| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Вложения пространств функций положительной гладкости на гельдеровой области в пространства Лебега О. В. Бесов Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010030 
Реферативные базы данных:
  1. Обозначения и определенияПусть $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел; $n\in\mathbb{N}$; $\mathbb{R}^n$ – $n$-мерное евклидово пространство точек, $n\geqslant 2$, $x=(x_1,\dots,x_n)$; $s>0$; $1\leqslant p<q<\infty$; $L_p(G)$ – лебегово пространство определенных на области $G\subset \mathbb{R}^n$, $G\ne \mathbb{R}^n$, функций с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f|L_p(G)\|=\biggl(\int_{G}|f(x)|^p\,dx\biggr)^{1/p},
\end{equation*}
\notag
$$
$C(G)$ – пространство непрерывных и ограниченных на $G$ функций с нормой Все рассматриваемые функции $f$ локально суммируемы на области своего определения. При $t>0$, $E\subset \mathbb{R}^n$, $y\in \mathbb{R}^n$, $d>0$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, y+tE:=\{x:x=y+tz,z\in E\}, \\ B(x,t):=\{y:|y-x|<t\}=x+B(0,t),\qquad B_0=B(0,1), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$\chi$ – индикатор шара $B(0,1)$ или отрезка $[-1,1]$. Символом $W_p^s(G)$ при $s\in\mathbb{N}$ будем обозначать пространство Соболева с нормой
$$
\begin{equation*}
\|f|W_p^s(G)\|=\|f|L_p(G)\|+\sum_{|\alpha|=s}\|D^{\alpha}f|L_p(G)\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Известная теорема вложения Соболева $W_p^s(G)\subset L_q(G)$, характеризуемая неравенством
$$
\begin{equation}
\|f|L_q(G)\|\leqslant C\|f|W_p^s(G)\|,\qquad s\in \mathbb{N},\quad 1<p<q<\infty,
\end{equation}
\tag{1}
$$
установлена им в 1938 г. для области $G\subset \mathbb{R}^n$ с условием конуса при Это соотношение (определяющее максимально возможное значение $q$ в теореме (1)) является и необходимым условием вложения. Результат С. Л. Соболева был перенесен на области более общего вида: области классов $J_{(n-1)/n}$, $I_{p,1/p-1/n}$ (В. Г. Мазья, 1960, 1975), области с условием Джона (John domains; Ю. Г. Решетняк, 1981), области с условием гибкого конуса (О. В. Бесов, 1983). Для областей, не удовлетворяющих условию гибкого конуса, соотношение между параметрами в теореме вложения (1) зависит от вида области. Для областей с $\sigma$-условием Джона ($\sigma$-John domains) теорема вложения (1) установлена при $s=1$, $p>1$ в работе [1], для областей с условием гибкого $\sigma$-конуса – в работе [2]. Отметим, что вложение (1) пространства Соболева на $\sigma$-гельдеровой области изучено в работах Лабутина [3], Мазьи–Поборчего [4]. В данной работе рассматриваются пространства функций положительной гладкости, определенных на $r$-гельдеровой области. Далее везде $0<T<\infty$, $r\colon [0,T]\to \mathbb{R}$ – кусочно непрерывно дифференцируемая возрастающая функция $r(0)=0$, $r(t)>0$ при $t>0$, $e_{(n)}=(0,\dots,0,1)$,
$$
\begin{equation*}
