| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О многочленах, заданных дискретной формулой Родрига В. Н. Сорокинab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030112 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВведем дискретную меру $\mu=\mu (c, \beta; x)$, носителем которой является множество всех целых неотрицательных чисел $\mathbb{Z}_+=\{0, 1, 2, \dots\}$. В точку $x \in \mathbb{Z}_+ $ помещаем массу где $\Gamma$ – гамма-функция (интеграл Эйлера второго рода). Эта мера зависит от двух параметров $\beta>0$ и $0<c<1$.Многочлены $P_n(x)$ степени $n \in \mathbb{Z}_+$, ортогональные по мере $\mu$, т.е. такие, что
$$
\begin{equation*}
\int P_n (x) x^k \,d \mu (x)=0, \qquad k=0, \dots, n-1,
\end{equation*}
\notag
$$
называются многочленами Мейкснера (J. Meixner, 1934, [1], [2]). Пусть они нормированы условием $P_n(0)=1$, $n \in \mathbb{Z}_+$. Тогда справедлива следующая, принадлежащая Мейкснеру, дискретная формула Родрига:
$$
\begin{equation}
P_n (x) c^x\frac{\Gamma (\beta+x)}{\Gamma (1+x)}=\frac{1}{n!} \Delta^n \biggl\{ c^x\frac{\Gamma (\beta+n+x)}{\Gamma (1+x)}\biggr\}, \qquad n \in \mathbb{Z}_+,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где – левый разностный оператор. В ряде работ [3]–[10] изучались многочлены совместно ортогональные относительно различных наборов мер Мейкснера (1.1). Общие вопросы сходимости последовательностей дискретных мер и их потенциалов изучались в недавней работе [11]. В работах [12]–[15] изучались другие примеры соотношений дискретной ортогональности. Эти многочлены тесно связаны с теорией диофантовых приближений, а именно, с их помощью можно строить хорошие совместные рациональные аппроксимации к значениям в точках $s=2,3,4,\dots$ дзета-функции Римана–Эйлера
$$
\begin{equation*}
\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\prod_{p} \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}, \qquad \operatorname{Re} s > 1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $p$ пробегает множество простых чисел. В работе [3] автор, в частности, изучал многочлены $Q_n(x)$ степени $2n$, $n \in \mathbb{Z}_+$, ортогональные относительно меры $\mu_1=\mu$ и ее производной $\mu_2=\mu'$:
$$
\begin{equation*}
\int Q_n (x) x^k\,d \mu_j (x)=0, \qquad k=0,\dots,n-1, \quad j=1,2.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mu'$ – это не мера, а производная меры в смысле теории обобщенных функций. Было полностью исследовано предельное распределение нулей масштабированных многочленов $Q_n(nx)$, $n\in\mathbb{Z}_+$. Пусть, без ограничения общности, здесь и в дальнейшем $\beta=1$, поскольку слабая асимптотика многочленов не зависит от параметра $\beta$. Мы придерживаемся нормировки $Q_n(0)=1$, $n\in\mathbb Z_+$. Тогда справедлива дискретная формула Родрига, обобщающая формулу Мейкснера (1.2):
$$
\begin{equation}
Q_n (x) c^x =\frac{1}{n!} \frac{1}{n!} \Delta^n \biggl\{c^x\biggl(\frac{\Gamma (1+n+ x)}{\Gamma (1+x)}\biggr)^2\biggr\}, \qquad n \in \mathbb{Z}_+.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Интересно отметить, что в предельном случае, когда $c=1$, формула (1.3) определяет некоторые многочлены степени $n\in\mathbb{Z}_+$. Это – так называемые многочлены Тушара (J. Touchard, 1956, [16]), ортогональные относительно последовательности чисел Бернулли $\{B_n\}_0^{\infty}$, производящая функция которых имеет вид
$$
\begin{equation*}
\frac{z}{e^z - 1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} z^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Марк Прево (Marc Prevost, 1996, [17]) применил многочлены Тушара для доказательства результата Апери (R. Ap$\acute{\text{e}}$ry, 1979, [18]) об оценке меры иррациональности числа $\zeta (2)=\pi^2/6$. Об иррациональности значений дзета-функции см. также [19]. В дальнейшем у нас возникло несколько направлений, по которым можно обобщать формулу Родрига (1.2). Не все такие многочлены будут многочленами совместной ортогональности. Они могут удовлетворять дополнительным интерполяционным условиям. Тем не менее, изучение этих многочленов имеет смысл в связи, как было отмечено выше, с теорией диофантовых приближений. В настоящей работе мы рассмотрим один типичный пример таких многочленов. 2. Постановка задачи и основные результатыБудем изучать многочлены, заданные следующей дискретной формулой Родрига
$$
\begin{equation}
A_n (x) c^x=\frac{1}{n!} \frac{1}{n!} \Delta^n \biggl\{ c^x\biggl(\frac{\Gamma (1+n+x)}{\Gamma (1+x)}\biggr)^2 Q_n(x)\biggr\}, \qquad n \in \mathbb{Z}_+,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где многочлены $Q_n(x)$ определены формулой (1.3). Многочлены $A_n$ имеют степень $4n$, они нормированы условием $A_n(0)=1$, $n \in \mathbb{Z}_+$. Сделаем масштабирование где $C_n$ – нормировочная постоянная такая, что старший коэффициент многочлена $A_n^*$ равен единице. Наша задача состоит в нахождении предельного распределения нулей многочленов $A_n^*$. Обозначим через $\mathsf{Z}_n$ множества нулей этих многочленов. Положим
