| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Об ортогонально аддитивных операторах в РНП Н. А. Джусоева, С. Ю. Итарова Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, г. Владикавказ
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010078 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеОртогонально аддитивные операторы (ОАО) в векторных решетках впервые были введены в работе [1]. Интерес к данному классу операторов обусловлен тем фактом, что классические операторы нелинейного анализа, такие как операторы Немыцкого, Гаммерштейна и Урысона, ортогонально аддитивны в подходящих функциональных пространствах [2]. В работе [3] был введены регулярные ОАО, там же было установлено, что в случае порядковой полноты векторной решетки образов $F$ пространство $OA_r(E,F)$ регулярных ОАО из $E$ в $F$ является порядково полной векторной решеткой. Этот факт позволил применить к исследованию структуры пространства ОАО хорошо разработанные методы порядкового анализа и теории векторных решеток [4]–[7]. В настоящее время теория ортогонально аддитивных операторов в частично упорядоченных пространствах является активно развивающейся областью функционального анализа (см. [4], [8]–[14], [6]). В работе [15] получены интересные результаты об ОАО в пространствах Кете–Бохнера измеримых вектор-функций. Отметим, что авторы данной статьи пользуются техникой мажорируемых ортогонально аддитивных операторов в решеточно-нормированных пространствах, разработанной в работах [4], [7]. В последние годы было установлено (см. [6], [16]–[18]), что важную роль в исследовании ортогонально аддитивного оператора, действующего в паре векторных решеток, занимает анализ локального поведения оператора на множествах осколков элементов векторной решетки. Целью настоящей статьи является исследование локальных свойств ОАО в решеточно-нормированных пространствах. Мы вводим новый класс – локально мажорируемых ортогонально аддитивных операторов в решеточно-нормированных пространствах, где условия мажорируемости оператора на всем пространстве заменяются условием локальной мажорируемости на некотором множестве. Простейшие примеры показывают, что данный класс операторов строго включает в себя мажорируемые ОАО. В первой части работы мы приводим достаточные условия существования локальной точной мажоранты локального мажорируемого ОАО и устанавливаем формулы для вычисления его точной локальной мажоранты. Во второй части мы изучаем осколочно компактные ОАО в решеточно-нормированных пространствах. Нами установлено, что осколочная компактность мажорируемого ортогонально аддитивного оператора $T$, действующего из решеточно-нормированного пространства $(\mathscr X,E)$ в банахово пространство со смешанной нормой $(\mathscr Y,F)$, влечет осколочную компактность его точной мажоранты $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \colon E\to F$. Последняя теорема обобщает на случай общих решеточно-нормированных пространств теорему 1, установленную в статье [15]. 2. Предварительные сведенияВ данном разделе мы приведем вспомогательные сведения, необходимые для дальнейшего чтения. Стандартными источниками для ссылок по теориии векторных решеток и решеточно-нормированных пространств являются монографии [19], [20]. Все векторные решетки, рассматриваемые ниже в тексте, являются архимедовыми. Пусть $\mathscr X$ – векторное пространство и $E$ – векторная решетка. Отображение $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $ из $\mathscr X$ в $E$ называется векторной нормой, если для любых $x,y\in\mathscr X$ и $\lambda\in\mathbb R$ выполняются следующие условия:
Определение 1. Тройка $(\mathscr X, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr X}, E)$ ($(\mathscr X,E)$ или $\mathscr X$ для краткости) называется решеточно-нормированным пространством (сокращенно РНП), если отображение $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \colon\mathscr X\to E$ является векторной нормой на $\mathscr X$. Если норма $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $ разложима, то пространство $\mathscr X$ называется разложимым. Будем говорить, что элементы $x$, $y$ решеточно-нормированного пространства $\mathscr X$ дизъюнктны и писать $x\perp y$, если $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \wedge |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| y |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =0$. Предположим, что $x\in\mathscr X$. Будем использовать запись
$$
\begin{equation*}
x=\bigsqcup_{i=1}^nx_i,\qquad x_i\in\mathscr X,\quad i\in\{1,\dots,n\},
\end{equation*}
\notag
$$
если $x=\sum_{i=1}^nx_i$ и $x_i\perp x_j$ для всех $i\ne j$. В частном случае, когда $n=2$, будем писать $x=x_1\sqcup x_2$. Элемент $z\in\mathscr X$ называется осколком $x$, если $z\perp(x-z)$. При этом будем писать $z\sqsubseteq x$. Запись $x\sqsubseteq z$ означает, что $x$ является осколком $x$. Отметим, что $\sqsubseteq$ является отношением частичного порядка на $\mathscr X$, называемого латеральным порядком (см. [6]). Множество всех осколков элемента $x\in\mathscr X$ обозначается $\mathfrak F_x$. Сеть $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ в $\mathscr X$ порядково сходится к $x\in\mathscr X$, если найдется убывающая сеть $(e_\gamma)_{\gamma\in\Gamma}$ в $E_+$ такая, что $\inf_{\gamma\in\Gamma}(e_\gamma)=0$ и для любого $\gamma\in\Gamma$ найдется индекс $\lambda\in\Lambda$ такой, что
$$
\begin{equation*}
|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x-x_{\lambda(\gamma)} |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \leqslant e_\gamma\qquad \text{для всех} \quad \lambda\geqslant\lambda(\gamma).
