| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Конечномерная редукция систем нелинейных диффузионных уравнений А. В. Романовab a Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва b Московский институт электроники и математики им. А. Н. Тихонова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010297 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеОдна из главных задач при изучении эволюционных уравнений связана с описанием финального (при большом времени) поведения их решений. Мы рассматриваем системы диффузионных уравнений с краевым условием Дирихле
$$
\begin{equation}
\partial_tu=D\,\partial_{xx}u+f(x,u)\,\partial_xu+g(x,u),\qquad u(0)=u(1)=0
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
на промежутке $J=[0,1]$. Здесь $u=(u_1,\dots,u_m)$, а $f$ и $g$ – достаточно регулярные матрица-функция и вектор-функция соответственно. Числовую матрицу коэффициентов $D$ предполагаем подобной диагональной с положительными собственными значениями. В случае $D=\operatorname{diag}\{d_1,\dots,d_m\}$ с $d_j>0$ речь идет об уравнениях рекции-диффузии-конвекции. При подходящих условиях на $f$, $g$ система (1.1) индуцирует гладкий диссипативный полупоток $\{\Phi_t\}_{t\geqslant 0}$ в фазовом пространстве $X^\alpha\subset C^1(J,\mathbb R^m)$ с подходящим $\alpha>0$, где $\{X^\alpha\}_{\alpha\geqslant 0}$ – гильбертова полушкала [1], порожденная линейным секториальным оператором $u\to -Du_{xx}$ в $X=L^2(J,\mathbb R^m)$. В этой ситуации существует глобальный аттрактор [2]–[4] (далее, просто аттрактор) – связное, компактное, инвариантное множество $\mathscr A\subset X^\alpha$ конечной размерности Хаусдорфа, равномерно притягивающее ограниченные подмножества $X^\alpha$ при $t\to +\infty$. Наша цель – найти условия, при которых динамика на аттракторе (финальная динамика) параболической системы (1.1) конечномерна в смысле [5]. Это означает, что для некоторого ОДУ $\partial_t\xi=h(\xi)$ в $\mathbb R^N$ с липшицевым векторным полем $h$, разрешающим потоком $\{\Theta_t\}$ и инвариантным компактом $\mathscr K\subset\mathbb R^N$ фазовые полупотоки $\{\Phi_t\}_{t\geqslant 0}$ на $\mathscr A$ и $\{\Theta_t\}_{t\geqslant 0}$ на $\mathscr K$ липшиц-сопряжены. В данной связи можно говорить [6] о конечномерной редукции эволюционной задачи (1.1). Главный результат статьи (теорема 4.3) обеспечивает конечномерность финальной фазовой динамики системы (1.1) при условии согласования
$$
\begin{equation}
Df(x,u)=f(x,u)D,\qquad (x,u)\in J\times\operatorname{co}\mathscr A,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\operatorname{co}\mathscr A$ – выпуклая оболочка $\mathscr A$. Известно [7], что в случае скалярной диффузии ($D=dE$ с единичной матрицей $E$) и достаточно регулярных $f=f(u)$, $g=g(u)$ существует инерциальное многообразие (ИМ) – конечномерная инвариантная $C^1$-поверхность в фазовом пространстве, содержащая аттрактор и экспоненциально притягивающая (с асимптотической фазой) все траектории системы при $t\to +\infty$. Наличие ИМ влечет конечномерность финальной динамики; вопросам существования таких многообразий посвящена обширная литература (см., например, [3], [4], [6], [8]). Оригинальный подход к данной тематике представлен в недавних работах Аникушина (см. [9] и ссылки там). Для периодического случая ($J$ – окружность длины $1$) условия, обеспечивающие конечномерность финальной динамики систем (1.1) с $D=\operatorname{diag}$ получены в работе автора [10; с. 13409]. Отметим, что в классе периодических систем (1.1) со скалярной диффузией построен [11; теорема 1.2] первый пример полулинейного параболического уравнения математической физики, не демонстрирующего подобную динамику. 