|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)
О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой
А. С. Петросянab, Х. А. Хачатрянcb a Национальный аграрный университет Армении, г. Ереван
b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
c Ереванский государственный университет, Армения
Аннотация:
Работа посвящена изучению вопроса единственности и исследованию некоторых качественных свойств решения одного класса
интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром на положительной полупрямой и с выпуклой вниз нелинейностью.
Данный класс уравнений в частном случае возникает в динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн
для скалярного поля тахионов. Такие уравнения играют весьма важную роль также при исследовании вопросов существования
и единственности решения нелинейных интегральных уравнений в математической теории географического распространения эпидемии
в рамках модели Дикмана–Капера.
В настоящей работе доказана теорема единственности решения рассматриваемого уравнения в классе неотрицательных (ненулевых)
и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций, тем самым окончательно решена открытая проблема В. С. Владимирова о единственности роллинговых решений нелинейных $p$-адических уравнений. При одном дополнительном ограничении на ядро уравнения доказано также, что решение представляет собой выпуклую вверх функцию на множестве $[0,+\infty)$,
производная которой принадлежит пространству $L_1(0,+\infty)$. В конце работы приведены конкретные модельные уравнения
из указанных выше приложений, к которым применены полученные результаты.
Библиография: 21 название.
Ключевые слова:
выпуклость, последовательные приближения, сходимость, $p$-адическая струна, ограниченное решение, нелинейность, ядро.
Поступило: 22.06.2022
1. Введение Как известно, нелинейные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью и с интегральными операторами типа свертки, кроме чисто математического интереса, имеют важные значения в различных прикладных задачах математической физики и математической биологии. В частности, уравнения такого характера встречаются в динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов, в математической теории пространственно-временного распространения пандемии в рамках нелинейной модели Дикмана–Капера, в теории переноса излучения в спектральных линиях и в кинетической теории газов (см. [1]–[10]). В перечисленных приложениях эти уравнения являются уравнениями с выпуклой нелинейностью. В настоящей работе мы рассмотрим следующий класс интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полуоси:
$$
\begin{equation}
Q(f(x))=\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f(t)\,dt,\qquad x\in\mathbb{R}^+:=[0,+\infty),
\end{equation}
\tag{1}
$$
относительно искомой измеримой неотрицательной и ограниченной функций $f(x)$. В уравнении (1) нелинейность $Q$ удовлетворяет следующим условиям: Ядро $K$ уравнения (1) обладает следующими свойствами: Отметим, что с экспоненциально убывающими на $\mathbb{R}^+$ несимметричными ядерными функциями и нелинейностями с более сильными ограничениями (по сравнению с условиями a)–c)) уравнения, связанные с уравнением (1), исследовались в работах [4]–[6] и [11]. В этих работах построены положительные монотонно возрастающие и ограниченные решения для соответствующих нелинейных интегральных уравнений на всей прямой с разностными ядрами. В том частном случае, когда $K(x)=(1/\sqrt{\pi}\,)e^{-x^2}$, $x\in\mathbb{R}$, а $Q(u)=u^p$, $p>2$, – нечетное число, уравнение (1) возникает в теории $p$-адических струн и достаточно подробно исследовалось в работах [1]–[3] и [12]–[14]. В случае, когда
$$
\begin{equation*}
K(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi a}}e^{-x^2/(4a)},\qquad x\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
$Q(u)=au^3+(1-a)u$, $a\in(0,1]$ – константа, уравнение (1) изучалось в работе [15]. В указанных работах в основном обсуждены вопросы существования нетривиальных неотрицательных и ограниченных решений, приведены некоторые качественные свойства построенных решений (монотонность, гладкость, асимптотическое поведение на бесконечности и т.д.). Однако вопрос единственности построенного решения в том или ином классе ограниченных функций долгое время оставался открытой проблемой. В работе [16] доказана единственность решения уравнения (1) в следующем классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{P}:=\bigl\{f\in C(\mathbb{R}^+)\colon u^\alpha(x)\leqslant f(x)\leqslant 1,\, x\in\mathbb{R}^+,\,1-f\in L_1^0(\mathbb{R}^+)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
для произвольных ядер, удовлетворяющих условиям 1), 2), и для нелинейностей вида $Q(u)=u^p$, $p>2$, где $\alpha=1/p$, $u(x)$ является неотрицательным нетривиальным монотонно возрастающим и ограниченным на $\mathbb{R}^+$ решением следующего нелинейного интегрального уравнения Вольтерра:
$$
\begin{equation*}
u(x)=\int_x^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)u^\alpha(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation*}
\notag
$$
а $L_1^0(\mathbb{R}^+)$ – пространство суммируемых функций на $\mathbb{R}^+$ с нулевым пределом в бесконечности. Далее этот результат был усилен в работе [17]: доказана теорема о единственности решения уравнения (1) для общих нелинейностей $Q$, удовлетворяющих условиям a)–c), и ядер $K$, обладающих свойствами 1), 2), в следующем классе ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{M}:=\bigl\{f\in C(\mathbb{R}^+)\colon 0<f(x)\leqslant\eta,\, x>0,\, \eta-f\in L_1(\mathbb{R}^+)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в недавней работе авторов (см. [18]) был исследован вопрос единственности неотрицательного и ограниченного решения уравнения (1), удовлетворяющего граничному условию $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\eta$. Возникает естественный вопрос: является ли единственным любое неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение уравнения (1)? В настоящей работе с использованием совершенно новых подходов удается ответить на этот вопрос для общих выпуклых нелинейностей, удовлетворяющих условиям a)–c), и ядерных функций со свойствами 1), 2). Из этого результата как частный случай получается окончательное решение открытой проблемы Владимирова о единственности роллингового решения нелинейных $p$-адических уравнений (см. [2]). При дополнительном ограничении на ядро $K$ мы докажем также, что любое неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение является выпуклой (вверх) функцией на множестве $\mathbb{R}^+$ и ее первая производная принадлежит пространству $L_1(\mathbb{R}^+)$. В конце работы приведем также прикладные частные примеры уравнения (1) для иллюстрации важности полученных результатов.
