| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Компакты Дугунджи и пространство идемпотентных вероятностных мер А. А. Заитовab, Д. Т. Эшкобиловаc a Ташкентский архитектурно-строительный институт, Узбекистан b Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, г. Ташкент c Термезский государственный университет, Узбекистан
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462309016X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеТеория групп топологических преобразований является неотъемлемой частью алгебры и общей топологии. Одним из основных топологических аппаратов когомологических методов теории компактных групп преобразований является эквивариантная теория когомологий [1]. Группа топологических преобразований есть тройка $(G, X, \alpha)$, где $G$ – топологическая группа, $X$ – хаусдорфово топологическое пространство, $\alpha\colon G\times X\to X$ – такое непрерывное отображение, что 1) $\alpha(g_2, \alpha (g_1, x))=\alpha(g_2 g_1, x)$ для всех $g_1,g_2\in G$ и $x\in X$; 2) $\alpha(\operatorname{e}, x)=x$ для всех $x\in X $, где $\operatorname{e}$ – единица группы $G$. Отображение $\alpha\colon G\times X\to X$ называется действием группы $G$ на пространстве $X$. Пространство $X$ фиксированным действием $\alpha$ группы $G$ считается $G$-пространством. Обычно для $G$-пространства используются те же термины и обозначения, что и для основного пространства, считая отображение $\alpha$ само собой разумеющимся. Например, вместо $\alpha(g, x)$ пишется просто $g(x)$ или $gx$, так что равенства 1) и 2) перепишутся соответственно как
$$
\begin{equation*}
1')\ g_2 (g_1 (x))=(g_2 g_1)(x)\qquad\text{и}\qquad 2')\ \operatorname{e}(x)=x.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $H \subset G$ и $A\subset X$, то $H(A) := \{g(x)\colon g\in H,\, x\in A\}$. Множество $A$ называется инвариантным относительно действия группы $H$ (или $H$-инвариантным), если $H(A)=A$. Пусть $(G, X, \alpha)$ – группа топологических преобразований. Для каждого $g\in G$ формула $\alpha_g (x)=g(x)$ определяет отображение $\alpha_g\colon X \to X$. В силу $1')$ выполняется равенство $\alpha_{g_2} \alpha_{g_1}=\alpha_{g_2 g_1}$, а из $2')$ вытекает, что $\alpha_{\operatorname{e}}$ – тождественное отображение пространства $X$ на себя, $\alpha_{\operatorname{e}}=\operatorname{id}_{X}$. Множество $\operatorname{ker} \alpha=\{g\in G\colon g(x)=x \text{ для всех } x\in X\}$ называется ядром действия $\alpha$. Для каждого действия $\alpha$ его ядро $\operatorname{ker} \alpha$ есть нормальный делитель группы $G$ (т.е. $gag^{-1}\in \operatorname{ker} \alpha$ для всяких $g\in G$ и $a\in \operatorname{ker} \alpha$) и замкнут в $G$ [2]. Поскольку $\alpha_{g} \alpha_{g^{-1}}=\alpha_{\operatorname{e}} =\alpha_{g^{-1}} \alpha_g$, то для любого $g\in G$ отображение $\alpha_{g}$ есть гомеоморфизм пространства $ X $ на себя. Соответствие $g\to \alpha_g$ определяет гомеоморфизм $\alpha\colon G \to \operatorname{Homeo} (X)$, ядро которого называется ядром действия $\alpha$, где $\operatorname{Homeo} (X)$ – группа всех гомеоморфизмов пространства $X$ на себя. Действие $\alpha\colon G\times X \to X$ компактной группы $G$ на пространстве $X$ есть замкнутое отображение [2]. Из этого следует, что если $G$ – компактная группа и $X$ – некоторое $G$-пространство, то для любого замкнутого $A\subset X$ множество $G(A)$ замкнуто в $X$ и для компактного $A$ множество $G(A)$ компактно. Эквивариантное отображение (или $G$-отображение) – это отображение $f\colon X\to Y$ одного $G$-пространства в другое, которое коммутирует с действиями группы, т.