e\in \mathbb{R}^n,\quad |e|=1,\quad b(t,e):=\{x: |x-ue|<r(t),\, 0<u<t\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Область $G\subset \mathbb{R}^n$ будем называть $r$-гельдеровой областью, если при некотором $T\in (0,\infty)$ существует конечное число областей $G_j$, $j=1,2,\dots,J$, и единичных векторов $e_j$, $j=1,2,\dots,J$, таких, что В случае $r(t)=\kappa t^{\sigma}$, $\kappa>0$ такую область будем называть $\sigma$-гельдеровой. В [5] приведена некоторая двухпараметрическая классификация областей евклидова пространства и установлена неулучшаемая теорема вложения (1) для областей каждого класса. В [6] построены пространства положительной гладкости на $\sigma$-гельдеровской области и установлены некоторые их свойства. В данной работе рассматриваются более общие пространства положительной гладкости на $r$-гельдеровой области, устанавливаются теоремы вложения этих пространств в пространства Лебега и компактность таких вложений. В приводимых ниже теоремах вложения для $r$-гельдеровой области “потеря гладкости” при переходе от метрики $L_p$ к метрике $L_q$ такая же, как в теореме вложения пространства Соболева в пространство Лебега. Рассмотрения основаны на интегральном представлении функции через интегралы, содержащие ее локальные приближения, вывод которого приводится. Пусть $\mathfrak{R}$ – поворот в $\mathbb{R}^n$ такой, что $\mathfrak{R}e_j=e_{(n)}$. При $x,a\in \mathbb{R}^n$, $t>0$ для числовой функции $f$ положим
$$
\begin{equation*}
\tau_af(x)=f(x+a),\qquad \sigma_tf(x)=f(r(t)x_1,\dots,r(t)x_{n-1},tx_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Символом $\mathbb{P}_{m-1}$ обозначим линейное пространство многочленов вида Пусть $\pi=\pi^{m-1}\colon L(B_0)\to \mathbb{P}_{m-1}$ – некоторый проектор на $\mathbb{P}_{m-1}$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi_{a,t}=\tau_a^{-1}\circ\sigma_t^{-1}\circ \pi\circ \sigma_t \circ\tau_a, \\ D_{m-1}(t,e_{(n)})f(x)=r(t)^{-n+1}t^{-1} \|f-\pi_{x,t}f|L(x+b(t,e_{(n)}))\|, \\ D_{m-1}(t,e)f(x)=D_{m-1}(t,e_{(n)})f(\mathfrak{R} x). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Приближение функции $f$ в $L(x+b(t,e))$ проекционным многочленом из $\mathbb{P}_{m-1}$ эквивалентно ее наилучшему приближению в $L(x+b(t,e))$ с помощью многочленов из $\mathbb{P}_{m-1}$. Определение 2. Пусть $1\leqslant p\leqslant \infty$, $1\leqslant \theta\leqslant \infty$, $m\in \mathbb{N}$. Пусть $s$ – непрерывная на $[0,T]$ функция, $0<s(t)<m$ при $0\leqslant t\leqslant T$. Символами $B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)$, $L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)$ обозначим нормированные пространства определенных на $G$ функций с конечными нормами соответственно: Если функция $s$ постоянна, вместо $B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)$, $L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)$ будем писать соответственно $B_{p,\theta}^{s,m}(G)$, $L_{p,\theta}^{s,m}(G)$. 2. Основные результатыВ следующих теоремах $n,m\in\mathbb{N}$, $n\geqslant 2$, $0<s<m$, $0<s(t)<m$, $0\leqslant t\leqslant T\in (0,\infty)$. Первая из этих теорем (теорема 1) установлена в [3] ($s=1$), [4] ($s\geqslant 2$) и приводится для сравнения. Теорема 1. Пусть $\rho\colon [0,T]\to \mathbb{R}$ – непрерывная, строго возрастающая, выпуклая вниз функция, $G$ – $\rho$-гельдерова область, $s\in \mathbb{N}$, $1\leqslant p<q<\infty$ и выполняется условие Тогда Для дальнейшего полезно заметить, что в силу неравенства Минковского для интегралов
