| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Спектральный синтез на редуцированной группе Гейзенберга В. В. Волчков, Вит. В. Волчков Донецкий национальный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010066 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\mathbb{R}^n$ (соответственно, $\mathbb{C}^n$) – вещественное (соответственно, комплексное) евклидово пространство размерности $n$, $\langle z,w\rangle$ – эрмитово скалярное произведение векторов $z,w\in\mathbb{C}^n$. Функция вида
$$
\begin{equation*}
x\to p(x)e^{\langle\lambda,x\rangle},\qquad x\in\mathbb{R}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda\in\mathbb{C}^n$ и $p$ – многочлен, называется экспоненциальным полиномом на $\mathbb{R}^n$. Обозначим через $\mathcal{E}(\mathcal{M})$ пространство бесконечно дифференцируемых функций на гладком многообразии $\mathcal{M}$ со стандартной топологией [1; гл. 2, § 2, п. 2]). Предположим, что подпространство $\mathcal{U}\subset \mathcal{E}(\mathbb{R}^n)$ инвариантно относительно сдвигов, т.е. для любой функции $f\in \mathcal{U}$ и для любого $h\in\mathbb{R}^n$ функция $x\to f(x+h)$ также принадлежит $\mathcal{U}$. Говорят, что подпространство $\mathcal{U}$ допускает спектральный синтез, если $\mathcal{U}$ совпадает с замыканием линейной оболочки экспоненциальных полиномов, содержащихся в $\mathcal{U}$. Отсюда следует, в частности, что $\mathcal{U}$ допускает спектральный анализ, т.е. существует $\lambda\in\mathbb{C}^n$ такое, что $e^{\langle \lambda,x\rangle}\in \mathcal{U}$. В 1947 г. Шварц [2; § 7] установил, что всякое инвариантное относительно сдвигов подпространство в $\mathcal{E}(\mathbb{R})$ допускает спектральный синтез. Кроме того, в той же работе он высказал гипотезу, что подобный результат справедлив и в $\mathbb{R}^n$ при $n\geqslant 2$. Однако в 1975 г. Гуревич [3] опроверг указанную гипотезу Шварца даже относительно спектрального анализа в $\mathcal{E}(\mathbb{R}^n)$, $n\geqslant 2$. Вопрос о том, когда справедливы аналоги теоремы Шварца для $\mathcal{E}(\mathbb{R}^{n})$ и пространств гладких функций на других многообразиях привлекает значительное внимание. В 1973 г. Браун, Шрейбер и Тейлор [4] доказали, что любое подпространство в $\mathcal{E}(\mathbb{R}^n)$, инвариантное относительно сдвигов и вращений, порождается содержащимися в нем экспоненциальными полиномами. Различные теоремы о возможности и невозможности спектрального синтеза на симметрических пространствах и пространствах Деймека–Риччи получены в работах [5], [6]–[11]. Структура подпространств, инвариантных относительно двусторонних сдвигов на различных группах изучалась в [12]–[15]. В данной работе исследуется задача спектрального синтеза для фазового пространства $\mathbb{C}^n$, ассоциированного с редуцированной группой Гейзенберга $H^n_{\rm{red}}$. Рассматривается случай подпространств в $\mathcal{E}(\mathbb{C}^n)$, инвариантных относительно искаженных сдвигов
$$
\begin{equation}
f(z)\to f(z-w)e^{(i/2)\operatorname{Im}\langle z,w\rangle},\qquad w\in\mathbb{C}^n
\end{equation}
\tag{1}
$$
и действия унитарной группы $U(n)$. Показано, что всякое такое подпространство порождается корневыми векторами искаженного лапласиана, содержащимися в этом подпространстве. В качестве следствия получена теорема о спектральном синтезе для подпространств в $\mathcal{E}(H^n_{\rm{red}})$, инвариантных относительно односторонних сдвигов и действия унитарной группы $U(n)$ (см. 2 ниже). Указанные результаты усиливают соответствующие теоремы о спектральном анализе, установленные ранее в [16], [17].