2. Предварительные сведенияВ дальнейшем изложении будем при необходимости использовать технику [10]. Все предварительные построения пп. 2, 3 проводятся для случая $D=\operatorname{diag}$. Запишем систему (1.1) в виде полулинейного параболического уравнения (ППУ) в вещественном гильбертовом пространстве $X=L^2(J,\mathbb R^m)$ с нормой $\|\cdot\|$. Здесь $A\colon u\to -Du_{xx}$ с граничным условием Дирихле и нелинейность $F\colon u\to f(x,u)\,\partial_xu+g(u)$. Для линейного положительно определенного оператора $A$ полагаем $X^\alpha=\mathscr D(A^\alpha)$ с $\alpha\geqslant 0$ и $X_0=X$, тогда $\|u\|_\alpha=\|A^\alpha u\|$. Скажем, что функция $F$ принадлежит классу $W^2(X^\alpha,X)$, если
$$
\begin{equation}
F\in C^2(X^\alpha,X)\cap\operatorname{Lip}(X^\alpha,X)\qquad \text{и}\qquad \|F(u)\|\leqslant M\qquad \text{для }u\in X^\alpha
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
при некотором $\alpha\in[0,1)$. В этом случае ППУ (2.1) порождает [1] гладкий компактный разрешающий полупоток $\{\Phi_t\}_{t\geqslant 0}$ в фазовом пространстве $X^\alpha$. Предположение (2.2) влечет [8; лемма 1.1] $X^\alpha$-диссипативность (2.1): для некоторого $r>0$ равномерно по $u\in$ шарам в $X^\alpha$. В этих условиях существует [2]–[4] компактный аттрактор $\mathscr A\subset X^\alpha$, состоящий из всех ограниченных полных траекторий $\{u(t)\}_{t\in\mathbb R}\subset X^\alpha$. Фактически $\mathscr A\subset X^1$ благодаря сглаживающему действию параболического уравнения [3]. Простые рассуждения [10; с. 13410] показывают, что во всех построениях, связанных с ППУ (2.1), можно заменять показатель нелинейности $\alpha$ любым значением $\alpha_1\in(\alpha,1)$, а если условие (2.2) справедливо в паре пространств $(X^\theta,X^{\theta+\alpha})$ с $\theta>0$ вместо $(X,X^\alpha)$, то все перечисленные свойства динамики сохраняются для фазового пространства $X^{\theta+\alpha}$. В дальнейшем изложении будут возникать функции $Y_1\to Y_2$ класса (2.2) для тех или иных пространств Банаха $Y_1$, $Y_2$. Как и в [10], мы будем использовать достаточные условия финальной конечномерности динамики [12]. Пусть $G(u)=F(u)-Au$ векторное поле (2.1), $\mathscr N=\mathscr A\times\mathscr A$ и $Y$ – пространство Банаха. Определение 2.1 [12]. Непрерывное поле $\Pi\colon\mathscr N\to Y$ называем регулярным, если для любых $u,v\in\mathscr A$ функция $\Pi(\Phi_tu,\Phi_tv)\colon[0,+\infty)\to Y$ – класса $C^1$ с равномерно ограниченной по $(u,v)\in\mathscr N$ производной в нуле $\partial_t\Pi(u,v)$. Гладкость полупотока $\{\Phi_t\}$ и инвариантность компакта $\mathscr A\subset X^\alpha$ влечет регулярность тождественного вложения $\mathscr N\to X^\alpha\times X^\alpha$, а значит, и регулярность всякого поля $\Pi\colon\mathscr N\to Y$, продолжимого до $C^1$-отображения в ($X^\alpha\times X^\alpha$)-окрестность