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)&\subset L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)&\qquad\text{при}\quad \theta&\leqslant p, \\ L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)&\subset B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)&\qquad\text{при}\quad p&\leqslant \theta. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Пусть $G$ – $r$-гельдерова область, $0<s(t)<m$, $1\leqslant p<q<\infty$ и при некотором $C>0$ выполняется условие Теорема 3. Пусть $G$ – $r$-гельдерова область, $1<p<q<\infty$ или $1=p<q=\infty$ и выполняется условие (7). Тогда при $1\leqslant \theta\leqslant\infty$ В частности, при $r(t)=\kappa t^{\sigma}$, $s=[\sigma (n-1)+1](1/p-1/q)$ Вложение (9) справедливо и при $1\leqslant p<q<\infty$, $p\leqslant \theta \leqslant q$. В теоремах 2, 3 при $q=\infty$ $L_{\infty}(G)$ можно заменить на $C(G)$. Теорема 4. Пусть $G$ – ограниченная $r$-гельдерова область и выполнены условия теоремы 2. Пусть $\eta$ – непрерывная неотрицательная на $[0,T]$ функция, $\eta(0)=0$, Тогда $B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,)+\eta(\,\cdot\,),m}(G)$ компактно вложено в $L_q(G)$. Теорема 5. Пусть $G$ – ограниченная $r$-гельдерова область и выполнены условия теоремы 3. Пусть $\eta$ – непрерывная неотрицательная на $[0,T]$ функция, $\eta(0)=0$ и выполнено условие (10). Тогда $L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,)+\eta(\,\cdot\,),m}(G)$ компактно вложено в $L_q(G)$. Случаи теорем 2, 3 при постоянных $s$ и $r(t)=\kappa t^{\sigma}$ близки соответствующим теоремам из [6] для пространств типа $B_{p,\theta}^{s,m}(G)$, $L_{p,\theta}^{s,m}(G)$ с более громоздким определением. Теорема 3 при постоянном $s$ и $r(t)=\kappa t^{\sigma}$ установлена в [7] с помощью несколько более сложного интегрального представления. 3. Интегральное представление функцииДля локально суммируемой функции $f$ ниже будет построено ее усреднение $f_{t}$, такое, что $f_{t}(x)$ при $t\to 0$ стремится в определенном смысле к $f(x)$, а производная $(\partial/\partial t)f_{t}$ аннулирует произвольный многочлен степени $m-1$. Тогда интегральное представление функции $f(x)$ выводится из формулы Ньютона–Лейбница
$$
\begin{equation*}
f(x)=-\int_0^T\frac{\partial}{\partial t}f_{t}(x)\,dt+f_{T}(x)
\end{equation*}
\notag
$$
с помощью преобразований подынтегрального выражения. Следствием его является оценка
$$
\begin{equation}
|f(x)|\leqslant\int_0^T\biggl|\frac{\partial}{\partial t} f_{t}(x)\biggr|\,dt+|f_{T}(x)|.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Такого рода усреднение $f_{t}$ рассматривалось в [8]. Здесь будет построен его аналог, имеющий более простой вид. Пусть сначала $n=1$. Приведем вспомогательное усреднение из [9; п. 7.3]. Пусть $\widetilde{\Theta}$ – сглаженная функция Хевисайда:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{\Theta}\in C^{\infty}(\mathbb{R}),\qquad \widetilde{\Theta}(u)=0 \quad\text{при}\quad u\leqslant -\delta, \\ \widetilde{\Theta}(u)=1 \quad\text{при}\quad u\geqslant \delta, \\ \operatorname{supp} \widetilde{\Theta}'\in [-\delta,\delta],\quad 0<\delta< 1,\quad \chi{}-{}\textrm{индикатор отрезка } [-\delta,\delta] \text{ или куба } [-\delta,\delta]^n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При $m\in \mathbb{N}$, $\tau \in\mathbb{R}$ рассмотрим
$$
\begin{equation}
\omega(u,\tau)=\frac{d^m}{du^m}\biggl(\frac{u^{m-1}}{(m-1)!} \widetilde{\Theta}(u-\tau)\biggr),\qquad \operatorname{supp}\omega(\,\cdot\,,\tau)\subset (-\delta+\tau,\delta+\tau),
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
