| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Об оценках равномерных приближений рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышева при определенном выборе полюсов П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Беларусь
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050231 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПолиномиальные аппроксимации функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$ является хорошо известной задачей, которая ведет свою историю с начала 20 века и затронула интересы большого количества специалистов в области теории функций. Наиболее значимый результат в этом вопросе был дан Бернштейном [1], который установил справедливость асимптотического равенства где ${E}_{2n}(|x|,[-1,1])$ – наилучшее равномерное полиномиальное приближение, $\beta$ – так называемая константа Бернштейна. Значение $\beta$ было вычислено Варгой и Карпентером [2] с пятьюдесятью знаками после запятой и начинается с $0.2801\dots$ . В 1964 г. Ньюмен [3] установил, что наилучшее равномерное приближение функции $|x|$ рациональными функциями со свободными полюсами удовлетворяет двойному неравенству
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-9\sqrt{n}}<\mathrm{R}_n(|x|,[-1,1])< 3\mathrm{e}^{-\sqrt{n}},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\mathrm{R}_n(|x|,[-1,1])$ – наилучшее равномерное приближение функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$ рациональными функциями порядка не выше $n$. Верхнюю оценку здесь реализует рациональная функция
$$
\begin{equation*}
r(x)=x\frac{p(x)-p(-x)}{p(x)+p(-x)},\qquad p(x)=\prod_{k=0}^{n-1}{(x+{{\xi}^{k}})},\quad \xi=\mathrm{e}^{-1/\sqrt{n}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Результат Ньюмена придал новый импульс исследованиям наилучших равномерных приближений функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$ рациональными функциями, а параметры ${{\xi }_{k}}={\mathrm{e}}^{-{k}/{\sqrt{n}}}$, $k=0,1,\dots,n$, и некоторые их модификации оказались полезными при решении задач рациональной аппроксимации функций со степенной особенностью и использовались многими математиками (см., например, [4], [5]). Окончательные результаты в задаче наилучшей рациональной аппроксимации функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$ принадлежат Вячеславову [5], который получил порядок приближения, и Шталю [6], который установил асимптотическое равенство
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{n}} \mathrm{R}_n(|x|,[-1,1])=8.
\end{equation*}
\notag
$$
Аппроксимации функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$ представляют не меньший интерес. Бернштейн [7] показал, что для наилучших равномерных полиномиальных приближений ${E}_{2n}(|x|^p,[-1,1])$ многочленами справедливо асимптотическое равенство
$$
\begin{equation*}
{E}_{2n}(|x|^p,[-1,1])\sim\frac{\beta_p}{n^p},\qquad n\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta_p$ не зависит от $n$. Никольским [8] было проведено подобное исследование приближений функции $|a-x|^s$ многочленами в среднем на отрезке $[-1,1]$. Райцин [9] установил асимптотическую оценку равномерных приближений функции $(x-c)^s$, $-1<c<1$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$ частичными суммами полиномиальных рядов Фурье–Чебышева. Задача полиномиальной аппроксимации функций со степенной особенностью является актуальной и в настоящее время [10], [11]. В 1967 г. Гончар [12] показал, что для рациональных приближений функции $x^\alpha$, $\alpha>0$, на отрезке $[0,1]$ в равномерной метрике справедливо соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathrm{R}_{n}(x^\alpha,[0,1])= O(\mathrm{e}^{-C(\alpha)\sqrt{n}}),\qquad \alpha >0.
\end{equation*}
\notag
$$
Задаче изучения наилучших рациональных приближений функции $x^\alpha$, $\alpha>0$, на отрезке $[0,1]$ посвятили свои работы многие авторы [13]–[17]. Окончательный результат был получен Шталем [18] в 1993 году:
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty}{{\mathrm{e}}^{2\pi \sqrt{\alpha n}}} \mathrm{R}_n(x^\alpha,[0,1])={4}^{\alpha +1}|\sin\pi\alpha|,\qquad \alpha >0.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Отметим работу Пекарского [19], в которой исследовался порядок наилучших рациональных приближений функции $z^\alpha$, $\alpha \in (0,+\infty) \setminus \mathbb{N}$, в области с нулевым внешним углом с вершиной в точке $z=0$. Вместе с тем, при решении задач рациональной аппроксимации функции со степенной особенностью не использовались классические методы теории рядов Фурье. В 1925–1926 гг. Такенака [20] и Мальмквист [21] ввели ортогональную систему рациональных функций на единичной окружности, обобщающую основную тригонометрическую систему. Джрбашян [22] построил рациональные ряды Фурье по этой системе, нашел интеграл Дирихле и установил аналоги признаков Жордана–Дирихле и Дини–Липшица при условии, что полюсы рациональных функций не имеют предельных точек на единичной окружности. Джрбашян и его ученики исследовали некоторые другие свойства рациональных рядов Фурье (см., например, [23], [24]). Однако, на наш взгляд, эти ряды до сих пор остаются не исследованными в полной мере. Русак [25] ввел рациональные операторы Фейера, Валле Пуссена, Джексона, являющиеся обобщением классических методов суммирования