| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Градуированные автоморфизмы алгебры многочленов от трех переменных А. Н. Трушинabc a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050140 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\mathbb K$ – алгебраически замкнутое поле и пусть $\mathscr A=\mathbb K[x_1,\dots,x_n]$ алгебра многочленов от $n$ переменных над полем $\mathbb K$. Обозначим через $\varphi=(f_1,\dots,f_n)$ полиномиальное отображение $\mathscr A\to\mathscr A$ вида
$$
\begin{equation*}
\varphi(x_1,\dots,x_n)=\bigl(f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_n(x_1,\dots,x_n)\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $f_i\in\mathscr A$. Группу автоморфизмов, т.е. обратимых полиномиальных отображений, алгебры $\mathscr A$ обозначим через $\operatorname{Aut}(\mathscr A)$. Автоморфизмы вида
$$
\begin{equation*}
\varphi=(x_1,\dots,x_{i-1},\,\lambda x_i+F,\,x_{i+1},\dots,x_n),
\end{equation*}
\notag
$$
где $F\in\mathbb K[x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n]$, $\lambda\ne 0$, назовем элементарными. Автоморфизмы, которые можно представить в виде композиции элементарных, называются ручными. В частности, ручными автоморфизмами являются невырожденные линейные преобразования координат. Автоморфизмы, не являющиеся ручными, называются дикими. Вопрос существования диких автоморфизмов в данный момент решен для $n\leqslant 3$.
Предположим теперь, что на алгебре $\mathscr A$ есть градуировка некоторой группой $G$. Обозначим эту градуировку $\varGamma$. Автоморфизм $\varphi$ будем называть $\varGamma$-градуированным, если $\varphi(\mathscr A_g)\subset\mathscr A_g$ для любого $g\in G$, где $\mathscr A_g$ – однородная компонента степени $g$. $\varGamma$-градуированные автоморфизмы образуют подгруппу $\operatorname{Aut}_{\varGamma}(\mathscr A)$ в группе $\operatorname{Aut}(\mathscr A)$. Градуированный автоморфизм назовем градуированно-ручным относительно градуировки $\varGamma$, если его можно представить в виде композиции элементарных градуированных автоморфизмов. В противном случае такой автоморфизм назовем градуированно-диким. В работе [5] при $n=4$ приведен пример $\mathbb Z$-градуировки, которая допускает градуированно-дикие автоморфизмы, и показано, что автоморфизм Аника является градуированно-диким относительно этой градуировки. В работе [6] описаны все $\mathbb Z$-градуировки алгебры $\mathbb K[x,y,z]$, допускающих градуированно-дикие автоморфизмы. Для тех градуировок, которые не допускают градуированно-диких автоморфизмов, градуированные элементарные автоморфизмы образуют естественную систему порождающих группы $\operatorname{Aut}_{\varGamma}(\mathscr A)$. В этой работе будут построены системы порождающих группы $\operatorname{Aut}_{\varGamma}(\mathscr A)$ для $\mathbb Z$-градуировок алгебры $\mathscr A=\mathbb K[x,y,z]$, допускающих дикие автоморфизмы. 2. Градуированные автоморфизмыВ этом разделе приведем результаты работы [6]. Рассмотрим нетривиальную $\mathbb Z$-градуировку $\varGamma$ на алгебре $\mathscr A=\mathbb K[x,y,z]$, при которой переменные $x$, $y$ и $z$ являются однородными. Если среди степеней переменных есть нули, или если степени всех переменных одного знака, то, как доказано в работе [6], все градуированные автоморфизмы являются градуированно ручными. Далее будем считать, что среди степеней переменных нет нулей и что они не все одного знака. Умножение всех трех степеней одновременно на одно и то же число не меняет множество автоморфизмов. Поэтому можно считать, что