\int\omega(u,\tau)\,du=1,\qquad \int\omega(u,\tau)u^k\,du=0\quad \text{при}\quad k=1,2,\dots,m-1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Первое из равенств (13) очевидно, другие будут вскоре установлены. Пусть $r$, $\tau$ – непрерывные и кусочно гладкие на $[0,T]$ функции, $\tau(0)=0$,
$$
\begin{equation*}
r\colon[0,T]\to [0,\infty),\qquad r(0)=0,\qquad r(t)>0 \quad \text{при}\quad t>0,\qquad |r'(t)|\leqslant c_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим усреднение $f_{(t)}$ функции $f\in L(\mathbb{R},\mathrm{loc})$ в точке $x$:
$$
\begin{equation}
f_{(t)}(x)=\int\frac{1}{r(t)}\omega \biggl(\frac{y}{r(t)}\,,\frac{\tau(t)}{r(t)}\biggr)f(x+y)\,dy.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Заметим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\frac{1}{r(t)}\,\omega\biggl(\frac{y}{r(t)}\,, \frac{\tau(t)}{r(t)}\biggr)= \frac{\partial^{m}}{\partial y^m}\biggl[\frac{y^{m-1}}{(m-1)!} \widetilde{\Theta}\biggl(\frac{y-\tau(t)}{r(t)}\biggr)\biggr], \\ \nonumber &\frac{\partial}{\partial t}\biggl[\frac{1}{r(t)}\, \omega\biggl(\frac{y}{r(t)}\,,\frac {\tau(t)}{r(t)}\biggr)\biggr] \\ \nonumber &\qquad=\frac{\partial^{m}}{\partial y^m} \biggl[\frac{y^{m-1}}{(m-1)!}\widetilde{\Theta}' \biggl(\frac{y-\tau(t)}{r(t)}\biggr) \frac{r(t)(-\tau'(t))-(y-\tau(t))r'(t)}{r(t)^2}\biggr] \\ \nonumber &\qquad=-\frac{r(t)^{m-1}}{r(t)}\,\frac{\partial^m}{\partial y^m} \biggl\{\frac{1}{(m-1)!}\biggl(\frac{y}{r(t)}\biggr)^{m-1} \widetilde{\Theta}'\biggl(\frac{y-\tau(t)}{r(t)}\biggr) \biggl[\frac{y-\tau(t)}{r(t)}\,r'(t)+\tau'(t)\biggr]\biggr\} \\ &\qquad=-r(t)^{m-2}\frac{\partial ^{m}}{\partial y^m}\, \zeta\biggl(\frac{y}{r(t)}\,, \frac{\tau(t)}{r(t)}\,,r'(t),\tau'(t)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\zeta(u,\tau,r_1,\tau_1)=\frac{u^{m-1}}{(m-1)!} \widetilde{\Theta}'(u-\tau)[(u-\tau)r_1+\tau_1].
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим попутно, что (15) дает возможность получить интегральное представление функции через несмешанные производные порядка $m$. Из (15) следует, что для любого многочлена $P_{m-1}$ степени $m-1$. Следовательно, операция $(P_{m-1})_{(t)}$ сохраняет любой многочлен $P_{m-1}$. В частности, для $p_k(x)=x^k$, $1\leqslant k\leqslant m-1$, $(p_k)_{(t)}(0)=p_k(0)=0$, что означает выполнение равенств (13) при $k=1,\dots,m-1$. Ниже понадобятся следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\frac{1}{r(t)}\omega\biggl(\frac{y}{r(t)}\,, \frac{\tau(t)}{r(t)}\biggr)\biggr|&\leqslant \frac{C}{r(t)}\biggl(\frac{|\tau(t)|}{r(t)}+\delta\biggr)^{m-1}, \\ \biggl|\frac{\partial}{\partial t}\biggl[\frac{1}{r(t)}\omega \biggl(\frac{y}{r(t)}\,,\frac{\tau(t)}{r(t)}\biggr)\biggr]\biggr| &\leqslant \frac{C}{r(t)^2}\biggl(\frac{|\tau(t)|}{r(t)}+ \delta\biggr)^{m-1}(|r'(t)|+|\tau'(t)|). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее считаем $n \mspace{-1mu} \geqslant \mspace{-1mu} 2$, $e_n \mspace{-1mu} = \mspace{-1mu} (0,\,\cdots\,,0,1)$. Положим $\omega(u) \mspace{-1mu} = \mspace{-1mu} \omega(u,0)$, $\Omega'(x') \mspace{-1mu} = \mspace{-1mu} \prod_{i=1}^{n-1}\omega(x_i)$ и для $f\in L(G,\mathrm{loc})$ рассмотрим ее усреднение $f_t$ при $t\in (0,T]$. Заметим, что интегральное представление будет применяться к функциям, обладающим определенными свойствами гладкости в интегральной метрике, и для таких функций $f_t(x)\to f(x)$ при $t\to 0$ в смысле сходимости в $ L(G,\mathrm{loc})$. В дальнейшем будем использовать