| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Возмущения негиперболических алгебраических автоморфизмов двумерного тора В. З. Гринес, Д. И. Минц, Е. Е. Чилина Национальный исследовательский университет – Высшая школа экономики в Нижнем Новгороде
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070209 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и формулировка результатовПусть $M^n$ – гладкое замкнутое (компактное без края) связное ориентируемое $n$-многообразие, $n\geqslant 1$, и $f$ – гомеоморфизм (диффеоморфизм) на $M^n$. Через $\Omega_f$ обозначим неблуждающее множество диффеоморфизма $f$. Если $p\in \Omega_f$ является периодической гиперболической точкой диффеоморфизма $f$, то обозначим устойчивое и неустойчивое многообразия точки $p$ через $W^{\mathrm s}_p$ и $W^{\mathrm u}_p $ соответственно. Напомним, что диффеоморфизм $f$ называется диффеоморфизмом Морса–Смейла, если множество $\Omega_f$ конечно и гиперболично и многообразия $W^{\mathrm s}_p$, $W^{\mathrm u}_q$ пересекаются трансверсально для любых периодических точек ${p},{q}\in\Omega_f$. Если $p$, $q$ – различные периодические седловые точки диффеоморфизма $f$, для которых $W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p\neq\varnothing$, то пересечение $W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p$ называется гетероклиническим. При этом в случае $\dim W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p=0$ пересечение $W^{\mathrm s}_q\cap W^{\mathrm u}_p$ является счетным множеством и каждая точка этого множества называется гетероклинической точкой, а орбита гетероклинической точки называется гетероклинической орбитой. Назовем гетероклиническим множеством диффеоморфизма $f$ множество всех его гетероклинических точек. Согласно работе [1] если диффеоморфизм Морса–Смейла замкнутой ориентируемой поверхности индуцирует непериодический автоморфизм фундаментальной группы, то его блуждающее множество содержит непустое множество гетероклинических орбит. В работе [2] в классах диффеоморфизмов двумерного тора, которые действуют непериодически и негиперболически в фундаментальной группе, построены примеры в виде диффеоморфизмов Морса–Смейла с ориентируемым гетероклиническим пересечением. Пусть $n=2$, $f \colon M^2 \to M^2$ – диффеоморфизм Морса–Смейла и $p$ – его седловая периодическая точка. Обозначим через $W^{\nu,i}_p$, $i\in\{1,2\}$, $\nu\in\{u,s\}$, компоненту связности множества $W^{\nu }_p\setminus\{p\}$. Гетероклиническое множество диффеоморфизма $f \colon M^2 \to M^2$ называется ориентируемым (согласно [3] и [4; п. 1.2]), если для каждой пары седловых периодических точек $p$, $q$ и любых $i,j\in\{1,2\}$, для которых $W^{\mathrm u,j}_p\cap W^{\mathrm s,i}_q\neq\varnothing$, индекс пересечения кривых $W^{\mathrm u,j}_p$ и $W^{\mathrm s,i}_q$ один и тот же в любой точке $z\in W^{\mathrm u,j}_p\cap W^{\mathrm s,i}_q$. Представим двумерный тор $\mathbb T^2$ как факторгруппу группы $\mathbb R^2$ по целочисленной решетке $\mathbb Z^2\colon \mathbb T^2 = \mathbb R^2/\mathbb Z^2$ с естественной проекцией $p_2\colon \mathbb R^2\to \mathbb T^2$ и обозначим через $[z]_{p_2}$ смежный класс группы $\mathbb R^2 $ по группе $\mathbb Z^2 $, содержащий точку $z\in\mathbb R^2 $. Пусть
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $A$ – целочисленная квадратная матрица второго порядка и $\det A=\pm1$. Тогда отображение $\widehat A \colon \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$, заданное формулой является алгебраическим автоморфизмом двумерного тора. Согласно [5] алгебраический автоморфизм $\widehat A$ называется гиперболическим, если собственные значения матрицы $A\in \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z})$ не равны по модулю единице. В противном случае автоморфизм $\widehat A$ будем называть негиперболическим. Согласно [6; лемма 3] и [7; разделы 2 и 