2. Обозначения и вспомогательные факты Во-первых, отметим, что в [17] одним из авторов настоящей работы доказано существование неотрицательного нетривиального непрерывного монотонно неубывающего и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения уравнения (1), являющегося поточечным пределом следующих последовательных приближений:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q(f_{n+1}(x))=\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f_n(t)\,dt, \\ f_0(x)\equiv\eta, \qquad n=0,1,2,\dots, \qquad x\in \mathbb{R}^+. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из свойств a)–c) нелинейности $Q$ немедленно следует, что существует число $\varepsilon\in(0,1)$ такое, что функциональное уравнение $Q(u)=\varepsilon u$, кроме нулевого решения, обладает положительным решением $\xi$, причем $\xi<\eta$. Зафиксируем число $\varepsilon$ (и, следовательно, число $\xi$) и рассмотрим следующее характеристическое уравнение:
$$
\begin{equation}
\int_0^\infty K(t)e^{-pt}\,dt=\frac{\varepsilon}{2}
\end{equation}
\tag{3}
$$
относительно переменой $p\geqslant0$. Из условий 1) и 2) легко следует, что характеристическое уравнение (3) обладает единственным положительным решением $p=p_\varepsilon$. В [17] доказано также, что последовательные приближения (2) снизу ограничены функцией $\xi(1-e^{-px})$, $x\in\mathbb{R}^+$, и предельная функция $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ удовлетворяет предельному соотношению $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\eta$ и обладает интегральной асимптотикой:
$$
\begin{equation}
\eta-f\in L_1(\mathbb{R}^+).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Пусть теперь $f^*(x)$ – произвольное неотрицательное нетривиальное и ограниченное на множестве $\mathbb{R}^+$ решение уравнения (1). Докажем следующие вспомогательные леммы. Лемма 1. Функция $f^*(x)$ является непрерывной на множестве $\mathbb{R}^+$. Доказательство. Действительно, непрерывность функции
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty K(x-t)f^*(t)\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
на множестве $\mathbb{R}^+$ следует из непрерывности свертки суммируемых и ограниченных функций (см. [19]). В силу условия 1) получаем также, что
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty K(x+t)f^*(t)\,dt\in C(\mathbb{R}^+).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, поскольку $Q(u)\uparrow$ на $\mathbb{R}^+$ и $Q\in C(\mathbb{R}^+)$, то из (1) заключаем, что $f^*\in C(\mathbb{R}^+)$. Лемма 2. Функция $f^*(x)$ удовлетворяет неравенству $f^*(x)\leqslant \eta$, $x\in \mathbb{R}^+$, где число $\eta>0$ определяется из условия a). Доказательство. Поскольку $f^*(x)$ представляет собой ограниченную неотрицательную и тождественно ненулевую на $\mathbb{R}^+$ функцию, то существует
$$
\begin{equation}
\sup_{x\in\mathbb{R}^+}f^*(x):=c,
\end{equation}
\tag{5}
$$
причем
$$
\begin{equation}
0<c<+\infty.