множества $\mathscr N$. В этой ситуации $\partial_t\Pi(u,v)=\Pi'(u,v)(G(u),G(v))$, где $(\,\cdot\,)'$ – дифференцирование Фреше. При условии (2.2) на нелинейность $F$ функция $u\to G(u)$ на $\mathscr A$ непрерывна и даже гёльдерова [5] в $X^\alpha$-метрике. Регулярные поля $\mathscr N\to Y$ образуют линейную структуру, а также и мультипликативную, если $Y$ – банахова алгебра. В последнем случае, если все элементы $\Pi(u,v)\in Y$ обратимы, то регулярным оказывается и поле $\Pi^{-1}$. Исходим из декомпозиции
$$
\begin{equation}
G(u)-G(v)=(T_0(u,v)-T(u,v))(u-v),\qquad (u,v)\in\mathscr N,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $T_0\in\mathscr L(X^\alpha)$, а $T\in\mathscr L(X^1,X)$ – неограниченные линейные операторы в $X$, подобные положительно определенным. Обозначим через
$$
\begin{equation*}
\Sigma_T=\bigcup_{u,v\in\mathscr A}\operatorname{spec}T(u,v)
\end{equation*}
\notag
$$
совокупный спектр операторов $T$. Нам понадобится частный случай [12; теорема 2.8] в ситуации $\Sigma_T\subset\mathbb R^+$. Теорема 2.2. Допустим, что $F\in W^2(X^\alpha,X)$ и на $\mathscr N$, где неограниченные самосопряженные линейные операторы $H(u,v)$ положительно определены в $X$, поля $S,S^{-1}\colon\mathscr N\to\mathscr L(X)$ и $T_0\colon\mathscr N\to\mathscr L(X^\alpha,X)$ регулярны, а поле $T_0\colon\mathscr N\to\mathscr L(X^\alpha)$ ограниченно. Если при этом множество $\mathbb R^+\setminus\Sigma_T$ содержит интервалы $(a_k-\xi_k,a_k+\xi_k)$ с $a_k>\xi_k>0$ такие, что при $k\to+\infty$, то финальная $X^\alpha$-динамика ППУ (2.1) конечномерна. Считаем в дальнейшем, что матрица-функция $f=f(x,u)$ и вектор-функция $g=g(x,u)$ в (1.1) удовлетворяют следующим условиям регулярности. Условие (H). Функции $f$, $g$ класса $C^\infty$ на $J\times\mathbb R^m$, финитны по $u$ и $f(x,0)=g(x,0)=0$ для $x=0,1$. Обозначаем через $\mathscr H^s=\mathscr H^s(J)$ обобщенные $L^2$-пространства Соболева (пространства бесселевых потенциалов [1], [13]) скалярных функций на $J$ с произвольными $s\geqslant 0$. Если $s>1/2$, то $\mathscr H^s\subset C(J)$ и $\mathscr H^s$ есть банахова алгебра [13; п. 2.8.3]. Оператор дифференцирования $\partial_x\in\mathscr L(\mathscr H^{s+1},\mathscr H^s)$. Фактически $X^s$ – замкнутые подпространства (с эквивалентной нормой) в пространствах вектор-функций $\mathscr H^{2s}(J,\mathbb R^m)$, причем $X^s=\mathscr H^{2s}(J,\mathbb R^m)$ для $s\leqslant 1/4$. При $s>1/4$ пространство $X^s$ состоит из элементов $u\in\mathscr H^{2s}(J,\mathbb R^m)$ c $u(0)=u(1)=0$. Фиксируем теперь произвольное $\alpha\in(3/4,1)$, тогда $\mathscr H^{2\alpha}\hookrightarrow C^1(J)$ и $X^\alpha\hookrightarrow C^1(J,\mathbb R^n)$, где символ $\hookrightarrow$ обозначает линейное непрерывное вложение функциональных пространств. Используем необходимые теоремы вложения [1], [13]. Для произвольной $C^\infty$-функции $z\colon J\times\mathbb R^m\to\mathbb R$ отображение $\psi\colon u\to z(x,u)$ есть функция класса $W^2$ (см. (2.2)) из $C^s(J,\mathbb R^m)$ в $C^s(J)$ при всех $s\in\mathbb N$. Отсюда следует, что $\psi\in W^2(\mathscr H^{2\alpha}(J,\mathbb R^m),C^1(J))$. Используя вложения $\mathscr H^{s+1}\hookrightarrow C^s(J)\hookrightarrow\mathscr H^s$, можно заключить, что $\psi\in W^2(\mathscr H^s(J,\mathbb