$$
\begin{equation*}
\lambda_n=\frac{1}{n} \sum_{\xi \in \mathsf{Z}_n } \delta_{\xi},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_{\xi}$ – единичная мера в точке $\xi$, т.е. $\delta$-функция (мера Дирака). Дискретная мера $\lambda_n$ – это нормированная мера, считающая нули многочлена $A_n^*$. Теорема 1. Последовательность считающих мер $\{\lambda_n\}_0^{\infty}$ имеет предел: где $\lambda$ – положительная борелевская мера на комплексной плоскости. Носителем меры $\lambda$ служит некоторый компакт $\mathsf{S}(\lambda)$, ее полная вариация равна $\|\lambda\|=4$. Сходимость (2.2) понимается в $*$-слабой топологии сопряженного пространства (поточечная сходимость функционалов). Существование предельной меры распределения нулей многочленов $A_n^*$ равносильно (в нашей ситуации) существованию слабой асимптотики этих многочленов. Теорема 2. Существует предел Укажем явный вид предельной меры $\lambda$ в терминах мероморфной функции на римановой поверхности. Построим пятилистную риманову поверхность $\mathfrak{R}$. Для этого рассмотрим следующий многочлен
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathsf{Q}(c;z) &=- c (32 - 27c)+4 (32 - 71c+36c^2)z + 4(80 - 201c+110c^2)z^2 \\ &\qquad+4(280 - 461c+104c^2+64c^3)z^3 + 4(60+141c - 554c^2+320c^3)z^4 \\ &\qquad +16(40+163c - 364c^2+160c^3)z^5 - 16(194 - 503c+478c^2 - 160c^3)z^6 \\ &\qquad + 160(1-c)(13+4c - 8c^2)z^7 - 16(1-c)^2(25-16c)z^8. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При каждом $c \in (0,1)$ многочлен $\mathsf{Q}$ имеет два вещественных положительных корня $a$ и $b$, а также три пары комплексно сопряженных корней $\zeta_{\pm}$, $\alpha_{\pm}$, $\beta_{\pm}$. Пусть $a< b$. Считаем, что корни $\zeta_{+}$, $\alpha_{+}$, $\beta_{+}$ лежат в открытой верхней полуплоскости, а корни $\zeta_{-}$, $\alpha_{-}$, $\beta_{-}$ – в нижней. При этом, у невещественных корней наибольшую вещественную часть имеют корни $\zeta_{\pm}$, а наименьшую – корни $\beta_{\pm}$. Зафиксируем три вещественных числа $x_J$, где $J=\zeta, \alpha, \beta$, такие, что
$$
\begin{equation*}
- \infty < x_{\beta} < x_{\alpha} < 0 < x_{\zeta} <+\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Соединим точку $x_{\zeta}$ с точками $\zeta_+$ и $\zeta_-$ симметричными относительно вещественной оси простыми аналитическими дугами $\Gamma_{\zeta}^+$ и $\Gamma_{\zeta}^-$ соответственно. Эти дуги лежат в открытых верхней и нижней полуплоскостях за исключением точки $x_{\zeta}$. Точный выбор этих дуг будет указан ниже. Положим
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\zeta}=\Gamma_{\zeta}^+ \cup \Gamma_{\zeta}^-, \qquad \Gamma_{\zeta}^*=\Gamma_{\zeta} \cup [0, x_{\zeta}].
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\Gamma_{\zeta}^*$ будем называть термином “жук”. Аналогичным образом строятся разрезы
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}^+ \cup \Gamma_{\alpha}^-, \qquad \Gamma_{\beta}=\Gamma_{\beta}^+ \cup \Gamma_{\beta}^-,
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующие им жуки
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{\alpha}^*=\Gamma_{\alpha} \cup [x_\alpha, 0], \qquad \Gamma_{\beta}^*=\Gamma_{\beta} \cup [x_\beta, 0]
\end{equation*}
\notag
$$
(см. рис. 1). Все рисунки носят чисто иллюстративный характер. Через $E$ обозначим отрезок $[a,b]$. Возьмем следующие листы:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathfrak{R}_{\beta} =\overline{\mathbb{C}}\setminus\Gamma_{\beta}, \qquad \mathfrak{R}_{\zeta}=\overline{\mathbb{C}}\setminus(\Gamma_{\beta} \cup \Gamma_{\zeta}), \qquad \mathfrak{R}_{*}=\overline{\mathbb{C}}\setminus(\Gamma_{\zeta} \cup E), \\ \mathfrak{R}_{E}=\overline{\mathbb{C}}\setminus(E \cup \Gamma_{\alpha}), \qquad \mathfrak{R}_{\alpha}=\overline{\mathbb{C}}\setminus\Gamma_{\alpha}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Риманова поверхность $\mathfrak{R}$ как накрытие получается склейкой этих пяти листов по соответствующим разрезам. Эта поверхность имеет род нуль. Она гомеоморфна сфере Римана $\overline{\mathbb{C}}$. На поверхности $\mathfrak{R}$ определим мероморфную функцию Она полностью определяется своим дивизором и условием нормировки. Эта функция имеет нули второго порядка на листах $\mathfrak{R}_*$, $\mathfrak{R}_{\alpha}$, $\mathfrak{R}_{\beta}$ в точках с проекцией $z=0$, полюс второго порядка на листе $\mathfrak{R}_E$ в точке с проекцией $z=0$ и полюс четвертого порядка на листе $\mathfrak{R}_{\zeta}$ в точке с проекцией $z=0$. В точке с проекцией $z=\infty$ на листе $\mathfrak{R}_*$ значение этой функции равно единице. Теорема 3. Функция $\theta$ удовлетворяет алгебраическому уравнению пятой степени где На рис. 2 показано сечение графика функции $\theta(z)$ вещественной плоскостью $(\operatorname{Re}z, \operatorname{Re}\theta)$. Этот рисунок отражает лишь топологию кривых при значениях параметра $c$, когда $x_\zeta<a$. Алгебраическая функция $\theta(z)$ имеет точки ветвления второго порядка при $z=\zeta_{\pm},\alpha_{\pm},\beta_{\pm}, a, b$. Других точек ветвления, включая бесконечность, она не имеет. В плоскостях с указанными разрезами определены однозначные ветви этой функции: $\theta_{\alpha}$, $\theta_{\beta}$, $\theta_{\zeta}$, $\theta_{E}$, $\theta_{*}$. С помощью алгебраической функции $\theta$ определим на комплексной плоскости четыре положительные борелевские меры $\lambda_{\alpha}$, $\lambda_{\beta}$, $\lambda_{E}$, $\lambda_{\zeta}$. Если $\nu$ – конечная положительная борелевская мера с компактным носителем $\mathsf{S}(\nu)$ в комплексной плоскости, то через
$$
\begin{equation*}
\mathsf{h}_\nu (z)=\int \frac{d\nu(x)}{z-x}, \quad z \in \overline{\mathbb{C}} \setminus \mathsf{S}(\nu), \qquad \mathsf{h}_\nu(z) \sim \frac{\|\nu\|}{z}, \quad z \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
будем обозначать марковскую функцию этой меры – ее преобразование Коши. Ветвь $\theta_{\alpha}$ голоморфна в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus \Gamma_{\alpha}$. При этом
$$
\begin{equation}
\theta_{\alpha} (z)=\frac{1}{c}\biggl(1 - \frac{1}{z}+O\biggl(\frac{1}{z^2}\biggr)\biggr), \qquad z \to \infty.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Рассмотрим логарифм этой функции. Точнее, положим В окрестности бесконечности выделяем главную ветвь логарифма такую, что
$$
\begin{equation*}
h_{\alpha} (z) \sim \frac{1}{z}, \qquad z \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $h_{\alpha}$ аналитически продолжается до функции, голоморфной в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus \Gamma_{\alpha}^*$. Эта функция является марковской функцией некоторой меры $\lambda_{\alpha}$, носителем которой служит жук $\Gamma_{\alpha}^*$, а ее полная вариация равна $\|\lambda_{\alpha}\|=1$: $h_{\alpha}=\mathsf{h}_{\lambda_{\alpha}}$. Мера $\lambda_{\alpha}$ восстанавливается по своей марковской функции с помощью формулы Сохоцкого. Если разрез $\Gamma_{\alpha}$ провести произвольным образом, то эта мера будет, вообще говоря, комплексной. Условие вещественности меры $\lambda_{\alpha}$, которое автоматически влечет ее положительность, служит определением разреза $\Gamma_{\alpha}$ и, в частности, точки $x_{\alpha}$. Из анализа алгебраического уравнения (2.4) следует, что такой разрез существует. Аналогичное замечание относится к разрезам $\Gamma_{\beta}$ и $\Gamma_{\zeta}$. На отрезке $[x_{\alpha}, 0]$ мнимая часть функции $h_{\alpha}$ равна $2\pi$. Следовательно, на этом отрезке мера $\lambda_{\alpha}$ распределена равномерно с плотностью 2. Аналогичным образом по функции
$$
\begin{equation*}
h_{\beta}=- \log (c\theta_{\beta}), \qquad h_{\beta}(z) \sim \frac{1}{z}, \quad z \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
строится мера $\lambda_{\beta}$, носителем которой является жук $\Gamma_{\beta}^*$, и полная вариация которой равна $\|\lambda_{\beta}\|=1$. Функция $h_{\beta}$ является марковской функцией этой меры: $h_{\beta}=\mathsf{h}_{\lambda_{\beta}}$. На отрезке $[x_{\beta}, 0]$ мера $\lambda_{\beta}$ также равномерно распределена с плотностью 2. Функция $\theta_{\zeta}$ мероморфна в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus (\Gamma_{\zeta} \cup \Gamma_{\beta})$. В бесконечности она ведет себя снова как (2.6). Возьмем от нее логарифм:
$$
\begin{equation*}
h_{\zeta}=- \log (c \theta_{\zeta}), \qquad h_{\zeta}(z) \sim \frac{1}{z}, \quad z \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта функция аналитически продолжается до функции, голоморфной в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus (\Gamma_{\zeta}^* \cup \Gamma_{\beta}^*)$. Из схемы построения римановой поверхности $\mathfrak{R}$ следует, что функция $h_{\zeta}$ представляет собой разность двух марковских функций:
$$
\begin{equation*}
h_{\zeta}=\mathsf{h}_{\lambda_{\zeta}} - \mathsf{h}_{\lambda_{\beta}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Меру $\lambda_{\beta}$ мы определили выше. Носителем меры $\lambda_{\zeta}$ является жук $\Gamma_{\zeta}^*$, а ее полная вариация равна $\|\lambda_{\zeta}\|=2$. Функция $\theta_{E}$ мероморфна в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus (E \cup \Gamma_{\alpha})$. В бесконечности она ведет себя как (2.6). Возьмем от нее логарифм:
$$
\begin{equation*}
h_{E}=- \log (c \theta_{E}), \qquad h_{E}(z) \sim \frac{1}{z}, \quad z \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта функция аналитически продолжается до голоморфной в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus (E \cup \Gamma_{\alpha}^*)$. Она представляет собой разность двух марковских функций:
$$
\begin{equation*}
