему Лагранжа о конечных приращениях, будем иметь (см. рис. 1, на котором показано, что из $\alpha>\beta$ вытекает $ \operatorname{tg} \alpha=Q'(\eta)> \operatorname{tg} \beta=(Q(f^{*})-Q(Q(f^{*})))/(f^{*}-Q(f^{*}))$: Следовательно, $Q(f^*)-Q(Q(f^*))\in L_1(0,+\infty)$. В следующем пункте с использованием лемм 1–6 мы займемся вопросом единственности решения уравнения (1). 3. Единственность решенияОсновным результатом настоящей работы является следующая Теорема 1. При условиях a)–c) и 1), 2) уравнение (1) в классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций имеет единственное решение. Доказательство. Ясно, что для доказательства теоремы достаточно проверить, что $f^*(x)\equiv f(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$, где $f(x)$ является поточечным пределом последовательных приближений (2). В силу леммы 4 и условия b) из (1) имеем Предположим, что $0\leqslant \alpha\leqslant \Gamma(x)\leqslant \beta$, $x>0$, где число $\beta$ может быть конечным или бесконечным, и что функция $\Gamma(x)$ почти всюду на $(0,+\infty)$ отлична от $\alpha$ и $\beta$. Предположим далее, что весовая функция $p(x)$ конечна, положительна всюду на $(0,+\infty)$ и интегрируема. Тогда если $Q''(u)>0$ и конечна для $\alpha<u<\beta$, то
$$
\begin{equation}
Q\biggl(\frac{\int_0^\infty\Gamma(t)p(t)\,dt} {\int_0^\infty p(t)\,dt}\biggr)\leqslant \frac{\int_0^\infty Q(\Gamma(t))p(t)\,dt}{\int_0^\infty p(t)\,dt}\,,
\end{equation}
\tag{25}
$$
когда правая часть существует и конечна. Равенство имеет место только в том случае, когда $\Gamma(t)=\mathrm{const}$. Таким образом, если при всяком фиксированном $x\in\Omega$ (очевидно, что $0\notin\Omega$, ибо $f^*(0)=f(0)=0$) выбрать в качестве весовой функции $p(t)$ (см. оценку (8)) в качестве $\alpha$ выбрать $\alpha=0$, в качестве $\beta$ выбрать $\beta=\eta$, а в качестве $\Gamma(x)$ взять $\Gamma(x)=f^*(x)$, то из (25) при каждом фиксированном $x\in\Omega$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)Q(f^*(t))dt \\ &\qquad\geqslant \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt \cdot Q\biggl(\frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
С другой стороны, из свойств a)–c) функции $Q$ легко следует, что для любых $v\in [0,1]$ и $u\in (0,+\infty)$ имеет место неравенство (см. рис. 2 на котором показано, что из $(Q(u v)+\varepsilon_0)/Q(u)=v$, $\varepsilon_0 >0$, вытекает $vQ(u) \geqslant Q(uv)$): Так как при всяком фиксированном $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt&\in (0,1), \\ \frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}&\in(0,+\infty) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
($f^*(t)>0$, $t\in (0,+\infty)$ в силу леммы 3), то принимая во внимание (27), при каждом фиксированном $x\in \Omega$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &Q\biggl(\frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}\biggr) \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt \\ &\qquad\geqslant Q\biggl(\int_0^\infty\bigl(K(x-t)- K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt\biggr)=Q(Q(f^*(x))). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Таким образом, в силу (26) и (28) из (24) приходим к следующему неравенству:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega \bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad\leqslant\int_\Omega\bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\bigl(Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))\bigr)\,dx, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