2. Формулировки основных результатовПусть $m\geqslant 2$, $\mathbb{S}^{m-1}=\{x\in \mathbb{R}^m:|x|=1\}$, $\omega_{m-1}=2\pi^{m/2}/\Gamma(m/2)$ – мера $\mathbb{S}^{m-1}$, индуцированная мерой Лебега в $\mathbb{R}^m$, $\rho$ и $\sigma$ – полярные координаты точки $x\in \mathbb{R}^m$ ($\rho=|x|$, а если $x\in \mathbb{R}^m\setminus \{0\}$, то $\sigma=x/\rho$). Обозначим через $\mathcal{H}^{m,k}$ пространство сферических гармоник степени $k$ на $\mathbb{S}^{m-1}$, рассматриваемое как подпространство $L^2(\mathbb{S}^{m-1})$ (см. [18; гл. 4]). При отождествлении $\mathbb{C}^n$ с $\mathbb{R}^{2n}$ имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}^{2n,k}=\underset{p+q=k}\bigoplus \mathcal{H}^{n,p,q},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\mathcal{H}^{n,p,q}$ – пространство сферических гармоник бистепени $(p,q)$ на $\mathbb{S}^{2n-1}$ [19; гл. 12, предложение 12.2.2]. Как известно [19; теоремы 12.2.7, 12.2.8], квазирегулярное представление группы $U(n)$ в $L^2(\mathbb{S}^{2n-1})$ является прямой суммой попарно неэквивалентных неприводимых унитарных представлений, действующих на $\mathcal{H}^{n,p,q}$. При $n\geqslant 2$ размерность $d(n,p,q)$ пространства $\mathcal{H}^{n,p,q}$ вычисляется по формуле
$$
\begin{equation*}
d(n,p,q)=\frac{(p+n-2)!\, (q+n-2)!\, (p+q+n-1)} {p!\, q!\, (n-1)!\, (n-2)!}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [20; гл. 12, § 12.2]). Обозначим через $\{S_l^{p,q}\}$, $l\in\{1,\dots$, $d(n,p,q)\}$, – фиксированный ортонормированный базис в $\mathcal{H}^{n,p,q}$. Функции $S_l^{p,q}$ можно продолжить до многочленов на $\mathbb{C}^n$, используя соотношение $S_l^{p,q}(z)=\rho^{p+q}S_l^{p,q}(\sigma)$, $z=\rho\sigma$. Пусть ${}_1F_1(a;b;\zeta)$ ($a,\zeta\in\mathbb{C}$, $b\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\dots\}$) – вырожденная гипергеометрическая функция Куммера [21; гл. 6], $J_\nu$ – функция Бесселя первого рода порядка $\nu$,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{I}_\nu(\zeta)=\frac{J_\nu(\zeta)}{\zeta^{\nu}}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\lambda\in{\mathbb C}$, $\mu,p,q\in{\mathbb Z}_+$, $l\in\{1,\dots,d(n,p,q)\}$ и $z=\varrho\sigma\in{\mathbb C}^n \setminus\{0\}$ положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi_{\lambda,\mu,p,q,l}(z)& = \sqrt{\omega_{2n-1}}\,S^{p,q}_l(\sigma)\, \biggl(\frac{d}{d\zeta}\biggr)^\varkappa
\\
&\qquad\times\biggl(\varrho^{p+q}e^{-\varrho^2/4}\, {}_1F_1 \biggl(p+\frac{n-\zeta^2}{2}\,;n+p+q; \frac{\varrho^2}{2}\biggr)\biggr)\bigg|_{\zeta=\lambda},
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}(z) =2^{n-1}\Gamma(n)\sqrt{\omega_{2n-1}}\, S^{p,q}_l(\sigma)\, \biggl(\frac{d}{d\zeta}\biggr)^\varkappa (\varrho^{p+q}\mathbf{I}_{n+p+q-1}(\zeta \rho))|_{\zeta=\lambda},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\varkappa=\begin{cases} \mu,& \lambda\ne 0, \\ 2\mu,&\lambda=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Нетрудно видеть, что функции (3), (4) допускают непрерывное продолжение в точку $0$. Далее считаем, что они определены в нуле по непрерывности. Тогда $\phi_{\lambda,\mu,p,q,l}$, $\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}\in \mathcal{E}({\mathbb C}^n)$. Пусть $\operatorname{Id}$ – тождественный оператор, $\Delta$ – оператор Лапласа в $\mathbb{C}^n$, $\mathfrak{L}$ – специальный оператор Эрмита (искаженный лапласиан) на ${\mathbb C}^n$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{L}=\frac{|z|^{2}}{4}\operatorname{Id}-\Delta+ \sum_{k=1}^{n}\biggl(z_{k}\,\frac{\partial}{\partial