3] каждый класс сопряженности негиперболических алгебраических автоморфизмов двумерного тора посредством алгебраического автоморфизма задается в точности одной из следующих матриц:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_1(m)=\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1\end{pmatrix} , \quad A_2(m)=\begin{pmatrix} -1 & m \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad m\in\{0,1,2,\dots\}, \\ A_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad A_4=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \\ A_5=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}, \qquad A_6=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}, \qquad A_7=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1& 1 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что отличный от тождественного гомеоморфизм $f$ замкнутой ориентируемой поверхности $M^2$ называется периодическим, если существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $f^n=\mathrm{id}$. Наименьшее из таких $n$ называется периодом $f$. Матрица $A_1(0)$ индуцирует тождественное отображение двумерного тора. Матрицы $A_2(0)$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$, $A_7$ индуцируют периодические автоморфизмы двумерного тора, а матрицы $A_1(m)$ и $A_2(m)$ при $m\neq 0$ индуцируют непериодические автоморфизмы двумерного тора. Хорошо известно (см. [8; теорема 1]), что гиперболические алгебраические автоморфизмы двумерного тора являются структурно устойчивыми отображениями. Негиперболические автоморфизмы двумерного тора не являются структурно устойчивыми отображениями, поэтому представляет интерес изучение возмущений таких автоморфизмов. Рассмотрим однопараметрические семейства $M_{\varepsilon}$ и $L_{\varepsilon}$ диффеоморфизмов двумерного тора такие, что при $\varepsilon=0$ они являются тождественными отображениями, а при $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$ являются сдвигами на единицу времени потоков с гиперболическими состояниями равновесия, фазовые портреты которых в фундаментальной области действия группы $\mathbb Z^2$ на $\mathbb R^2$ при $\varepsilon\in(-1,0)$ представлены на рис. 1, 2. При $\varepsilon\in(0,1)$ их фазовые портреты получаются из представленных на рис. 1, 2 обращением времени в обратную сторону. Построение таких семейств описано в п. 2.2. Введем однопараметрические семейства диффеоморфизмов следующими формулами:
$$
\begin{equation*}
{\mathcal M}_{\varepsilon,A} = M_\varepsilon \circ \widehat A, \qquad {\mathcal L}_{\varepsilon,A} = L_\varepsilon \circ \widehat A,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat A$ – автоморфизм двумерного тора, индуцированный матрицей $A\in \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z})$. Теорема 1. Для любого $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$ верны следующие утверждения: 2. Вспомогательные сведения и результатыПусть $f$ – диффеоморфизм многообразия $M^n$ и $p$ – его гиперболическая периодическая точка. Обозначим через $W^{\mathrm s}_{p,\mathrm{loc}}$ (соответственно $W^{\mathrm u}_{p,\mathrm{loc}}$) локальное устойчивое (соответственно неустойчивое) многообразие точки $p$, которое представляет собой некоторую открытую окрестность точки $p$ во внутренней метрике многообразия $W^{\mathrm s}_{p}$ (соответственно $W^{\mathrm u}_{p}$). Пусть $X$, $Y$ – подмногообразия $Z$, трансверсально пересекающиеся в точке $z$, и $\dim Z=\dim X+\dim Y$. Если $X$, $Y$, $Z$ ориентированы в точке $z\in (X\cap Y)$, то индекс пересечения подмногообразий $X$ и $ Y$ в этой точке определяется следующим образом. Пусть $\tau_1$, $\tau_2$ – ориентирующие касательные реперы (наборы векторов) к $X$, $Y$, соответственно, в точке $z$. Индекс в точке $z$ равен $+1$, если репер $\tau=(\tau_1, \tau_2)$ является ориентирующим для $Z$ в точке $z$, и равен $-1$ в противном случае. Пусть $\overline