причем интеграл в правой части неравенства (29) конечен в силу леммы 6. Из определения множества $\Omega$ сразу вытекает, что (29) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega \bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr) \\ &\qquad\qquad\times\biggl(\frac{Q(f(x))-Q(f^*(x))}{f(x)-f^*(x)}- \frac{Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))}{f^*(x)-Q(f^*(x))}\biggr) dx\leqslant0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
ибо $f(x)>f^*(x)\geqslant \psi(x)>0$, $x\in \Omega$ и $f^*(x)>Q(f^*(x))$, $x\in\Omega$ (см. формулировку леммы 3). С другой стороны, согласно свойствам a)–c) для функции $Q$ имеет место следующее неравенство (см. рис. 3 на котором показано, что из $\theta_2> \theta_1$ вытекает $ \operatorname{tg} \theta_2=(Q(f)-Q(f^*))/(f-f^*)> \operatorname{tg} \theta_1= (Q(f^*)-Q(Q(f^*)))/(f^*-Q(f^*))$):
$$
\begin{equation}
\frac{Q(f(x))-Q(f^*(x))}{f(x)-f^*(x)}> \frac{Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))}{f^*(x)-Q(f^*(x))}, \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{31}
$$
ибо
$$
\begin{equation}
f(x)>f^*(x)>Q(f^*(x))>Q(Q(f^*(x))), \qquad x\in\Omega.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Из (30), (31) и (32) приходим к противоречию. Следовательно, учитывая непрерывность функций $f$ и $f^*$ на множестве $\mathbb{R}^+$, получаем, что $f(x)\equiv f^*(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$. Таким образом, теорема полностью доказана. 4. О некоторых качественных свойствах решения уравнения (1)Ниже при одном дополнительном ограничении на ядро $K$ мы докажем, что для любого неотрицательного (нетривиального) и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения $f$ уравнения (1) существует $f'(x)$ на $(0,+\infty)$, причем $f'\in L_1(0,+\infty)$. Более того, решение представляет собой выпуклую вверх на $\mathbb{R}^+$ функцию. Имеет место Теорема 2. При условиях теоремы 1 если дополнительно $K\in C^1(\mathbb{R})$, то для любого неотрицательного (ненулевого) и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения $f$ уравнения (1) существует $f'(x)$, $x\in(0,+\infty)$, причем $f'\in L_1(0,+\infty)$. Доказательство. Во-первых, заметим, что в силу теоремы 1 достаточно доказать, что решение $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ имеет первую производную в каждой точке интервала $(0,+\infty)$, причем $f'\in L_1(0,+\infty)$. Теперь, принимая во внимание условия a)–c), уравнение (1) запишем в следующем виде: Справедлива также следующая Теорема 3. При условиях теоремы 1 если $K\in C^1(\mathbb{R})$, то любое нетривиальное неотрицательное и ограниченное на множестве $\mathbb{R}^+$ решение уравнения (1) является выпуклой вверх функцией на $\mathbb{R}^+$. Доказательство. Действительно, согласно теореме 1 нам достаточно доказать, что решение уравнения (1), построенное при помощи последовательных приближений (2), обладает свойством выпуклости вверх на $\mathbb{R}^+$. С этой целью индукцией по $n$ сначала докажем, что 5. Приложения1. В динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов возникает необходимость построения нечетного и ограниченного решения для следующего интегрального уравнения сверточного типа со степенной нелинейностью:
$$
\begin{equation}
F^p(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-t)^2}F(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $p>2$ – нечетное число (см. [2]). Прямой проверкой можно убедиться, что если $f(x)$ является нетривиальным неотрицательным и ограниченным на $\mathbb{R}^+$ решением нелинейного интегрального уравнения с суммарно-разностным ядром:
$$
\begin{equation}
f^p(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty (e^{-(x-t)^2}- e^{-(x+t)^2})f(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation}
\tag{40}
$$
то нечетное продолжение данного решения на отрицательную часть числовой оси