\end{equation*}
\notag
$$
Сеть $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ называется фундаментальной, если сеть $(x_\lambda-x_{\lambda'})_{(\lambda,\lambda')\in\Lambda\times\Lambda}$ порядково сходится к нулю. Решеточно-нормированное пространство $\mathscr X$ называется порядково полным, если каждая фундаментальная сеть в $\mathscr X$ порядково сходится к некоторому элементу $\mathscr X$. Разложимое, порядково полное решеточно-нормированное пространство называется пространством Банаха–Канторовича. Будем говорить, что подмножество $D$ решеточно-нормированного пространства $(\mathscr X,E)$ порядково ограниченно, если существует элемент $e\in E_+$ такой, что
$$
\begin{equation*}
|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \leqslant e,\qquad x\in D.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(\mathscr X,E)$ – разложимое РНП. Через $\widetilde E_+(\mathscr X)$ (или $\widetilde E_+$ для краткости) обозначим множество
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde E_+ :=\biggl\{e\in E_+:e=\bigsqcup_{i=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x_i |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| ;\, x_i\in\mathscr X;\,n\in\mathbb N\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Прямая сумма $(\mathscr X\oplus\mathscr Y,E\oplus F)$ РНП $(\mathscr X, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr X},E)$ и $(\mathscr Y, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr Y},F)$ наделяется векторной нормой $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \colon\mathscr X\oplus\mathscr Y\to E\oplus F)$ по правилу
$$
\begin{equation*}
|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (x,y) |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| :=( |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr X}, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| y |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr Y}).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что что векторная норма $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $ разложима тогда и только тогда, когда разложимы векторные нормы $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr X}$ и $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr Y}$. При этом норма $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $ называется прямой суммой векторных норм $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr X}$ и $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr Y}$. В случае, когда векторная решетка $E$ является нормированным пространством, в РНП $(\mathscr X,E)$ можно ввести числовую норму по правилу
$$
\begin{equation*}
\||x|\|:=\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \|_E,\qquad x\in\mathscr X.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом говорят, что $(\mathscr X,E)$ – пространство со смешанной нормой, а норму $\||\cdot|\|$ обозначают символом $\|\cdot\|_{\mathscr X}$. Перейдем теперь к рассмотрению конкретных примеров решеточно-нормированных пространств. Простейшими разложимыми РНП являются векторные решетки и нормированные пространства. Другие важные примеры решеточно-нормированных пространств доставляют пространства вектор-функций. Порядковым идеалом в векторной решетке $E$ называется линейное подпространство $I$ в $E$ такое, что для любых $x\in E$ и $y\in I$ неравенство $|x|\leqslant|y|$ влечет включение $x\in I$. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой. Банахово пространство $E$, являющееся также порядковым идеалом в $L_0(A,\Sigma,\mu)$, называется пространством Кете на $(A,\Sigma,\mu)$. Отметим, что каждое пространство Кете является банаховой решеткой относительно естественного порядка, наследуемого из $L_0(\mu)$. Будем говорить, что банахова решетка $F$ обладает порядково непрерывной нормой, если $\lim_{\alpha\in A}\|f_\alpha\|=0$ для любой убывающей сети $(f_\alpha)_{\alpha\in A}$ положительных элементов в $F$. Характеристическая функция множества $D$ обозначается $1_D$. Определение 2. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – пространство с конечной мерой $X$ – банахово пространство. Будем говорить, что $f\colon A\to X$ – простая функция, если найдутся $x_1,\dots,x_n\in X$ попарно дизъюнктные измеримые множества $A_1,\dots,A_n$ такие, что $f=\sum_{i=1}^nx_i1_{A_i}$. Вектор-функция $f\colon A\to X$ называется сильно $\mu$-измеримой, если существует последовательность $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ простых функций такая, что Через $L_0(A,\Sigma,\mu,X)$ (или $L_0(\mu,X)$ для краткости) обозначим векторное пространство всех (классов эквивалентности) сильно $\mu$-измеримых вектор-функций из $A$ в $X$. Для элемента $f\in L_0(\mu,X)$ через $\operatorname{supp} f$ обозначается $\mu$-измеримое множество $\{t\in A:f(t)\ne 0\}$. Объединение $D\cup H$ двух дизъюнктных множеств обозначается $D\sqcup H$. Пусть $E$ – пространство Кете на $(A,\Sigma,\mu)$ и $X$ – банахово пространство. Пространство Кете–Бохнера $E(X)$ на $(A,\Sigma,\mu)$ задается следующим образом: Для вектор-функции $f\in E(X)$ отображение $f\mapsto\|f(\,\cdot\,)\|_X$ является $E$-значной векторной нормой, обозначаемой $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Отметим, что $E(X)$ является пространством Банаха–Канторовича [19; предложение 2.3.7]. В случае, когда $E$ – банахова решетка, решеточно-нормированное пространство $E(X)$ является банаховым пространством относительно нормы