рядов Фурье. Эти операторы нашли широкое применение при решении задач рациональной аппроксимации (см., например, [26]). В [27] были введены ряды Фурье на отрезке $[-1,1]$ по одной системе алгебраических дробей Чебышева–Маркова с двумя геометрически различными полюсами, которая является обобщением классической системы полиномов Чебышева первого рода. В частности, был построен интеграл Дирихле и изучены приближения функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$. В [28] исследование аппроксимационных свойств нового метода рациональной аппроксимации на отрезке было продолжено: получены, в частности, асимптотические оценки равномерных приближений функции $|x|^s$, $s \in (0,2)$. В [29] ряды Фурье по системе алгебраических дробей Чебышева–Маркова были применены для изучения функций марковского вида на отрезке $[-1,1]$. В качестве следствия были установлены асимптотические оценки равномерных приближений функции $|x|^s$, $s \in (0,2)$, как элементарной функции Маркова. Для решения этих задач был использован классический метод Лапласа исследования асимптотического поведения интегралов [30], [31]. В 1979 г. Ровба [32] ввел интегральный оператор на основании системы рациональных функций Чебышева–Маркова, который является естественным обобщением частичных сумм полиномиальных рядов Фурье–Чебышева. Пусть задано произвольное множество чисел $\{a_k\}_{k=1}^{n}$, где $a_k$ либо являются действительными и $|a_k|<1,$ либо попарно комплексно сопряженными. Рациональный интегральный оператор Фурье–Чебышева на основании рациональных функций Чебышева–Маркова порядка $n$ имеет вид [32]:
$$
\begin{equation}
s_n(f,x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(\cos v) \frac{\sin\lambda_n(u,v)}{\sin ((v-u)/2)}\,dv, \qquad x = \cos u,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_n(u,v)=\int_{u}^{v}\lambda_n(y)\,dy, \\ \lambda_n(y)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \frac{1-|z_k|^2}{1+2|z_k|\cos (y-\arg z_k) +|z_k|^2}, \qquad z_k=\frac{a_k}{1+\sqrt{1-a_k^2}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $s_n\colon f \to \mathbb{R}_n(A)$, где $\mathbb{R}_n(A)$ – множество рациональных функций вида $A$ – множество параметров $\{ z_1,z_2,\dots,z_{n}\}$, $a_k=2z_k/(1+z_k^2)$, $|z_k|<1$, $k=1,2,\dots,n$, $p_n(x)$ – некоторый многочлен степени не выше $n$, коэффициенты которого зависят от $a_k$, $k=1,2,\dots,n$, функции $f$, и $s_n(1,x) \equiv 1$. В частности, если положить $a_k=0$, $k=1,\dots,n$, то $s_n(f,x)$ есть частичная сумма полиномиального ряда Фурье–Чебышева. В [33] были изучены приближения рациональными интегральными операторами (1.3) на классах интегралов Пуассона на отрезке, в частности, интегралов Пуассона с граничной функцией вида $M|x|^s$, $s>0$. Для нахождения мажоранты равномерных приближений при ограничениях на количество геометрически различных полюсов аппроксимирующей функции также был использован классический метод Лапласа исследования асимптотического поведения интегралов. Следствием полученных результатов было интегральное представление приближений, оценки поточечных и равномерных приближений для функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n}(x,A)=|x|^s-s_{2n}(|\cdot |^{s},x), \quad x\in [-1,1], \qquad \varepsilon_{2n}(A)=\| \varepsilon_{2n}(x,A)\|_{C[-1,1]}, \quad n\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $A$ – множество параметров $\{ z_1,z_2,\dots,z_{2n}\}$ аппроксимирующей функции, заданных следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, z_1=z_2=\dots =z_r=0, \qquad r=\biggl[\frac{s}{2}\biggr], \\ z_k = i \alpha_k, \quad\alpha_k \in [0,1), \qquad \alpha_k=-\alpha_{n+k}, \quad k=1,2,\dots,n, \quad n>r, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где символ $[\,\cdot\,]$ обозначает целую часть числа. Теорема 1 [33]. Для приближений функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.3) имеют место следующие утверждения: Представляет интерес исследование асимптотического поведения мажоранты равномерных приближений (1.7) при $n\to \infty$. Особенностью этой задачи рациональной аппроксимации в отличие от ее полиномиального аналога является тот факт, что подынтегральная функция в интеграле справа содержит $n$ в общем случае различных параметров $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$. Ввиду указанной особенности непосредственное применение классического метода Лапласа [30], [31] исследования асимптотического поведения величины (1.7) не представляется возможным. В настоящей работе проводится построение метода исследования асимптотического поведения при $n\to \infty$ мажоранты (1.7) равномерных приближений функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$ на основании классического метода Лапласа. С помощью построенного метода найдены оценки равномерных приближений без ограничений на количество геометрически различных полюсов аппроксимирующей функции. Отдельно рассматривается задача о порядке равномерных приближений функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$, когда параметры аппроксимирующей функции являются в некотором смысле модификацией “ньюменовских параметров”. 2. Асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближенийИзучим асимптотическое поведение величины из (1.7) при $n\to \infty$. Для решения поставленной задачи в интеграле выполним замену переменного по формуле