е. $f(g(x))=g(f(x))$ для всех $g\in G$ и $x \in X$. Более точное равенство выглядит так: $f(\alpha_X(g, x))= \alpha_Y(g, f(x))$, $g\in G$, $x \in X$; здесь $\alpha_X\colon G\times X\to X$ и $\alpha_Y\colon G\times Y\to Y$ – действия одной и той же группы $G$ соответственно на пространствах $X$ и $Y$. Понятие компакта Дугунджи, введенное Пелчинским [3], оказалось весьма полезным и привело к появлению новых методов в общей топологии. Так, Хейдон [4] показал, что всякий компакт Дугунджи является диадическим компактом, класс которых П. С. Александров определил как непрерывные образы обобщенных канторовых дисконтинуумов. А используемое им представление произвольного компакта Дугунджи в виде предела трансфинитного обратного спектра, короткие проекции которого открыты и имеют метризуемые ядра, показывает, что любая компактная топологическая группа является компактом Дугунджи в силу наличия ее разложения в ряд Ли, построенного Л. С. Понтрягиным. В результате дальнейшего развития Щепиным [5] получен спектральный метод исследования компактов. Анализ характеризации компактов Дугунджи, предложенный Щепиным, позволил Успенскому [6] определить $d$-пространства ($od$-пространства) как классы не компактных пространств, соответствующих классу компактов Дугунджи. Введенное понятие позволило рассматривать с единой точки зрения топологические группы, произведения пространств со счетной сетью и компакты Дугунджи. Напомним, что через $\mathcal{N}_{G}(\operatorname{e})$ обозначают систему открытых окрестностей нейтрального элемента $\operatorname{e}$ группы $G$ в топологии пространства $G$. При этом если $O\in \mathcal{N}_{G}(\operatorname{e})$, то $Ox=\{g(x)\colon g\in O\}$. Определение 1 [7]. Действие $\alpha\colon G\times X \to X$ называется: Непрерывное отображение $f\colon X \to Y$ называется открытым ($d$-открытым), если для любого открытого в $X$ множества $O$ имеем $f(O)\subset \operatorname{int}(f(O))$ (соответственно $f(O)\subset \operatorname{int}(\operatorname{cl}(f(O))$). Замечание 1. Очевидно, что открытые непрерывные действия являются непрерывными $d$-открытыми, следовательно, непрерывными слабо $d$-открытыми действиями. В [8] показано, что при открытом непрерывном действии фазовое пространство является прямой суммой открыто-замкнутых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно факторпространству действующей группы по некоторой замкнутой подгруппе. Если непрерывное действие слабо $d$-открыто или $d$-открыто, то фазовое пространство $X$ является прямой суммой открыто-замкнутых подмножеств, каждое из которых является замыканием орбиты некоторой точки в первом и произвольной точки во втором случае. Напомним определение $od$-пространства ($d$-пространства) из [7]. Для пространства $X$ система $L=\{f_\alpha, f_{\beta\alpha}; A\}$, состоящая из частично упорядоченного множества $A$, непрерывных сюръективных отображений $f_\alpha$ пространства $X$, $\alpha\in A$, и отображений $f_{\beta\alpha}\colon f_{\beta}(X) \to f_{\alpha}(X)$, $\alpha, \beta \in A$, $\alpha < \beta$, называется согласованной системой непрерывных отображений на $X$, если (i) диагональное произведение $\underset{\alpha \in A}{\Delta}f_\alpha\colon X \to \underset{\alpha \in A}{\Pi}f_{\alpha}(X)$ является вложением; (ii) $f_\alpha=f_{\beta\alpha} \circ f_\beta, \alpha,\beta\in A, \alpha < \beta$. Согласованная система отображений $L$ называется: – открытой ($d$-открытой), если все отображения $f_\alpha$, $\alpha\in A$, открыты ($d$-открыты); – эквивариантной, если $X$ – $G$-пространство и все отображения $f_\alpha$, $\alpha\in A$, эквивариантны; – слабо мультипликативной, если для любого $B\subset A$ существует $\beta =\operatorname{sup} B$ в $A$ такое, что диагональное произведение $\Delta\{f_{\beta\alpha} \colon \alpha\in B\}$ инъективно; – $\mu$-системой, если диагональное произведение $\Delta\{f_{\alpha} \in L \colon f_{\alpha}(X) \text{ субметризуемо}\}$ является вложением. Определение 2 [6]. Топологическое пространство называется $od$-пространством ($d$-пространством), если существует согласованная открытая (соответственно $d$-открытая) слабо мультипликативная $\mu$-система непрерывных отображений на пространстве $X$. В настоящей работе для заданной группы $(G, X, \alpha)$ топологических преобразований на тихоновском пространстве $X$ построена группа топологических преобразований $(I(G, X), I(X), I(\alpha))$ на