$$
\begin{equation*}
\bigl(\operatorname{deg}_{\varGamma}(x), \operatorname{deg}_{\varGamma}(y), \operatorname{deg}_{\varGamma}(z)\bigr)=(a,b,-c),\qquad a,b,c>0, \quad a\geqslant b,
\end{equation*}
\notag
$$
и наибольший общий делитель $a$, $b$ и $c$ равен единице. Основным результатом работы [6] является следующая теорема. Теорема 1. Градуированно-дикий автоморфизм алгебры $\mathbb K[x,y,z]$ с градуировкой $\varGamma$ существует тогда и только тогда, когда существует пара натуральных чисел $P$ и $Q$ таких, что $a=cP+bQ$, причем $Q\geqslant 2$. Рассмотрим две подгруппы группы $\operatorname{Aut}_\varGamma(\mathscr A)$:
$$
\begin{equation*}
\mathrm E=\bigl\{\varphi\in\operatorname{Aut}_{\varGamma}(\mathscr A)\mid\varphi(z)=z\bigr\}, \qquad \mathrm T=\bigl\{(x,y,\lambda z)\mid\lambda\ne 0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 1 [6; лемма 3.8]. Группа $\operatorname{Aut}_{\varGamma}(\mathscr A)$ изоморфна полупрямому произведению $\mathrm E\leftthreetimes\mathrm T$. Геометрически автоморфизмы алгебры $\mathscr A$ соответствуют автоморфизмам трехмерного аффинного пространства $\mathbb A^3$. Рассмотрим плоскость $\mathrm Y=\mathbb V(z-1)$. Автоморфизмы $\mathbb A^3$, соответствующие автоморфизмам группы $E$, сохраняют плоскость $\mathrm Y$. Алгебра регулярных функций $\mathbb K[Y]$ изоморфна алгебре $\mathbb K[u,v]$, где $u=x|_{\mathrm Y}$, $v=y|_{\mathrm Y}$. Таким образом существует гомоморфизм
$$
\begin{equation*}
\alpha\colon\mathrm E\to\operatorname{Aut}(\mathbb K[u,v]),
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\alpha$ устроен следующим образом: Замечание 1 [6; следствие 3.13]. Гомоморфизм $\alpha$ инъективен. Теорема 2 [6; предложение 2.3]. Пусть $\widetilde\varGamma$ – произвольная градуировка на алгебре $\mathbb K[u,v]$. Тогда все градуированные автоморфизмы являются градуированно-ручными. Предложение 1 [6; следствие 2.2]. Если автоморфизм плоскости сохраняет начало координат, то он раскладывается в композицию элементарных, также сохраняющих начало координат. Будем говорить, что автоморфизм $\widetilde\varphi$ плоскости $\mathrm Y$ поднимается до автоморфизма пространства, если $\alpha^{-1}(\widetilde\varphi)\ne\varnothing$. Рассмотрим градуировку $\widetilde\varGamma$ на алгебре $\mathbb K[u,v]$ циклической группой $\mathbb Z_c$, при которой $(\operatorname{deg}_{\widetilde\varGamma}(u), \operatorname{deg}_{\widetilde\varGamma}(v))=(\overline a,\overline b)$, где $\overline a$ и $\overline b$ – вычеты $a$ и $b$ по модулю $c$. Легко видеть, что для любого $\varphi\in E$ автоморфизм $\alpha(\varphi)$ является $\widetilde\varGamma$-градуированным. Нам понадобятся следующие результаты из работы [6]: Лемма 2 [6; лемма 3.14]. Пусть $\widetilde\varphi=(\widetilde f,\widetilde g) \in\operatorname{Aut}_{\widetilde\varGamma}(\mathbb K[u,v])$. Тогда и только тогда $\alpha^{-1}(\widetilde\varphi)=\varnothing$, когда $\widetilde f$ содержит с ненулевым коэффициентом моном $v^q$ такой, что $bq<a$, или $\widetilde g$ имеет ненулевой свободный член. Лемма 3 [6; лемма 3.17]. Пусть $\xi_1\in\operatorname{Aut}_{\widetilde\varGamma}(\mathbb K[u,v])$ – элементарный автоморфизм, $\xi_2\in\operatorname{Aut}_{\widetilde\varGamma}(\mathbb K[u,v])$ – линейный автоморфизм. Тогда автоморфизм $\xi_2\circ\xi_1$ можно переразложить: $\xi_2\circ\xi_1=\zeta_2\circ\zeta_1\circ\zeta_0$, где $\zeta_0$ и $\zeta_2$ – линейные автоморфизмы, $\zeta_1$ – элементарный автоморфизм, и $\zeta_2(u)=\lambda u$. 