\end{equation}
\tag{6}
$$
С другой стороны, из условий 1) и 2) легко следует, что
$$
\begin{equation}
K(x-t)\geqslant K(x+t),\qquad (x,t)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+,
\end{equation}
\tag{7}
$$
причем
$$
\begin{equation}
K(x-t)> K(x+t) \qquad\text{при}\quad (x,t)\in(0,+\infty)\times(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{8}
$$
Следовательно, учитывая (5)–(7), из (1) получим, что $Q(f^*(x))\leqslant c$, $x\in \mathbb{R}^+$. Из последнего неравенства в силу условий a)–c) приходим к оценке $Q(c)\leqslant c$. Убедимся, что $c\leqslant \eta$. Предположим, что $c>\eta$. Тогда, учитывая свойства a)–c), получаем, что $Q(c)/c>Q(\eta)/\eta=1$. Последнее неравенство противоречит оценке $Q(c)\leqslant c$. Следовательно $f^*(x)\leqslant c\leqslant \eta$, $x\in \mathbb{R}^+$. Заметим теперь, что из условий 1), 2) в силу леммы 1 имеем $Q(f^*(0))=0$. Так как $Q(0)=0$, $Q\in C(\mathbb{R}^+)$ и $Q(u)\uparrow$ на $\mathbb{R}^+$, то из равенства $Q(f^*(0))=0$ следует, что $f^*(0)=0$. Поскольку $f^*(x)\geqslant 0$, $f^*(x)\not\equiv0$, $f^*(0)=0$, то существует $x_0>0$ такое, что $f^*(x_0)>0$. Так как $f^*\in C(\mathbb{R}^+)$ (см. лемму 1), то существует число $\delta\in(0,x_0)$ такое, что $m:=\inf_{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)}f^*(x)>0$. Принимая во внимание неравенство (8) и тот факт, что $m>0$, из (1) получим
$$
\begin{equation}
Q(f^*(x))\geqslant m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt>0, \qquad x\in(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Согласно условию b) с учетом непрерывности функции $Q$ на $\mathbb{R}^+$ из (9) следует, что
$$
\begin{equation}
f^*(x)\geqslant Q^{-1}\biggl(m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt\biggr):=\psi(x)>0, \qquad x>0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Очевидно, что $\psi(x)\leqslant \eta$, $x\in(0,+\infty)$. Ниже убедимся, что
$$
\begin{equation}
Q(\psi)\in L_1(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Действительно, из (10), во-первых, следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber 0\leqslant Q(\psi(x))&=m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt\leqslant m\int_{x-x_0-\delta}^{x-x_0+\delta}K(y)\,dy \\ &\leqslant m \int_{x-x_0-\delta}^\infty K(y)\,dy, \qquad x>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
С другой стороны, в силу конечности первого момента ядра $K$ (см. условие 2)) согласно теореме Фубини (см. [20]) можем утверждать, что
$$
\begin{equation}
\chi(x):=m\int_{x-x_0-\delta}^\infty K(y)\,dy\in L_1(0,+\infty),
\end{equation}
\tag{13}
$$
причем
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty \chi(x)\,dx= \int_{-x_0-\delta}^\infty(y+x_0+\delta) K(y)\,dy<+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (12) и (13) приходим к (11). Из (10), a), b) и (12) следует также, что существует $\lim_{x\to+\infty}\psi(x)=0$. Итак, мы доказали следующую лемму. Лемма 3. Функция $f^*(x)$ удовлетворяет неравенству (10), причем
$$
\begin{equation*}
\lim_{x\to+\infty}\psi(x)=0, \qquad Q(\psi)\in L_1(0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место также следующая Лемма 4. Если $f(x)$ является неотрицательным нетривиальным монотонно неубывающим непрерывным и ограниченным на $\mathbb{R}^+$ решением уравнения (1), построенным при помощи последовательных приближений (2), то
$$
\begin{equation}
f(x)\geqslant f^*(x), \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Доказательство. Действительно, согласно лемме 2 сперва имеем $f_0(x)\geqslant f^*(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$. Предположим, что $f_n(x)\geqslant f^*(x)$, $ x\in \mathbb{R}^+$, при некотором натуральном $n$. Тогда принимая во внимание (7), из (2) будем иметь
$$
\begin{equation*}
Q(f_{n+1}(x))\geqslant \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt=Q(f^*(x)), \qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу условия b) получаем, что $f_{n+1}(x)\geqslant f^*(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$. Переходя к пределу в последнем неравенстве при $n\to\infty$, приходим к (14). Следующая лемма играет существенную роль в наших дальнейших рассуждениях. Лемма 5. Для неотрицательного (ненулевого) и ограниченного решения $f^*(x)$ уравнения (1) справедливо следующее включение: $f^*-Q(f^*)\in L_1(0,+\infty)$. Доказательство. Имея в виду утверждение леммы 2, условия a), b), 1) и 2), из (1) имеем