R^m),\mathscr H^s(J))$. Как видим, $F\in W^2(X^1,X^{1/2})$ для нелинейной части $F\colon u\to f(x,u)\,\partial_xu+g(u)$ системы (1.1). Кроме того, $X^\alpha\hookrightarrow C^1(J,\mathbb R^m) \hookrightarrow C(J,\mathbb R^m)\hookrightarrow X$, а значит, $F\in W^2(X^\alpha,X)$. Отметим еще, что $X^{3/2}\hookrightarrow C^2(J,\mathbb R^m)$. Выбираем $X^\alpha$ в качестве фазового пространства системы (1.1). Действуя подобно [7], можно показать, что фазовая динамика (1.1) в $X^\alpha$ диссипативна и существует глобальный аттрактор $\mathscr A\subset X^\alpha$. Так как $F\in W^2(X^1,X^{1/2})$, то система (1.1) порождает гладкий диссипативный фазовый полупоток еще и в пространстве $X^1$, причем аттрактор $\mathscr A$ компактен в $X^{3/2}$. Как и выше, обозначаем $\mathscr N=\mathscr A\times\mathscr A$. Замечание 2.3. Фазовая динамика системы (1.1) обладает следующим свойством: если $Y$ – пространство Банаха, то всякое непрерывное в $(X^\alpha\times X^\alpha)$-метрике векторное поле $\Pi\colon\mathscr N\to Y$, продолжимое до $C^1$-отображения $X^1\times X^1\to Y$, регулярно в смысле определения 2.1. Действительно, гладкость полупотока в $X^1$ означает гладкость отображения Это обеспечивает регулярность тождественного вложения $\mathscr N\to X^1\times X^1$, а значит, и регулярность поля $\Pi$ на $\mathscr N$.3. Декомпозиция векторного поля на аттрактореМы хотим применить теорему 2.2 к ППУ (1.1) с $D=\operatorname{diag}$ и фазовым пространоством $X^\alpha ,\alpha\in (3/4,1)$. Обозначаем через $\mathbb{M}^m$ алгебру числовых $(m\times m)$-матриц с евклидовой нормой и через $Y(J,\mathbb M^m)$ – линейные пространства таких матриц с элементами из того или иного банахова пространства $Y$ скалярных функций на $J=[0,1]$. Действуя аналогично [10; с. 13412–13413], полагаем
$$
\begin{equation}
B_0(x;u,v) =\int_0^1(f_u(x,w(x))w_x(x)+g_u(x,w(x))\,d\tau,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для $u,v\in X^\alpha$, $w(x)=\tau u(x)+(1-\tau)v(x)$, $x\in J$. Элементы матриц $B_0$, $B$ – это непрерывные функции, а при $u,v\in\mathscr A$ – функции класса $C^2$ на $J$. Пользуясь $C^1$-гладкостью отображений $(u,v)\to f_u(x,w)w_x+g_u(x,w)$, $(u,v)\to f(x,w)$, $X^\alpha\times X^\alpha\to C(J,\mathbb M^m)$ при фиксированном $\tau\in[0,1]$ и дифференцируя в выражениях для $B_0$, $B$ под знаком интеграла по параметру $(u,v)$, заключаем, что отображения
$$
\begin{equation}
(u,v)\to B_0(\,\cdot\,;u,v),\qquad (u,v)\to B(\,\cdot\,;u,v)
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
принадлежат классу $C^1(X^\alpha\times X^\alpha,C(J,\mathbb M^m))$. С помощью интегральной теоремы о среднем для нелинейных операторов запишем декомпозицию векторного поля (1.1) на аттракторе $\mathscr A\subset X^\alpha$ в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G(u)-G(v) &=-Ah+\biggl(\int_0^1F'(\tau u+(1-\tau)v)\,d\tau\biggr)h \\ &=Dh_{xx}+B_0(x;u,v)h+B(x;u,v)h_x,\qquad u,v\in\mathscr A, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $h=u-v$, $\tau u+(1-\tau)v\in\operatorname{co}\mathscr A$ и $(\,\cdot\,)'$ – дифференцирование Фреше. Чтобы исключить зависимость от $h_x$, применим (следуя [14]) преобразование $h=U\eta$, где ($m\times m$)-матрица-функция $U(x)=U(x;u,v)$, $x\in[0,1]$, есть решение линейной задачи Коши В результате получим соотношение (2.3) с линейными операторами
