| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О сумме цифр разложений пары последовательных чисел по линейной рекуррентой последовательности А. В. Шутов Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090092 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $a_1,\dots,a_d$ – натуральные числа, удовлетворяющие условию
$$
\begin{equation*}
a_1\geqslant a_2\geqslant\dotsb\geqslant a_{d-1}\geqslant a_d=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим последовательность $\{T_n\}$ при помощи линейного рекуррентного соотношения Начальные условия будут иметь вид
$$
\begin{equation*}
T_0=1,\qquad T_n=1+a_1T_{n-1}+a_2T_{n-2}+\dotsb+a_nT_0
\end{equation*}
\notag
$$
для $n<d$. В этом случае любое натуральное число $N$ допускает однозначное жадное разложение по последовательности $\{T_n\}$ [1]: Жадность разложения (1.1) означает, что что для любого $m_1<m(N)$ выполняются неравенства $0\leqslant N-\sum_{k=m_1}^{m(N)}\varepsilon_k(N)T_k<T_{m_1}$. Определим множества
$$
\begin{equation*}
\mathscr N_0 =\biggl\{n\colon\sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)\equiv 0 \ (\operatorname{mod}2)\biggr\}, \qquad \mathscr N_1 =\biggl\{n\colon\sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)\equiv 1\ (\operatorname{mod}2)\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
натуральных чисел с заданной четностью суммы цифр разложения по последовательности $\{T_n\}$. Пусть
$$
\begin{equation*}
T_{i,j}(X)=\sharp\bigl\{n\leqslant X\colon n\in\mathscr N_i,\,n+1\in\mathscr N_j\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наша цель состоит в доказательстве следующей теоремы. Теорема 1. Существуют эффективно вычислимые $\lambda$, $0<\lambda<1$, и $C_{ij}$ ($C_{00}=C_{11}=-C_{10}=-C_{01}$) такие, что Явная формула для констант $C_{ij}$ достаточно сложна и будет дана ниже. В частном случае, когда $\{T_n\}$ представляет из себя последовательность Фибоначчи ($d=2$, $a_1=a_2=1$), данная задача была рассмотрена в [2], [3], где двумя разными способами было показано, что в этом случае
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{i,j}(X)&=\frac{\sqrt{5}}{10}\,X+O(\log X) \qquad\text{при}\quad i=j, \\ T_{i,j}(X)&=\frac{5-\sqrt{5}}{10}\,X+O(\log X) \qquad\text{при}\quad i\ne j. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Также следует отметить, что в [4], [5] рассматривался аналог данной задачи для двоичной системы счисления. 2. Вспомогательные результатыВ данном разделе мы изложим некоторые вспомогательные результаты о разложениях по последовательности $\{T_n\}$. Некоторые из них представляют и самостоятельный интерес. Вначале получим оценку для $m(N)$. Имеет место следующее утверждение [6; теорема 2]. Предложение 1. Пусть $a_1,\dots,a_d$ – натуральные числа, удовлетворяющие условию Отметим также, что при доказательстве теоремы 2 в [6] также показано, что многочлен (2.1) является минимальным многочленом для рассматриваемых $\beta$. Отсюда вытекает, что различным линейным рекуррентным последовательностям рассматриваемого класса соответствуют разные $\beta$. Используя стандартную теорию линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, немедленно получаем отсюда асимптотическую формулу для $T_n$. Следствие 1. Справедлива асимптотическая формула с некоторой эффективно вычислимой константой $c\ne 0$. Отсюда немедленно получаем оценку для $m(N)$. Индукцией по $n$ легко показать, что имеет место неравенство $T_{n+1}<(a_1+1)T_n$. В сочетании с условием жадности разложения это дает