$$
\begin{equation}
0\leqslant \eta-Q(f^*(x))\leqslant 2\eta\int_x^\infty K(y)\,dy+ \int_0^\infty K(x-t)(\eta-f^*(t))\,dt, \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Так как $f^*\in C(\mathbb{R}^+)$ (см. лемму 1), $Q\in C(\mathbb{R}^+)$, то из (15) в силу (7), 1) и 2) для произвольного конечного $R>0$ согласно теореме Фубини получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant \int_0^R (\eta-Q(f^*(x)))\,dx\leqslant 2\eta \int_0^R \int_x^\infty K(y)\,dy\,dx+ \int_0^R \int_0^\infty K(x-t)(\eta-f^*(t))\,dt\,dx \\ &\leqslant 2\eta \int_0^\infty \int_x^\infty K(y)\,dy\,dx+ \int_0^R\int_0^R K(x-t)(\eta-f^*(t))\,dt\,dx \\ &\qquad+ \eta\int_0^R \int_R^\infty K(x-t)\,dt\,dx \\ &=2\eta \int_0^\infty y K(y)\,dy+ \int_0^R(\eta-f^*(t))\int_0^R K(x-t)\,dx\,dt+ \eta\int_0^R \int_R^\infty K(t-x)\,dt\,dx \\ &\leqslant 2\eta\int_0^\infty y K(y)\,dy+\int_0^R(\eta-f^*(t))\,dt+ \eta \int_0^R \int_{R-x}^\infty K(y)\,dy\,dx \\ &=2\eta\int_0^\infty yK(y)\,dy+\int_0^R (\eta-f^*(t))\,dt+ \eta\int_0^R \int_\tau^\infty K(y)\,dy\,d\tau \\ &\leqslant 2\eta \int_0^\infty yK(y)\,dy+\int_0^R (\eta-f^*(t))\,dt +\eta\int_0^\infty \int_\tau^\infty K(y)\,dy\,d\tau \\ &= 3\eta\int_0^\infty yK(y)\,dy+\int_0^R(\eta-f^*(t))\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда в силу неравенства $Q(f^*(x))\leqslant f^*(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$ (см. лемму 2), получим
$$
\begin{equation}
0\leqslant \int_0^R \bigl(f^*(t)-Q(f^*(t))\bigr)\,dt\leqslant 3\eta\int_0^\infty yK(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{16}
$$
В (16) устремляя число $R\to+\infty$, получаем, что
$$
\begin{equation}
f^*-Q(f^*)\in L_1(0,+\infty)
\end{equation}
\tag{17}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
0\leqslant \int_0^\infty\bigl(f^*(t)-Q(f^*(t))\bigr)\,dt\leqslant 3\eta\int_0^\infty yK(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Используя включение (17), можно доказать следующую простую и одновременно полезную лемму. Лемма 6. Для решения $f^*(x)$ уравнения (1) также имеет место включение
$$
\begin{equation*}
Q(f^*)-Q(Q(f^*))\in L_1(0,+\infty).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Действительно, принимая во внимание утверждения лемм 2 и 5, свойства функции $Q$ a)–c) и теорему Лагранжа о конечных приращениях, будем иметь (см. рис. 1, на котором показано, что из $\alpha>\beta$ вытекает $ \operatorname{tg} \alpha=Q'(\eta)> \operatorname{tg} \beta=(Q(f^{*})-Q(Q(f^{*})))/(f^{*}-Q(f^{*}))$:
$$
\begin{equation}
0\leqslant Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))\leqslant Q'(\eta)\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\in L_1(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Следовательно, $Q(f^*)-Q(Q(f^*))\in L_1(0,+\infty)$. В следующем пункте с использованием лемм 1–6 мы займемся вопросом единственности решения уравнения (1).
3. Единственность решения Основным результатом настоящей работы является следующая Теорема 1. При условиях a)–c) и 1), 2) уравнение (1) в классе неотрицательных и ограниченных на $\mathbb{R}^+$ функций имеет единственное решение. Доказательство. Ясно, что для доказательства теоремы достаточно проверить, что $f^*(x)\equiv f(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$, где $f(x)$ является поточечным пределом последовательных приближений (2). В силу леммы 4 и условия b) из (1) имеем
$$
\begin{equation}
0\leqslant Q(f(x))-Q(f^*(x))= \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)(f(t)-f^*(t))\,dt, \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Предположим теперь, что $f^*(x)\not\equiv f(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$. Так как $f^*(0)=f(0)$ (см. доказательство леммы 3), то в силу леммы 1 существует число $x^*>0$ такое, что
$$
\begin{equation*}
f(x^*)-f^*(x^*)>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из непрерывности функций $f$ и $f^*$ сразу следует, что существует число $\delta_0\in (0,x^*)$ такое, что
$$
\begin{equation}
f(x)-f^*(x)>0, \qquad x\in (x^*-\delta_0,x^*+\delta_0).