соответствующем пространстве $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер. Показано, что если действие $\alpha$ исходной группы открыто, то индуцированное действие $I(\alpha)$ также открыто; при этом приведен пример, показывающий, что открытость исходного действия существенна. Установлено, что если диагональное произведение $\Delta f_{p}$ заданного семейства $\{f_p, f_{pq}; A\}$ непрерывных отображений тихоновского пространства $X$ является вложением, то диагональное произведение $\Delta I(f_{p})$ семейства индуцированных отображений $\{I(f_p), I(f_{pq}); A\}$ соответствующего пространства $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер является вложением. Получен один из критериев компактности Дугунджи пространства идемпотентных вероятностных мер. 2. О функторе идемпотентных вероятностных мерНачиная с последней декады прошлого столетия продолжает интенсивно развиваться исследование по идемпотентной математике (см., например, работы [9]–[12]). Дальнейшее продвижение наблюдалось в работах [13], [14]. При этом авторами применялся модифицированный метод, предложенный в [15]. Рассмотрим компактное хаусдорфово пространство $X$, банахову алгебру $C(X)$ непрерывных функций $\varphi\colon X \to \mathbb{R}$, снабженную поточечными алгебраическими операциями и $\sup$-нормой, т.е. нормой $\|\varphi\|=\{|\varphi(x)|\colon x\in X\}$. Для каждого $c\in\mathbb{R}$ символ $c_X$ означает постоянную функцию, определяемую формулой $c_X(x)=c$, $x\in X$. Пусть $\varphi,\psi \in C(X)$, $\lambda \in \mathbb{R}$. Положим
$$
\begin{equation*}
(\varphi\oplus\psi)(x)=\max\{\varphi(x), \psi(x)\}, \qquad (\lambda\odot\varphi)(x)=\lambda + \varphi(x), \quad x\in X.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство $\varphi\leqslant\psi$ означает, что $\varphi(x)\leqslant\psi(x)$ для всех $x\in X$. Следующие понятия и факты могут быть найдены, например из [16]. Определение 3. Функционал $\mu\colon C(X)\to\mathbb{R}$ называется идемпотентной вероятностной мерой, если он обладает следующими свойствами: Для компактного хаусдорфова пространства $X$ через $I(X)$ обозначим множество всех функционалов $\mu\colon C(X)\to\mathbb{R}$, удовлетворяющих указанным выше трeм свойствам. Множество $I(X)$ снабжается топологией поточечной сходимости. Множества вида
$$
\begin{equation*}
\langle\mu; \varphi_1, \dots, \varphi_n; \varepsilon\rangle=\{\nu\in I(X)\colon |\mu(\varphi_i)-\nu(\varphi_i)|<\varepsilon,\ i=1, \dots, n\},
\end{equation*}
\notag
$$
образуют базу окрестностей $\mu \in I(X)$ в топологии поточечной сходимости, где $\varphi_i \in C(X)$, $i=1,\dots, n$, $n\in\mathbb{N}$, $\varepsilon>0$. Ясно, что если $\mu,\nu\in I(X)$, то $\alpha\odot\mu\oplus\beta\odot\nu \in I(X)$, где $\alpha,\beta \geqslant -\infty$, $\alpha \oplus \beta=0$. Пусть $X$ и $Y$ – компактные хаусдорфовы пространства, $f\colon X\to Y$ – непрерывное отображение. Тогда формула
$$
\begin{equation*}
I(f)(\mu)(\varphi)=\mu(\varphi\circ f), \qquad \mu \in I(X),
\end{equation*}
\notag
$$
определяет непрерывное отображение $I(f)\colon I(X)\to I(Y)$, $\varphi \in C(Y)$. Операция $I$ определяет ковариантный функтор, действующий в категории $\mathfrak{Comp}$ компактных хаусдорфовых пространств и их непрерывных отображений. Более того, $I$ – нормальный функтор. Носитель меры $\mu\in I(X)$ – это замкнутое подмножество $\operatorname{supp}\mu\subset X$, для которого отношения $A\supset \operatorname{supp} \mu$ и $\mu\in I(A)$ эквивалентны для каждого замкнутого $A\subset X$. Другое определение носителя:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\mu=\bigcap \bigl\{ A\subset X\colon \operatorname{cl}A=A,\,\mu \in I(A) \bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\operatorname{cl}A$ – замыкание $A$. Для натурального числа $n$ через $I_n(X)$ обозначим множество всех $\mu \in I(X)$, для которых $|\operatorname{supp}\mu | \leqslant n$. Множество $I_n(X)$ обеспечивается индуцированной из пространства $I(X)$ топологией. Положим
$$