оценку $\varepsilon_k(n)\leqslant a_1$ при $0\leqslant k\leqslant m(N)$ для коэффициентов разложения (1.1). Поэтому для каждого натурального $N$ разложение (1.1) порождает конечное слово $w(N)=\varepsilon_{m(N)}(N)\dotsb\varepsilon_0(N)$ над алфавитом $\{0,1,\dots,a_1\}$. Очевидно, что не все конечные слова над данным алфавитом порождаются жадными разложениями натуральных чисел. Слова, порождаемые такими разложениями, будем называть допустимыми. Мы хотим описать все допустимые слова. Рассмотрим граф, содержащий $d$ вершин, помеченных числами $0,1,\dots,d-1$. Ребра графа имеют следующий вид:
3. Числа с заданным окончанием разложенияПусть $w$ – допустимое слово. Рассмотрим множество $\mathbb N(w)$ натуральных чисел, для которых $w(N)$ заканчивается на слово $w$. Пусть
$$
\begin{equation*}
N_w(X)=\sharp\bigl\{n\in\mathbb N\colon n\leqslant X,\,n\in\mathbb N(w)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В данном разделе мы получим асимптотику для $N_w(N)$. Получение данной асимптотики основано на теории обобщенных разбиений Рози. Пусть $\beta^{(1)},\dots,\beta^{(r_1)}$ – действительные сопряженные к $\beta$ и $\beta^{(r_1+1)},\overline{\beta^{(r_1+1)}},\dots, \beta^{(r_1+r_2)},\overline{\beta^{(r_1+r_2)}}$ – комплексные сопряженные к $\beta$. Определим отображение $\Phi\colon\mathbb N\to\mathbb R^{d-1}$ равенством
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi(N) &=\biggl(\sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)(\beta^{(1)})^k,\dots, \sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)(\beta^{(r_1)})^k, \\ &\qquad\sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)(\operatorname{Re}\beta^{(r_1+1)})^k, \sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)(\operatorname{Im}\beta^{(r_1+1)})^k,\dots, \\ &\qquad\sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)(\operatorname{Re}\beta^{(r_1+r_2)})^k, \sum_{k=0}^{m(N)}\varepsilon_k(N)(\operatorname{Im}\beta^{(r_1+r_2)})^k\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Множество называется фракталом Рози (черта сверху обозначает замыкание). Приведенная конструкция фрактала Рози была предложена в [9] и является аналогом использованной в [10] конструкции фрактала Рози на основе жадных $\beta$-разложений действительных чисел. Эквивалентность показана в [9; теорема 6].Пусть $\operatorname{Adm}_n(j)$ – множество допустимых слов длины $n$, для которых соответствующие пути в графе $G(\beta)$ заканчиваются в вершине $j$. Для любого слова $u\in\operatorname{Adm}_{d-1}(j)$ обозначим через $\widetilde A_n(j)$ множество слов $w$ длины $n$, для которых слово $uw$ допустимо. Заметим, что допустимость слова $uw$ зависит только от существования в графе $G(\beta)$ пути, начинающегося в той вершине, в которой заканчивается путь, соответствующий $u$. Это означает, что $\widetilde A_n(j)$ не зависит от выбора $u$ и представляет собой множество допустимых слов длины $n$, для которых существует соответствующий им путь с началом в $j$. Для каждого $w\in\widetilde A_n(j)$ определим множество
$$
\begin{equation*}