\end{equation}
\tag{21}
$$
Введем следующее множество:
$$
\begin{equation*}
\Omega:=\bigl\{x\in\mathbb{R}^+\colon f(x)-f^*(x)>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $(x^*-\delta_0,x^*+\delta_0)\subset\Omega$, то $\operatorname{mes}\Omega\geqslant 2\delta_0>0$. Из леммы 5 в силу неравенств $f(x)\leqslant \eta$, $x\in \mathbb{R}^+$, (7) из условия 1) следует, что
$$
\begin{equation}
\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)(f(t)-f^*(t))\,dt\in L_1(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{22}
$$
Умножим обе части (20) на функцию $f^*(x)-Q(f^*(x))\geqslant0$, $x\in \mathbb{R}^+$, и интегрируем полученное равенство в пределах от $0$ до $+\infty$. Тогда в силу включения (22), четности ядра $K$ и теоремы Фубини будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_0^\infty \bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\int_0^\infty\bigl(K(x-t)- K(x+t)\bigr)(f(t)-f^*(t))\,dt\,dx \\ &\qquad=\int_0^\infty \bigl(f(t)-f^*(t)\bigr)\int_0^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)(f^*(x)-Q(f^*(x)))\,dx\,dt \\ &\qquad=\int_0^\infty \bigl(f(t)-f^*(t)\bigr)\biggl(Q(f^*(t))- \int_0^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)Q(f^*(x))\,dx\biggr)\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
ибо согласно (17) и условиям 1), 2), a)–c)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant B(t):=Q(f^*(t))- \int_0^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)Q(f^*(x))\,dx \\ &\leqslant \int_0^\infty K(t-x)\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\,dx+ \eta \int_x^\infty K(y)\,dy\in L_1(0,+\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы получили следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_0^\infty\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_0^\infty\bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\biggl(Q(f^*(x))- \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)Q(f^*(t))\,dt\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Из определения измеримого множества $\Omega$ сразу следует, что равенство (23) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_\Omega\bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\biggl(Q(f^*(x))- \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)Q(f^*(t))\,dt\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
В последующих рассуждениях мы существенным образом будем использовать следующее утверждение из книги [21] (в [21] см. с. 182): Предположим, что $0\leqslant \alpha\leqslant \Gamma(x)\leqslant \beta$, $x>0$, где число $\beta$ может быть конечным или бесконечным, и что функция $\Gamma(x)$ почти всюду на $(0,+\infty)$ отлична от $\alpha$ и $\beta$. Предположим далее, что весовая функция $p(x)$ конечна, положительна всюду на $(0,+\infty)$ и интегрируема. Тогда если $Q''(u)>0$ и конечна для $\alpha<u<\beta$, то
$$
\begin{equation}
Q\biggl(\frac{\int_0^\infty\Gamma(t)p(t)\,dt} {\int_0^\infty p(t)\,dt}\biggr)\leqslant \frac{\int_0^\infty Q(\Gamma(t))p(t)\,dt}{\int_0^\infty p(t)\,dt}\,,
\end{equation}
\tag{25}
$$
когда правая часть существует и конечна. Равенство имеет место только в том случае, когда $\Gamma(t)=\mathrm{const}$. Таким образом, если при всяком фиксированном $x\in\Omega$ (очевидно, что $0\notin\Omega$, ибо $f^*(0)=f(0)=0$) выбрать в качестве весовой функции $p(t)$ (см. оценку (8))
$$
\begin{equation*}
p(t):=K(x-t)-K(x+t)>0, \qquad t\in (0,+\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
в качестве $\alpha$ выбрать $\alpha=0$, в качестве $\beta$ выбрать $\beta=\eta$, а в качестве $\Gamma(x)$ взять $\Gamma(x)=f^*(x)$, то из (25) при каждом фиксированном $x\in\Omega$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)Q(f^*(t))dt \\ &\qquad\geqslant \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt \cdot Q\biggl(\frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
С другой стороны, из свойств a)–c) функции $Q$ легко следует, что для любых $v\in [0,1]$ и $u\in (0,+\infty)$ имеет место неравенство (см. рис. 2 на котором показано, что из $(Q(u v)+\varepsilon_0)/Q(u)=v$, $\varepsilon_0 >0$, вытекает $vQ(u) \geqslant Q(uv)$):
$$
\begin{equation}
vQ(u)\geqslant Q(uv).
\end{equation}
\tag{27}
$$
Так как при всяком фиксированном $x\in\Omega$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt&\in (0,1), \\ \frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}&\in(0,+\infty) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
($f^*(t)>0$, $t\in (0,+\infty)$ в силу леммы 3), то принимая во внимание (27), при каждом фиксированном $x\in \Omega$ получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &Q\biggl(\frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}\biggr) \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt \\ &\qquad\geqslant Q\biggl(\int_0^\infty\bigl(K(x-t)- K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt\biggr)=Q(Q(f^*(x))). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Таким образом, в силу (26) и (28) из (24) приходим к следующему неравенству:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega \bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad\leqslant\int_\Omega\bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\bigl(Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))\bigr)\,dx, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
причем интеграл в правой части неравенства (29) конечен в силу леммы 6. Из определения множества $\Omega$ сразу вытекает, что (29) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega \bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr) \\ &\qquad\qquad\times\biggl(\frac{Q(f(x))-Q(f^*(x))}{f(x)-f^*(x)}- \frac{Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))}{f^*(x)-Q(f^*(x))}\biggr) dx\leqslant0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
ибо $f(x)>f^*(x)\geqslant \psi(x)>0$, $x\in \Omega$ и $f^*(x)>Q(f^*(x))$, $x\in\Omega$ (см. формулировку леммы 3). С другой стороны, согласно свойствам a)–c) для функции $Q$ имеет место следующее неравенство (см. рис. 3 на котором показано, что из $\theta_2> \theta_1$ вытекает $ \operatorname{tg} \theta_2=(Q(f)-Q(f^*))/(f-f^*)> \operatorname{tg} \theta_1= (Q(f^*)-Q(Q(f^*)))/(f^*-Q(f^*))$):
$$
\begin{equation}
\frac{Q(f(x))-Q(f^*(x))}{f(x)-f^*(x)}> \frac{Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))}{f^*(x)-Q(f^*(x))}, \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{31}
$$
ибо
$$
\begin{equation}
f(x)>f^*(x)>Q(f^*(x))>Q(Q(f^*(x))), \qquad x\in\Omega.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Из (30), (31) и (32) приходим к противоречию. Следовательно, учитывая непрерывность функций $f$ и $f^*$ на множестве $\mathbb{R}^+$, получаем, что $f(x)\equiv f^*(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$. Таким образом, теорема полностью доказана.