z_{k}}- \overline{z}_{k}\,\frac{\partial}{\partial\overline{z}_{k}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathfrak{L}-\lambda^2)^{\mu+1}\phi_{\lambda,\mu,p,q,l}&=0, \\ (\Delta+\lambda^2)^{\mu+1}\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}&=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [20; формулы (9.30), (12.35)]). Таким образом, функции $\phi_{\lambda,\mu,p,q,l}$, $\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}$ являются корневыми векторами указанных лапласианов. Определим функции $\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}^s$ ($s\in \mathbb{Z}$) с помощью соотношения
$$
\begin{equation}
\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}^s(z)=\begin{cases} \phi_{\lambda,\mu,p,q,l}(\sqrt{-s}\, z),& s<0, \\ \overline{\phi_{\lambda,\mu,p,q,l}}(\sqrt{s}\, z),& s>0, \\ {\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}}(z),& s=0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Символом $\operatorname{cl}_{\mathcal{X}}{M}$ будем обозначать замыкание множества $M$ в топологическом векторном пространстве $\mathcal{X}$. Пусть также $\mathcal{L}\in E$ – линейная оболочка заданного множества $E\subset\mathcal{X}$. Теорема 1. Пусть $s\in \mathbb{Z}$, $V$ – ненулевое подпространство в $\mathcal{E} (\mathbb{C}^n)$, инвариантное относительно унитарной группы $U(n)$ и сдвигов Тогда Сформулируем теперь аналог теоремы 1 для редуцированной группы Гейзенберга $H^n_{\rm{red}}$. Вещественная $(2n+1)$-мерная группа Гейзенберга $H^n$ представляет собой множество $\mathbb{C}^n\times\mathbb{R}$ с законом умножения
$$
\begin{equation}
(z,t)(w,s)=\biggl(z+w,\,t+s+\frac{1}{2} \operatorname{Im}\langle z,w\rangle\biggr),\qquad z,w\in\mathbb{C}^n,\quad t,s\in\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Факторизация $H^n$ по подгруппе $\{(0,2\pi k)\colon k\in\mathbb{Z}\}$ порождает редуцированную группу Гейзенберга $H^n_{\rm{red}}$, функции на которой отождествляются с $2\pi$-периодическими по переменной $t$ функциями на $H^n$ (см. [22; § 1.2]). Далее будем записывать элементы $H^n_{\rm{red}}$ в виде $(z,t)$, $z\in \mathbb{C}^n$, $-\pi\leqslant t<\pi$. Теорема 2. Пусть $\mathcal{U}$ – ненулевое подпространство в $\mathcal{E}(H^n_{\rm{red}})$, инвариантное относительно сдвигов и преобразований Тогда 3. Вспомогательные конструкцииПусть $m\geqslant 2$, $L^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^m)$ – класс локально суммируемых функций на евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$, $\{{Y}_j^k\}$, $j\in\{1,\dots,d(m,k)\}$, – фиксированный ортонормированный базис в $\mathcal{H}^{m,k}$. $\mspace{-3mu}$ Ряд Фурье функции $f \mspace{-2mu} \in \mspace{-2mu} L^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^m)$ по сферическим гармоникам имеет вид
$$
\begin{equation}
f(x)\sim\sum_{k=0}^{\infty}\, \sum_{j=1}^{d(m,k)} f_{k,j}(\rho){Y}_j^k(\sigma),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f_{k,j}(\rho)=\int_{\mathbb{S}^{m-1}}f(\rho\sigma) \overline{{Y}_j^k(\sigma)}\, d\omega(\sigma)
\end{equation*}
\notag
$$
и $d\omega$ – элемент площади на $\mathbb{S}^{m-1}$. По теореме Фубини функции $f_{k,j}$ корректно определены для почти всех $\rho>0$. Более того, функции $f^{k,j}(x)=f_{k,j}(\rho) {Y}_j^k(\sigma)$ принадлежат $L^{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^m)$. Обозначим через $\mathcal{D}(\mathbb{R}^m)$ пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций на $\mathbb{R}^m$. Отображение $f\to f^{k,j}$ и разложение (11) можно продолжить на распределения $f\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^m)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\langle f^{k,j},\psi\rangle= \langle f,\overline{(\overline{\psi})_{k,j}(\rho)}\, \overline{ {Y}_j^k(\sigma)}\rangle,\qquad \psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^m),