\mathscr R_{n,j}(w) =\overline{\Phi\biggl(\bigsqcup_{u\in\operatorname{Adm}_{d-1}(j)}\mathbb N(uw)\biggr)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 3. Для любого $n$ имеет место разбиение фрактала Рози $\mathscr T$ на множества $\mathscr R_{n,j}(w)$, не имеющие общих внутренних точек. Каждое из множеств $\mathscr R_{n,j}(w)$ имеет границу нулевой меры. Данное утверждение доказано в [11; теорема 11]. Построенное разбиение называется разбиением Рози порядка $n$. Предложение 4. Пусть $j\in\{0,1,\dots,d-1\}$. Тогда для любого $n$ и любого слова $w\in\widetilde A_n(j)$ справедливо равенство Данное утверждение доказано в [9; теорема 10]. Далее определим на фрактале Рози некоторое отображение $S$. Пусть $\operatorname{Adm}(j)=\bigcup_n\operatorname{Adm}_n(j)$ – множество слов, которым соответствуют пути графа $G(\beta)$, начинающиеся вершине $0$ и заканчивающиеся в вершине $j$. Пусть $\mathbb N(j)=\{n\in\mathbb N\colon w(n)\in\operatorname{Adm}(j)\}$. При этом $\mathbb N=\bigsqcup_{j=0}^{d-1}\mathbb N(j)$. Известно (см., например [7; раздел 1.3]), что существуют векторы $v_j\in\mathbb R^{d-1}$ такие, что $\Phi(n+1)-\Phi(n)=v_j$. Положим $\mathscr T(j)=\overline{\Phi(\mathbb N(j))}$ и определим отображение $S\colon\mathscr T\to\mathscr T$ фрактала Рози в себя по правилу: $S(x)=x+v_j$, если $x\in\mathscr T(j)$. Оказывается (см. [7; теорема 6], [12; теорема 2]), что отображение $S$ определено почти всюду на $\mathscr T$ (и является перекладыванием областей $\mathscr T(j)$, $j\in\{0,1,\dots,d-1\}$. Замечание 1. Обычно это утверждение доказывается для более общего класса фракталов Рози, построенных на основе так называемых примитивных унимодулярных подстановок Пизо. Сведение рассматриваемого нами случая к общему можно найти в [7; разделы 2.3, 2.4]. При этом требуется, чтобы $\beta$ было числом Пизо (степени $d$), единицей кольца $\mathbb Z[\beta]$ и длина слова $d(1,\beta)$ равна $d$. Тот факт, что $\beta$ – единица кольца $\mathbb Z[\beta]$ вытекает из того, что $a_d=1$, остальные условия – из предложения 1. Отображение $S$ не определено на точках из множеств вида $\mathscr T(j_1)\cap\mathscr T(j_2)$. Отметим, что точки вида $\Phi(n)$ с $n\in\mathbb N$ не принадлежат границам множеств вида $\mathscr T(j)$ (и даже границам множеств вида $\overline{\Phi(\mathbb N(w))}$ для любого допустимого слова $w$) [10; следствие 1], и, следовательно, для таких точек отображение $S$ корректно определено. При этом $S(\Phi(n))=\Phi(n+1)$. Отметим также, что диаграмма коммутативна [9; теорема 7].Замечание 2. Можно показать [7; теорема 7], [13; теорема 7] что фрактал Рози $\mathscr T$ представляет собой фундаментальную область некоторой решетки $L$. В этом случае можно рассмотреть естественную проекцию $\pi\colon\mathbb R^{d-1}\to\mathbb T^{d-1}=\mathbb R^{d-1}/L$. При этом оказывается [12; теорема 2 и замечание 5], что существует вектор $l\in\mathbb T^{d-1}$, координаты которого в базисе решетки $L$ линейно независимы над $\mathbb Q$ вместе с единицей, такой что для любого $x\in\mathscr T$, для которого отображение $S$ определено, выполняется равенство $\pi(S(x))=\pi(x)+l\ (\operatorname{mod}L)$. Предложение 5. Множества $\mathscr R_{n,j}(w)$ являются множествами ограниченного остатка для отображения $S$, т.е. существует постоянная $C$, зависящая только от $\beta$, такая, что для всех натуральных $X$ выполняется неравенство Более того, $C$ зависит от $\beta$, но не от $n$, $j$ и $w$. Доказательство можно найти в [9; теорема 12]. Пусть $w$ – допустимое слово длины $|w|$. Пусть $J(w)$ – множество вершин графа $G(\beta)$, для которых существует путь в $G(\beta)$, начинающийся в вершине $j$ и помеченный словом $w$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathscr T(w)=\bigsqcup_{j\in J(w)}\mathscr R_{|w|,j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 6. Для любого допустимого слова $w$ $n\in\mathbb N(w)$ тогда и только тогда, когда $S^n(0)\in\mathscr T(w)$. В силу предложения 3, множества $\mathscr R_{|w|,j}$, входящие в $\mathscr T(w)$ не имеют общих внутренних точек. Поэтому, с учетом предложения 4, имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{mes}\mathscr T(w) =\frac{\sum_{j\in J(w)}\beta^{d-1-j-|w|}}{\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l} \operatorname{mes}\mathscr T.