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{E(X)}:=\|\|f(\,\cdot\,)\|_{X}\|_E,\qquad f\in E(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 3. Пусть $(\mathscr X,E)$ – решеточно-нормированное простраснтв, а $W$ – векторное пространство. Оператор $T\colon\mathscr X\to W$ называется ортогонально аддитивным, ( ОАО для краткости), если $T(x+y)=Tx+Ty$ для любых дизъюнктных $x,y\in\mathscr X$. Векторное пространство всех ортогонально аддитивных операторов, действующих из $\mathscr X$ в $W$, обозначается через $\mathscr{OA}(\mathscr X,W)$. Нетрудно показать, что $S(0)=0$ для любого $T\in\mathscr{OA}(\mathscr X,W)$. Рассмотрим частный случай, когда $\mathscr X=E$ и $W=F$ являются векторными решетками. Определение 4. Ортогонально аддитивный оператор $T\colon E\to F$ называется: Множества всех положительных, регулярных и осколочно ограниченных ОАО из $E$ в $F$ обозначаются через $\mathscr{OA}_+(E,F)$, $\mathscr{OA}_r(E,F)$ и $\mathscr P(E,F)$ соответственно. Ясно, что $\mathscr{OA}_r(E,F)$ и $\mathscr P(E,F)$ являются векторными пространствами, а множество $\mathscr{OA}_+(E,F)$ конусом в $\mathscr{OA}_r(E,F)$. В пространстве $\mathscr{OA}_r(E,F)$ существует естественный частичный порядок, заданный следующим образом: $S\leqslant T$, $S,T\in\mathscr{OA}_r(E,F)$, если $(T-S)\in\mathscr{OA}_+(E,F)$. Следующая лемма указывает, что частично упорядоченное векторное пространство $\mathscr{OA}_r(E,F)$ в случае порядковой полноты решетки $F$ является порядково полной векторной решеткой. Лемма 1 [3; теорема 3.6]. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна. Тогда $\mathscr{OA}_r(E,F)=\mathscr P(E,F)$ и $\mathscr{OA}_r(E,F)$ является порядково полной векторной решеткой. Кроме того, для любых $S,T\in\mathscr{OA}_r(E,F)$ и $x\in E$ решеточные операции имеют следующий вид: Рассмотрим один из наиболее известных примеров регулярных ортогонально аддитивных операторов. Определение 5. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ и $(B,\Xi,\nu)$ – пространства с конечными мерами и $(A\times B,\mu\otimes\nu)$ – их произведение. Отображение $K\colon A\times B\times\mathbb R\to\mathbb R$ называется функцией Каратеодори, если выполняются следующие условия: Будем говорить, что $K$ это нормализованная функция Каратеодори, если выполнено $K(s,t,0)= 0$ для $\mu\otimes\nu$-п.в. $(s,t)\in A\times B$. Лемма 2 [10; предложение 3.2.]. Пусть $E$ – порядковый идеал пространства $L_{0}(\nu)$, $K\colon A\times B\times\mathbb R\to\mathbb R$ – нормализованная функция Каратеодори и для любого элемента $f\in E$ неравенство выполняется для почти $s\in A$. Тогда отображение $T\colon E\to L_0(\mu)$, заданное равенством является регулярным ортогонально аддитивным оператором из $E$ в $L_0(\mu)$. Отображение $T\colon E\to L_0(\mu)$, задаваемое 2.1, известно в литературе как интегральный оператор Урысона. Определение 6. Пусть $(\mathscr X,E)$ и $(\mathscr Y,F)$ – решеточно нормированные пространства. Ортогонально аддитивный оператор $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ называется мажорируемым, если существует положительный ОАО $S\colon E\to F$ такой, что неравенство выполняется для любых элементов $x\in\mathscr X$. При этом положительный ортогонально аддитивный оператор $S$ называется мажорантой $T$. Множество всех мажорант оператора $S$ обозначается через $\mathfrak D(T)$. Отметим, что $\mathfrak D(T)$ является частичного упорядоченным множеством относительно порядка, индуцированного из $\mathscr{OA}_r(E,F)$. В случае своего существования наименьший элемент упорядоченного множества $\mathfrak D(T)$ называется точной мажорантой оператора $T$ и обозначается $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Векторное пространство всех мажорируемых ортогонально аддитивных операторов из $\mathscr X$ в $\mathscr Y$ обозначается через $\mathscr{OA}_D(\mathscr X,\mathscr Y)$. Следующая лемма доставляет правило вычисления точной мажоранты мажорируемого ОАО. Лемма 3 [16; теорема 3.20]. Пусть $(\mathscr X,E)$ и $(\mathscr Y,F)$ – решеточно-нормированные пространства, причем пространство $\mathscr X$ разложимо, а векторная решетка $F$ порядково полна. Тогда каждый мажорируемый ортогонально аддитивный оператор $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ обладает точной мажорантой $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. При этом точная мажоранта мажорируемого ОАО $T\colon \mathscr X\to\mathscr Y$ вычисляется по следующим