вариант усреднения и интегрального представления функций на области $G_0$, связанный с путем $\gamma_x(t)=x+te_n$, $e_n=(0,\dots,0,1)$, $0\leqslant t\leqslant T$. Положим при $x\in G_0$, $G_0+b(t,e_n)+te_n\subset G\subset \mathbb{R}^n$ для всех $t\in [0,T]$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_t(x)=\iint&\frac{1}{r(t)^{n-1}}\,\Omega' \biggl(\frac{y'}{r(t)}\biggr)\frac{1}{t}\,\omega \biggl(\frac{y_n}{t}\,,1\biggr)\frac{1}{r(t)^{n-1}}\,\Omega \biggl(\frac{z'}{r(t)}\biggr) \\ &\qquad\times \frac{1}{t}\,\omega \biggl(\frac{z_n}{t}\,,1\biggr)f(x+y+z)\,dy\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В полученную после дифференцирования формулу для производной $(\partial/\partial t)f_t$ вместо $f$ можно подставить $f-P_{m-1}$, где $P_{m-1}$ – проекционный многочлен на $x+b(t,e_n)+te_n$. Тогда получим оценку производной $(\partial/\partial t)f_t$ через интегралы, содержащие $D_{m-1}(t,e_n)f(x+te_n)$. Для функции $f$ из пространства $B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)$ или $L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)$ выполнено $f_t\to f$ во всяком случае в смысле сходимости в $L(G_0,\mathrm{loc})$. Используя формулу Ньютона–Лейбница, получаем для $x\in G_0$ следующую оценку:
$$
\begin{equation}
|f(x)-f_{T}(x)|\leqslant C\int_0^T\int t^{-1}\frac{1}{r(t)^{n-1}}\, \chi\biggl(\frac{y'}{r(t)}\biggr)\frac{1}{t}\, \chi\biggl(\frac{y_n}{t}-1\biggr)D_{m-1}(t,e_n)f(x+y)\,dy\,dt.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
g(x,t):=t^{-s(t)}D_{m-1}(t,e_n)f(x+te_n),\qquad g_{\theta}(x):=\biggl(\int_{0}^Tg(x,t)^{\theta}\, \frac{dt}{t}\biggr)^{1/\theta},
\end{equation*}
\notag
$$
и подставим $g$ в оценку (16). Получим
$$
\begin{equation}
|f(x)-f_{T}(x)|\leqslant C\int_0^T\,\int t^{s(t)-1} \frac{1}{r(t)^{n-1}}\,\chi\biggl(\frac{y'}{r(t)}\biggr) \frac{1}{t}\,\chi\biggl(\frac{y_n}t-1\biggr)g(x+y,t)\,dy\,dt.
\end{equation}
\tag{17}
$$
4. Доказательство теоремы 2Лемма 1. Пусть $1\leqslant p<q<\infty$, $1\leqslant \theta\leqslant q$, $\nu(t)=t^{1/p-1/q-2+1/\theta}$, $\chi$ – индикатор отрезка $[-\delta,\delta]$, $0<\delta<1$. Пусть Тогда Доказательство. Эта лемма содержится в более общей лемме 2.22 из [9], принадлежащей В. П. Ильину. Мы приведем доказательство сформулированной леммы ради полноты изложения. Оно повторяет доказательство из [9], но некоторые упрощения возникают вследствие специального вида свертывателя $\chi(x/t)$. Будем пользоваться обозначениями: В силу результата, обратного неравенству Гёльдера, достаточно установить, что для любой функции $\varphi\in L_{q'}(\mathbb{R})$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation*}
I=\iiint \varphi(x)\psi (y,t)\nu(t) \chi\biggl(\frac{y-x}t\biggr)\,dy\,dt\,dx\leqslant C\|\varphi\|_{q'}\|\psi\|_{p,\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно считать функции $\varphi$, $\psi$ неотрицательными. Пусть $\varphi^*$ равноизмерима с $\varphi$ и симметрично убывает относительно точки 0. Пусть $\psi^*(\,\cdot\,,t)$ при каждом фиксированном $t$ равноизмерима с $\psi(\,\cdot\,,t)$ и симметрично убывает относительно точки 0. Тогда в силу теоремы Ф. Рисса (см. [10; гл. X]; доказательство нужного нам ее частного случая см. в [9; п. 217]) в интеграле $I$ можно считать функции $\varphi$ и $\psi(\,\cdot\,,t)$ симметрично убывающими относительно точки 0. Получим оценку лишь для октанта $y>0$, $t>0$, $x>0$, так как для других октантов выкладки аналогичны. То есть покажем, что