h_{E}=\mathsf{h}_{\lambda_{E}} - \mathsf{h}_{\lambda_{\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Меру $\lambda_{\alpha}$ мы определили выше. Носителем меры $\lambda_{E}$ служит отрезок $E$, а ее полная вариация равна $\|\lambda_{E}\|=2$. Функция $\theta_{*}$ голоморфна в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus (E \cup \Gamma_{\zeta})$. В бесконечности она ведет себя следующим образом:
$$
\begin{equation}
\theta_{*} (z)=1+\frac{4}{z}+O \biggl(\frac{1}{z^2}\biggr), \qquad z \to \infty.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Возьмем от нее логарифм:
$$
\begin{equation*}
h_{*}=\log \theta_{*}, \qquad h_{*}(z) \sim \frac{4}{z}, \quad z \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Эта функция аналитически продолжается до голоморфной в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus (E \cup \Gamma_{\zeta}^*)$. Из теоремы Виета, примененной к многочлену (2.5), следует, что
$$
\begin{equation*}
\theta_* \theta_{E}\theta_{\zeta}\theta_{\alpha}\theta_{\beta}=\frac{1}{c^4},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получим
$$
\begin{equation*}
h_*=\mathsf{h}_{\lambda_{\zeta}}+\mathsf{h}_{\lambda_{E}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, функция $h_*=\mathsf{h}_{\lambda_*}$ – марковская функция меры $\lambda_{*}= \lambda_{\zeta}+\lambda_{E}$. Носителем меры $\lambda_*$ служит объединение $\Gamma_{\zeta}^* \cup E$. Ее полная вариация равна $\|\lambda_*\|=4$. Отрезки $[0, x_{\zeta}]$ и $E$ могут как пересекаться, так и не пересекаться, в зависимости от значений параметра $c$. Но независимо от этого на отрезке $[0, x_{\zeta}]$ мера $\lambda_*$ всегда распределена равномерно с плотностью 2. Теорема 4. Имеем $\lambda=\lambda_*$. Другими словами, мера $\lambda_*$ является предельной мерой распределения нулей многочленов $A_n^*$. Меры $\lambda_{\alpha}$, $\lambda_{\beta}$, $\lambda_{E}$, $\lambda_{\zeta}$, полные вариации которых равны 1, 1, 2, 2 соответственно, удовлетворяют ограничениям (констрейнам)
$$
\begin{equation}
\lambda_{\alpha}\big|_{\mathbb{R}} \leqslant 2\chi, \qquad \lambda_{\beta}\big|_{\mathbb{R}} \leqslant 2\chi, \qquad \lambda_{*}\big|_{\mathbb{R}} \leqslant 2\chi,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $\chi$ – классическая мера Лебега на вещественной оси (равномерное распределение с плотностью 1). Зонами насыщения этих мер $\mathsf{Z} (\lambda_{\alpha})$, $\mathsf{Z} (\lambda_{\beta})$, $\mathsf{Z} (\lambda_{*})$, т.е. множествами, на которых ограничитель в (2.8) достигается, служат отрезки $[x_{\alpha}, 0]$, $[x_{\beta}, 0]$, $[0, x_{\zeta}]$ соответственно. Меры $\lambda_{\alpha}$, $\lambda_{\beta}$, $\lambda_{E}$, $\lambda_{\zeta}$ решают некоторую векторную задачу равновесия, а именно, смешанную задачу Анжелеско–Никишина [20] с внешним полем и констрейнами (2.8). Впервые задачу с констрейнами изучал Е. А. Рахманов [21]. Теорема 5. Существуют постоянные равновесия $w_{\alpha}, w_{\beta}, w_{E}, w_{\zeta}$ такие, что Будем пользоваться введенной в работе [20] идентификацией векторных задач равновесия с помощью графов. Условия равновесия $(\alpha)$, $(\beta)$, $(E)$, $(\zeta)$ соответствуют следующему графу-дереву (см. рис. 3). Здесь $\omega$ – абстрактная корневая вершина графа. Стрелки означают взаимодействие зарядов по Никишину (притяжение), пунктир – по Анжелеско (отталкивание). Кривые $\Gamma_{\alpha}$, $\Gamma_{\beta}$, $\Gamma_{\zeta}$ обладают, так называемым, $S$-свойством (свойством симметрии). А именно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial W_J}{\partial \vec{n}_+}= \frac{\partial W_J}{\partial \vec{n}_-} \qquad\text{на}\quad {\Gamma_J},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\vec{n}_+$ и $\vec{n}_-$ – единичные нормальные векторы, проведенные к различным берегам разреза $\Gamma_J$, где $J=\alpha, \beta, \zeta$. $S$-свойство равносильно данному выше определению этих разрезов (положительности мер). Компакты, обладающие $S$-свойством, изучались, например, в работах [22]–[24]. Многочлены $\mathring{A}_n=A_n |_{c=1}$ имеют степень $2n$, $n \in \mathbb{Z}_+$. Числа суть общие знаменатели совместных рациональных аппроксимаций величин $\zeta(2)$ и $\zeta(4)$. С помощью компьютерных символьных вычислений мы получили четырехчленное рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют эти числа, а именно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(n+1)^4 (171n^2+893n+1168) a_n + 7(2052n^6+23028n^5+106166n^4+257725n^3 \\ &\qquad\qquad\qquad + 348094n^2+248479n+73360) a_{n+1} \\ &\qquad\qquad- (27189n^6+359499n^5+1967399n^4+5700504n^3 \\ &\qquad\qquad\qquad+ 9217582n^2+7882277n+2784054) a_{n+2} \\ &\qquad\qquad+ (n+3)^4 (171n^2+551n+446) a_{n+3}=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $n=0,1,2,\dots$. Начальные условия следующие: $a_0=1$, $a_1=9$, $a_2=465$. Все числа $a_n$ – целые рациональные.