$$
\begin{equation*}
t=\sqrt{\frac{1-u}{1+u}}, \qquad dt=-\frac{du}{(1+u)^{3/2}(1-u)^{1/2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n}^{*}(A)=\frac{2}{\pi} \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|\int_{0}^{1}\mu_{s}(u) \biggl|\prod_{k=1}^{m} \frac{\beta_{k}-u}{\beta_{k}+u}\biggr|\,du,\qquad n\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mu_{s}(u)=\frac{u^{s-1}}{(1-u^2)^{s/2}} \biggl(\frac{1-u}{1+u}\biggr)^{r},\quad \beta_{k}=\frac{1-\alpha_{r+k}^{2}}{1+\alpha_{r+k}^{2}},\qquad n=m+r,\quad n>r,\quad r=\biggl[\frac{s}{2}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Будем считать, что параметры $\beta_k$, $k=1,2,\dots,m$, упорядочены следующим образом:
$$
\begin{equation*}
0< \beta_{m} < \beta_{m-1} <\cdots < \beta_{1}\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, для каждого значения $n$ может выбираться соответствующий набор параметров $\beta_k$, $k=1,2\dots,m$. То есть, вообще говоря, $\beta_k=\beta_k(n)$. В связи с этим будем полагать выполненными условия
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\beta_k} \xrightarrow[n \to \infty]{}\infty,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{m}\frac{\beta_{k}}{1-\beta_{k}^{2}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Условия (2.2) и (2.3) не противоречивы. Ниже будет рассмотрена последовательность $\{\beta_k\}_{k=1}^{m}$, удовлетворяющая обоим соотношениям. Теорема 2. Справедливы асимптотические равенства Доказательство. Представим (2.1) в виде
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{2n}^{*}(A)=\frac{2}{\pi} \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|[I_1(A)+I_2(A)+I_3(A)],\qquad n\in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1(A)&=\int_{0}^{\beta_m}\mu_s(u)\prod_{k=1}^{m} \frac{\beta_k-u}{\beta_k+u}\,du, \\ I_2(A)&=\sum_{j=1}^{m-1}\int_{\beta_{j+1}}^{\beta_j} \mu_{s}(u) \prod_{k=1}^{j}\frac{\beta_k-u}{\beta_k+u}\prod_{k=j+1}^{m} \frac{u-\beta_k}{u+\beta_k}\,du, \\ I_3(A)&=\int_{\beta_1}^1 \mu_{s}(u)\prod_{k=1}^{m} \frac{u-\beta_k}{u+\beta_k}\,du, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$\mu_{s}(u)$ из (2.1). Изучим асимптотическое поведение при $n\to \infty$ каждого из трех интегралов по отдельности с учетом наличия в подынтегральных функциях каждого из интегралов $n$ параметров $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$, в общем случае различных. Для решения поставленной задачи построим метод, основанный на классическом методе Лапласа. Дальнейшему доказательству теоремы 2 предпошлем три леммы, которые по существу являются его этапами. Так, для интеграла $I_1(A)$ имеет место
Доказательство. Представим интеграл $I_1(A)$ в виде
$$
\begin{equation*}
I_1(A)=\int_{0}^{\beta_m}\mu_s(u)\mathrm{e}^{S(u)}\,du,\qquad S(u)=\sum_{k=1}^{m}\ln \frac{\beta_k-u}{\beta_k+u}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $S(u)$ убывает на промежутке $[0,\beta_m]$ поскольку $S'(u)<0$, и, следовательно, достигает своего максимального значения при $u=0$. Учитывая разложение
$$
\begin{equation*}
S(u)=-2u\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\beta_k}-\frac{2}{3}u^3 \sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\beta_{k}^{3}}+O(u^5),\qquad u\to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и очевидное асимптотическое равенство для достаточно малого $\varepsilon >0$ и $m\to \infty$ находим, что
$$
\begin{equation*}
I_1(A)\sim \int_{0}^{\varepsilon}u^{s-1} \exp\biggl[-2u\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\beta_k}\biggr]\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
В интегралах справа выполним замену переменного по формуле $2u\sum_{k=1}^{m} 1/\beta_k \mapsto t$. Тогда
$$
\begin{equation*}
I_1(A)=\frac{1}{(2\sum_{k=1}^{m}1/\beta_k)^s} \int_{0}^{\varphi(m,\varepsilon)}{t^{s-1}} \mathrm{e}^{-t}\,dt,\qquad m\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi(m,\varepsilon)= 2\varepsilon\sum_{k=1}^{m}{1/\beta_k} \to \infty$ при $m\to \infty$ в силу условия (2.2). Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{+\infty} u^{s-1}\mathrm{e}^{-u}\,du=\Gamma (s),\qquad s>0,
\end{equation*}
\notag
$$
из последнего асимптотического равенства приходим к (2.8). Лемма 1 доказана. Лемма 2. При выполнении условия Доказательство. Представим сумму $I_2(A)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
I_2(A)=\sum_{j=1}^{m-1}\int_{\beta_{j+1}}^{\beta_j} \mu_s(u)\mathrm{e}^{S(u)}\,du,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
S(u)=\sum_{k=1}^{j}\ln\frac{\beta_k-u}{\beta_k+u}+ \sum_{k=j+1}^{m}\ln\frac{u-\beta_k}{u+\beta_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
S'(u)=\sum_{k=1}^{j}\frac{-2\beta_k}{\beta_{k}^{2}-{{u}^{2}}}+ \sum_{k=j+1}^{m}\frac{2\beta_k}{{{u}^{2}}-\beta_{k}^{2}},\qquad S''(u)=-4u\sum_{k=1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_k^2-u^2)^{2}}<0,
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\lim_{u \to \beta_{j+1}}{S}'(u)=+\infty$, $\lim_{u\to \beta_j}{S}'(u)=-\infty$, то заключаем, что существует внутренняя точка $b_j\in (\beta_{j+1},\beta_j)$, в которой функция $S(u)$ достигает на данном интервале своего максимального значения и $S'(b_j)=0$. Используя разложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S(u)=\sum_{k=1}^{j}\ln \frac{\beta_k-b_j}{\beta_k+b_j}+ \sum_{k=j+1}^{m}\ln \frac{b_j-\beta_k}{b_j+\beta_k}- 2b_j\sum_{k=1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_{k}^{2}-b_{j}^{2})^{2}} (u-b_j)^{2}+o((u-b_{j})^{2}), \\ \mu_s(u)=\frac{b_{j}^{s-1}}{(1-b_{j}^{2})^{s/2}} \biggl(\frac{1-b_{j}}{1+b_{j}}\biggr)^{r}+O((u-b_j)), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