$$
\begin{equation}
T_0 (u,v)h =\biggl(B_0(x)-\frac{1}{2}\,B_x (x) -\frac{1}{4}\,B(x)D^{-1}B(x)\biggr)h,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Отметим, что при замене переменной $h=U\eta$ граничные условия Дирихле для линейной части (1.1) сохраняются. Часто опускаем в записях матриц $B_0$, $B$, $U$, $U^{-1}$ зависимость от $u$, $v$, а иногда, и от $x$. Лемма 3.1. Поле операторов $T_0$ на $\mathscr N$ регулярно со значениями в $\mathscr L(X^\alpha,X)$ и ограничено со значениями в $\mathscr L(X^\alpha)$. Доказательство. Полагаем $T_0h=Q(x;u,v)h$ в (3.5) с $h\in\mathscr A-\mathscr A\subset X^\alpha$. Выпуклая оболочка аттрактора $\mathscr A$ ограничена в норме $X^{3/2}$ эквивалентной норме $\mathscr H^3(J,\mathbb R^m)$, следовательно, матрица-функции $B$, $BD^{-1}B$ и $B_0$ равномерно по $(u,v)\in\mathscr N$ ограничены в $\mathscr H^3(J,\mathbb M^m)$ и $\mathscr H^2(J,\mathbb M^m)$ соответственно. Таким образом, матрица-функции $B_x$ и $Q$ ограничены на $\mathscr N$ в норме $\mathscr H^2(J,\mathbb M^m)$ и $T_0$ – оператор умножения вектор-функций из $X^\alpha\subset\mathscr H^{2\alpha}(J,\mathbb R^m)$ на матрицу $Q\in \mathscr H^{2\alpha}(J,\mathbb M^m)$ с $2\alpha\in(3/2,2)$. Поскольку $\mathscr H^{2\alpha}(J)$ – банахова алгебра, находим, что $T_0(u,v)\in\mathscr L(X^\alpha)$ и $\|T_0(u,v)\|_\alpha\leqslant\mathrm{const}$ на $\mathscr N$. С учетом замечания 2.3 и отмеченной выше гладкости отображений (3.3) регулярность поля операторов $T_0\colon\mathscr N\to\mathscr L(X^\alpha,X)$ устанавливается точно так же как для случая периодических граничных условий в [10; лемма 3.3]. Матрица-функцию $U(x)$ в задаче Коши (3.4) можно трактовать как ограниченный линейный оператор в $X$. Доказательство. Для поля $U$ это устанавливается так же, как аналогичное утверждение в периодическом случае [10; лемма 3.4]. В то же время регулярность $U$ влечет регулярность поля обратных операторов $U^{-1}$. Пусть теперь $d_-=\min_{1\leqslant j\leqslant m}d_j$ и $d_+=\max_{1\leqslant j\leqslant m}d_j$ для $D=\operatorname{diag}\{d_j\}$. Пусть еще $\{\lambda_n:\lambda_1<\lambda_2<\dotsb\}$ – собственные числа линейного оператора $A=-D\,\partial_{xx}$. Поскольку
$$
\begin{equation}
\operatorname{spec}(A) =\{d_j\pi^2\nu^2,\,\nu\in\mathbb N,\,j\in 1,\dots,,m\},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
то $\lambda_n\leqslant\pi^2d_+n^2$. Используя считающую функцию для $\operatorname{spec}(A)$, находим, что а значит, Доказательство. Если, напротив, $\lambda_{n+1}-\lambda_n=\beta_nn$ с $\beta_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}0$, то 4. Основные результатыСогласно предположеням теоремы 2.2 нужно установить для операторов $T(u,v)$ из соотношения (3.6) “равномерное” подобие положительно определенным вида (2.4), а также необходимую разреженность (2.5) их совокупного спектра $\Sigma_T$. Предполагаем выполнеными условия регулярности (H) для функций $f$, $g$ в (1.1). Теорема 4.1. Если матрица $D=\operatorname{diag}\{d_j\}$ с $d_j>0$ и справедливо условие согласования (1.2), то фазовая динамика на аттракторе конечномерна. Доказательство. Оператор $A=-D\,\partial_{xx}$ с условием Дирихле