\begin{equation*}
I_\omega(X)=\bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n}(X) \qquad\text{и}\qquad I_{nn}(X)=I_n(X)\setminus I_{n-1}(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Функционал $\mu \in I_{\omega} (X)$ называется идемпотентной вероятностной мерой с конечным носителем. Рассмотрим одно из естественных распространений функтора $I$ с категории компактных хаусдорфовых пространств на категорию тихоновских пространств. Для тихоновского пространства $X$ пусть $\beta X$ – его компактное расширение Стоуна–Чеха. Равенством
$$
\begin{equation*}
I_{\beta}(X)=\bigl\{\mu\in I(\beta X)\colon \operatorname{supp} \mu \subset X\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
определим множество $I_{\beta}(X)$. Элементы множества $I_{\beta}(X)$ называются идемпотентными вероятностными мерами с компактным носителем. Множество $I_{\beta}(X)$ снабжается топологией, индуцированной из пространства $I(\beta X)$. Для непрерывного отображения $f\colon X\to Y$ тихоновских пространств через $\beta f$ принято обозначать его (единственное) продолжение на $\beta X$. При этом имеет место Следовательно, сужение $I_{\beta}(f)=I(\beta f)|_{I_{\beta}(X)}$ задаeт непрерывное отображение Получено распространение $I_{\beta}$ функтора $I$ с категории компактных хаусдорфовых пространств на категорию тихоновских пространств. Оно является ковариантным функтором, действующим в категории тихоновских пространств и их непрерывных отображений, и удовлетворяет всем требованиям нормальности в смысле А. Ч. Чигогидзе. Функтор $I_{\beta}$ называется функтором идемпотентных вероятностных мер с компактным носителем. Отметим, что для произвольного тихоновского пространства $X$ имеет место а для всякого компактного хаусдорфова пространства $X$ – При этом для не компактного тихоновского пространства $X$ имеем $I_{\beta}(X) \ne I(\beta X)$.Далее, в данной статье под пространством подразумеваем тихоновское пространство, функтор $I_{\beta}$ для краткости обозначим через $I$, а символом $C(X)$ – алгебру непрерывных ограниченных функций на тихоновском пространстве $X$. 3. Открытые ($d$-открытые) действия и функтор $I$Для пространства $X$ положим
$$
\begin{equation*}
I(\operatorname{Homeo}(X))=\bigl\{I(g)\colon g\in \operatorname{Homeo}(X)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что для произвольного пространства $X$ имеем
$$
\begin{equation*}
I(\operatorname{Homeo}(X)) \subset \operatorname{Homeo}(I(X)).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что для пространства, содержащего более одной точки, это включение обратить нельзя. Пример 1. Пусть $X =\{a, b\}$ – двухточечное дискретное пространство. Тогда $I(X)$ гомеоморфно max-plus-отрезку $[(-\infty, 0), (0,-\infty)]$ с вершинами в точках Пусть $(G, X, \alpha)$ – группа топологических преобразований. Для пространства $X$ и группы $G$ положим
$$
\begin{equation*}
I(G, X)=\bigl\{\Phi\in \operatorname{Homeo}(I(X))\colon \text{ существует } g\in G \text{ такой, что } \Phi|_{X}=g\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что для пространства $X$ и группы $G$ множество $I(G, X)$ – группа относительно операции композиции гомеоморфизмов, а $I(\alpha_{\operatorname{e}})=I(\operatorname{id}_X )\equiv \operatorname{id}_{I(X)}=\operatorname{e}_{I(G, X)}$ – нейтральный элемент группы $I(G, X)$. Ясно, что $I(g)\in I(G, X)$ для $g\in G$. Пусть $\mu\in I(X)$ и $\langle\mu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; \varepsilon\rangle$ – окрестность $\mu$, где $\varphi_1,\dots,\varphi_n\in C(X)$, $\varepsilon > 0$. Через $\mathfrak{B}$ обозначим базу топологии поточечной сходимости на $I(X)$. Для $\langle\mu; \varphi_1,\dots, \varphi_n; \varepsilon\rangle$ построим множество
$$
\begin{equation*}
O_{\langle\mu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; \varepsilon\rangle}=\bigl\{\Phi\in I(G, X)\colon \Phi(\mu)\in \langle\mu,\, \varphi_1,\dots,\varphi_n,\,\varepsilon\rangle\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что имеет место