справедливые при $u\to b_j$, для достаточно малого $\varepsilon>0$ и $m\to \infty$ получим
$$
\begin{equation*}
I_2(A) \sim \sum_{j=1}^{m-1}\mu_s(b_j)\pi_{m,j}(b_j) \int_{b_j-\varepsilon}^{b_j+\varepsilon} \exp\biggl[-2b_{j}\sum_{k=1}^{m} \frac{\beta_k}{(\beta_{k}^{2}-b_j^2)^2}(u-b_j)^{2}\biggr]\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполнив в интегралах справа замену переменного $u-b_j \mapsto u$, а затем замену переменного $2b_j\sum_{k=1}^{m}\beta_k/(\beta_k^2-b_j^2)^2 u^2\mapsto u^2$, получим
$$
\begin{equation}
I_2(A) \sim \frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{j=1}^{m-1}\mu_{s}(b_j) \frac{\pi_{m,j}(b_{j})}{\sqrt{b_j \sum_{k=1}^{m}\beta_k/(\beta_{k}^{2}-b_{j}^{2})^{2}}} \int_{-\varphi(m,\varepsilon)}^{\varphi(m,\varepsilon)} \mathrm{e}^{-u^2}\,du,
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где $\varphi(m,\varepsilon)= \sqrt{2b_j\sum_{k=1}^{m}\beta_k/(\beta_k^2-b_j^2)^{2}} \xrightarrow[m \to \infty]{}\infty$ в силу условия (2.9). Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\,dt=\sqrt{\pi},
\end{equation*}
\notag
$$
из асимптотического равенства (2.11) при $m\to \infty$ придем к (2.10). Лемма 2 доказана. Доказательство. Представим интеграл $I_3(A)$ в виде
$$
\begin{equation*}
I_3(A)=\int_{\beta_1}^{1}\mu_{s}(u)\mathrm{e}^{S(u)}\,du,\qquad S(u)=\sum_{k=1}^{m}\ln\frac{u-\beta_k}{u+\beta_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $S(u)$ возрастает при $u \in (\beta_1,1)$, поскольку $S'(u)=\sum_{k=1}^{m}2\beta_k/(u^2-\beta_{k}^{2})>0$, и, следовательно, достигает своего максимального значения при $u=1$. Учитывая разложения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S(u)=\sum_{k=1}^{m}\ln \frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}+ \sum_{k=1}^{m}\frac{2\beta_k}{1-\beta_k^2}(u-1)+o(u-1), \\ \mu_{s}(u)=\frac{(1-u)^{r-s/2}}{2^{r+s/2}}+ o((1-u)^{r-s/2}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
справедливые при $u \to 1$, при достаточно малом $\varepsilon>0$ и $m \to \infty$ находим, что
$$
\begin{equation*}
I_3(A)\sim\frac{1}{2^{r+s/2}}\prod_{k=1}^{m} \frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}\int_{1-\varepsilon}^{1} (1-u)^{r-s/2}\exp\biggl[2\sum_{k=1}^{m} \frac{\beta_k}{1-\beta_{k}^{2}}(u-1)\biggr]\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполнив в интеграле замену переменного $1-u\mapsto u$, затем замену переменного $2u \sum_{k=1}^{m}\beta_k/(1-\beta_{k}^{2}) \mapsto u$, приходим к асимптотическому равенству
$$
\begin{equation*}
I_3(A) \sim \frac{1}{2^{2r+1}(\sum_{k=1}^{m} \beta_k/(1-\beta_k^2))^{1+r-s/2}} \prod_{k=1}^{m} \frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}\int_{0}^{\varphi(m,\varepsilon)} u^{r-s/2}\mathrm{e}^{-u}\,du, \quad\ \ m\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi(m,\varepsilon)= \varepsilon\sqrt{\sum_{k=1}^{m}\beta_k/(1-\beta_{k}^{2})}\to\infty$ при $m \to \infty$ в силу выполнения условия (2.3). Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{+\infty}u^{r-s/2}\mathrm{e}^{-u}\,du= \Gamma\biggl(1+r-\frac{s}{2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
из последнего асимптотического равенства приходим к (2.12). Лемма 3 доказана. Вернемся к доказательству теоремы 2. Подставив (2.8), (2.10) и (2.12) в (2.7), придем к (2.4). Теорема 2 доказана. Следствие 1 (полиномиальный случай). При любом $s>0$ для равномерных приближений функции $|x|^s$ на отрезке $[-1,1]$ частичными суммами полиномиальных рядов Фурье–Чебышева справедливо асимптотическое равенство где $\Gamma(\cdot)$ – гамма-функция Эйлера. Этот результат содержится в [28]. Ранее получен Райцином [9] методами, отличными от используемых в наших исследованиях. 3. Случай “ньюменовских параметров” аппроксимирующей функцииИсследуем асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений (2.4) в случае, когда принимаемые параметрами $\beta_j$, $j=1,2,\dots,m$, значения, являются некоторой модификацией параметров, введенных в своей работе Ньюменом [3]. Эта задача будет изучаться нами далее. Пусть $A_N$ – множество параметров $\{ z_1,z_2,\dots,z_{2n}\}$ аппроксимирующей функции, заданных следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, z_1=z_2 = \dots = z_r=0, \quad r=\biggl[\frac{s}{2}\biggr], \qquad z_k=-z_{n+k}, \quad k=1,2,\dots,n, \nonumber \\ z_{r+k}=i\alpha_{r+k}, \qquad \alpha_{r+k}=\sqrt{\frac{1-\beta_{k}^{2}}{1+\beta_{k}^{2}}}, \quad \beta_k=\mathrm{e}^{-ck/\sqrt{m}}, \quad k=1,2,\dots ,m, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$c$ – некоторая положительная постоянная, не зависящая от $n$, $n = m + r$ при $n>r$. Теорема 3. В условиях (3.1) при любом $s>0$ для равномерных приближений функции $|x|^s$ на отрезке $[-1,1]$ рациональным интегральным оператором (1.3) справедливо неравенство Доказательство. Исследуем асимптотическое поведение правой части равенства (2.4), когда параметры $\beta_k$, $k=1,2,\dots,m$, заданы формулами (3.1). Доказательству теоремы 3 предпошлем четыре леммы.