X$ – накрывающее пространство для $X$ и $p\colon\overline X\to X $ – его накрытие. Группой скольжений накрытия $p\colon\overline X\to X $ называется группа всех гомеоморфизмов $h\colon\overline X\to \overline X $, для которых $p\circ h=p$ (см., например, [9; определение 10.63]). Множества $\overline X_1\subset\overline X$ и $\overline X_2\subset\overline X$ называются конгруэнтными, если существует гомеоморфизм $h$ из группы скольжений накрытия $p\colon\overline X\to X $ такой, что $h(\overline X_1)=\overline X_2$. Группа скольжений накрытия $p_2\colon \mathbb R^2\to\mathbb T^2$ состоит из гомеоморфизмов вида $h_{a,b}(x,y)=(x+a,y+b)$, $a,b\in\mathbb Z$. Обозначим ее через $G_{p_2}$. Пусть $a\in[0,1)$. Обозначим через $ \mathbb S^1_{x=a}$ (соответственно $\mathbb S^1_{y=a}$) окружность на двумерном торе $\mathbb T^2$, которая является образом относительно естественной проекции $p_2\colon \mathbb R^2 \to \mathbb T^2$ прямой $x=a+k$ (соответственно $y=a+k$), где $k\in\mathbb Z$. 2.1. Динамика непериодических негиперболических автоморфизмовАвтоморфизмы $\widehat A_1(m)$ и $\widehat A_2(m)$ при $m\neq0$ не являются периодическими отображениями. Каждая окружность $\mathbb S^1_{y=\gamma}$, $\gamma\in [0,1)$, является инвариантной относительно действия $\widehat A_1(m)$. Ограничение отображения $\widehat A_1(m)$ на каждую окружность $\mathbb S^1_{y=\gamma}$ действует как поворот на некоторый угол $\theta_{\gamma}$. Инвариантными относительно действия отображения $\widehat A_2(m)$ являются окружности $\mathbb S^1_{y=0}$, $\mathbb S^1_{y=1/2}$ и объединения окружностей $\mathbb S^1_{y=\gamma}\cup\mathbb S^1_{y=1-\gamma}$, $ \gamma\in (0,1/2)$. Ограничение второй степени отображения $\widehat A_2(m)$ на каждую окружность $\mathbb S^1_{y=\gamma}$ действует как поворот на некоторый угол $\theta_{\gamma}$. 2.2. Построение семейств $M_\varepsilon$ и $L_\varepsilon$Зададим функцию $ h_\varepsilon(z)\colon \mathbb R\to \mathbb R$, принадлежащую классу гладкости $C^1$, по следующему правилу:
$$
\begin{equation*}
h_\varepsilon(z):= \begin{cases} k + \dfrac {1}{\pi} \operatorname{arctg}\biggl(\dfrac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon} tg(\pi z)\biggr),&z\in\biggl(k-\dfrac{1}{2},k+\dfrac{1}{2}\biggr), \\ k+\dfrac{1}{2}, & z=k+\dfrac{1}{2}, \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
где1 $\varepsilon\in(-1,1)$. При $\varepsilon=0$ функция $h_\varepsilon(z)$ имеет вид $h_\varepsilon(z)=z$. При $\varepsilon\in(-1,0)$ и $\varepsilon\in(0,1)$ график функции $h_\varepsilon(z)$ изображен на рис. 3 и рис. 4 соответственно. Так как функция $h_\varepsilon(z)$ удовлетворяет условию $h_\varepsilon(z+k)=h_\varepsilon(z)+k$, $k\in\mathbb Z$, то она индуцирует диффеоморфизмы окружности $\varphi_\varepsilon\colon \mathbb S^1 \to \mathbb S^1$ и $\psi_\varepsilon\colon \mathbb S^1 \to \mathbb S^1$, зависящие от параметра $\varepsilon\in(-1,1)$ и заданные формулами
$$
\begin{equation*}
\varphi_\varepsilon([ z]_{p_1})= [h_\varepsilon (z)]_{p_1}, \qquad \psi_\varepsilon([ z]_{p_1})= \biggl[\frac{1}{2} h_\varepsilon(2z)\biggr]_{p_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что в работе [10] функция $\varphi_{\varepsilon}$ использовалась для построения возмущений гиперболических алгебраических автоморфизмов. При $\varepsilon=0$ отображения $\varphi_\varepsilon$ и $\psi_\varepsilon$ являются тождественными. При $\varepsilon \in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon \in(0,1)$) непосредственно проверяется, что неблуждающее множество диффеоморфизма $\varphi_\varepsilon$ гиперболично и состоит из стока $\omega=p_1(1/2)$ (соответственно $\omega=p_1(0)$) и источника $\alpha=p_1(0)$ (соответственно $\alpha=p_1(1/2)$), и $\varphi_\varepsilon$ – градиентно-подобный диффеоморфизм, фазовый портрет которого изображен на рис. 5. Аналогично, при $\varepsilon \in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon \in(0,1)$) неблуждающее множество диффеоморфизма $\psi_\varepsilon$ гиперболично и состоит из двух стоков: $\omega_1=p_1(1/4)$ и $\omega_2=p_1(3/4)$ (соответственно $\omega_1=p_1(0)$ и $\omega_2=p_1(1/2)$), и двух источников: $\alpha_1=p_1(0)$ и $\alpha_2=p_1(1/2)$ (соответственно $\alpha_1=p_1(1/4)$ и $\alpha_2=p_1(3/4)$), и $\psi_\varepsilon$ – градиентно-подобный диффеоморфизм, фазовый портрет которого изображен на рис. 6. Определим диффеоморфизмы двумерного тора $M_\varepsilon$ и $L_\varepsilon$ как прямые произведения: $M_\varepsilon = \varphi_\varepsilon \times \varphi_\varepsilon$, $L_\varepsilon = \psi_\varepsilon \times \varphi_\varepsilon$. При $\varepsilon=0$ отображения $M_\varepsilon$ и $L_\varepsilon$ являются тождественными. При $\varepsilon\in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon\in(0,1)$) диффеоморфизм $M_\varepsilon$ по построению является градиентно-подобным диффеоморфизмом, неблуждающее множество $\Omega_{M_\varepsilon}$ которого состоит из источника $\alpha=p_2(0,0)$ (соответственно $\alpha=p_2(1/2,1/2)$), стока $\omega=p_2(1/2,1/2)$ (соответственно $\omega=p_2(0,0)$) и двух седел: $\sigma_1=p_2(0,1/2)$ и $\sigma_2=p_2(1/2,0)$. Аналогично, при $\varepsilon\in(-1,0)$ (соответственно $\varepsilon\in(0,1)$) диффеоморфизм $L_\varepsilon$ является градиентно-подобным диффеоморфизмом, неблуждающее множество $\Omega_{L_\varepsilon}$ которого состоит из следующих элементов: двух источников: $\alpha_1=p_2(0,0)$ и $\alpha_2=p_2(1/2,0)$ (соответственно $\alpha_1=p_2(1/4,1/2)$ и $\alpha_2=p_2(3/4,1/2)$); двух стоков: $\omega_1=p_2(1/4,1/2)$ и $\omega_2=p_2(3/4,1/2)$ (соответственно $\omega_1=p_2(0,0)$ и $\omega_2=p_2(1/2,0)$); четырех седел: $\sigma_1=p_2(1/4,0)$, $\sigma_2=p_2(3/4,0)$, $\sigma_3=p_2(0,1/2)$ и $\sigma_4=p_2(1/2,1/2)$. 3. Доказательство теоремы 1Непосредственно проверяется, что при $\varepsilon\in(-1,0)$ отображения $h_\varepsilon(z)$ и $h_\varepsilon^{-1}(z)$ переводят в себя любой интервал вида $(k/2,(k+1/2)$, $k\in\mathbb{N}$, и являются на нем сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами. Далее эти свойства понадобятся в ходе доказательства теоремы. Докажем утверждения теоремы 1 для диффеоморфизмов семейства ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ при $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)$. Утверждения теоремы 1 для диффеоморфизмов семейства ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ при $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(0,1)$, а также для диффеоморфизмов семейств $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(m)}$ при $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$, $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(m)}$ и $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(m)}$ при $m=2l-1$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)\cup(0,1)$ доказываются аналогично. Везде далее, где не оговорено противное, будем полагать $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, и $\varepsilon\in(-1,0)$. Разобьем доказательство на три основных этапа, первый из которых разобьем еще на два шага. Этап $1$. Докажем, что диффеоморфизм ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ является диффеоморфизмом Морса–Смейла. Для этого сначала докажем, что его неблуждающее множество конечно и гиперболично, а затем, что инвариантные многообразия его седловых точек пересекаются трансверсально. Шаг $1.1$. Докажем, что неблуждающее множество $\Omega_{{\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}}$ диффеоморфизма ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ конечно и гиперболично. Отображение $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ представимо в виде
$$
\begin{equation*}