4. О некоторых качественных свойствах решения уравнения (1) Ниже при одном дополнительном ограничении на ядро $K$ мы докажем, что для любого неотрицательного (нетривиального) и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения $f$ уравнения (1) существует $f'(x)$ на $(0,+\infty)$, причем $f'\in L_1(0,+\infty)$. Более того, решение представляет собой выпуклую вверх на $\mathbb{R}^+$ функцию. Имеет место Теорема 2. При условиях теоремы 1 если дополнительно $K\in C^1(\mathbb{R})$, то для любого неотрицательного (ненулевого) и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения $f$ уравнения (1) существует $f'(x)$, $x\in(0,+\infty)$, причем $f'\in L_1(0,+\infty)$. Доказательство. Во-первых, заметим, что в силу теоремы 1 достаточно доказать, что решение $f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)$ имеет первую производную в каждой точке интервала $(0,+\infty)$, причем $f'\in L_1(0,+\infty)$. Теперь, принимая во внимание условия a)–c), уравнение (1) запишем в следующем виде:
$$
\begin{equation}
f(x)=Q^{-1}\biggl(\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f(t)\,dt\biggr), \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Обозначим через
$$
\begin{equation}
\gamma(x):=\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f(t)\,dt, \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Так как $K\in C^1(\mathbb{R})$, удовлетворяет условиям 1), 2), а $f\in C_M(\mathbb{R}^+)$, то существует
$$
\begin{equation*}
\gamma'(x)= \int_0^\infty\bigl(K_x'(x-t)-K_x'(x+t)\bigr)f(t)\,dt, \qquad x\in(0,+\infty),
\end{equation*}
\notag
$$
причем в силу леммы 2
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\gamma'(x)|&\leqslant \eta\biggl(\int_0^\infty |K_x'(x-t)|\,dt+ \int_0^\infty|K_x'(x+t)|\,dt\biggr) \\ &=\eta \biggl(\int_{-\infty}^0 K'(y)\,dy-\int_0^x K'(y)\,dy- \int_x^{\infty} K'(y)\,dy\biggr)=2\eta K(0), \qquad x\in(0,+\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, поскольку $f(x)>0$ при $x\in(0,+\infty)$, то в силу условий a)–c) в каждой точке $x\in(0,+\infty)$:
$$
\begin{equation}
0< Q'(f(x))<+\infty.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Следовательно, согласно теореме о производной обратной функции в любой точке множества $(0,+\infty)$ существует
$$
\begin{equation*}
(Q^{-1}(\gamma(x)))'=\frac{\gamma'(x)}{Q'(f(x))}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (33), заключаем, что в каждой точке $x\in(0,+\infty)$ существует $f'(x)$. Поскольку $0\leqslant f\in C_M(\mathbb{R}^+)$, $f(0)=0$ и $f(+\infty)=\eta$, то $f'\in L_1(0,+\infty)$. Справедлива также следующая Теорема 3. При условиях теоремы 1 если $K\in C^1(\mathbb{R})$, то любое нетривиальное неотрицательное и ограниченное на множестве $\mathbb{R}^+$ решение уравнения (1) является выпуклой вверх функцией на $\mathbb{R}^+$. Доказательство. Действительно, согласно теореме 1 нам достаточно доказать, что решение уравнения (1), построенное при помощи последовательных приближений (2), обладает свойством выпуклости вверх на $\mathbb{R}^+$. С этой целью индукцией по $n$ сначала докажем, что
$$
\begin{equation}
f_n''(x)<0,\qquad x\in (0,+\infty),\quad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Пусть $n=1$. Тогда из (2) в силу условий a)–c) и 1), 2) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} f_1'(x)Q'(f_1(x))&=2\eta K(x)>0,&\qquad x&\in(0,+\infty), \\ f_1''(x)Q'(f_1(x))+(f_1'(x))^2 Q''(f_1(x))&=2\eta K'(x)<0,&\qquad x&\in(0,+\infty), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда ввиду положительности $Q'(u)$ и $Q''(u)$ получаем, что $f_1''(x)<0$, $ x\in(0,+\infty)$. Предположим, что $f_n''(x)<0$, $x\in(0,+\infty)$, при некотором натуральном $n$. Тогда если последовательные приближения (2) переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q(f_{n+1}(x))=\int_{-\infty}^x K(y)f_n(x-y)\,dy- \int_x^{\infty} K(y) f_n(y-x)\,dy, \\ f_0(x)\equiv\eta,\qquad n=0,1,2,\dots,\qquad x\in \mathbb{R}^+, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{37}
$$