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, с учетом предложения 5, мы видим, что множества $\mathscr T(w)$ также являются множествами ограниченного остатка относительно отображения $S$. Более того, поскольку $\mathscr T(w)$ очевидно содержит не более $d$ множеств $\mathscr R_{|w|,j}$, соответствующая оценка остатка не зависит от выбора слова $w$. Объединяя этот результат с предложением 6, получаем требуемую информацию об асимптотике $N_w(X)$. Теорема 2. Существует постоянная $C_1$, зависящая только от $\beta$, такая, что для любого допустимого слова $w$ и любого натурального $X$ имеет место неравенство 4. Доказательство основной теоремыПусть
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(n)=\begin{cases} 1, &n\in\mathscr N_0, \\ -1, &n\in\mathscr N_1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда легко видеть, что имеет место равенство
$$
\begin{equation}
T_{i,j}(X)=\sum_{n\leqslant X}\frac{(-1)^i\varepsilon(n)+1}{2} \frac{(-1)^j\varepsilon(n+1)+1}{2}\,.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Доказательство предложения 7 можно найти в [14]. Там же дается описание $\lambda$ в терминах корней некоторого уравнения, зависящего от коэффициентов линейной рекуррентной последовательности. Более общий результат доказан также в [15]. В [16] обсуждается возможность усиления оценки остаточного члена до логарифмической. Пусть
$$
\begin{equation*}
S(X)=\sum_{n\leqslant X}\varepsilon(n)\varepsilon(n+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Раскрывая скобки в (4.1), получаем
$$
\begin{equation*}
T_{i,j}(X)=\frac{X}{4} +\sum_{n\leqslant X}\frac{(-1)^{i+j}\varepsilon(n)\varepsilon(n+1)}{4} +\sum_{n\leqslant X}\frac{(-1)^i\varepsilon(n)}{4} +\sum_{n\leqslant X}\frac{(-1)^j\varepsilon(n+1)}{4}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (4.2) и определения $S(X)$ последнее переписывается в виде для некоторого эффективно вычислимого $\lambda\in(0;1)$. Тогда, из (4.1) и (4.2) легко видеть, для доказательства теоремы 1 достаточно доказать следующее утверждение. При этом легко видеть, что $C_{00}=C_{11}=(1/4)C_\beta$ и $C_{01}=C_{10}=-(1/4)C_\beta$. Перейдем к доказательству предложения 8. Для $k\in\{0,1,\dots,d-1\}$ положим $w_{\max}^{(k)}=a_1\dotsb a_k$ (при $k=0$ $w_{\max}^{(0)}$ – пустое слово). Положим $w_{\max}^{(d)}=a_1\dotsb a_{d-1}0$. Тогда легко видеть, что слово $w_{\max}^{(k)}$ допустимо для любого $k$. Более того, оно является максимальным относительно лексикографического порядка допустимым словом длины $k$. Пусть $U$ – множество допустимых слов длины $d$, соответствующих путям графа $G(\beta)$, начинающимся и заканчивающимся в вершине $0$, и отличных от слова $w_{\max}^{(d)}$. Из рассмотрения графа $G(\beta)$ вытекает, что допустимое слово принадлежит $U$ тогда и только тогда, когда оно не заканичвается ни на одно из слов $w_{\max}^{(k)}$ ($1\leqslant k\leqslant d$). Для $u\in U$, $k\in\{0,1,\dots,d-1\}$ и целого неотрицательного $m$ определим слово
$$
\begin{equation*}