самосопряжен и положительно определен в $X$. Предположение (1.2) влечет (при любых $x\in J$ и $u,v\in\mathscr A$) равенство $DB(x)=B(x)D$ для матриц $B(x)=B(x;u,v)$ в (3.2). Таким образом, матрицы $B(x)$ и $D^{-1}B(x)$ наследуют блочную (относительно одинаковых $d_j$) структуру матрицы диффузии $D=\operatorname{diag}\{d_1,\dots,d_m\}$. Следовательно, это же верно и для решений $U(x)$ задачи Коши (3.4), а значит, $DU(x)=U(x)D$, $x\in J$, и в (3.6). Тем самым, для $T(u,v)$ справедливо представление (2.4) с $S(u,v)=U^{-1}(u,v)$ и $H(u,v)\equiv A$. Cовокупный спектр $\Sigma_T$ совпадает со $\operatorname{spec}(A)$ в (3.7). По лемме 3.3 найдутся $\varepsilon>0$ и возрастающая последовательность индексов $n(k)$ такие, что $\lambda_{n(k)+1}-\lambda_{n(k)}>\varepsilon n(k)$ при $k\geqslant k_0$. Положим Замечание 4.2. Параболические системы (1.1) с $D=\operatorname{diag}$ демонстрируют конечномерную динамику на аттракторе при любых допустимых нелинейностях $f$, $g$ в случае скалярной диффузии, и при условии $f=\operatorname{diag}$ в случае $m$ различных коэффициентов диффузии $d_j$. В случае $s$ различных коффициентов диффузии с $1<s<m$ динамика на аттракторе конечномерна при условии, что матрица-функция $f$ наследует блочную (относительно одинаковых $d_j$) структуру матрицы $D=\operatorname{diag}\{d_j\}$. Перейдем к формулировке главного результата. Считаем, что в системе (1.1) матрица $D=C\overline DC^{-1}$, где матрица $C$ невырождена и $\overline D=\operatorname{diag}\{d_1,\dots,d_m\}$ с $d_j> 0$. Линейный оператор $-D\,\partial_{xx}=-C(\overline D\,\partial_{xx})C^{-1}$ секториален в $X=L^2(J,\mathbb R^m)$. Линейная замена переменной $u=Cv$ сводит (1.1) к системе уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_tv=\overline D\,\partial_{xx}v+\overline f(x,v)\partial_xv +\overline g(x,v),\qquad v(0)=v(1)=0, \\ \overline f(x,v)=C^{-1}f(x,Cv)C,\qquad \overline g(x,v)=C^{-1}g(x,Cv). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Матрица-функция $\overline f$ и вектор-функция $\overline g$ наследуют свойства регулярности (H) исходных функций $f$ и $g$. Фазовые полупотоки систем (4.1) и (1.1) линейно сопряжены. Система уравнений (4.1) диссипативна в $X^\alpha$, следовательно, это верно и для системы (1.1). Аттракторы $\mathscr A$ системы (1.1) и $\overline{\mathscr A}$ системы (4.1) связаны соотношением $\mathscr A=C\overline{\mathscr A}$. Согласно определению конечномерности финальной фазовой динамики (п. 1), системы (4.1) и (1.1) демонстрируют данное свойство одновременно. Теорема 4.3 (основная). Если матрица $D$ подобна $\operatorname{diag}\{d_j\}$ с $d_j>0$ и справедливо условие согласования (1.2), то финальная динамика системы (1.1) конечномерна. Доказательство. Так как $Df(x,u)=f(x,u)D$ на $J\times\operatorname{co}\mathscr A$, то Замечание 4.4. При условии согласования (1.2) финальная динамика системы (1.1) конечномерна, если все собственные значения матрицы $D$ различны и положительны. Условие (1.2) справедливо, в частности, для $f=D_1\varphi$, где числовая матрица $D_1$ коммутирует с $D$ и $\varphi=\varphi(x,u)$ – гладкая финитная по $u$ скалярная функция. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Rom23} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|