Лемма 4. В условиях (3.1) справедливо асимптотическое равенство Доказательство. Представим исследуемое произведение в виде
$$
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^{m}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}=\mathrm{e}^{S(m)},\qquad S(m)=\sum_{k=1}^{m}\ln \frac{1-\beta_k}{1+\beta_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выясним асимптотическое поведение суммы $S(n)$ при $n\to \infty$. Поскольку выражение под знаком суммы удовлетворяет необходимым требованиям из [34; с. 381, теорема 2], снова воспользуемся методом приближенной замены суммы интегралом. Имеем
$$
\begin{equation*}
S(m)=\int_{1}^{m}\ln\frac{1-\mathrm{e}^{-ct/\sqrt{m}}} {1+\mathrm{e}^{-ct/\sqrt{m}}}\,dt+ O\biggl(\ln\frac{1-\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}} {1+\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}}\biggr)+O(1),\qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В интеграле справа выполним замену переменного $ct/\sqrt{m}\mapsto u$. Тогда
$$
\begin{equation*}
S(m)=\frac{\sqrt{m}}{c}\int_{c/\sqrt{m}}^{c\sqrt{m}} \ln\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{1+\mathrm{e}^{-u}}\,du+ O(\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}),\qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{+\infty} \ln\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{1+\mathrm{e}^{-u}}\,du= -\frac{\pi^2}{4},
\end{equation*}
\notag
$$
из последнего асимптотического равенства приходим к выражению
$$
\begin{equation}
S(m)=-\frac{\pi^2}{4c}\sqrt{m}-\frac{\sqrt{m}}{c}I_6(c,m)- \frac{\sqrt{m}}{c}I_7(c,m)+O(\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}),\qquad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
I_6(c,m)=\int_{c\sqrt{m}}^{+\infty} \ln\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{1+\mathrm{e}^{-u}}\,du,\qquad I_7(c,m)=\int_{0}^{c/\sqrt{m}} \ln\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{1+\mathrm{e}^{-u}}\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Исследуем асимптотическое поведение интегралов $I_6(c,m)$ и $I_7(c,m)$ при $m\to \infty$. Так, для интеграла $I_6(c,m)$ воспользуемся методом дифференцирования по параметру. Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial I_6(c,m)}{\partial m}=-\frac{c}{2\sqrt{m}} \ln\frac{1-\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}}{1+\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}}\sim \frac{c}{\sqrt{m}}{{\mathrm{e}}^{-c\sqrt{m}}},\qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы вернуться к асимптотике первоначального интеграла, проинтегрируем последнее асимптотическое равенство по $m$. Тогда
$$
\begin{equation*}
I_6(c,m)\sim c\int\frac{\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}}{\sqrt{m}}\,dm= -2\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}+\mathrm{const},\qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Постоянную находим из условия $I_6(c,\infty)=0$. Отсюда $\mathrm{const}=0$ и
$$
\begin{equation*}
I_6(c,m)\sim -2\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}},\qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая совершенно аналогичным образом в отношении интеграла $I_7(c,m)$, получим
$$
\begin{equation*}
I_7(c,m)\sim -\frac{c}{2}\,\frac{\ln m}{\sqrt{m}}- \frac{c}{\sqrt{m}},\qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив асимптотики интегралов $I_6(c,m)$ и $I_7(c,m)$ в (3.5), будем иметь
$$
\begin{equation*}
S(m)=-\frac{\pi^2}{4c}\sqrt{m}+\frac{1}{2}\ln m+O(1),\qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего асимптотического равенства приходим к (3.4). Лемма 4 доказана. Доказательство. Известно [35; с. 140], что
$$
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^{j}\frac{\beta_k-b_j}{\beta_k+b_j} \prod_{k=j+1}^{m}\frac{b_j-\beta_k}{b_j+\beta_k}< \prod_{k=1}^{m}\frac{1-\beta_k}{1+\beta_k},\qquad b_j \in [\beta_{j+1},\beta_j].