{\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}([(x,y)]_{p_2}) =[(h_\varepsilon(x+my),h_\varepsilon(y))]_{p_2} =\varphi([x+my]_{p_1})\times \varphi([y]_{p_1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как вторая компонента прямого произведения $\varphi([x+my]_{p_1})\times \varphi([y]_{p_1})$ является отображением $\varphi$ и неблуждающее множество диффеоморфизма $\varphi$ состоит из гиперболического источника $p_1(0)$ и гиперболического стока $p_1(1/2)$, то неблуждающие точки диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ находятся на окружностях $\mathbb S^1_{y=0}$ и $\mathbb S^1_{y=1/2}$. Ограничение отображения $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ на эти окружности действует как диффеоморфизм ${M}_{\varepsilon}$. Поэтому неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма ${M}_{\varepsilon}$. Вычисление матрицы Якоби отображения $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ показывает, что неблуждающее множество $\Omega_{ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}}$ состоит из гиперболического источника $\alpha=p_2(0,0)$, гиперболического стока $\omega=p_2(1/2,1/2)$ и двух гиперболических седел: $\sigma_1=p_2(0,1/2)$ и $\sigma_2=p_2(1/2,0)$. Шаг 1.1 закончен. Шаг $1.2$. Докажем, что инвариантные многообразия седловых точек диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ пересекаются трансверсально. Для $n\in\mathbb N$ введем следующие последовательности:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x_n= h_{\varepsilon}(x_{n-1}), \\ y_n= h_{\varepsilon}(y_{n-1}) \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность точек орбиты отображения $ \overline M_{\varepsilon}\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, которое является накрывающим для диффеоморфизма $M_{\varepsilon}$;
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x_n = x_{n-1}+my_{n-1}, \\ y_n = y_{n-1} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline A_1(m)\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, которое является накрывающим для автоморфизма $\widehat A_1(m)$;
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x_n = x_{n-1}+my_{n-1}-\dfrac{m}{2}, \\ y_n = y_{n-1} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline A^*_1(m)\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, которое также является накрывающим для автоморфизма $\widehat A_1(m)$. Рассмотрим накрывающие для диффеоморфизма ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ отображения
$$
\begin{equation*}
\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, \qquad \overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^* \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2,
\end{equation*}
\notag
$$
заданные формулами
$$
\begin{equation*}
\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}= \overline M_{\varepsilon} \circ \overline A^*_1(m), \qquad \overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^*= \overline M_{\varepsilon} \circ \overline A_1(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Точка $\overline\sigma_1$ с координатами $(0,1/2)$ является неподвижной седловой точкой диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, а точка $\overline\sigma_2$ с координатами $(1/2,0)$ является неподвижной седловой точкой диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^*$. Далее под $W_{\overline\sigma_1}^{\mathrm s}$ будем понимать устойчивое многообразие точки $\overline\sigma_1$ относительно диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, а под $W_{\overline\sigma_2}^{\mathrm u}$ будем понимать неустойчивое многообразие точки $\overline\sigma_2$ относительно диффеоморфизма $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^*$. Рассмотрим точку $\overline\sigma_1$. В точке $\overline\sigma_1$ собственные значения матрицы Якоби отображения $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ равны
$$
\begin{equation*}