$$
\begin{equation*}
F(x)=\begin{cases} f(x), & \text{если} \ x\geqslant0, \\ -f(-x), & \text{если}\ x<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
будет решением уравнения (39). Более того, если $F(x)$ нечетное нетривиальное и ограниченное решение уравнения (39), то функция $f(x)=F(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$ будет решением интегрального уравнения (40). Легко заметить, что ядро $K(x)=(1/\sqrt{\pi}\,)e^{-x^2}$ удовлетворяет всем условиям 1), 2) и $K\in C^1(\mathbb{R})$, а нелинейность $Q(u)=u^p$ обладает свойствами a)–c). В силу нечетности числа $p$ очевидно, что уравнению (39), кроме решения $F(x)$, удовлетворяют также функции: $F^*(x)=-F(x)$, $F_c(x):=F(x+c)$, $c\in \mathbb{R}$. Однако, как было отмечено в работе [2], физическое решение данного уравнения должно быть нечетной ограниченной функцией, удовлетворяющей граничным условиям $\lim_{x\to\pm\infty}F(x)=\pm1$. С этой точки зрения единственность неотрицательного нетривиального и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения уравнения (40), а также доказанные качественные свойства этого решения (см. теоремы 2 и 3) являются весьма важными аспектами. 2. В математической теории географического распространения эпидемии в рамках модели Дикмана–Капера (см. [4]) встречаются следующие классы нелинейных интегральных уравнений:
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\int_0^\infty H(\tau)\int_{-\infty}^\infty g(u(t-\tau,\xi)) V(x-\xi)\,d\xi\,d\tau,\qquad -\infty<t\leqslant T<+\infty,\quad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{41}
$$
относительно искомой функции $u(t,x)$, где
$$
\begin{equation*}
S(t,x)=S_0 e^{-u(t,x)},\qquad S_0:=S(-\infty,x)=\mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
$$
представляет собой плотность числа восприимчивых лиц в момент времени $t$ в точке $x\in \mathbb{R}$, а функция $H(\tau)V(x-\xi)$ – плотность вероятности заражения восприимчивого лица, находящегося в точке $x$ от лица, находящегося в точке $\xi$, заразившегося в момент времени $\tau$. В данной конкретной задаче нелинейность $g$ имеет следующую структуру:
$$
\begin{equation}
g(u)=\begin{cases} \gamma(1-e^{-u}), & \text{если} \ u\geqslant0, \\ \gamma(e^u-1), & \text{если} \ u<0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{42}
$$
где $\gamma>1$ – числовой параметр. При этом условие $\gamma>1$ означает, что эффект воздействия инфекции ощущается во всех точках $x$, сколь бы ни было мало начальное заражение. Предполагаются, что функции $H$ и $V$ удовлетворяют следующим ограничениям:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &U_1)&&\qquad H(\tau)>0,\quad \tau\in\mathbb{R}^+,\qquad \int_0^\infty H(\tau)\,d\tau=1; \\ &U_2)&&\qquad V(x)>0,\quad x\in\mathbb{R},\qquad V\in C_M(\mathbb{R})\cap L_1(\mathbb{R}),\qquad V(-x)=V(x),\quad x\geqslant 0; \\ &U_3)&&\qquad \int_0^\infty V(x)\,dx=\frac{1}{2}, \qquad \int_0^\infty x^2 V(x)\,dx<+\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что обратная функция к функции $g$ допускает следующее представление:
$$
\begin{equation}
Q(u)=\begin{cases} \ln\dfrac{\gamma}{\gamma-u}\,, & u\in[0,\gamma), \\ -\ln\dfrac{\gamma}{\gamma+u}\,, & u\in(-\gamma,0), \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
$$
и если $f(x)$ является неотрицательным нетривиальным и ограниченным решением уравнения (1) с ядром $K=V$ и с нелинейностью (43), то функция
$$
\begin{equation*}
u(t,x)=\begin{cases} Q(f(x)), & x\geqslant0, \\ -Q(f(-x)), & x<0 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
будет стационарным решением уравнения (41).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PetKha23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|