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
f\sim\sum_{k=0}^{\infty}\, \sum_{j=1}^{d(m,k)}f^{k,j}
\end{equation}
\tag{12}
$$
(см. [20; гл. 9, формулы (9.8), (9.9)]). Отметим, что для любого $f\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^m)$ (соответственно, $f\in \mathcal{E}(\mathbb{R}^m)$) ряд в правой части (12) сходится к $f$ в $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^m)$ (соответственно, в $\mathcal{E}(\mathbb{R}^m)$). Для всякого множества $\mathfrak{W}(\mathbb{R}^m)\subset\mathcal{D}'(\mathbb{R}^m)$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{W}_{k,j}(\mathbb{R}^m)= \{f\in\mathfrak{W}(\mathbb{R}^m): f=f^{k,j}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что множество $\mathfrak{W}_{0,1}(\mathbb{R}^m)$ совпадает с множеством радиальных распределений из $\mathfrak{W}(\mathbb{R}^m)$. В дальнейшем мы пишем $\mathfrak{W}_{\natural}(\mathbb{R}^m)$ вместо $\mathfrak{W}_{0,1}(\mathbb{R}^m)$. Для любого класса $\mathfrak{W}(\mathbb{R})$ распределений на $\mathbb{R}$ символом $\mathfrak{W}_{\natural}(\mathbb{R})$ обозначается множество всех четных распределений из $\mathfrak{W}(\mathbb{R})$. Пусть $\mathcal{E}'(\mathbb{R}^m)$ – пространство распределений с компактным носителем на $\mathbb{R}^m$. Для $f\in\mathcal{E}'_{k,j}(\mathbb{R}^m)$ положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal F^k_j(f)(\lambda)=\biggl\langle f,2^{m/2-1}\, \Gamma\biggl(\frac m2\biggr) \sqrt{\omega_{m-1}}\, \varrho^{k}\mathbf{I}_{m/2+k-1}(\lambda\rho)\, \overline{ {Y}_j^k(\sigma)}\, \biggr\rangle,\qquad \lambda\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно теореме Винера–Пэли [23; теорема 7.3.1], для любого $f\in\mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{R}^m)$ существует распределение $\Lambda(f)\in\mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{R})$ такое, что
$$
\begin{equation*}
\langle\Lambda(f),e^{-i\lambda t}\rangle= \mathcal F^0_1(f)(\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, отображение $\Lambda\colon\mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{R}^m)\to \mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{R})$ является биекцией. Пусть $\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$, $\operatorname{supp}\psi$ – носитель функции $\psi$,
$$
\begin{equation*}
r_0(\psi)=\inf\{r> 0:\operatorname{supp}\psi\subset (-r,r)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $f\in\mathcal{D}'_{k,j}(\mathbb{R}^m)$ определим распределение $\mathfrak A_{k,j}(f)\in\mathcal{D}'_{\natural}(\mathbb{R})$ равенством
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle\mathfrak A_{k,j}(f),\psi\rangle&= \frac{(\omega_{m-1})^{-1}}{2^{m-2}\Gamma^2(m/2)} \int_0^\infty\lambda^{m+2k-1}\mathcal{F}^k_j(f h)(\lambda) {\int_{\mathbb{R}}}\psi(t) \cos(\lambda{t})\, dt\, d\lambda,\quad \psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $h$ – произвольная функция из $\mathcal{D}_{\natural}(\mathbb{R}^m)$, равная единице в некоторой окрестности шара $|x|\leqslant r_0(\psi)$. Перечислим некоторые важные свойства отображения $\mathfrak A_{k,j}$, установленные авторами данной работы ранее (см. [20; теорема 9.3]). Предложение 1. Имеют место следующие утверждения. (i) Отображение $\mathfrak A_{k,j}$ осуществляет гомеоморфизм между:
(ii) Пусть $f\in\mathcal{D}'_{k,j}(\mathbb{R}^m)$, $r>0$. Тогда $f=0$ в шаре $|x|<r$ в том и только том случае, когда $\mathfrak A_{k,j}(f)=0$ на интервале $(-r,r)$. (iii) Для любого $T\in \mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{R}^m)$ имеет место обобщенное трансмутационное свойство
$$
\begin{equation*}
\mathfrak A_{k,j}(f\ast T)=\mathfrak A_{k,j}(f)*\Lambda(T),\qquad f\in \mathcal{D}'_{k,j}(\mathbb{R}^m),
\end{equation*}
\notag
$$
где “$\ast$” обозначает стандартную свертку распределений в евклидовом пространстве. (iv) Пусть $\lambda\in \mathbb{C}$, $\mu\in \mathbb{Z}_{+}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathfrak A_{k,j}\biggl(2^{m/2-1}\Gamma\biggl(\frac m2\biggr)\sqrt{\omega_{m-1}}\, Y_j^k(\sigma)\biggl(\frac{d}{d\zeta}\biggr)^\varkappa (\varrho^{k}\mathbf{I}_{m/2+k-1} (\zeta \rho))\bigg|_{\zeta=\lambda}\biggr)=\psi_{\lambda,\mu},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\psi_{\lambda,\mu}(t)=\frac{(it)^{\varkappa }e^{i\lambda t}+ (-it)^{\varkappa }e^{-i\lambda t}}{2}\,,
\end{equation}
\tag{13}
$$
и $\varkappa$ определяется равенством (5). Рассмотрим теперь аналогичные построения, связанные с пространствами $\mathcal{H}^{n,p,q}$. Всякой функции $f\in L^{\mathrm{loc}}(\mathbb{C}^n)$ соответствует ряд Фурье
$$
\begin{equation}
f(z)\sim\sum_{p,q=0}^{\infty}\, \sum_{l=1}^{d(n,p,q)} f_{ p,q ,l}(\varrho)S^{p,q}_{l}(\sigma),
\end{equation}
\tag{14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f_{ p,q ,l}(\varrho)=\int_{\mathbb S^{2n-1}}f(\varrho\sigma) \overline{S_{l}^{p,q}(\sigma)}d\omega(\sigma).
\end{equation*}
\notag
$$
Разложение (14) можно продолжить на распределения $f\in\mathcal{D}'(\mathbb{C}^n)$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
f\sim\sum_{p,q=0}^{\infty}\, \sum_{l=1}^{d(n,p,q)}f^{ p,q,l},
\end{equation*}
\notag
$$
где распределение $f^{ p,q,l}$ действует по правилу
$$
\begin{equation*}
\langle f^{ p,q ,l},\psi\rangle= \langle f,\overline{(\overline{\psi})_{p,q,l}(\varrho)}\,\, \overline{S_{l}^{p,q}(\sigma)}\,\rangle,\qquad \psi\in\mathcal D(\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Для заданного класса $\mathfrak W(\mathbb{C}^n)$ распределений на $\mathbb{C}^n$ определим класс $\mathfrak W_{p,q,l}(\mathbb{C}^n)$ равенством
$$
\begin{equation*}
\mathfrak W_{p,q,l}(\mathbb{C}^n)= \{f\in\mathfrak W(\mathbb{C}^n):f=f^{p,q,l}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $f\in \mathcal{E}_{p,q,l}'(\mathbb{C}^n)$ положим
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}_l^{p,q}(f)(\lambda)= \langle f,\overline{\phi_{\overline{\lambda},0,p,q,l}}\,\rangle,\qquad \lambda\in\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Тогда $\mathcal{F}_l^{p,q}(f)$ является четной целой функцией переменной $\lambda$ (см. (3)). Теоремы Винера–Пэли для преобразования (15) и классического преобразования Фурье (см. [20; теорема 12.2], [23; теорема 7.3.1]) показывают, что $\mathcal{F}_1^{0,0}(f)(\lambda)$ является преобразованием Фурье распределения из $\mathcal{E}'_\natural(\mathbb{R})$. Обозначим это распределение символом $\Lambda_0(f)$. Пусть $f\in\mathcal{D}'_{p,q,l}(\mathbb{C}^n)$. Для $\psi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ выберем $h\in\mathcal{D}_\natural(\mathbb{C}^n)$ так, что $h=1$ в шаре $|z|<r_0(\psi)+\varepsilon$ при некотором $\varepsilon>0$. Положим
$$
\begin{equation}