$$
\begin{equation*}
O_{\langle\mu_{1}; \varphi_{11},\dots,\varphi_{1n_1}; \varepsilon_{1}\rangle} \cup O_{\langle\mu_{2}; \varphi_{21},\dots,\varphi_{2n_2}; \varepsilon_{2}\rangle} = O_{\langle\mu_{1}; \varphi_{11},\dots,\varphi_{1n_1}; \varepsilon_{1}\rangle \cup \langle\mu_{2}; \varphi_{21},\dots,\varphi_{2n_2}; \varepsilon_{2}\rangle}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}_{I(G, X)}(\operatorname{id}_{I(X)}) =\bigl\{O_{\bigcup\langle\mu_{t},\, \varphi_{t1},\dots,\varphi_{t n_t},\, \varepsilon_{t}\rangle}\colon \{\langle\mu_{t},\, \varphi_{t1},\dots,\varphi_{t n_t},\, \varepsilon_{t}\rangle\} \subset \mathfrak{B} \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам потребуется следующее утверждение. Лемма 1 [17]. Семейство $\mathcal{N}_{I(G, X)}(\operatorname{id}_{I(X)})$ образует систему окрестностей нейтрального элемента $\operatorname{id}_{I(X)}$ в $I(G, X)$. Таким образом, $I(G, X)$ становится топологической группой. Поэтому для $\alpha$ можно определить действие $I(\alpha)\colon I(G, X)\times I(X)\to I(X)$ по правилу
$$
\begin{equation*}
I(\alpha)(\Phi, \mu)=\Phi(\mu), \qquad (\Phi, \mu)\in I(G, X)\times I(X).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, для пар вида $(I(g), \mu)\in I(G, X)\times I(X)$, где $g\in G\subset \operatorname{Homeo}(X)$, имеем
$$
\begin{equation*}
I(\alpha)(I(g), \mu)(\varphi)=I(g)(\mu)(\varphi)=\mu(\varphi\circ g), \qquad \varphi\in C(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Пусть действие $\alpha\colon G\times X\to X$ открыто. Установим, что для любого $\nu\in I(X)$ имеет место Здесь где $\varphi_1,\dots,\varphi_n\in C(X)$, $\varepsilon > 0$.
Тогда из (3.1) будет вытекать, во-первых,
$$
\begin{equation*}
\operatorname{int} (O_{\langle\mu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; \varepsilon\rangle}\nu) \ne \varnothing,
\end{equation*}
\notag
$$
и, во-вторых,
$$
\begin{equation*}
\nu\in \operatorname{int} (O_{\langle\mu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; \varepsilon\rangle}\nu).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\nu'\in \langle\nu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; {\varepsilon}/{2}\rangle$. Существует $\Phi'\in I(G, X)$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\Phi'(\nu)=\nu', \qquad |\mu(\varphi_{i}) - \Phi'(\nu)(\varphi_{i})|<\frac{\varepsilon}{2}, \quad i=1,2,\dots, n.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\nu'\in O_{\langle\mu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; \varepsilon\rangle}\nu$. Таким образом, включение (3.1) установлено. Отметим, что открытость действия $\alpha\colon G\times X\to X$ в предложении 1 существенна. Пример 2. Рассмотрим пространство $(D, \tau_D)$, в котором все одноточечные множества замкнуты и существует хотя бы одна точка, скажем $d\in D$, для которой множество $\{d\}$ не открыто. Рассмотрим группу Теперь покажем, что действие $I(\alpha)\colon I(G_{d}, D)\times I(D)\to I(D)$ также не открыто. На самом деле, для каждой окрестности $O$ нейтрального элемента $\operatorname{id}_{I(D)}$ множество замкнуто в $I(D)$, но не открыто в нем. Следовательно, $\delta_{d}\notin \operatorname{int}(O\delta_{d})=\varnothing$.Предложение 3. Для слабо $d$-открытого действия $\alpha\colon G\times X\to X$ действие $I(\alpha)\colon I(G, X)\times I_{nn}(X) \to I_{nn}(X)$ является слабо $d$-открытым. Доказательство вытекает из того, что для любых $\nu\in I(X)$ и $O_{\langle\mu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; \varepsilon\rangle}\in \mathcal{N}_{I(G, X)}(\operatorname{id}_{I(X)})$, и для каждого $\nu'\in \langle\nu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; {\varepsilon}/{2}\rangle$ имеем $\nu\in O_{\langle\mu; \varphi_1,\dots,\varphi_n; \varepsilon\rangle}\nu'$. Для действия $I(\alpha)\colon I(G, X)\times I(X) \to I(X)$ и идемпотентной вероятностной меры $\mu\in I(X)$ определим отображение $I(\alpha)_{\mu}\colon I(G, X)\to I(X)$, $\mu\in I(X)$ стандартным образом, т.е.