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для получения оценки (3.6) достаточно воспользоваться результатом леммы 4. Лемма 6. В условиях (3.1) справедливы асимптотические равенства Доказательство. Воспользуемся методом приближенной замены суммы интегралом, предложенным в [34; с. 381]. Очевидно, что суммы (3.7) и (3.8) являются знакопостоянными, а выражения, стоящие под знаком сумм, – непрерывными и монотонными при $0<\beta_k \leqslant 1$, $k=1,2,\dots,m$. Тогда получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\beta_k}= \sum_{k=1}^{m}\mathrm{e}^{ck/\sqrt{m}}= \int_{1}^{m}\mathrm{e}^{ct/\sqrt{m}}\,dt+ O(\mathrm{e}^{c\sqrt{m}}),\qquad n\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда находим, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\beta_k}= \frac{\sqrt{m}}{c}{{\mathrm{e}}^{c\sqrt{m}}}+ O(\mathrm{e}^{c\sqrt{m}}),\qquad n\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассуждая аналогичным образом, докажем справедливость асимптотического равенства 22. Лемма 4 доказана. Отметим, что лемма 6 обеспечивает выполнение условий (2.2) и (2.3). Лемма 7. Справедлива оценка снизу Доказательство. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_{k}^{2}-b_{j}^{2})^{2}}= \sum_{k=1}^{j}\frac{\beta_k}{(\beta_{k}^{2}-b_{j}^{2})^{2}}+ \sum_{k=j+1}^{m}\frac{\beta_k}{(b_{j}^{2}-\beta_{k}^{2})^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\varphi^{*}(t)=a/(a^2-t^2)^{2}$, $a>0$, $t>0$, возрастает при $a>t$ и убывает при $a<t$, то из последнего равенства следует оценка снизу
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_k^2-b_j^2)^{2}}\geqslant \sum_{k=1}^{j}\frac{\beta_k}{(\beta_{k}^{2}-\beta_{m}^{2})^{2}}+ \sum_{k=j+1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_{j}^{2}-\beta_{k}^{2})^{2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно получить, что
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{j}\frac{\beta_k}{(\beta_k^2-\beta_m^2)^{2}} \xrightarrow[m \to \infty]{} j.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Рассмотрим вторую сумму. Для нее находим
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=j+1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_{j}^{2}-\beta_{k}^{2})^{2}}= \frac{1}{\beta_{j}^{3}}\int_{j+1}^{m} \frac{\mathrm{e}^{-c(t-j)/\sqrt{m}}\,dt} {(1-\mathrm{e}^{-2c(t-j)/\sqrt{m}})^{2}}+ O\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}} {\beta_{j}^{3}(1-{\mathrm{e}}^{-2c\sqrt{m}})^{2}}\biggr),\qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В интеграле справа выполним последовательно замену переменной по формуле $t-j\mapsto t$, затем $\mathrm{e}^{-ct/\sqrt{m}}\mapsto u$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=j+1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_j^2-\beta_k^2)^2}= \frac{\sqrt{m}}{c\beta_j^3}\int_{0}^{\mathrm{e}^{-c/\sqrt{m}}} \frac{du}{(1-u^2)^2}+O(\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}),\qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполнив необходимые вычисления, находим, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=j+1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_{j}^{2}-\beta_{k}^{2})^{2}}= \frac{\sqrt{m}}{4c\beta_{j}^{3}} \biggl[\frac{2\mathrm{e}^{c/\sqrt{m}}}{1-\mathrm{e}^{2c/\sqrt{m}}}+ \ln\frac{1+\mathrm{e}^{c/\sqrt{m}}} {1-\mathrm{e}^{c/\sqrt{m}}}\biggr]+O(\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}),\qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=j+1}^{m}\frac{\beta_k}{(\beta_j^2-\beta_k^2)^2}= \frac{m}{4c^2\beta_{j}^{3}}+ O\biggl(\frac{\sqrt{m}}{4c\beta_{j}^{3}} \ln\frac{2\sqrt{m}}{c}\biggr),\qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего асимптотического равенства и порядковой оценки (3.10) приходим к (3.9). Лемма 7 доказана. Заметим, что из леммы 7 следует выполнение необходимого условия (2.9) для используемых параметров $\beta_k$, $k=1,2,\dots,m$. Вернемся к доказательству теоремы 3. С учетом результатов, доказанных в леммах 6–7, из (2.4) приходим к оценке
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varepsilon_{2n}(A_N)&<\frac{2}{\pi} \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \biggl[\frac{\Gamma(s)c^s\mathrm{e}^{-cs\sqrt{m}}}{(2\sqrt{m})^s}+ 2c\sqrt{\frac{\pi}{2}}S(s,m)\mathrm{e}^{-\pi^2\sqrt{m}/(4c)} \nonumber \\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+r-s/2)c^{1+r-s/2}(\sqrt{m})^{s/2-r} \mathrm{e}^{-\pi^2\sqrt{m}/(4c)}} {2^{s-1}(\ln m)^{1+r-s/2}}\biggr],\qquad m\to \infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
S(s,m)=\sum_{j=1}^{m-1} \frac{b_{j}^{s-3/2}\beta_{j}^{3/2}}{(1-b_{j}^{2})^{s/2}} \biggl(\frac{1-b_j}{1+b_j}\biggr)^{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим сумму $S(s,m)$. Поскольку $b_j \in (\beta_{j+1},\beta_j)$, $j=1,2,\dots,m-1$, то
$$
\begin{equation*}
S(s,m)<\sum_{j=1}^{m-1} \frac{\beta_{j}^{s}}{(1-\beta_j^2)^{s/2-r}},\qquad r=\biggl[\frac{s}{2}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Для исследования асимптотического поведения мажоранты в последней оценке снова воспользуемся методом приближенной замены суммы интегралом. Имеем
$$
\begin{equation*}
S(s,m)<\int_{1}^{m}\frac{\mathrm{e}^{-cst/\sqrt{m}}} {(1-\mathrm{e}^{-2ct/\sqrt{m}})^{s/2-r}}\,dt+ O\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-cs\sqrt{m}}} {(1-\mathrm{e}^{-2c\sqrt{m}})^{s/2-r}}\biggr),\qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Выполнив в интеграле справа замену переменного по формуле $\mathrm{e}^{-ct/\sqrt{m}}\mapsto u$, получим
$$
\begin{equation*}
S(s,m)<\frac{\sqrt{m}}{c} \int_{\mathrm{e}^{-c\sqrt{m}}}^{\mathrm{e}^{-c/\sqrt{m}}} \frac{u^{s-1}\,du}{(1-u^2)^{s/2-r}}+O(\mathrm{e}^{-cs\sqrt{m}}).