$$
\begin{equation*}
I_{+}=\int_0^{\infty}\,\int_0^{\infty}\,\int_0^{\infty}\varphi(x) \psi(y,t)\nu(t)\chi\biggl(\frac{y-x}{t}\biggr)\,dy\,dt\,dx\leqslant C\|\varphi\|_{q'}\|\psi\|_{p,\theta}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства Гёльдера $I_+\leqslant \|\varphi\|_{q'}\|\,\|J\|_q$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J(x)&= \int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\psi(y,t)\nu(t)\chi\biggl(\frac{y-x}t\biggr)\,dy\,dt=J_1(x)+J_2(x), \\ J_1(x)&=\int_0^x\int_0^{x+t}\psi(y,t)\nu(t)\chi\biggl(\frac{y-x}t\biggr)\,dy\,dt, \\ J_2(x)&=\int_x^{\infty}\int_0^{x+t}\psi(y,t)\nu(t)\chi\biggl(\frac{y-x}t\biggr)\,dy\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью неравенства Чебышёва для интеграла от произведения разномонотонных функций и затем неравенства Гёльдера получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_1(x)&\leqslant \int_0^x\nu(t)\int_0^{x+t}\psi(y,t)\,dy\frac 1{x+t}\int_0^{x+t}\chi\biggl(\frac {y-x}t\biggr)\,dy\,dt \\ &\leqslant \int_0^x\nu(t)(x+t)^{1/p'}\|\psi(\,\cdot\,,t)\|_p\frac {2t}x\,dt \\ &\leqslant 2^{1/p'}2\int_0^xx^{-1/q}t^{-1/\theta'}\biggl(\frac tx\biggr)^{1/p-1/q}\|\psi(\,\cdot\,,t)\|_p\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью неравенства Гёльдера имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_2(x)&=\int_x^{\infty}\int_x^{x+t}\nu(t)\psi(y,t)\,dy\,dt \\ &\leqslant \int_x^{\infty}\nu(t)(x+t)^{1/p'}\|\psi(\,\cdot\,,t)\|_p\,dt \\ &\leqslant 2^{1/p'}\int_x^{\infty}x^{1/q}t^{1/\theta'}\biggl(\frac xt\biggr)^{1/q}\|\psi(\,\cdot\,,t)\|_p\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается применить неравенство Харди к каждому из двух интегралов, стоящих в правых частях последних цепочек равенств. Лемма доказана. Доказательство теоремы 2. Пусть $1\leqslant p<q<\infty$, области $G_0$, $G\subset\mathbb{R}^n$, $G_0+B(r(t),te_n)\subset G$ при $t\in [0,T]$. Достаточно убедиться в справедливости оценки 5. Доказательство теоремы 3Пусть $1<p<q<\infty$ или $1=p<q=\infty$, области $G_0$, $G\subset \mathbb{R}^n$, $G_0+B(r(t),te_n)\subset G$ при $t\in [0,T]$. Достаточно убедиться в справедливости оценки
$$
\begin{equation*}
\|f|L_q(G_0))\|\leqslant C\|f|L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)\|,
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $\mu_0=1-1/p+1/q$. Применяя неравенство Гёльдера к (17), используя оценку (7) и монотонность $r(t)$, имеем при $x\in G_0$, $\mu_0=1-1/p+1/q$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &|f(x)-f_T(x)| \\ \nonumber &\qquad\leqslant C\int\biggl\{\int_0^T t^{s(t)\theta'} r(t)^{-(n-1)\theta'}\chi\biggl(\frac{y'}{r(t)}-1\biggr)t^{-\theta'} \chi\biggl(\frac{y_n}{t}\biggr)\,\frac{dt}{t}\biggr\}^{1/\theta'} g_{\theta}(x+y)\,dy \\ \nonumber &\qquad\leqslant C_1\int\biggl\{\int_0^T r(t)^{-(n-1)\mu_0\theta'} t^{-\mu_0 \theta'}\chi\biggl(\frac{y'}{r(t)}-1\biggr)t^{-\theta'} \chi\biggl(\frac{y_n}{t}\biggr)\,\frac{dt}{t}\biggr\}^{1/\theta'} g_{\theta}(x+y)\,dy \\ &\qquad\leqslant C_2\int\frac{1}{|y'|^{(n-1)\mu_0}|y_n|^{\mu_0}} g_{\theta}(x+y)\,dy. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Применяя в случае $1<p<\infty$ неравенство Харди–Литлвуда, получаем, что В случае $1=p<q=\infty$ последнее из неравенств (19) тривиально. Из просто получаемой оценки $\|f_{T}|L_q(G_0)\|\leqslant C\|f|L_p(G))\|$ следует, что