формулам: 3. Локально мажорируемые ОАОВ настоящем разделе мы введем новый класс локально мажорируемых ортогонально аддитивных операторов и изучим их некоторые свойства. Определение 7. Пусть $(\mathscr X,E)$, $(\mathscr Y,F)$ – решеточно-нормированные пространства и $x\in \mathscr X$. Ортогонально аддитивный оператор $T\colon \mathscr X\to\mathscr Y$ называется локально мажорируемым в точке $x$ или $x$-локально мажорируемым, если существует положительный ОАО $S\colon E\to F$ такой, что неравенство выполняется для любого $y\in\mathfrak F_x$. Множество всех $x$-локально мажорируемых ортогонально аддитивных операторов из $\mathscr X$ в $\mathscr Y$ обозначается через $\mathfrak D_x(T)$. Наименьшая относительно порядка, индуцированного из $\mathscr{OA}_r(E,F)$, $x$-локальная мажоранта оператора $T$, в случае ее существования, называется точной $x$-локальной мажорантой $T$ и обозначается $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Ясно, что каждый мажорируемый ОАО $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ является $x$-локально мажорируемым для любого элемента $x\in \mathscr X$. Покажем, что существует ортогонально аддитивный оператор, локально мажорируемый в некоторой точке, но не являющийся мажорируемым. Лемма 4. Существуют пара решеточно-нормированных пространств $(\mathscr X,E)$ и $(\mathscr Y,F)$, элемент $x\in\mathscr X$ и $x$-локально мажорируемый ортогонально аддитивный оператор $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$, не являющийся мажорируемым. Доказательство. В первую очередь заметим, что в частном случае РНП $(E,E)$ и $(F,F)$, где $(E,E)$ – векторная решетка, а $(F,F)$ – порядково полная векторная решетка, ортогонально аддитивный оператор $T\colon E\to F$ мажорируем тогда и только тогда, когда он осколочно ограничен [16; пример 3.4]. Обозначим через $\mathscr E$ векторную решетку почти постоянных последовательностей действительных чисел. Элементы $\mathscr E$ имеют вид Определение 8. Подмножество $\mathscr I$ векторной решетки $E$ называется латеральным идеалом, если выполняются следующие условия: Отметим, что каждый порядковый идеал в $E$ является латеральным идеалом. Типичным примером латерального идеала является множество осколков $\mathfrak F_x$ произвольного элемента $x\in E$. Определение 9. Пусть $E$, $F$ – векторные решетки и $\mathscr I$ – латеральный идеал в $E$. Отображение $T\colon\mathscr I\to F$ называется ортогонально аддитивным, если $T(x\sqcup y)=Tx+Ty$ для любых д изъюнктных $x,y\in\mathscr I$. Ортогонально аддитивное отображение $T\colon\mathscr I\to F$ называется: Лемма 5 [17; теорема 1]. Пусть $E$ и $F$ – векторные решетки, причем решетка $F$ порядково полна, $\mathscr I$ – латеральный идеал в $E$ и $T\colon\mathscr I\to F_+$ – положительное, порядково ограниченное ортогонально аддитивное отображение. Тогда существует положительный ортогонально аддитивный оператор $\widetilde T_{\mathscr I}\colon E\to F$ такой, что $Tx=\widetilde T_{\mathscr I}x$ для любого $x\in \mathscr I$. Оператор $\widetilde T_{\mathscr I}$ (или $\widetilde T$ для краткости) называется минимальным продолжением (относительно латерального идеала $\mathscr I$ положительного ортогонально аддитивного отображения $T\colon\mathscr I\to F$. Кроме того, для любого $x\in E$. Определение 10. Пусть $(\mathscr X,E)$ – решеточно-нормированное пространство и $x\in\mathscr X$. Векторная норма $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \colon\mathscr X\to E$ называется $x$-локально разложимой, если для любого $y\in\mathfrak F_x$ разбиение $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| y |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =e_1\sqcup e_2$ влечет существование $y_1,y_2\in\mathfrak F_x$ таких, что $y=y_1\sqcup y_2$, $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| y_1 |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =e_1$ и $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| y_2 |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =e_2$. Лемма 6. Существует решеточно-нормированное пространство $(\mathscr X,E)$ и $x\in\mathscr X$ такие, что $(\mathscr X,E)$ является $x$-локально разложимым, но неразложимым РНП. Доказательство. Возьмем разложимое решеточно-нормированное пространство $(\mathscr Y, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr Y},F)$ и $y\in\mathscr Y$. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ – отрезок $[0,1]$, $\Sigma$ – $\sigma$-алгебра измеримых по Лебегу множеств отрезка $[0,1]$, $\mu$ – мера Лебега на $[0,1]$, $X$ – банахово пространство и $v\in X$. Возьмем сильно измеримую вектор-функцию $\xi\in L_0(\mu,X)$, заданную формулой и рассмотрим одномерное подпространство $\Xi$ в $\xi\in L_0(\mu,X)$, порожденное векторфункцией $\xi\in L_0(\mu,X)$. Отображение $\varphi\colon\Xi\to L_0(A,\Sigma,\mu)$, заданное правилом является $L_0(A,\Sigma,\mu)$-значной векторной нормой на $\Xi$. Покажем, что векторная норма $\varphi\colon\Xi\to L_0(A,\Sigma,\mu)$ неразложима. Действительно, возьмем дизъюнктное разбиение $A=A_1\sqcup A_2$, где $A_1=[0,1/2)$ и $A_2=[1/2,1]$. Тогда можем написать где $e_1=\|v\|_X1_{A_1}$ и $e_2=\|v\|_X1_{A_2}$. Ясно, что дизъюнктного разбиения $\xi=\xi_1\sqcup \xi_2$ с требуемыми свойствами $\varphi(\xi_1)=e_1$ и $\varphi(\xi_2)=e_2$ в $\Xi$ не существует. Пусть теперь $(\mathscr X,E)$ – прямая сумма решеточно-нормированных пространств $(\mathscr Y, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| _{\mathscr Y},F)$ и $(\Xi,\varphi,L_0(A,\Sigma,\mu))$. Тогда векторная норма $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \cdot |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \colon\mathscr Y\oplus\Xi\to F\oplus L_0(A,\Sigma,\mu)$, заданная формулой Следующая теорема является первым основным результатом статьи. Она доставляет достаточные условия существования локальной точной мажоранты ортогонально аддитивного оператора и указывает формулу для ее вычисления. Теорема 1. Пусть $(\mathscr X,E)$, $(\mathscr Y,F)$ – решеточно-нормированные пространства и $x\in\mathscr X$, векторная норма $x$-локально разложима, а векторная решетка $F$ порядково полна. Тогда для каждого $x$-локально мажорируемого ортогонально аддитивного оператора $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ существует точная $x$-локальная мажоранта $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Кроме того, $x$-локальная точная мажоранта $x$-локально мажорируемого ОАО $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ может быть вычислена по формулам: Доказательство. Сначала мы покажем, что множество $\mathfrak D_x(T)$ является направленным вниз. Действительно, возьмем $S_1,S_2\in\mathfrak D_x(T)$ и $e\in\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| }$. В силу $x$-локальной разложимости найдется $y\in \mathfrak F_x$ такой, что $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| y |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =e$. Пусть теперь $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| y |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =f_1\sqcup f_2$. Опять, воспользовавшись $x$-локальной разложимостью $\mathscr X$, найдем $h,z\in\mathscr X$ такие, что $y=h\sqcup z$, $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| h |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =f_1$, $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| z |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =f_2$: Следствие 1. Пусть $(\mathscr X,E)$, $(\mathscr Y,F)$ и $x$ такие же, как в теореме 1. Тогда ортогонально аддитивный оператор $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ является $x$-локально мажорируемым тогда и только тогда, когда множество Доказательство. Необходимость вышеприведенного условия очевидна. Покажем достаточность. Предположим, что множество $G_x$ порядково ограниченно в $F$. Тогда, используя те же аргументы, что и при доказательстве теоремы 1, зададим ортогонально аддитивное отображение $R\colon\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| }\to F$. Остается заметить, что что минимальное продолжение $\widetilde R\in\mathscr{OA}_+(E,F)$ будет точной локальной мажорантой оператора $T$ в точке $x$. Замечание 1. Ясно, что мажорируемость ортогонально аддитивного оператора $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ влечет его $x$-локальную мажорируемость для всех $x\in\mathscr X$, причем $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =\sup_{x\in\mathscr X} |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $, где супремум рассматривается в порядково полной векторной решетке $\mathscr{OA}_r(E,F)$. Представляет интерес следующий вопрос – верно ли обратное, что из $x$-локальной мажорируемости оператора $T$ в каждой точке $x\in\mathscr X$ следует его мажорируемость? 4. Осколочно компактные ОАОВ настоящем разделе мы рассмотрим осколочно компактные ОАО в решеточнонормированных пространствах. В контексте векторных решеток данный класс операторов был введен в работе [22]. Позднее ряд интересных результатов об осколочно компактных ОАО был получен в работах [4], [7], [15], [23]. Определение 11. Пусть $(\mathscr X,E)$ – решеточно-нормированное пространство и $F$ – нормированное пространство. Ортогонально аддитивный оператор $T\colon\mathscr X\to F$ называется: В силу того, что множество $\mathfrak F_x$ порядково ограниченно в $\mathscr X$ элементом $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $, выводим, что каждый порядково компактный ОАО является осколочно компактным. Лемма 7. Пусть $E$ – векторная решетка, $F$ – банахова решетка с порядково непрерывно нормой и $(G_{\alpha})_{\alpha\in A}$ порядково ограниченная возрастающая сеть осколочно компактных положительных ОАО из $E$ в $F$. Тогда существует $G\in\mathscr{OA}_r(E,F)$ такой, что $G=\sup_{\alpha\in A}G_\alpha$ и $G$ является осколочно компактным оператором. Доказательство. Так