3. ДоказательстваБудем одновременно доказывать все основные результаты, сформулированные во втором разделе. Схема доказательства стандартная. Мы перепишем формулы Родрига по формуле Коши. Затем к полученным интегралам (вначале формально) применим метод перевала. В результате придем к основной алгебраической функции $\theta(z)$. Затем детальное изучение этой функции даст нам разрезы, обладающие $S$-свойством, даст соответствующие однозначные ветви, и как следствие, предельные меры. Вначале нам придется повторить некоторые фрагменты исследования многочленов $Q_n$, заданных формулой Родрига (1.3). Перепишем ее по формуле Коши:
$$
\begin{equation}
Q_n(x)c^x=\frac{1}{n!} \,\frac{1}{2\pi i} \int_{l} c^t \biggl(\frac{\Gamma(t+n+1)}{\Gamma(t+1)}\biggr)^2 \frac{dt}{(t-x)(t-x+1)\cdots(t-x+n)},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где (простой замкнутый спрямляемый)контур $l$ обходит точки $x,x-1,\dots,x-n$ и не содержит внутри себя точек $-n-1,-n-2,\dots$ . Сделаем в (3.1) масштабирование $x \mapsto nx$ и замену переменной $t \mapsto nt$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag Q_n(nx)c^{nx} &=\frac{1}{n!}\, \frac{1}{n^n} \,\frac{1}{2\pi i} \\ & \qquad\times\int_{l^*} c^{nt} \biggl(\frac{\Gamma(nt+n+1)}{\Gamma(nt+1)}\biggr)^2 \frac{dt}{(t-x)(t-x+1/n)\cdots(t-x+n/n)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
при этом, контур $l^*$ лежит в плоскости с разрезом $\mathbb{C} \setminus (-\infty, -1]$ и обходит отрезок $[x-1, x]$. Вначале, для простоты, можем считать, что точка $x$ и контур $l^*$ лежат в верхней полуплоскости. Затем асимптотические формулы продолжим на всю плоскость. По формуле Стирлинга
$$
\begin{equation}
\frac{\Gamma(nt+n+1)}{\Gamma(nt+1)}= \biggl(\frac{n}{e} \biggr)^n \biggl(\frac{(t+1)^{t+1}}{t^t} \biggr)^n \biggl(1+ O\biggl(\frac{1}{n} \biggr) \biggr), \qquad n \to \infty.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Формула (3.3) справедлива в любом секторе $|\mathrm{arg}\,t|<\pi-\varepsilon$, где $0<\varepsilon<\pi$. Далее,
$$
\begin{equation}
-\frac 1n \log \biggl| \prod_{k=0}^n \biggl(z+\frac{k}{n}\biggr)\biggr| \to V^{\chi_0} (z), \qquad n \to \infty, \quad z \in \mathbb{C} \setminus [-1,0],
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $\chi_0$ – классическая мера Лебега (равномерное распределение) на отрезке $[-1,0]$. Логарифмический потенциал этой меры равен
$$
\begin{equation*}
V^{\chi_0} (z)=\operatorname{Re} \mathcal{V}^{\chi_0} (z),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal{V}^{\chi_0} (z)=\int_{-1}^0 \log \frac{1}{z-t}\,dt=z \log z - (z+1) \log (z+1)+ 1
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
– комплексный потенциал, который является многозначной аналитической функцией. Для определенности договоримся в качестве исходных значений брать в (3.5) главные ветви логарифмов при $z>0$. Подставляя в правую часть (3.2) асимптотики (3.3) и (3.4), приходим к интегралам
$$
\begin{equation}
\mathfrak{I}_n (x)=\int_{l^*} \exp \{n\, S(t;x)\}\,dt,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S(t;x) &=t \log c+2 \bigl((t+1) \log(t+1) - t \log t\bigr) \\ &\qquad + \bigl((t-x) \log(t-x) - (t-x+1) \log(t-x+1) \bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Конечно, мы подставляем под знак интеграла не слабые, а сильные равномерные асимптотические формулы. Слабая асимптотика левой части (3.2) совпадает со слабой асимптотикой интегралов (3.6) (с точностью до константы). Асимптотическое поведение этих интегралов исследуем методом перевала. Напишем уравнение на критические точки: ${\partial S}/{\partial t}=0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial S}{\partial t}=\log \biggl\{ \frac{c(t+1)^2(t-x)}{t^2(t-x+1)} \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы приходим к кубическому уравнению которое определяет алгебраическую функцию $t_*=t_* (x)$. Выделением ветвей здесь и далее мы пока не занимаемся. Но при правильном выделении ветвей мы придем к следующей асимптотической формуле:
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \log Q_n(nx)=-x \log c+S_* (x)+\mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_*(x)$ – соответствующее критическое значение функции $S$: Этот предел заведомо существует в некоторой окрестности бесконечности. Вернемся к формуле Родрига (2.1). Запишем ее по формуле Коши:
$$
\begin{equation*}