$$
\begin{equation}
\|f|L_q(G_0)\|\leqslant C \|f|L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,),m}(G)\|,
\end{equation}
\tag{21}
$$
т.е. утверждение теоремы 3. Последнее утверждение теоремы следует из теоремы 2 в силу неравенства Минковского для интегралов. 6. Доказательство теорем 4, 5Пусть $\varepsilon>0$ и $T=T(\varepsilon)>0$ выбрано столь малым, что $t^{\eta(t)}<\varepsilon$ при $0\leqslant t\leqslant T$. Под функцией $g$ будем понимать определенную выше, но с $s(t)+\eta(t)$ вместо $s(t)$. В условиях теоремы 2 воспользуемся оценкой (18) при $s(t)+\eta(t)$ вместо $s(t)$. Заменив множитель $t^{\eta(t)}$ под знаком интеграла на $\varepsilon$, получаем (см. доказательство теоремы 2) оценку
$$
\begin{equation}
\|f-f_T|L_q(G_0)\|\leqslant C\varepsilon\|f|B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,)+\eta(\,\cdot\,),m}(G)\|.
\end{equation}
\tag{22}
$$
В условиях теоремы 3 запишем первое неравенство оценки (19) для $s(t)+\eta(t)$ вместо $s(t)$. Тогда из (19) следует, что
$$
\begin{equation}
|f-f_T|L_q(G_0)\|\leqslant C\varepsilon\|f|L_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,,m)}(G)\|.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Далее будем продолжать доказательство лишь теоремы 4, опирающееся на (22). Доказательство теоремы 5, опирающееся на (23), проводится так же. Пусть $M>0$,
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}=\{f: \|f|B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,)+\eta(\,\cdot\,),m}(G)\|\leqslant M\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Требуется установить компактность $\mathcal{M}$ в $L_q(G)$. Достаточно установить компактность $\mathcal{M}$ в $L_q(G_j)$ при $j=1,2,\dots,J$. Тем самым задача свелась к следующей. Пусть $G_0,G$ – области в $\mathbb{R}^n$, $G_0+B(r(t),te_n)\subset G$ при $0\leqslant t\leqslant T_0$. Требуется доказать, что множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{M}=\{f: \|f|B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,)+ \eta(\,\cdot\,),m}(G)\|\leqslant M\}
\end{equation*}
\notag
$$
компактно в $L_q(G_0)$. Оценка (22) показывает, что для произвольного $\varepsilon>0$ при достаточно малом $T= T(\varepsilon)>0$ множество
$$
\begin{equation*}
\{f_T: \|f|B_{p,\theta}^{s(\,\cdot\,)+\eta(\,\cdot\,),m}(G)\| \leqslant M\}
\end{equation*}
\notag
$$
образует $\varepsilon$-сеть для $\mathcal{M}$ в $L_q(G_0)$. Обозначим символом $\overline{f}$ продолжение функции $f$ нулем на $\mathbb{R}^n\setminus G$. Пусть $(\mspace{1mu}\overline{f}\mspace{1mu})_T$ – свертка функции $\overline{f}\in L_p(\mathbb{R}^n)$ с тем же ядром свертки, что и у свертки $f_T$. Так что $(\mspace{1mu}\overline{f}\mspace{1mu})_T=f_T$ на $G_0$. Пусть $G\subset Q:=\prod_1^n[a_i,b_i]$. Достаточно установить компактность множества функций
$$
\begin{equation*}
\{(\mspace{1mu}\overline{f}\mspace{1mu})_T: \|f|L_p(G)\|\leqslant M_1\}
\end{equation*}
\notag
$$
в $C(Q)$. Легко видеть, что функции этого множества равномерно ограничены, как и их производные первого порядка. По теореме Арцела это множество компактно в $C(Q)$, а значит, и в $\mathcal{M}$, чем и завершается доказательство теоремы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bes23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|