как векторная решетка $F$ порядково полна [20; следствие 4.10], в силу леммы 1 операторная решетка $\mathscr{OA}_r(E,F)$ также порядково полна и оператор $G$ определен корректно. Установим его осколочную компактность. Возьмем произвольные $e\in E$ и $\varepsilon>0$. Пользуясь порядковой непрерывностью нормы $\|\cdot\|_F$, найдем индекс $\alpha_0$ такой, что выполняется неравенство $\|G-G_{\alpha_0}(x)\|<\varepsilon/3$. Отметим, что в силу положительности оператора $G-G_{\alpha_0}$ неравенство Лемма 8 [23; теорема 3.9]. Пусть $E$ – векторная решетка и $F$ – банахова решетка с порядково непрерывной нормой. Тогда векторное пространство всех осколочно компактных ОАО из $E$ в $F$ является полосой в порядково полной векторной решетке $\mathscr{OA}_r(E,F)$. Замечание 2 [1; теорема 3.5]. Пусть $(A,\Sigma,\mu)$ и $(B,\Theta,\nu)$ пространства с конечными мерам, $E$ и $F$ пространства Кете на $A$ и $B$ соответственно, причем норма $\|\cdot\|_F$ порядково непрерывна. Тогда каждый порядково ограниченный интегральный оператор Урысона $T\colon E\to F$ является порядково компактным и, следовательно, осколочно компактным. Следующая теорема является вторым основным результатом статьи. Теорема 2. Пусть $(\mathscr X,E)$ – разложимое РНП, $F$ – банахова решетка с порядково непрывной нормой, $(\mathscr Y,F)$ – банахово пространство со смешанной нормой и $T\colon\mathscr X\to \mathscr Y$ – осколочно компактный мажорируемый ОАО. Тогда точная мажоранта $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \colon E\to F$ также осколочно компактна. Доказательство. Точная мажоранта $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \colon E\to F$ мажорируемого ортогонально аддитивного оператора $T\colon\mathscr X\to\mathscr Y$ существует в силу порядковой полноты банаховой решетки $F$ и разложимости векторной нормы в $\mathscr X$. Покажем осколочную компактность оператора $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Доказательство проведем в несколько этапов. На первом этапе мы установим, что осколочную компактность операторов вида $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $, для всех $x\in\mathscr X$. Пусть $x\in\mathscr X$ и $e\in\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| }$ – произвольный осколок элемента $x$. В силу теоремы 1 существует $x$-локальная точная мажоранта $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $, которая вычисляется по формуле (3.1). Заметим, что множество Воспользовавшись осколочной компактностью оператора $T$ для каждого индекса $k\in\{1,\dots,n\}$, найдем конечное подмножество $G_k$ множества $\mathfrak F_{v_k}$ такое, что $T(G_k)$ является $\varepsilon/(3n)$-сетью в $T(\mathfrak F_{v_k})$. Таким образом, для любого $z\in\mathfrak F_{v_k}$ найдется элемент $w\in G_k$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\|Tz-Tw\|_{\mathscr Y} =\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz-Tw |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \|_F<\frac{\varepsilon}{3n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим по определению
$$
\begin{equation*}
|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| G_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| :=\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| w |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| :w\in G_k\},\quad k\in\{1,\dots,n\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда семейство $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| G_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $ также является конечным подмножеством $\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| v_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| }$ для любого индекса $k\in\{1,\dots,n\}$. Покажем, что множество
$$
\begin{equation*}
\mathscr D_e:=\biggl\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f:f =\bigsqcup_{i=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| w_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| :w_k\in G_k,\, k\in\{1,\dots,n\}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
является искомой $\varepsilon$-сетью для $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (\mathfrak F_e)$. Возьмем произвольный элемент $q\in\mathfrak F_e$. Тогда
$$
\begin{equation*}
e=(e-q)\sqcup q=\bigsqcup_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| v_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| .
\end{equation*}
\notag
$$
Используя лемму о двойном разбиении в векторной решетке и разложимость векторной нормы в $\mathscr X$, найдем конечное семейство $\{z_1,\dots,z_n\}$ элементов $\mathfrak F_x$ таких, что $v_k=(v_k-z_k)\sqcup z_k$ для любых $k\in\{1,\dots,n\}$, где
$$
\begin{equation*}
q=\bigsqcup_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| z_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| ,\qquad e-q=\bigsqcup_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| v_k-z_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| .