\langle{\mathfrak A}_{p,q,l}(f),\psi\rangle= \sum_{j=0}^{\infty}\mu_j\mathcal{F}_l^{p,q}(f h)(\lambda_j) \int_{\mathbb{R}}\psi(t)\cos(\lambda_jt)\, dt,
\end{equation}
\tag{16}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda_j=\sqrt{2p+n+2j}\,,\qquad \mu_j=\frac{2^{1-n-p-q}}{\omega_{2n-1}(n+p+q-1)!} \begin{pmatrix} n+p+q+j-1 \\ n+p+q-1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно показать (см. [20; гл. 12, § 12.5]), что ${\mathfrak A}_{p,q,l}(f)$ корректно определено посредством (16) как распределение в $\mathcal{D}'_\natural(\mathbb{R})$. Кроме того, имеет место следующий результат [20; теорема 12.3]. Предложение 2. (i) Отображение ${\mathfrak A}_{p,q,l}$ осуществляет гомеоморфизм между: (ii) Пусть $f\in\mathcal{D}'_{p,q,l}(\mathbb{C}^n)$, $r>0$. Тогда $f=0$ в шаре $|z|<r$ в том и только том случае, когда ${\mathfrak A}_{p,q,l}(f)=0$ на интервале $(-r,r)$. (iii) Для любого $T\in \mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{C}^n)$ имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak A}_{p,q,l}(f\star T)= {\mathfrak A}_{p,q,l}(f)*\Lambda_0(T),\qquad f\in \mathcal{D}'_{p,q,l}(\mathbb{C}^n),
\end{equation*}
\notag
$$
где искаженная свертка $f\star T$ определяется как распределение на $\mathbb{C}^n$, действующее по правилу
$$
\begin{equation}
\langle f\star T,\psi\rangle=\langle f(z),\langle T(w),\psi(z+w) e^{(i/2)\operatorname{Im}\langle z,w\rangle}\rangle\rangle\qquad \psi\in\mathcal{D}(\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{17}
$$
(iv) Пусть $\lambda\in \mathbb{C}$, $\mu\in \mathbb{Z}_{+}$. Тогда (см. (13)) Отметим, что искаженная свертка обладает свойством ассоциативности для распределений общего вида, а также свойством коммутативности для распределений, инвариантных относительно вращений. Кроме того,
$$
\begin{equation}
(f\star T)^{p,q,l}=f^{p,q,l}\star T, \qquad f\in \mathcal{D}'(\mathbb{C}^n),\quad T\in \mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Относительно других свойств свертки (17) см. [20; гл. 12].
4. Доказательство теоремы 1В этом разделе мы изучаем структуру подпространств, инвариантных относительно искаженных сдвигов на фазовом пространстве $\mathbb{C}^n$. Лемма 1. Пусть $f\in C_\natural^{\infty} (\mathbb{R})\setminus\{0\}$ и $\mathcal{V}=\operatorname{cl}_{\mathcal{E} (\mathbb{R})} \{f\ast\mathcal{T}: \mathcal{T}\in \mathcal{E}'_\natural(\mathbb{R})\}$. Тогда Доказательство. Указанное утверждение является незначительной модификацией теоремы Шварца о спектральном синтезе (см., например, [5; теорема 2.3]). Лемма 2. Пусть $V$ – подпространство в $\mathcal{E} (\mathbb{C}^n)$, инвариантное относительно унитарной группы $U(n)$. Тогда для любой функции $f\in V$ все ее компоненты Фурье $f^{p,q,l}$ также принадлежат $V$. Доказательство. Пусть $T_{p,q}(\tau)$ – сужение квазирегулярного представления группы $U(n)$ на пространство $\mathcal{H}^{n,p,q}$ (см. [24; гл. 9, § 2]). Как уже было отмечено выше, представления $T_{p,q}(\tau)$ являются неприводимыми и попарно неэквивалентными. Обозначим через $t_{l,k}^{p,q}(\tau)$, $1\leqslant l, k\leqslant d(n,p,q)$, матрицу представления $T_{p,q}(\tau)$ в базисе $S^{p,q}_{l}$, т.