\end{equation*}
\notag
$$
При $m\to \infty$ находим
$$
\begin{equation*}
S(s,m)<\frac{\sqrt{m}}{c}\int_{0}^{1} \! \frac{u^{s-1}\,du}{(1-u^2)^{s/2-r}}= \frac{\Gamma(1+r-s/2)\Gamma(s/2)}{2\Gamma(1+r)}\sqrt{m}+ O(\mathrm{e}^{-cs\sqrt{m}}),\qquad m \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставив последнюю оценку в (3.11), для достаточно большого $m$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon_{2n}^{*}(A_N)&<\frac{2}{\pi} \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \biggl[\frac{\Gamma (s)c^s\mathrm{e}^{-cs\sqrt{m}}} {(2\sqrt{m})^{s}}+\sqrt{\frac{\pi}{2}}\, \frac{\Gamma(1+r-s/2)\Gamma(s/2)}{\Gamma(1+r)} \sqrt{m}\mathrm{e}^{-\pi^2\sqrt{m}/(4c)} \\ &\phantom{<\frac{2}{\pi} \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \biggl[} \qquad+\frac{\Gamma(1+r-s/2)c^{1+r-s/2} (\sqrt{m})^{s/2-r}\mathrm{e}^{-\pi^2\sqrt{m}/(4c)}} {2^{s-1}(\ln m)^{1+r-s/2}}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая, что $n=m+r$, приходим к оценке (3.2), что завершает доказательство теоремы 3. Представляет интерес минимизировать величину (3.3) путем выбора оптимального для данной задачи параметра $c$. Другими словами, найти наилучшую оценку равномерных приближений с параметрами (3.1). Положим
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n}^{*}=\inf_c \varepsilon_{2n}^{*}(A_N).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеет место Теорема 4. При любом $s>0$ для равномерных приближений функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$ рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышева (1.3) справедливо соотношение Доказательство. Константу $c$ в (3.3) выберем исходя из равенства $cs=\pi^2/4c$, При этом из (3.3) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varepsilon_{2n}^{*}(A_{N})&=\frac{2}{\pi}\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \biggl[\Gamma(s)\biggl(\frac{\pi}{4\sqrt{sn}}\biggr)^s+ \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\frac{\Gamma(1+r-s/2)\Gamma(s/2)}{\Gamma(1+r)}\sqrt{n}+ \\ &\phantom{=\frac{2}{\pi}\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \biggl[} \quad+\frac{\pi^{1+r-s/2}\Gamma(1+r-s/2)(\sqrt{sn})^{s/2-r}} {2^{s/2+r}\sqrt{s}(\ln n)^{1+r-s/2}}\biggr] \mathrm{e}^{-(\pi/2)\sqrt{sn}},\qquad n\to \infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При фиксированном $s$ асимптотическое поведение правой части последнего равенства определяется слагаемым с наибольшим порядком $n$ в квадратной скобке. Это второе слагаемое. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_{2n}^{*}(A_{N})=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr|\frac{\Gamma(1+r-s/2)\Gamma(s/2)} {\Gamma(1+r)}\sqrt{n}\mathrm{e}^{-(\pi/2)\sqrt{sn}}+\delta^*(s,n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta^{*}(s,n)$ определено в формулировке теоремы 4.