w_{u,m,k}=u\underbrace{w_{\max}^{(d)}\dotsb w_{\max}^{(d)}}_mw_{\max}^{(k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Введенные слова обладают следующими важными свойствами. 1) Ни одно из слов $w_{u,m,k}$ не заканчивается на другое. 2) Для любого натурального $N$ слово $w(N)$ (или же слово, полученное из $w(N)$ дописыванием слева некотого числа нулей) заканчивается на одно из слов вида $w_{u,m,k}$. Таким образом, имеет место представление множества натуральных чисел в виде непересекающегося объединения
$$
\begin{equation}
\mathbb{N}=\bigsqcup_{u\in U}\bigsqcup_{m\geqslant 0} \bigsqcup_{k=0}^{d-1}\mathbb N(w_{u,m,k}).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Для любого допустимого слова $w$ обозначим через $w'$ лексикографически следующее допустимое слово. Тогда легко видеть, что имеет место равенство Для слова $w=w_1\dotsb w_{|w|}$ (где $w_i\in\{0,1,\dots,a_1\}$ – отдельные символы слова) положим Ясно, что $\varepsilon(N)=\varepsilon(w(N))$. Представим $w(N)$ в виде $w(N)=vw_{u,m,k}$. Тогда $(w(N))'=v(w_{u,m,k})'$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(n)\varepsilon(n+1) =\varepsilon(v)\varepsilon(w_{u,m,k})\varepsilon(v)\varepsilon((w_{u,m,k})').
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, с учетом (4.4) и определения $w_{u,m,k}$, получаем, что для любого $n\in\mathbb N(w_{u,m,k})$ выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\varepsilon(n)\varepsilon(n+1) =\varepsilon(u)\varepsilon(u')(\varepsilon(w_{\max}^{(d)}))^m\varepsilon(w_{\max}^{(k)}).
\end{equation*}
\notag
$$
C учетом определения слов $w_{\max}^{(k)}$ находим, что
$$
\begin{equation}
\varepsilon(n)\varepsilon(n+1) =\varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})+a_1+\dotsb+a_k}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Комбинируя (4.3) и (4.5), получаем, что
$$
\begin{equation*}
S(X)=\sum_{u\in U}\sum_{m\geqslant 0}\sum_{k=0}^{d-1} \varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})+a_1+\dotsb+a_k}N_{w_{u,m,k}}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что при $|w_{u,m,k}|>|w(X)|=m(X)$ очевидно выполняется равенство $N_{w_{u,m,k}}(X)=0$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
S(X)=\sum_{u\in U}\sum_{m=0}^{|w(X)|}\sum_{k=0}^{d-1} \varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})+a_1+\dotsb+a_k}N_{w_{u,m,k}}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
r_{w_{u,m,k}}(X)=N_{w_{u,m,k}}(X) -\frac{\sum_{j\in J(w_{u,m,k})}\beta^{d-1-j-|w_{u,m,k}|}}{\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_1(X) &=\sum_{u\in U}\sum_{m=0}^{|w(X)|}\sum_{k=0}^{d-1} \varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})+a_1+\dotsb+a_k} \\ &\qquad\qquad\times \frac{\sum_{j\in J(w_{u,m,k})}\beta^{d-1-j-|w_{u,m,k}|}}{\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l}, \\ S_2(X)&=\sum_{u\in U}\sum_{m=0}^{|w(X)|}\sum_{k=0}^{d-1} \varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})+a_1+\dotsb+a_k}r_{w_{u,m,k}}(X). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя теорему 2, получаем, что существует постоянная $C_1$, зависящая только от $\beta$ и такая, что Применяя неравенство треугольника и учитывая, что
$$
\begin{equation*}
|\varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})+a_1+\dotsb+a_k}|=1,
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation*}
|S_2(X)|\leqslant \sum_{u\in U}\sum_{m=0}^{|w(X)|}\sum_{k=0}^{d-1}C_1,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. При этом из определения множества $U$ вытекает, что его мощность $\sharp U$ не зависит от $X$. Кроме того, из следствия 2 получаем $|w(X)|=O(\log X)$. Следовательно, Поэтому, меняя местами суммирование по $m$ и $k$ в сумме для $S_1(X)$, находим, что