и при этом учитывать условия a)–c), 1), 2), $K\in C^1(\mathbb{R})$, из (37) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f_{n+1}'(x)Q'(f_{n+1}(x)) \\ &\qquad=K(x)f_n(0)+\int_{-\infty}^x K(y) f_n'(x-y)\,dy +K(x)f_n(0)+\int_x^{\infty} K(y) f_n'(y-x)\,dy \\ &\qquad=\int_{-\infty}^x K(y) f_n'(x-y)\,dy+ \int_x^{\infty} K(y) f_n'(y-x)\,dy, \qquad x\in(0,+\infty), \\ &f_{n+1}''(x)Q'(f_{n+1}(x))+ (f_{n+1}'(x))^2Q''(f_{n+1}(x)) \\ &\qquad=K(x)f_n'(0)+ \int_{-\infty}^x K(y) f_n''(x-y)\,dy -K(x)f_n'(0)-\int_x^{\infty} K(y) f_n''(y-x)\,dy \\ &\qquad=\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f_n''(t)\,dt<0,\qquad x\in(0,+\infty) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(последнее неравенство имеет место в силу индукционного предположения и неравенства (8)). Так как $Q'(u)>0$ и $Q''(u)>0$, то из полученного выше неравенства следует, что $f_n''(x)<0$, $x\in(0,+\infty)$. Итак, каждый элемент последовательности функций $\{f_n(x)\}_1^\infty$ является выпуклой вверх функцией на $\mathbb{R}^+$. Следовательно, для любых $x,y\in[0,+\infty)$ и $\alpha\in[0,1]$ имеет место
$$
\begin{equation}
f_n(\alpha x+(1-\alpha)y)\geqslant \alpha f_n(x)+(1-\alpha)f_n(y),\qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{38}
$$
В (38), устремляя $n\to\infty$, получаем, что решение $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ удовлетворяет условию выпуклости вверх: $f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geqslant \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$.
5. Приложения 1. В динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов возникает необходимость построения нечетного и ограниченного решения для следующего интегрального уравнения сверточного типа со степенной нелинейностью:
$$
\begin{equation}
F^p(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-t)^2}F(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $p>2$ – нечетное число (см. [2]). Прямой проверкой можно убедиться, что если $f(x)$ является нетривиальным неотрицательным и ограниченным на $\mathbb{R}^+$ решением нелинейного интегрального уравнения с суммарно-разностным ядром:
$$
\begin{equation}
f^p(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty (e^{-(x-t)^2}- e^{-(x+t)^2})f(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation}
\tag{40}
$$
то нечетное продолжение данного решения на отрицательную часть числовой оси
$$
\begin{equation*}
F(x)=\begin{cases} f(x), & \text{если} \ x\geqslant0, \\ -f(-x), & \text{если}\ x<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
будет решением уравнения (39). Более того, если $F(x)$ нечетное нетривиальное и ограниченное решение уравнения (39), то функция $f(x)=F(x)$, $x\in \mathbb{R}^+$ будет решением интегрального уравнения (40). Легко заметить, что ядро $K(x)=(1/\sqrt{\pi}\,)e^{-x^2}$ удовлетворяет всем условиям 1), 2) и $K\in C^1(\mathbb{R})$, а нелинейность $Q(u)=u^p$ обладает свойствами a)–c). В силу нечетности числа $p$ очевидно, что уравнению (39), кроме решения $F(x)$, удовлетворяют также функции: $F^*(x)=-F(x)$, $F_c(x):=F(x+c)$, $c\in \mathbb{R}$. Однако, как было отмечено в работе [2], физическое решение данного уравнения должно быть нечетной ограниченной функцией, удовлетворяющей граничным условиям $\lim_{x\to\pm\infty}F(x)=\pm1$. С этой точки зрения единственность неотрицательного нетривиального и ограниченного на $\mathbb{R}^+$ решения уравнения (40), а также доказанные качественные свойства этого решения (см. теоремы 2 и 3) являются весьма важными аспектами. 2. В математической теории географического распространения эпидемии в рамках модели Дикмана–Капера (см. [4]) встречаются следующие классы нелинейных интегральных уравнений:
$$
\begin{equation}
u(t,x)=\int_0^\infty H(\tau)\int_{-\infty}^\infty g(u(t-\tau,\xi)) V(x-\xi)\,d\xi\,d\tau,\qquad -\infty<t\leqslant T<+\infty,\quad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{41}
$$
относительно искомой функции $u(t,x)$, где
$$
\begin{equation*}
S(t,x)=S_0 e^{-u(t,x)},\qquad S_0:=S(-\infty,x)=\mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
$$
представляет собой плотность числа восприимчивых лиц в момент времени $t$ в точке $x\in \mathbb{R}$, а функция $H(\tau)V(x-\xi)$ – плотность вероятности заражения восприимчивого лица, находящегося в точке $x$ от лица, находящегося в точке $\xi$, заразившегося в момент времени $\tau$. В данной конкретной задаче нелинейность $g$ имеет следующую структуру:
$$
\begin{equation}
g(u)=\begin{cases} \gamma(1-e^{-u}), & \text{если} \ u\geqslant0, \\ \gamma(e^u-1), & \text{если} \ u<0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{42}
$$