$$
\begin{equation*}
I(\alpha)_{\mu}(\Phi)=\Phi(\mu), \qquad \Phi\in I(G, X).
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 4. Открытость ($d$-открытость) непрерывного действия эквивалентна открытости ($d$-открытости) отображений Доказательство. Пусть действие $I(\alpha)$ открыто, $\mu\in I(X)$, множество $O$ открыто в группе $I(G, X)$. Для любого $\Phi\in O$ имеем Поэтому $\Phi(\mu)\in \operatorname{int}(O\Phi^{-1}\Phi\mu)= \operatorname{int}(O\mu)$ и, следовательно,
Если отображение $I(\alpha)_{\mu}$ открыто, то для любого $O\in N_{I(G, X)}(I(\alpha_{\operatorname{e}}))$ имеет место равенство $I(\alpha)_{\mu}(O)= \operatorname{int}(I(\alpha)_{\mu}(O))$. Поэтому $\mu\in \operatorname{int}(O\mu)$. Таким же способом устанавливается случай $d$-открытости. Предложение 5. Действие $I(\alpha)$ на пространстве $I(X)$ $d$-открыто тогда и только тогда, когда для любых $O\in \mathcal{N}_{I(G, X)}(\operatorname{id}_{I(X)})$ и $\mu\in I(X)$ существует окрестность $U$ меры $\mu$ такая, что $U\subset \{\Phi W\colon \Phi \in O\}$ для любого непустого открытого подмножества $W\subset U$. Доказательство. Ясно, что действие $d$-открыто в $\mu$, если для любого $O\in \mathcal{N}_{I(G, X)}(\operatorname{id}_{I(X)})$ существует окрестность $U$ меры $\mu$ такая, что для любого непустого открытого подмножества $W\subset U$ существует $\Phi\in O$, для которого $\mu\in \Phi W$ [7; замечание 4].
Необходимость вытекает из [7; предложение 1 и лемма 3]. Предложение 6. Для открытого (соответственно $d$-открытого) отображения $f\colon X \to Y$ отображение $I(f)\colon I(X) \to I(Y)$ также открыто (соответственно $d$-открыто). Доказательство. Достаточно показать, что
$$
\begin{equation*}
I(f)(\langle\mu; \varphi_1, \dots, \varphi_n; \varepsilon\rangle) \subset \operatorname{int} (I(f)(\langle\mu; \varphi_1, \dots, \varphi_n; \varepsilon\rangle)).