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $z_k\in\mathfrak F_{v_k}$ выполнено для всех $k\in\{1,\dots,n\}$. Тогда найдется семейство $\{w_1,\dots,w_n\}$, где $w_k\in G_k$, такое, что $\|Tz_k-Tw_k\|_{\mathscr Y}<\varepsilon/(3n)$ для любого $k\in\{1,\dots,n\}$. Положим $f=\bigsqcup_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| w_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Имеют место следующие оценки:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tv_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F &\geqslant\biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F, \\ \biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tv_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F &\geqslant\biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tw_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Докажем первое из вышеприведенных неравенств; второе доказывается аналогично. Так как справедливы оценки
$$
\begin{equation*}
|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \geqslant 0,\qquad |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (e-q) -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T(v_k-z_k) |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
имеют место следующие формулы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tv_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| = |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| ((e-q)\sqcup q) -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T((v_k-z_k)\sqcup z_k) |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \\ &\qquad= |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (e-q) + |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T(v_k-z_k)+Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \\ &\qquad\geqslant |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (e-q) + |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q -\biggl(\,\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T(v_k-z_k) |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| +\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr) \\ &\qquad= |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (e-q) -\sum_{i=1}^k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T(v_k-z_k) |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| + |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T(z_k) |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \geqslant 0 \\ &\qquad\Longrightarrow\quad |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tv_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \geqslant |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T(z_k) |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Требуемое неравенство следует теперь из монотонности нормы $\|\cdot\|_F$. Далее можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f\|_F \\ &\qquad=\biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| +\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tw_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| +\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tw_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F \\ &\qquad\leqslant\biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q -\sum_{i=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F +\biggl\|\sum_{k=1}^n( |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tw_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| )\biggr\|_F +\biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tw_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F \\ &\qquad\leqslant\biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tv_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F +\biggl\|\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tz_k-Tw_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F +\biggl\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e -\sum_{k=1}^n |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| Tv_k |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \biggr\|_F \\ &\qquad\leqslant\frac{\varepsilon}{3}+\sum_{k=1}^n\|Tz_k-Tw_k\|_{\mathscr Y} +\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым показано, что семейство $\mathscr D_e$ является $\varepsilon$-сетью $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (\mathfrak F_e)$, где $e$ – произвольный осколок $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Пусть теперь $e$ – произвольный элемент $E$. Согласно теореме 1 можем написать
$$
\begin{equation*}
|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e =\sup\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f:f \in\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| } \cap\mathfrak F_e\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что существует конечная $\varepsilon$-сеть в $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (\mathfrak F_e)$. Отметим, что множество
$$
\begin{equation*}