\lambda_{1}=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}, \quad \lambda_{2}=\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}, \qquad \text{где}\quad |\lambda_{1}|>1, \quad |\lambda_{2}|<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Непосредственно проверяется, что касательная к многообразию $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ в точке $\overline\sigma_1$ задается функцией При рассматриваемых значениях $ \varepsilon \in (-1, 0)$ тангенс угла наклона касательной в точке $\overline\sigma_1$ принимает отрицательные значения. Отображение $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}\in C^1$, следовательно, по теореме Адамара–Перрона (см., например, [5; теорема 6.2.8]) локальное устойчивое многообразие $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ седловой точки $\overline\sigma_1$ является гладкой кривой класса $C^1$. Из определения гладкой кривой и отрицательности тангенса угла наклона касательной к кривой $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ в точке $\overline\sigma_1$ следует, что кривая $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ в координатах $xOy$ является графиком некоторой гладкой, строго убывающей функции (см. рис. 7). Рассмотрим отображение $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}$, которое является обратным к $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ и задано формулой $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}=\overline A^*_1(m)^{-1} \circ \overline M_{\varepsilon}^{-1} $. Для $n\in\mathbb N$ введем следующие последовательности:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x_n= h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1}), \\ y_n= h_{\varepsilon}^{-1}(y_{n-1}) \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline M_{\varepsilon}^{-1}$;
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x_n = x_{n-1}-my_{n-1}+\dfrac{m}{2}, \\ y_n = y_{n-1} \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline A^*_1(m)^{-1}$. При этом
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x_n= h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})-m h_{\varepsilon}^{-1}(y_{n-1}) + \dfrac{m}{2}, \\ y_n=h_{\varepsilon}^{-1}(y_{n-1}) \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
– последовательность точек орбиты отображения $\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}$. Введем на кривой $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ параметризацию $(x(t),y(t))$ так, что $\dot x>0$; тогда $\dot y<0$. Диффеоморфизм $\overline M_{\varepsilon}^{-1}$ есть произведение сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов $h_{\varepsilon}$ прямой, а потому для образа кривой $(X(t),Y(t))=(X(x(t)),Y(y(t)))$ будем иметь
$$
\begin{equation*}
\dot X=\biggl(\frac{dX}{dx}\biggr)\dot x>0, \qquad \dot Y=\biggl(\frac{dY}{dy}\biggr)\dot y<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если же
$$
\begin{equation*}
(X(t),Y(t))=\overline A^*_1(m)^{-1}(x(t),y(t))=\biggl(x(t)-my(t)+\frac m2,\,y(t)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
то также $\dot X>0$ и $\dot Y<0$. Таким образом, объединение прообразов кривой $W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ будет гладкой кривой $y=\phi_{\mathrm s}(x)$ с $d\phi_{\mathrm s}/dx<0$. Рассмотрим точку $Q_0\in W_{\overline\sigma_1,\mathrm{loc}}^{\mathrm s}$ (см. рис. 7) и последовательность ее прообразов
$$
\begin{equation*}
Q_j=\overline {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}^{-1}(Q_{j-1}), \qquad Q_j=(x_j,y_j).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $y_j=h^{-1}_\varepsilon(y_{j-1})$. Если $y_0<1/2$, то $y_n\to 0$. Если $y_0>1/2$, то $y_n\to 1$. Наконец,
$$
\begin{equation*}
x_n=h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1}) -m\biggl(h^{-1}_\varepsilon(y_{n-1})-\frac12\biggr) =h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})-m\biggl(y_n-\frac12\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