A_n(z) c^z=\frac{1}{n!} \,\frac{1}{2\pi i} \int_l c^x \biggl( \frac{\Gamma (x+n+1)}{\Gamma(x+1)} \biggr)^2 Q_n(x)\,\frac{dx}{(x-z)(x-z+1)\cdots(x-z+n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем масштабирование $z \mapsto nz$ и замену переменной $x \mapsto nx$. Получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &A_n(nz) c^{nz} =\frac{1}{n!}\, \frac{1}{n^n} \,\frac{1}{2\pi i} \\ &\qquad\times \int_{l^*} c^{nx} \biggl( \frac{\Gamma (nx+n+1)}{\Gamma(nx+1)}\biggr)^2 Q_n(nx) \frac{dx}{(x-z)(x-z+1/n)\cdots(x-z+n/n)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Подставляя в этот интеграл соответствующие асимптотики, приходим к следующим интегралам: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma (x;z) &=2 \bigl((x+1) \log (x+1) - x \log x \bigr) \\ &\qquad+ \bigl((x-z) \log (x-z) - (x-z+1) \log (x-z+1) \bigr)+S_*(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Слабые асимптотики левой части (3.8) и интегралов (3.9) совпадают. Асимптотическое поведение этих интегралов также будем изучать методом перевала. Напишем уравнения на критические точки функции $\Sigma$, а именно, ${\partial \Sigma}/{\partial x}=0$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \Sigma}{\partial x}=\log \biggl\{ \frac{(x+1)^2(x-z)}{x^2(x-z+1)} \biggr\} + \frac{dS_*(x)}{dx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\frac{dS_*(x)}{dx} =\frac{\partial S}{\partial t}\bigg|_{t=t_*(x)} \cdot t_*'(x)+\frac{\partial S}{\partial x}\bigg|_{t=t_*(x)} = \frac{\partial S}{\partial x}=\log\biggl\{\frac{t-x+1}{t-x}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно,
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \Sigma}{\partial x}=\log \biggl\{\frac{(x+1)^2 (x-z) (t-x+1)}{x^2 (x-z+1) (t-x)}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы пришли к следующему уравнению:
$$
\begin{equation}
\frac{(x+1)^2 (x-z) (t-x+1)}{x^2 (x-z+1) (t-x)}=1, \qquad t=t_*(x).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Оно определяет алгебраическую функцию $x_*=x_*(z)$. Из сказанного выше следует, что при правильном выборе ветвей справедлива асимптотическая формула
$$
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log A_n(nz)=- z \log c+\Sigma_*(z)+\mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Sigma_*$ – критическое значение функции $\Sigma$, а именно, В комплексной плоскости с разрезами, обладающими $S$-свойством, существует голоморфная ветвь $x_*(z)$. По формуле Сохоцкого скачки данной ветви определяют положительную меру $\lambda$ на этих разрезах. Таким образом, мы доказали существование предельной меры $\lambda$ и получили следующую формулу:
$$
\begin{equation*}
V^{\lambda}=\varkappa - \Phi - \operatorname{Re}\Sigma_*,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varkappa$ – некоторая постоянная. Марковская функция $\mathsf{h}_\lambda$ меры $\lambda$ и ее логарифмический потенциал $V^{\lambda}$ связаны соотношением
$$
\begin{equation*}
\mathsf{h}_{\lambda}=- \frac{\partial}{\partial z} V^{\lambda},
\end{equation*}
\notag
$$
где ${\partial}/{\partial z}$ – формальная комплексная производная. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\mathsf{h}_{\lambda}=\frac{\partial}{\partial z}\Phi+\Sigma_*'.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом
$$
\begin{equation*}
\Sigma_*'(z)=\frac{\partial \Sigma}{\partial z}=\log \biggl\{\frac{x-z+1}{x-z}\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Окончательно, где Исключая из уравнений (3.7), (3.10), (3.11) переменные $t$ и $x$ приходим к уравнению (2.4), (2.5), определяющему алгебраическую функцию $\theta(z)$. Многочлен $\mathsf{Q}$ является дискриминантом этого уравнения (мы опустили множитель $z^8$). Нули $\mathsf{Q}$ служат точками ветвления второго порядка функции $\theta$. Других точек ветвления, в частности в нуле и в бесконечности, она не имеет. Ее поведение в бесконечности описывается формулами (2.6), (2.7). В нуле три ветви имеют нули второго порядка. Точнее, при $z \to 0$ эти ветви ведут себя как $b_jz^2$, где $b_1$, $b_2$, $b_3$ – корни кубического уравнения При всех $c \in (0,1)$ уравнение (3.12) имеет положительные корни. Одна из ветвей имеет полюс 2-го порядка, а именно: И одна из ветвей имеет полюс 4-го порядка: Докажем условия равновесия ($\alpha$). Заметим, что функция $W_{\alpha}$ непрерывна в $\overline{\mathbb{C}}$. Вычислим производную $\dot{W}_{\alpha}$ по натуральному параметру кривой $\Gamma_{\alpha}$ от этой функции. Через $\mathcal{W}_{\alpha}$ обозначим комплексификацию гармонической в области $\overline{\mathbb{C}} \setminus (\Gamma^*_{\alpha} \cup E)$ функции $W_{\alpha}$. Под значениями функции $\mathcal{W}_\alpha$ на жуке $\Gamma^*_{\alpha}$ будем понимать ее граничные значения на берегах этого разреза. Имеем