$$
\begin{equation*}
S(X)=\sum_{u\in U}\sum_{k=0}^{d-1}\Sigma_{u,k}(X)X+O(\log X),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{u,k}(X)=\sum_{m=0}^{m(X)} \varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})+a_1+\dotsb+a_k} \frac{\sum_{j\in J(w_{u,m,k})}\beta^{d-1-j-|w_{u,m,k}|}}{\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $|w_{u,m,k}|=(m+1)d+k$, последнее равенство можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{u,k}(X) =\frac{\varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{a_1+\dotsb+a_k}\beta^{-1-k}}{\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l} \sum_{m=0}^{m(X)}(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})} \beta^{-md}\sum_{j\in J(w_{u,m,k})}\beta^{-j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее заметим, что из того, что слово $u\in U$ не заканчивается на $w_{\max}^{(k)}$, легко показать, что любой путь в $G(\beta)$, соответствующий слову $u$, должен заканчиваться в вершине $0$. Кроме того, слово $w_{\max}^{(k)}$ с $k>0$ допустимо и ему соответствует путь в графе $G(\beta)$, начинающийся в вершине $0$. Поэтому любой путь, соответствующий слову $u$, может быть продолжен до пути, соответствующего слову $uw_{\max}^{(k)}$. Отсюда получаем, что $J(w_{u,m,k})=J(u)$ и
$$
\begin{equation*}
\Sigma_{u,k}(X) =\frac{\varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{a_1+\dotsb+a_k}\beta^{-1-k}}{\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l} \sum_{m=0}^{m(X)}(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})}\beta^{-md}\sum_{j\in J(u)}\beta^{-j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
C_{u,k}=\frac{\varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{a_1+\dotsb+a_k}\beta^{-1-k}} {\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l} \sum_{m=0}^\infty(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})}\beta^{-md}\sum_{j\in J(u)}\beta^{-j}.
\end{equation*}
\notag
$$
C учетом формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии получаем, что
$$
\begin{equation*}
C_{u,k}=\frac{\varepsilon(u)\varepsilon(u')(-1)^{a_1+\dotsb+a_k}\beta^{-1-k}} {\sum_{l=0}^{d-1}\beta^l(1-(-1)^{a_1+\dots+a_{d-1}}\beta^{-d})} \sum_{j\in J(u)}\beta^{-j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим Отметим, что все постоянные $C_{u,k}$, а следовательно, и $C_\beta$ эффективно вычислимы.Для завершения доказательства предложения 8 остается проверить, что
$$
\begin{equation}
|C_\beta-\sum_{u\in U}\sum_{k=0}^{d-1}\Sigma_{u,k}(X)|X=O(\log X).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Для доказательства данной оценки достаточно проверить, что С учетом определений $C_{u,k}$ и $\Sigma_{u,k}$ последняя оценка эквивалентна тому, что
$$
\begin{equation}
X\sum_{m=|w(X)|+1}^\infty(-1)^{m(a_1+\dotsb+a_{d-1})}\beta^{-md}=O(\log X).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Вновь суммируя бесконечную геометрическую прогрессию, находим
$$
\begin{equation*}
X\sum_{m=|w(X)|+1}^{\infty}(-1)^{m(a_1+\dots+a_{d-1})}\beta^{-md}\leqslant \frac{C_2X}{\beta^{d|w(X)|}}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторой постоянной $C_2$. C учетом следствия 2 последняя величина есть $O(X^{1-d})$, а следовательно, и $O(\log X)$, что и доказывает (4.7), а следовательно, и (4.6), что завершает доказательство предложения 8, а значит, и теоремы 1.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Shu23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|