3. Система порождающихВ случае, когда градуировка не допускает диких автоморфизмов, система порождающих состоит из элементарных градуированных автоморфизмов. Теперь рассмотрим случай, когда градуировка $\varGamma$ допускает дикие автоморфизмы. Замечание 2. Если градуировка допускает дикие автоморфизмы, то вследствие теоремы 1 Пусть $\varphi=(f,g,z)$ и пусть $\alpha(\varphi)=\widetilde\varphi=(\widetilde f,\widetilde g) \in\operatorname{Aut}_{\widetilde\varGamma}(\mathbb K[u,v])$. Предложение 2. Автоморфизм $\widetilde\varphi$ можно записать композицией $\xi'_n\circ\dotsb\circ\xi'_1$ градуированных элементарных автоморфизмов таких, что для любого $j$ линейная часть многочлена $\xi'_j(u))$ равна $\lambda_ju$ и $\xi'_j(0,0)=(0,0)$. Доказательство. Заметим, что в силу замечания 2 автоморфизм $\varphi$ сохраняет начало координат, более того, степень $f$ больше степени $g$, а значит мономы вида $yz^m$ имеют нулевые коэффициенты в многочлене $f$. Отсюда следует, что линейная часть многочлена $\widetilde f$ равна $\lambda u$. По теореме 2 и предложению 1 автоморфизм $\widetilde\varphi$ может быть разложен в композицию градуированных элементарных: $\widetilde\varphi=\xi_n\circ\dotsb\circ\xi_1$ таких, что $\xi_j(0,0)=(0,0)$. Мы можем предполагать, что $\xi_1$ линейный, возможно тождественный. Применим индукцию по $t$, где $0\leqslant t\leqslant n$ и покажем, что автоморфизм $\widetilde\varphi$ может быть представлен как композиция $\xi'_n\circ\dotsb\circ \xi'_1$ элементарных градуированных автоморфизмов таких, что для любого $j$ такого, что $n-t<j\leqslant n$, линейная часть $\xi'_j(u)$ равна $\lambda_ju$.
База. Для $t=0$ утверждение очевидно. Шаг. Положим $k=n-t$. По предположению индукции имеем: $\widetilde\varphi=\xi_n\circ\dotsb\circ\xi_1$ для $k<j\leqslant n$ линейная часть $\xi_j(u)$ равна $\lambda_ju$. Если $\xi_k$ не линейный, то либо линейная часть $\xi_k(u)=\lambda u$, либо $\xi_k=(\nu u+\lambda v+f(v),v)$. Во втором случае положим $\tau=(u+\lambda v,v)$. Мы можем заменить $\xi_k$ на $\xi'_k=\xi_k\circ\tau^{-1}$ и $\xi_{k-1}$ на $\xi'_{k-1}=\tau\circ\xi_{k-1}$. В обоих случаях линейная часть $\xi'_{k-1}(u)$ равна $\lambda_ju$. Если $\xi_k$ линейный и $k>1$, то мы можем предположить, что $\xi_{k-1}$ не линейный и $k>2$. По лемме 3 композиция $\xi_k\circ\xi_{k-1}$ всегда может быть записана как $\zeta_2\circ\zeta_1\circ\zeta_0$, где $\zeta_0$ и $\zeta_2$ линейные, линейная часть $\zeta_2(u)=\lambda'u$, и $\zeta_1$ элементарный. Тогда мы заменим $\xi_k\circ\xi_{k-1}\circ\xi_{k-2}$ на $\xi'_k\circ\xi'_{k-1}\circ\xi'_{k-2}$, где $\xi'_k=\zeta_2$, $\xi'_{k-1}=\zeta_1$, $\xi'_{k-2}=(\zeta_0\circ\xi_{k-2})$. Тогда линейная часть $\xi'_k(u)$ равна $\lambda'_ku$. Наконец, если $k=1$, то по предположению индукции мы имеем $\xi'_n\circ\dotsb\circ\xi'_2(u)=\lambda_2\dotsb\lambda_n u$. Так как линейная часть $\widetilde\varphi(u)$ равна $\lambda u$, то Теперь обозначим степень наименьшего монома, входящего в многочлен от одной переменной $f$ как $\underline{\operatorname{deg}}(f)$. Рассмотрим следующие множества $\widetilde\varGamma$-градуированных автоморфизмов алгебры $\mathbb K[u,v]$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D &=\bigl\{(u,\lambda v+\mu u^k)\mid ka\equiv b\,(\operatorname{mod} c),\ k>0,\ \lambda\in\mathbb K^\times\bigr\}, \\ U &=\biggl\{(\lambda u+f(v),v)\mid\operatorname{deg}_{\widetilde\varGamma}(f(v)) =\overline a,\ \underline{\operatorname{deg}}(f)\geqslant\frac{a}{b},\ \lambda,\mu\in\mathbb K^\times\biggr\}, \\ W &=\biggl\{(\lambda u+f(v),v)\mid\operatorname{deg}_{\widetilde\varGamma}(f(v)) =\overline a,\ \underline{\operatorname{deg}}(f)\geqslant 1,\ \operatorname{deg}(f)<\frac{a}{b},\ \lambda,\mu\in\mathbb K^\times\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 3. По лемме 2 автоморфизмы из $D$ и $U$ поднимаются до автоморфизмов пространства, а автоморфизмы из $W$ поднимаются тогда и только тогда, когда $f=0$. Пусть $\tau\in W$, $\theta\in D$, и пусть $\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau(u,v)=(\widetilde f(u,v),\widetilde g(u,v))$. Из вида групп $W$ и $D$ следует Замечание 5. Линейная часть многочлена $g$ равна $\lambda v,\lambda\ne 0$, более того, автоморфизм сохраняет начало координат, т.е. $(\widetilde f(0,0),\widetilde g(0,0))=(0,0)$. Лемма 4. Для элементарных автоморфизмов $\tau\in W$, $\theta\in D$ существует автоморфизм $s_{\tau,\theta}\in W$ такой, что автоморфизм $s_{\tau,\theta}\circ\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau$ поднимается до автоморфизма пространства. Доказательство. В силу замечания 5 автоморфизм $\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau$ не поднимается до автоморфизма пространства, тогда и только тогда, когда многочлен $\widetilde f(u,v)$ содержит мономы вида $\nu v^m$, где $m<a/b$, $\nu\ne 0$. Из всех таких мономов выберем моном с минимальной степенью $m_1$. Пусть теперь $\lambda$ – коэффициент монома $v$ в многочлене $\widetilde g$. Коэффициент $\lambda$ отличен от нуля вследствии замечания 5. Рассмотрим автоморфизм $s_1=(u-(\nu/\lambda)v^{m_1},v)$. Рассмотрим новый автоморфизм $s_1\circ\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau$ и образ $\widetilde f_1(u,v)$ переменной $u$ при этом автоморфизме. Минимальная степень мономов вида $v^m$ в этом автоморфизме увеличилась. Итак, $s_{\tau,\theta}=s_l\circ\dotsb\circ s_1$. Введем следующие обозначения: $\tau_\theta=s_{\tau,\theta}\circ\tau^{-1}$, $S=\{\tau_\theta\circ\theta\circ\tau\mid\tau\in W,\ \theta \in D\}$. Доказательство. Возьмем $\widetilde\varphi\in\widetilde E$. Пусть $\widetilde\varphi=\xi_n\circ\dotsb\circ\xi_1$, где $\xi_k$ – элементарные градуированные автоморфизмы, причем, согласно предложению 2, можно считать, что $\xi_k$ лежит в $D\cup U\cup W$. Пусть среди этих автоморфизмов $m$ автоморфизмов из $D$. Индукцией по $m$ покажем, что автоморфизм $\widetilde\varphi$ представим в виде композиции автоморфизмов из $U$ и $S$.
База. При $m=0$ автоморфизм $\widetilde\varphi$ лежит в $\langle W\cup U\rangle$. При этом он поднимается до автоморфизма пространства, а значит лежит в $U$. Шаг. Пусть $\xi_{k-1},\dots,\xi_1$ лежат в $U\cup W$, а $\xi_k$ лежит в $D$. Пусть $\xi_{k-1}\circ\dotsb\circ\xi_1=\tau\circ\tau_1$, где $\tau\in W$, $\tau_1\in U$. Перепишем автоморфизм $\widetilde\varphi$ в виде
$$
\begin{equation*}
\widetilde\varphi =\xi_n\circ\dotsb\circ\xi_{k+1}\circ\tau\circ\tau^{-1} \circ\xi_k\circ\tau\circ\tau_1.