Покажем, что константа $c$, определенная в (3.13), действительно доставляет правой части (3.3) асимптотически минимальное значение. Пусть для некоторого произвольно малого значения $\delta >0$. В этом случае порядок второго слагаемого в (3.3) будет
$$
\begin{equation*}
O(\sqrt{n}\mathrm{e}^{-\pi^2\sqrt{sn}/(2(\pi+2\delta\sqrt{s}))}).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку то заключаем, что для достаточно больших $n$ порядок в правой части оценки (3.3) при $c_{+}$ будет больше, чем при $c$. Пусть
$$
\begin{equation*}
c=c_-=\frac{\pi}{2\sqrt{s}}-\delta, \qquad \delta >0.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае скорость убывания правой части оценки (3.3) будет определяться первым слагаемым и иметь порядок
$$
\begin{equation*}
O\biggl(\frac{\mathrm{e}^{-(\pi/2)\sqrt{sn}} \mathrm{e}^{s\delta\sqrt{n}}}{(\sqrt{n})^s}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из последней порядковой оценки заключаем, что для достаточно больших $n$ первое слагаемое в правой части оценки (3.3) будет достаточно велико. Исходя из сказанного заключаем, что оптимальным параметром является $c^{*}=\pi/(2\sqrt{s})$. При этом из (3.3) приходим к (3.12). Теорема 4 доказана. Представляет интерес сравнить оценку (3.12) равномерных приближений функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$ рациональными операторами Фурье–Чебышева (1.3) с результатом Шталя (1.2) об асимптотической оценке наилучших равномерных приближений этой функции. Следствие 2. Для равномерных приближений функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$ рациональными интегральными операторами Фурье–Чебышева (1.3) справедливо соотношение Отметим, что оценка равномерных приближений функции $|x|$ на отрезке $[-1,1]$ рациональными операторами Фурье–Чебышева (1.3) лучше по порядку равномерной оценки, установленной Ньюменом (1.1). Известно [18], что для наилучших равномерных рациональных приближений имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
R_{2n}(|x|^{s},[-1,1])=R_{n}(x^{s/2},[0,1]),\qquad n\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 3. При любом $\gamma >0$ для приближений функции $x^\gamma$ на отрезке $[0,1]$ рациональным интегральным оператором (1.3) справедливо соотношение где 4. Непрерывная зависимость мажоранты равномерных приближений от параметров аппроксимирующей функцииВ предыдущем пункте настоящей работы были получены оценки равномерных рациональных приближений функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$ в случае, когда параметры $\alpha_j$, $j=1,2,\dots,n$, аппроксимирующего оператора (1.3) имеют вид (3.1). Покажем, что асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений, найденное в теореме 2, непрерывно зависит от выбора параметров в том смысле, что малые изменения параметров аппроксимирующей функции вызывают изменение только константы в асимптотической оценке. Рассмотрим множество параметров следующего вида:
$$
\begin{equation}
\alpha_{r+k}=\sqrt{\frac{1-\rho_k^2}{1+\rho_k^2}},\qquad \rho_k=\mathrm{e}^{-k\lambda},\quad \lambda=\lambda(m,s)=\frac{c}{\sqrt{m}}- \frac{s+1}{2s}\,\frac{\ln m}{m},\quad k=1,2,\dots,m,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
$c$ – некоторая положительная постоянная, не зависящая от $n$, $n=m+r$ при $n>r$. Отметим, что $\rho_k \sim \beta_k$, $k=1,2,\dots,m$, $m \to \infty$, где $\beta_k$ – параметры, определенные в (3.1). Следующая теорема устанавливает асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений, когда параметры аппроксимирующей функции имеют вид (4.1). Сформулируем ее без доказательства, поскольку оно проводится совершенно аналогично доказательству теоремы 3. Теорема 5. При любом $s>0$ в условиях (4.1) для равномерных приближений функции $|x|^s$ рациональным интегральным оператором (1.3) справедливо соотношение Ясно, что оптимальная константа $c$ в задаче минимизации правой части асимптотического равенства (4.3) также будет определяться соотношением (3.13). Важным существенным отличием асимптотического равенства (4.3) от равенства (3.3) является тот факт, что главная часть асимптотического разложения при $n\to \infty$ будет определяться уже не вторым слагаемым, как это было при доказательстве теоремы 4, а первым. При этом наилучшая оценка равномерных приближений с параметрами (4.1) примет вид
$$
\begin{equation}
\bigl\|\,|x|^s-s_{2n}(|\cdot|^s,x)\bigr\|_{C[-1,1]}<c_2(s)\sqrt{n} \mathrm{e}^{-(\pi/2)\sqrt{sn}}+O(\delta^*(s,n) \mathrm{e}^{-(\pi/2)\sqrt{sn}}),\qquad n\to \infty,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_2(s)=\frac{2^{1-2s}}{\pi^{1-s}}\biggl|\sin\frac{\pi s}{2}\biggr| \frac{\Gamma(s)}{s^{s/2}}, \\ \delta^*(s,n)=\max\biggl(\frac{1}{(\sqrt{n})^s}, \frac{1}{(\sqrt{n})^{1+r-s/2+1/s}(\ln n)^{1+r-s/2}}\biggr), \\ s>0,\qquad r=\biggl[\frac{s}{2}\biggr],\qquad n\to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, при $s=1$ справедлива оценка сверху
$$
\begin{equation*}
\bigl\|\,|x|-s_{2n}(|\cdot|,x)\bigr\|_{C[-1,1]}< \frac{1}{2}\sqrt{n}\mathrm{e}^{-(\pi/2)\sqrt{n}}+ \delta^{*}(1,n),\qquad n\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Порядок правой части оценки (4.4) совпадает с порядком оценки в (3.12). Вместе с тем, константа в оценке изменилась. Другими словами, даже малое изменение параметров аппроксимирующей функции влияет на оценку равномерных приближений.
5. ЗаключениеВ работе проведено исследование равномерных рациональных приближений функции $|x|^s$, $s>0$, на отрезке $[-1,1]$ интегральными операторами Фурье–Чебышева (1.3). При определенных условиях на параметры аппроксимирующей функции установлено асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Для получения этого результата был построен новый метод исследования асимптотического поведения интегралов на основании классического метода Лапласа. Получена оценка сверху равномерных приближений в случае, когда параметры аппроксимирующей функции представляют собой некоторые модификации “ньюменовских параметров”. Установлено их значение, при котором равномерные приближения имеют наибольшую скорость убывания. Рассмотрен второй набор параметров аппроксимирующей функции, отличный от изученного на величину более высокого параметра малости и показано, что такие изменения влияют на величину постоянной асимптотической оценки. Другими словами, найденная оценка равномерных приближений операторами Фурье–Чебышева непрерывно зависит от параметров аппроксимирующей функции. Полученные оценки равномерных приближений являются в значительной степени лучше соответствующих полиномиальных оценок. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PotRov23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|