е. Лемма 3. Пусть $V$ – подпространство в $\mathcal{E} (\mathbb{C}^n)$, инвариантное относительно сдвигов (1). Тогда $V$ инвариантно относительно операторов искаженной свертки $f\to f\star T$, $T\in \mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{C}^n)$. Доказательство. Требуемое утверждение следует из равенства Лемма 4. Пусть $V$ – подпространство в $\mathcal{E}(\mathbb{C}^n)$, инвариантное относительно унитарной группы $U(n)$ и сдвигов (1). Тогда, если $p,q\in \mathbb{Z}_+$, $l\in \{1,\dots,d(n,p,q)\}$ и $V\cap \mathcal{E}_{p,q,l}(\mathbb{C}^n)\ne \{0\}$, то Доказательство. Для ненулевой функции $f\in V\cap \mathcal{E}_{p,q,l}(\mathbb{C}^n)$ положим Лемма 5. Пусть $V$ – подпространство в $\mathcal{E} (\mathbb{C}^n)$, инвариантное относительно унитарной группы $U(n)$ и сдвигов $f(z)\to f(z-w)$, $w\in\mathbb{C}^n$. Тогда, если $p,q\in \mathbb{Z}_+$, $l\in$ $\{1,\dots,d(n,p,q)\}$ и $V\cap \mathcal{E}_{p,q,l}(\mathbb{C}^n)\ne \{0\}$, то Доказательство. Система функций Лемма 6. Пусть $s\in \mathbb{Z}$, $s\ne 0$ и $V$ – подпространство в $\mathcal{E}(\mathbb{C}^n)$, инвариантное относительно сдвигов (7). Пусть также Доказательство. Сначала предположим, что $s>0$. Пусть $F\in W$, т.е. $F$ имеет вид $F(z)=\overline{f}({z}/{\sqrt{s}}\,)$, где $f\in V$. Для любого $w\in \mathbb{C}^n$ определим функцию $\psi$ равенством Из условия леммы и определения пространства $W$ следует, что $\overline{\psi}({z}/{\sqrt{s}}\,)\in W$. Поскольку получаем требуемое утверждение при $s>0$. Случай $s<0$ рассматривается аналогично. Доказательство теоремы 1. Пусть $s\ne 0$. Тогда в силу леммы 6 можно считать, что $s=-1$. Представим произвольную функцию $f\in V$ в виде 5. Доказательство теоремы 2Для $f\in \mathcal{E}(H^n_{\rm{red}})$ положим
$$
\begin{equation*}
f_{\langle s\rangle}(z)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(z,t)e^{-ist}\, dt,\qquad s\in\mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
f(z,t)=\sum_{s\in\mathbb{Z}}f_{\langle s\rangle}(z)e^{ist},
\end{equation}
\tag{26}
$$
где ряд (26) сходится в пространстве $\mathcal{E}(H^n_{\rm{red}})$. Лемма 7. Пусть $\mathcal{U}$ – подпространство в $\mathcal{E}(H^n_{\rm{red}})$, инвариантное относительно сдвигов $f(z,t)\to f((z,t)(0,\alpha))$, $(0,\alpha)\in H^n_{\rm{red}}$. Тогда для любой функции $f\in \mathcal{U}$ все ее компоненты Фурье $f_{\langle s\rangle}(z)e^{ist}$ также принадлежат $\mathcal{U}$. Доказательство. Из разложения (26) имеем Лемма 8. Пусть $f\in \mathcal{U}$, где $\mathcal{U}$ – подпространство в $\mathcal{E}(H^n_{\rm{red}})$, инвариантное относительно преобразований (9), (10). Тогда для любых $s\in\mathbb{Z}$, $p,q\in \mathbb{Z}_+$, $l\in \{1,\dots,d(n,p,q)\}$ имеют место следующие утверждения: Доказательство. Для краткости положим $\psi(z,t)=(f_{\langle s\rangle})^{p,q,l}(z)e^{ist}$. В силу формулы (21) имеем Далее, Поскольку по доказанному в утверждении (i) функция $\psi$ принадлежит подпространству $\mathcal{U}$, отсюда получаем утверждение (ii). Доказательство теоремы 2. Произвольную функцию $f\in \mathcal{U}$ можно представить в виде В заключение отметим, что теорема 1 влечет существование функции вида (6) в любом нетривиальном подпространстве в $\mathcal{E} (\mathbb{C}^n)$, инвариантном относительно унитарной группы $U(n)$ и сдвигов (7). Кроме того, теорема 2 показывает, что если $\mathcal{U}$ – ненулевое подпространство в $\mathcal{E} (H^n_{\rm{red}})$, инвариантное относительно преобразований (9) и (10), то $\Phi_{\lambda,\mu,p,q,l}^s(z)e^{ist}\in \mathcal{U}$ при некоторых $\lambda\in \mathbb{C}$, $\mu,p,q\in \mathbb{Z}_+$, $s\in \mathbb{Z}$, $1\leqslant l\leqslant d(n,p,q)$. Подобные результаты о спектральном анализе были получены ранее в работе [17] (см. также [16], где рассматривался частный случай инвариантных подпространств, порожденных функциями медленного роста). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VolVol23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|