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 4 найдется такой автоморфизм $s_{\tau,\xi_k}\in W$, что автоморфизм $s_{\tau,\xi_k}\circ\tau^{-1}\circ\xi_k\circ\tau =\tau_{\xi_k}\circ\xi_k\circ\tau$ поднимается до автоморфизма пространства. Таким образом Причем композиция $\xi_n\circ\dotsb\circ\xi_{k+1}\circ\tau\circ s^{-1}$ поднимается до автоморфизма пространства и для нее выполнено предположение индукции. Таким образом доказана следующая теорема. Теорема 3. Автоморфизмы алгебры $\operatorname{Aut}_\varGamma(\mathscr A)$ порождаются автоморфизмами из $\alpha^{-1}(U)$, автоморфизмами вида $\alpha^{-1}(\tau_\theta\circ\theta\circ\tau)$, где $\tau\in W$, $\theta\in D$, и автоморфизмами из группы $\mathrm T=\lbrace(x,y,\lambda z)\mid\lambda\ne 0\rbrace$. 4. ПримерыПусть алгебра $\mathbb K[x,y,z]$ градуирована следующим образом:
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{deg}(x),\operatorname{deg}(y),\operatorname{deg}(z))=(3,1,-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Такая градуировка допускает градуированно-дикие автоморфизмы согласно теореме 1. При такой градуировке имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D &=\bigl\{(u,\lambda v+\mu u^k)\mid ka\equiv b\,(\operatorname{mod} c), \ k>0,\ \lambda\in\mathbb K^\times\bigr\}, \\ U &=\bigl\{(\lambda u+f(v),v)\mid\underline{\operatorname{deg}}(f)\geqslant 3,\ \lambda,\mu\in\mathbb K^\times\bigr\}, \\ W &=\bigl\{(\lambda u+f(v),v)\mid\underline{\operatorname{deg}}(f)>1,\ \operatorname{deg}(f)<3,\ \lambda,\mu\in\mathbb K^\times\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
\tau=\begin{pmatrix} u+v^2\\ v\end{pmatrix}\in W, \qquad \theta=\begin{pmatrix} u\\ v+u\end{pmatrix}\in D.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau=\begin{pmatrix} u-u^2-v^4-2uv-2v^3-2uv^2 \\ v+u+v^2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь рассмотрим соответствующий автоморфизм алгебры многочленов от трех переменных:
$$
\begin{equation*}
\sigma=\alpha^{-1}(\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau)=\begin{pmatrix} x-x^2z^3-y^4z-2xyz-2y^3-2xy^2z^2 \\ y+xz^2+y^2z \\ z \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученный автоморфизм $\sigma$ совпадает с автоморфизмом Нагаты [4]. Таким образом автоморфизм Нагаты лежит в системе порождающих группы градуированных автоморфизмов. Предъявим общий вид автоморфизма вида $\tau_\theta\circ\theta\circ\tau$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\tau=\begin{pmatrix}\lambda_1u+\nu v^2\\ v\end{pmatrix}\in W, \qquad \theta=\begin{pmatrix}u\\ \lambda_2 v+\mu u^k\end{pmatrix}\in D.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau=\begin{pmatrix} u+\dfrac{\nu}{\lambda_1}\,v^2-\dfrac{\nu}{\lambda_1}(\lambda_2v+\mu(\lambda_1u+\nu v^2)^k)^2 \\ \lambda_2v+\mu(\lambda_1u+\nu v^2)^k \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Коэффициент при $v^2$ в многочлене $\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau(u)$ равен $(1-\lambda_1^2)\nu/\lambda_1$. Итак, автоморфизм $\tau_\theta\circ\theta\circ\tau$ равен $s_{\tau,\theta}\circ\tau^{-1}\circ\theta\circ\tau$, где
$$
\begin{equation*}
s_{\tau,\theta}=\begin{pmatrix} u-\dfrac{(1-\lambda_1^2)\nu}{\lambda_1\lambda_2^2}\,v^2 \\ v \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tru23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|