$$
\begin{equation}
\dot{W}_{\alpha}=\operatorname{Re} \dot{\mathcal{W}}_{\alpha} =\operatorname{Re} \{\mathcal{W}_{\alpha}' \dot{\Gamma}_{\alpha}\} =- \operatorname{Re} \{ (2\mathsf{h}_{\lambda_{\alpha}} - \mathsf{h}_{\lambda_E})\dot{\Gamma}_{\alpha} \} = - \operatorname{Re} \{ (h_{\alpha} - h_E) \dot{\Gamma}_{\alpha} \}.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
По построению римановой поверхности $\mathfrak{R}$ значения функции $h_{\alpha}$ на одном берегу разреза $\Gamma_{\alpha}$ совпадают со значениями функции $h_E$ на противоположном берегу. Тогда из (3.13) по формулам Сохоцкого следует, что
$$
\begin{equation*}
\dot{W}_{\alpha}=- \operatorname{Re} \{ 2 \pi i \dot{\lambda}_{\alpha} \}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\lambda_{\alpha}$ – положительная мера. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
W_{\alpha}=w_{\alpha} \qquad \text{на}\quad \Gamma_{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь вычислим производную вдоль вещественной оси функции $W_{\alpha}$ на интервале $(x_{\alpha}, 0)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
W_{\alpha}'=\operatorname{Re} \mathcal{W}_{\alpha}'=- \operatorname{Re} \{ h_{\alpha} - h_E \}=\log \frac{\theta_{\alpha}}{\theta_E} < 0,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $0 < \theta_{\alpha} < \theta_E$ на этом интервале. Таким образом, функция $W_{\alpha}$ убывает на отрезке $[x_{\alpha}, 0]$. Следовательно, $W_{\alpha} \leqslant w_{\alpha}$ на этом отрезке. Условия равновесия $(\alpha)$ доказаны. Условия равновесия $(\beta)$ и $(\zeta)$ доказываются аналогично. Докажем условия равновесия $(E)$. Для определенности будем считать, что жук $\Gamma^*_{\zeta}$ и отрезок $E$ не пересекаются. В случае пересечения рассуждения аналогичны. Вычислим производную вдоль вещественной оси функции $W_E$ на промежутке $(x_{\zeta}, +\infty)$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_E' &=\operatorname{Re} \mathcal{W}_E'=- \operatorname{Re} \{ 2 \mathsf{h}_{\lambda_E}+ \mathsf{h}_{\lambda_{\zeta}} - \mathsf{h}_{\lambda_{\alpha}}+\log c \} \\ &= - \operatorname{Re} \{ 2(h_E+h_{\alpha})+(h_{\zeta}+h_{\beta}) - h_{\alpha}+\log c \} =\operatorname{Re}\{\log (c^4 \theta_E^2 \theta_{\alpha} \theta_{\zeta} \theta_{\beta})\} \\ &=\operatorname{Re} \biggl\{\log \frac{c^4 \theta_E^2 \theta_{\alpha} \theta_{\zeta} \theta_{\beta} \theta_*}{\theta_*}\biggr\} = \log \biggl| \frac{\theta_E}{\theta_*} \biggr| \begin{cases} <0 &\text{на }(x_{\zeta}, a) , \\ =0&\text{на }(a,b), \\ >0&\text{на }(b,+\infty), \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $0 < \theta_E < \theta_*$ на интервале $(x,a)$, величины $\theta_E$ и $\theta_*$ – комплексно сопряженные на интервале $(a,b)$, и $0 < \theta_* < \theta_E$ на промежутке $(b,+ \infty)$. Таким образом, функция $W_E$ убывает на отрезке $[x_{\zeta}, a]$, постоянна на отрезке $[a,b]$ и возрастает на промежутке $[b,+\infty)$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & W_E=w_E \qquad \text{на}\quad E, \\ & W_E \geqslant w_E \qquad\text{на}\quad [x^*,+\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Условия равновесия $(E)$ доказаны. Все основные результаты работы доказаны. 4. ЗаключениеВ заключение рассмотрим предельные случаи, когда $c \uparrow 1$ (слабое внешнее поле), и когда $c \downarrow 0$ (сильное внешнее поле). На рис. 4, (a) показан типичный случай расположения разрезов (при $c=1/2$). Если $c$ возрастая стремится к единице, то точки $a$ и $b$ возрастая стремятся к бесконечности, при этом, длина отрезка $E=[a,b]$ также возрастая стремится к бесконечности. В пределе, при $c=1$, разрез $E$ исчезает на бесконечности. Многочлен $\mathring{A_n}=A_n |_{c=1}$ имеет степень $2n$. Точка $\zeta_+$ движется на юго-запад, достигая некоторого предельного значения $\mathring{\zeta_+}=\zeta_+ |_{c=1}$. Нули многочленов $\mathring{A_n}(nz)$ в пределе (при $n \to \infty$) лежат на жуке $\mathring{\Gamma_{\zeta}^*}=\Gamma_{\zeta}^* |_{c=1}$. Точка $\alpha_+$ движется на северо-восток, в пределе достигая точку $\mathring{\alpha_+}=i/2$. Точнее,
$$
\begin{equation*}