где $\gamma>1$ – числовой параметр. При этом условие $\gamma>1$ означает, что эффект воздействия инфекции ощущается во всех точках $x$, сколь бы ни было мало начальное заражение. Предполагаются, что функции $H$ и $V$ удовлетворяют следующим ограничениям:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &U_1)&&\qquad H(\tau)>0,\quad \tau\in\mathbb{R}^+,\qquad \int_0^\infty H(\tau)\,d\tau=1; \\ &U_2)&&\qquad V(x)>0,\quad x\in\mathbb{R},\qquad V\in C_M(\mathbb{R})\cap L_1(\mathbb{R}),\qquad V(-x)=V(x),\quad x\geqslant 0; \\ &U_3)&&\qquad \int_0^\infty V(x)\,dx=\frac{1}{2}, \qquad \int_0^\infty x^2 V(x)\,dx<+\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно проверить, что обратная функция к функции $g$ допускает следующее представление:
$$
\begin{equation}
Q(u)=\begin{cases} \ln\dfrac{\gamma}{\gamma-u}\,, & u\in[0,\gamma), \\ -\ln\dfrac{\gamma}{\gamma+u}\,, & u\in(-\gamma,0), \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
$$
и если $f(x)$ является неотрицательным нетривиальным и ограниченным решением уравнения (1) с ядром $K=V$ и с нелинейностью (43), то функция
$$
\begin{equation*}
u(t,x)=\begin{cases} Q(f(x)), & x\geqslant0, \\ -Q(f(-x)), & x<0 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
будет стационарным решением уравнения (41).
|
|
|
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
|
|
|
1. |
I. Ya. Arefeva, B. G. Dragovic, I. V. Volovich, “Open and closed $p$-adic strings and quadratic extensions of number fields”, Phys. Lett. B, 212:3 (1988), 283–291 |
2. |
В. С. Владимиров, Я. И. Волович, “О нелинейном уравнении динамики в теории $p$-адической струны”, ТМФ, 138:3 (2004), 355–368 |
3. |
В. С. Владимиров, “Об уравнении $p$-адической открытой струны для скалярного поля тахионов”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:3 (2005), 55–80 |
4. |
O. Diekmann, “Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection”, J. Math. Biol., 6 (1978), 109–130 |
5. |
O. Diekmann, “Run for your life. A note on the asymptotic speed of propagation of an epidemic”, J. Differential Equations, 33:1 (1979), 58–73 |
6. |
O. Diekmann, H. G. Kaper, “On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation”, Nonlinear Anal., 2:6 (1978), 721–737 |
7. |
Н. Б. Енгибарян, “Об одной задаче нелинейного переноса излучения”, Астрофизика, 2:1 (1966), 31–36 |
8. |
В. В. Соболев, “Проблема Милна для неоднородной атмосферы”, Докл. АН СССР, 239:3 (1978), 558–561 |
9. |
C. Cercignani, The Boltzmann Equation and its Applications, Appl. Math. Sci., 67, Springer-Verlag, New-York, 1988 |
10. |
А. Х. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, “О разрешимости нелинейного модельного уравнения Больцмана в задаче плоской ударной волны”, ТМФ, 189:2 (2016), 239–255 |
11. |
Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна–Стилтьеса на всей прямой”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Тр. МИАН, 308, МИАН, М., 2020, 253–264 |
12. |
В. С. Владимиров, “О нелинейных уравнениях $p$-адических открытых, замкнутых и открыто-замкнутых струн”, ТМФ, 149:3 (2006), 354–367 |
13. |
В. С. Владимиров, “О решениях $p$-адических струнных уравнений”, ТМФ, 167:2 (2011), 163–170 |
14. |
В. С. Владимиров, “К вопросу неcуществования решений уравнений $p$-адических струн”, ТМФ, 174:2 (2013), 208–215 |
15. |
Л. В. Жуковская, “Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн”, ТМФ, 146:3 (2006), 402–409 |
16. |
Х. А. Хачатрян, “О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории $p$-адической струны”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 172–193 |
17. |
Х. А. Хачатрян, “Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального уравнения свертки с монотонной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:4 (2020), 198–207 |
18. |
Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “О качественных свойствах решения одной нелинейной граничной задачи в динамической теории $p$-адических струн”, Вестн. С.-Петербург. ун-та, 16:4 (2020), 423–436 |
19. |
У. Рудин, Функциональный анализ, Мир, М., 1975 |
20. |
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1976 |
21. |
Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтлвуд, Г. Полиа, Неравенства, ИЛ, М., 1948 |
Образец цитирования:
А. С. Петросян, Х. А. Хачатрян, “О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой”, Матем. заметки, 113:4 (2023), 529–543; Math. Notes, 113:4 (2023), 512–524
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/mzm13627https://doi.org/10.4213/mzm13627 https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v113/i4/p529
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 573 | PDF полного текста: | 38 | HTML русской версии: | 377 | Список литературы: | 44 | Первая страница: | 16 |
|