\mathscr B(e) =\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f:f\in\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| } \cap\mathfrak F_e\}
\end{equation*}
\notag
$$
направлено вверх. Действительно, возьмем $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f_1, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f_2\in\mathscr B(e)$. Согласно [6; утверждение 3.4]) найдется элемент $f'\in\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| }\cap\mathfrak F_e$ такой, что $f_1\sqsubseteq f'$ и $f_2\sqsubseteq f'$. Тогда
$$
\begin{equation*}
|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f_1\leqslant |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f',\qquad |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f_1\leqslant |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f'.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу порядковой непрерывности нормы $\|\cdot\|_F$ найдется элемент $f\in\mathfrak F_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| }\cap\mathfrak F_e$ такой, что $\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f\|_F<\varepsilon/3$. В силу установленного выше существует конечная $\varepsilon/2$-сеть $\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_1,\dots, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_k\}$ в $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (\mathfrak F_f)$. Покажем, что $\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_1,\dots, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_k\}$ является $\varepsilon$-сетью $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (\mathfrak F_e)$. Возьмем произвольный $q\in\mathfrak F_e$. Применяя [23; предложение 3.11], найдем осколки $q_1$ и $q_2$ элемента $q$, такие что $q_1\sqsubseteq f$ и $q_2\sqsubseteq (e-f)$. Так как $q_1\in \mathfrak F_f$, среди набора $\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_1,\dots, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_k\}$ найдется $g_{i_0}$, $i_0\in\{1,\dots,k\}$, такой, что $\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q_1 - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_{i_0}\|<\varepsilon/2$. Кроме того, в силу монотонности положительного ортогонально аддитивного оператора относительно латерального порядка справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q_2 &\leqslant |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (e-f) = |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f \\ &\Longrightarrow\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q_2\|_F \leqslant\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| e - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| f\|_F<\frac{\varepsilon}{2}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь можем написать
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_{i_0}\|_F &=\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| (q_1\sqcup q_2) - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_{i_0}\|_F \\ &\leqslant\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q_1 - |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| g_{i_0}\|_F +\| |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| q_2\|_F <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом установлена осколочная компактность оператора $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $ для произвольного $x\in\mathscr X$. Положим $\mathscr H:=\{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| :x\in\mathscr X\}$. Как было отмечено в замечании 1, множество $\mathscr H$ порядково ограниченно в $\mathscr{OA}_r(E,F)$ и $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| =\sup\mathscr H$. Упорядочим множество $\mathscr P(\mathscr H)$ всех конечных подмножеств $\mathscr H$ по включению и рассмотрим сеть
$$
\begin{equation*}
S_\alpha:=\bigvee_{ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| \in\alpha} |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T_x |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| ,\qquad \alpha\in\mathscr P(\mathscr H).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда в силу леммы 8 семейство $(S_\alpha)_{\alpha\in\mathscr P(\mathscr H)}$ образуют возрастающую сеть положительных осколочно компактных ортогонально аддитивных операторов, порядково сходящуюся к $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $. Применяя теперь лемму 7, получаем осколочную компактность оператора $ |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| T |\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}|\mspace{-4.5mu}| $, завершая доказательство теоремы. Замечание 3. Частные случаи теоремы 2 были установлены в [4; теорема 3] и [15; теорема 1]. Вопрос о том, влечет ли осколочная компактность точной мажоранты осколочную компактность мажорируемого оператора, остается открытым. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DzhIta23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|