\mathring{\Gamma_{\alpha}^*}=\Gamma_{\alpha}^* |_{c=1}=\mathring{\Gamma_{\alpha}} =\Gamma_{\alpha} |_{c=1}=\biggl[-\frac i2, +\frac i2\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, жук $\Gamma_{\alpha}^*$ становится отрезком мнимой оси. Точка $\beta_+$ движется на юго-запад, в пределе достигая некоторого значения $\mathring{\beta_+}$ (см. рис. 4, (b)). Рассмотрим алгебраическое уравнение $\mathsf{E}=0$ при $c=1$. Оно становится приводимым. Имеем
$$
\begin{equation*}
\mathsf{E}(1; \theta)=\mathring{\mathsf{E}}(\theta) \mathring{\mathsf{E}}^{\alpha}(\theta),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathring{\mathsf{E}}^{\alpha} (\theta)=z^2 - (1+2z^2) \theta+z^2 \theta^2,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
\mathring{\mathsf{E}}(\theta)=-z^4+3z^2 (1+z^2) \theta - (1+2z+3z^2+3z^4) \theta^2 +z^4 \theta^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно, пятилистная риманова поверхность $\mathfrak{R}$ распадается на две римановы поверхности – двулистную $\mathfrak{K}^{\alpha}$ и трехлистную $\mathfrak{K}$. Многочлен $\mathring{\mathsf{E}}^{\alpha}$ дает “лишние корни”, не отвечающие за распределение нулей многочленов $\mathring{A}_n (nz)$. Риманова поверхность $\mathfrak{K}^{\alpha}$ склеивается из двух листов $\mathfrak{K}^{\alpha}_+$ и $\mathfrak{K}^{\alpha}_-$ вдоль разреза $\mathring{\Gamma}_{\alpha}=[-i/2, +i/2]$. Исследуем алгебраическую функцию $\mathring\theta (z)$, заданную уравнением $\mathring{\mathsf{E}}= 0$, и ее риманову поверхность $\mathfrak{K}$. Эта поверхность склеивается из трех листов:
$$
\begin{equation*}
\mathfrak{K}_*=\overline{\mathbb{C}} \setminus \mathring\Gamma_{\zeta}, \qquad \mathfrak{K}_{\zeta}=\overline{\mathbb{C}} \setminus (\mathring\Gamma_{\zeta} \cup \mathring\Gamma_{\beta} ), \qquad \mathfrak{K}_{\beta}=\overline{\mathbb{C}} \setminus \mathring\Gamma_{\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно возникают три однозначные ветви $\mathring\theta_*$, $\mathring\theta_{\zeta}$, $\mathring\theta_{\beta}$. При $z \to 0$ две ветви ведут себя как
$$
\begin{equation*}
\mathring\theta_{\beta} (z) \sim (b_+z)^2, \qquad \mathring\theta_* (z) \sim (b_-z)^2, \qquad z \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_{\pm}=(\sqrt{5} \pm 1)/2$ – золотое сечение. Третья ветвь стремится к бесконечности:
$$
\begin{equation*}
\mathring\theta_{\zeta} (z) \sim \frac{1}{z^4}, \qquad z \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
В бесконечности поведение ветвей следующее:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathring\theta_*(z)=1+\frac{2}{z}+O \biggl(\frac{1}{z^2} \biggr), \qquad z \to \infty, \\ \mathring\theta_J(z)=1 - \frac{1}{z}+O \biggl(\frac{1}{z^2} \biggr), \qquad z \to \infty, \quad J=\zeta, \beta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 5 показано сечение графика функции $\mathring\theta(z)$ вещественной плоскостью $(\operatorname{Re} z, \operatorname{Re} \mathring\theta)$. Дивизор мероморфной функции $\mathring\theta\colon \mathfrak{K} \to \overline{\mathbb{C}}$ следующий. Она имеет два нуля второго порядка и один полюс четвертого порядка при $z=0$. Условие нормировки: $\mathring\theta(\infty)=1$. Меры $\lambda_*=\lambda_{\zeta}$ и $\lambda_{\beta}$ связаны задачей равновесия Никишина. Пусть $c \downarrow 0$. Тогда $a \downarrow 0$, $b \downarrow 2$. В пределе, при $c=0$, отрезок $E$ становится отрезком $[0,2]$. Точка $\zeta_+$ движется на юго-восток, стремясь к 2. При этом $x_{\zeta} \uparrow 2$. В пределе разрез $\Gamma_{\zeta}$ исчезает, а жук $\Gamma_{\zeta}^*$ совпадает с зоной насыщения меры $\lambda_*= \lambda_E+\lambda_{\zeta}$, т.е. с отрезком $[0,2]$. При $c=0$ мера $\lambda_*$ – это равномерное распределение на отрезке $[0,2]$ с плотностью 2. Точка $\alpha_+$ движется на юго-запад, а точка $\beta_+$ – на северо-восток. Двигаясь навстречу друг другу, кривые $\Gamma_{\alpha}$ и $\Gamma_{\beta}$ в пределе совпадают (см. рис. 4, (c)). При $c=0$ имеем
$$
\begin{equation*}
a=0, \qquad b=2, \qquad\alpha_{\pm}=\beta_{\pm}=- 0.2 \pm 0.4 i
\end{equation*}
\notag
$$
– это корни квадратного трехчлена При $c=0$ алгебраическое уравнение $\mathsf E=0$ вырождается в уравнение первого порядка Функция
$$
\begin{equation*}
h=\log \theta, \qquad h(z) \sim \frac{4}{z}, \quad z \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
является марковской функцией меры $\lambda_*$. Меры $\lambda_{\alpha}$ и $\lambda_{\beta}$ суть “лишние решения”. Они никак не связаны с нулями многочленов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sor23} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|