\end{equation*}
\notag
$$
Но это вытекает из того, что функтор $I$ сохраняет открытость отображений (см. теорему 4.3.5 из [18]). 4. Пространство идемпотентных вероятностных мер и компакты ДугунджиТеорема 1. Если $L= \{f_\alpha, f_{\beta\alpha}; A\}$ – согласованная система непрерывных отображений на $X$, то семейство $I(L)= \{I(f_\alpha), I(f_{\beta\alpha}); A\}$ непрерывных отображений на $I(X)$ также является согласованной системой. Доказательство. Так как $I$ – ковариантный функтор, то определены отображения Установим, что
Но равенство (ii) сразу же вытекает из ковариантности функтора $I$ в силу равенства $f_{\alpha}=f_{\beta\alpha}\circ f_{\beta}$ при $\alpha,\beta\in A$, $\alpha < \beta$. Так как все отображения $f_{\alpha}$ непрерывны, то $I(f_\alpha)$ – также непрерывное отображение. Следовательно, диагональное произведение $\underset{\alpha \in A}{\Delta}I(f_\alpha)$ непрерывно. Кроме того, так как $f_{\alpha}$ сюръективны, то из нормальности функтора $I$ вытекает, что $I(f_\alpha)(I(X))=I(f_\alpha(X))$, $\alpha\in A$. Достаточно показать, что диагональное произведение $\underset{\alpha \in A}{\Delta}I(f_\alpha)\colon I(X)\to \underset{\alpha \in A}{\Pi}I(f_\alpha)(I(X))$ инъективно. Пусть $\mu_{1},\mu_{2}\in I(X)$, $\mu_{1}\ne \mu_{2}$. Тогда существует $\varphi\in C(X)$ такая, что $\mu_{1}(\varphi)\ne \mu_{2}(\varphi)$. Применяя теорему Вейерштрасса–Стоуна можно установить, что множество
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\psi\circ f_{\alpha}\colon \psi\in C(f_{\alpha}(X)), \,\alpha\in A\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
образует всюду плотное подкольцо кольца $C(X)$. Поэтому существует $\alpha$ и $\psi\in C(f_{\alpha}(X))$ такие, что $|\varphi - \psi\circ f_{\alpha}| < {a}/{3}$, где $a= |\mu_{1}(\varphi) - \mu_{2}(\varphi)| > 0$. Поскольку каждая идемпотентная вероятностная мера сохраняет порядок, то $|\mu_{i}(\varphi) - \mu_{i}(\psi\circ f_{\alpha})| \leqslant {a}/{3}$, $i=1, 2$. Далее, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a &= |\mu_{1}(\varphi) - \mu_{2}(\varphi)| \\ &=|\mu_{1}(\varphi) - \mu_{1}(\psi\circ f_{\alpha}) + \mu_{1}(\psi\circ f_{\alpha}) - \mu_{2}(\psi\circ f_{\alpha}) + \mu_{2}(\psi\circ f_{\alpha}) - \mu_{2}(\varphi)| \\ & \leqslant |\mu_{1}(\varphi) - \mu_{1}(\psi\circ f_{\alpha})| + |\mu_{1}(\psi\circ f_{\alpha}) - \mu_{2}(\psi\circ f_{\alpha})| + |\mu_{2}(\psi\circ f_{\alpha}) - \mu_{2}(\varphi)| \\ &\leqslant \frac{2a}{3} + |\mu_{1}(\psi\circ f_{\alpha}) - \mu_{2}(\psi\circ f_{\alpha})|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. Но тогда $\mu_{1}(\psi\circ f_{\alpha}) \ne \mu_{2}(\psi\circ f_{\alpha})$, что значит $I(f_{\alpha})(\mu_{1})(\psi) \ne I(f_{\alpha})(\mu_{2})(\psi)$, следовательно, $I(f_{\alpha})(\mu_{1}) \ne I(f_{\alpha})(\mu_{2})$. Таким образом, Следствие 1. Если согласованная система $L=\{f_\alpha, f_{\beta\alpha}; A\}$ непрерывных отображений на $X$ является слабо мультипликативной, то согласованная система $I(L)= \{I(f_\alpha), I(f_{\beta\alpha}); A\}$ непрерывных отображений на $I(X)$ также является слабо мультипликативной. Легко заметить, что из предложения 6 и теоремы 1 вытекает важное свойство системы $L= \{f_\alpha, f_{\beta\alpha}; A\}$. Следствие 2. Если согласованная система $L= \{f_\alpha, f_{\beta\alpha}; A\}$ непрерывных отображений на $X$ открыта (соответственно $d$-открыта), то согласованная система $I(L)= \{I(f_\alpha), I(f_{\beta\alpha}); A\}$ непрерывных отображений на $I(X)$ также открыта (соответственно $d$-открыта). Из результатов работы [17] получим следующее утверждение. Лемма 2. Если согласованная система $L= \{f_\alpha, f_{\beta\alpha}; A\}$ непрерывных отображений на $X$ эквивариантна, то согласованная система $I(L)= \{I(f_\alpha), I(f_{\beta\alpha}); A\}$ непрерывных отображений на $I(X)$ также эквивариантна. Лемма 3. Если согласованная система $L= \{f_\alpha, f_{\beta\alpha}; A\}$ непрерывных