При больших $n$ верно, что $|y_n-1/2|>1/4$, а тогда второй член составляет по модулю по меньшей мере $1/2$, так как $m=2l\geqslant 2$, $l\in\mathbb N$. Значит, $x_n$ лежит в каком-то интервале вида $(k/2,(k+1)/2)$, $k\in\mathbb Z$, лежащим строго правее, если $y_0<1/2$ (левее, если $y_0>1/2$), чем аналогичный интервал, где лежит $h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})$. Так как $h_{\varepsilon}^{-1}(x_{n-1})$ по свойству функции $h_{\varepsilon}^{-1}$ лежит в том же интервале, где лежит и $x_{n-1}$, то каждый раз $x_n$ смещается минимум на один интервал правее (левее, если $y_0<1/2$). Следовательно, $x_n\to+\infty$, если $y_0<1/2$, и $x_n\to-\infty$, если $y_0>1/2$ (см. рис. 8). Аналогичным образом, неустойчивое многообразие $W^{\mathrm u}_{\overline \sigma_2}$ точки $\overline \sigma_2=(1/2,0)$ задается графиком $y=\phi_{\mathrm u}(x)$, где $d\phi_{\mathrm u}/dx>0$, $\phi_{\mathrm u}(x)\to1/2$ при $x_n\to+\infty$, $\phi_{\mathrm u}(x)\to-1/2$ при $x_n\to-\infty$ (см. рис. 8). Отсюда следует, что многообразия $W_{\sigma_1}^{\mathrm s}$ и $W^{\mathrm u}_{\sigma_2}$ пересекаются трансверсально. Шаг 1.2 закончен. Этап $2$. Докажем, что гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ ориентируемо. Кривые, конгруэнтные $W^{\mathrm s}_{\overline \sigma_1}$ – графики функций $y=\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+ a_2$, $a_{1,2}\in\mathbb Z$. Кривые, конгруэнтные $W^{\mathrm u}_{\overline \sigma_2}$ – графики функций $y=\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2$, $b_{1,2}\in\mathbb Z$. Все конгруэнтные кривые можно согласованно ориентировать выбором касательного вектора, смотрящего в сторону увеличения $x$ (например, вектором $(1,d(\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+a_2)/dx))$ для графиков $y=\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+a_2$, и $(1,d(\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2)/dx))$ для графиков $y=\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2$) (см. рис. 9). Тогда во всех точках пересечения определитель будет иметь вид
$$
\begin{equation*}
\begin{vmatrix} 1& \dfrac{d}{dx}(\phi_{\mathrm s}(x-a_1)+a_2) \\ 1& \dfrac{d}{dx}(\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2) \end{vmatrix}=\phi'_{\mathrm u}(x-b_1)-\phi'_{\mathrm s}(x-a_1)>0 .
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, индекс пересечения кривых $W^{\mathrm s}_{ \sigma_1}$ и $W^{\mathrm u}_{ \sigma_2}$ во всех точках совпадает и гетероклиническое множество диффеоморфизма ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ ориентируемо. Этап 2 закончен. Этап $3$. Докажем, что гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ состоит из $m$ орбит. Обозначим через $W^{\mathrm s,1}_{\overline \sigma_1}$ (соответственно $W^{\mathrm s,2}_{\overline \sigma_1}$) часть кривой $W^{\mathrm s}_{\overline \sigma_1}$, которая лежит ниже (соответственно выше) прямой $y=1/2$. Графики $y=\phi_{\mathrm u}(x-b_1)+b_2$ лежат в полосе $y\in(b_2-1/2,b_2+1/2)$, а $W^{\mathrm s,1}_{\overline \sigma_1}$ – в полосе $y\in(0,1/2)$, поэтому пересечение возможно лишь при $b_2=0$. Если же $b_2=0$, то при любом $b_1=q\in\mathbb Z$ пересечение существует и единственно: на луче $[0,+\infty)$ функция $\phi_{\mathrm s}$ убывает от $1/2$ до $0$, а $\phi_{\mathrm u}(x-q)$ возрастает от $\phi_{\mathrm u}(-q)< 1/2$ до $1/2>0$. Пусть $H_q=(x_q,y_q)$ – точка пересечения. Тогда $x_q$ возрастает с ростом $q$. Действительно2,
$$
\begin{equation*}
\phi_{\mathrm u}(x_q-(q+1))<\phi_{\mathrm u}(x_q-q)=\phi_{\mathrm s}(x_q).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда точка $x_{q+1}$ лежит на луче $[x_q,+\infty)$ (см. рис. 10). Итак, $H_q$ – все гетероклинические точки на луче $[0,+\infty)$. Отображение $\overline M_{\varepsilon}$ переводит в себя точку $\overline \sigma_1$ и, следовательно, кривую $W^{\mathrm s}_{\overline \sigma_1}$ также переводит в себя. Точки же вида $(1/2+q,0)$ переходят друг в друга: $(1/2+q,0)\to(1/2+q+m/2,0)$, поэтому то же происходит с их неустойчивыми многообразиями:
$$
\begin{equation*}
\{y=\phi_{\mathrm u}(x-q)\}\to\biggl\{y=\phi_{\mathrm u}\biggl(x-\biggl(q+\frac m2\biggr)\biggr)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и с точками пересечения последних с $\{y=\phi_{\mathrm s}(x)\}\colon H_q\to H_{q+m/2}$. Следовательно, существует в точности $m/2$ гетероклинических орбит диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, лежащих на кривой $p_2(W^{\mathrm s,1}_{\overline \sigma_1})$. Аналогично доказывается, что существует в точности $m/2$ гетероклинических орбит диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$, лежащих на кривой $p_2(W^{\mathrm s,2}_{\overline \sigma_1})$. Таким образом, гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(m)}$ состоит из $m$ гетероклинических орбит. Этап 3 закончен. Замечание 1. На рис. 11 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(2)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из двух орбит. На рис. 11 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_1(2)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$. Замечание 2. При $m=2l$, $l\in\mathbb{N}$, неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма $M_{\varepsilon}$ и состоит из двух неподвижных гиперболических узлов и двух неподвижных гиперболических седел. Ограничение отображения ${\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(m)}$ на инвариантные многообразия седел не сохраняет ориентацию. Каждая компонента связности этих многообразий, участвующая в гетероклиническом пересечении, содержит точки каждой гетероклинической орбиты диффеоморфизма. На рис. 12 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(2)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из двух орбит. На рис. 12 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal M}_{\varepsilon,A_2(2)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$. Замечание 3. При $m=2l-1$, $l\in\mathbb{N}$, неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма $ {L}_{\varepsilon}$ и состоит из двух неподвижных гиперболических узлов, двух гиперболических узлов периода два, двух неподвижных гиперболических седел и двух гиперболических седел периода два. Одно из инвариантных многообразий каждого неподвижного седла участвует в гетероклиническом пересечении с одним из инвариантных многообразий каждого периодического седла и содержит $m$ орбит на каждой компоненте связности. На рис. 13 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(1)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из четырех орбит. На рис. 13 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_1(1)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$. Замечание 4. При $m=2l-1$, $l\in\mathbb{N}$, неблуждающее множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(m)}$ совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма $ {L}_{\varepsilon}$ и состоит из четырех неподвижных гиперболических узлов и четырех гиперболических седел периода два. Каждая гетероклиническая орбита диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(m)}$ содержит точки на инвариантном многообразии каждого из четырех седел. На рис. 14 изображено гетероклиническое множество диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(1)}$ при $\varepsilon\in(-1,0)$. Оно состоит из четырех орбит. На рис. 14 каждая гетероклиническая орбита отмечена своим цветом и проиллюстрировано действие диффеоморфизма $ {\mathcal L}_{\varepsilon,A_2(1)}$ на произвольную гетероклиническую точку $z$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GriMinChi23} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|