отображений на $X$ является $\mu$-системой, то согласованная система $I(L)\,{=}\, \{I(f_\alpha), I(f_{\beta\alpha}); A\}$ непрерывных отображений на $I(X)$ также является $\mu$-системой. Доказательство. Из [18; следствие 4.4.2] вытекает, что для метризуемого пространства $Y$ пространство $I(Y)$ также метризуемо. Кроме того, если $f\colon X\to Y$ – непрерывное взаимно-однозначное отображение “на”, то $I(f)\colon I(X)\to I(Y)$ – также непрерывное взаимно-однозначное отображение “на”. Отсюда следует, что если $X$ субметризуемо, то $I(X)$ тоже субметризуемо. Теперь из теоремы 1 вытекает, что если семейство $\Delta\{f_{\alpha} \in L \colon f_{\alpha}(X) \text{ субметризуемо}\}$ является $\mu$-системой, то $\Delta\{I(f_{\alpha}) \in I(L) \colon I(f_{\alpha})(I(X)) \text{ субметризуемо}\}$ образует $\mu$-систему. Суммируя все полученные результаты, теперь сможем сформулировать следующее утверждение. Теорема 2. Если пространство $X$ является $od$-пространством ($d$-пространством), то пространство $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер также является $od$-пространством ($d$-пространством). Для изложения дальнейшего результата нам потребуются следующие два предложения. Предложение 7 [7]. Пусть действие на $X$ слабо $d$-открыто, а семейство $\mathscr{O} \subset N_{G}(e)$ таково, что: Если семейство $\mathscr{O}$ дополнительно к условиям (i) и (ii) удовлетворяет следующему условию: Пусть $\mathscr F$ – семейство эквивариантных факторотображений $G$-пространства $X$. Положим $f\geqslant h, f, h\in \mathscr{F}$, если существует $p_{fh}\colon f(X)\to h(X)$ такое, что $p_{fh} \circ f=h$. Отметим, что в этом случае отображение $p=p_{fh}$ эквивариантно. Действительно, пусть $y=f(x)\in f(X)$ и $g\in G$. Для доказательства равенства $p(gy)=gp(y)$ достаточно показать, что $h^{-1}(p(gy))=h^{-1}(gp(y))$. Последнее равенство вытекает из следующего:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^{-1}(p(gy)) &=h^{-1}(p(g(f(y))))=h^{-1}(p(f(g x)))=h^{-1}(h(g x))=h^{-1}(gh (x)) \\ &= h^{-1}(g(p(f(x))))=h^{-1}(g(p(y))). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После отождествления отображений $f, h\in \mathscr{F}$ таких, что $f\geqslant h$ и $h\geqslant f$ (отношение эквивалентности на $\mathscr{F}$), семейство классов эквивалентности (будем его также обозначать $\mathscr{F}$) становится частично упорядоченном множеством. Предложение 8 [7]. Пусть $X$ – $G$-пространство со слабо $d$-открытым действием, удовлетворяющим следующему свойству: Тогда для семейства $\mathscr{F}$ эквивариантных факторотображений $X$ семейство $L=\{f\in \mathscr{F},\, p_{fh}, f, h\in \mathscr{F},\, f\geqslant h,\, \mathscr{F}\}$ является согласованной слабо мультипликативной эквивариантной системой (соответственно $\mu$-системой) отображений на $X$. Классы компактных $od$- и $d$-пространств совпадают с классом компактов Дугунджи (см. [6; предложение 2]), а компактификация Стоуна–Чеха $\beta X$ пространства $X$ есть компакт Дугунджи в том и только том случае, если $X$ – псевдокомпактное $d$-пространство (см. [6; предложение 4]). В следующем утверждении требуем, чтобы семейство из свойства (s) в предложении 8 удовлетворяло и условию счетности, содержащемуся в скобке в формулировке условия (s). Теорема 3. Пусть пространство $X$ является $G$-пространством с открытым действием, удовлетворяющим свойству (s). Тогда пространство $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер является $od$-пространством с согласованной слабо мультипликативной эквивариантной открытой $\mu$-системой отображений. Если при этом $X$ – компакт, то $I(X)$ – компакт Дугунджи. Доказательство вытекает из повторных применений конструкций, рассмотренных в теореме 1, их следствий 1, 2, лемм 2, 3, а также процедуры, проведенной в доказательстве теоремы 3 из [7]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZaiEsh23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|