| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Возмущения целочисленной последовательности – нулевые множества делителей в некоторых пространствах целых функций Н. Ф. Абузяроваab a Башкирский государственный университет, г. Уфа b Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, г. Уфа
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050012 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $\omega \colon \mathbb R\to \mathbb R$ – канонический вес, т.е. четная неотрицательная, неубывающая на $[0,\infty) $ функция такая, что $\omega (1)=0$, функция $f (\xi):=\omega (e^{\xi})$ выпукла на $[0,\infty)$, и
$$
\begin{equation}
\ln x =o(\omega (x)), \quad\omega (2x)=O(\omega (x)), \qquad x\to\infty,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
\int_{1}^{\infty}\frac{\omega (x)}{x^2}\,\mathrm{d}x<\infty .
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Из (1.2), в частности, следует, что $\omega (x)=o(x)$, $x\to\infty$. Для любых $a>0$, $r> 0$ определим банахово пространство целых функций
$$
\begin{equation}
P_{a,r}=\biggl\{ \varphi\in H(\mathbb C)\colon \| \varphi\|_{a,r}=\sup_{z\in\mathbb C} \frac{|\varphi (z)|}{\operatorname{exp}(a|\operatorname{Im} z|+r\omega (|z|))}<\infty\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Положим
$$
\begin{equation}
P_{(\omega)}=\bigcup_{r>0}\bigcup_{a>0} P_{a,r}, \qquad P_{(\omega),1}=\bigcup_{0<r<1}\bigcup_{a>0} P_{a,r}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
и наделим каждое из пространств, $ P_{(\omega)}$ и $ P_{(\omega),1}$, соответствующей топологией индуктивного предела банаховых пространств $P_{a,r}$. Введем еще пространство $P_{(\ln )}$, определяемое точно так же, как $ P_{(\omega)}$, но с заменой веса $\omega$ на вес $\ln (1+|x|)$. Локально-выпуклые пространства $ P_{(\omega)}$, $P_{(\ln )}$ и $ P_{(\omega),1}$ относятся к классу пространств типа $(LN^*)$ (см., например, [1]). Кроме того, $ P_{(\omega)}$ и $P_{(\ln )}$ – топологические алгебры относительно операций сложения и умножения функций. $P_{(\ln )}$ называют алгеброй Шварца. Пространство $ P_{(\omega),1}$, не будучи замкнутым относительно операции перемножения функций, обладает структурой топологического модуля над кольцом многочленов $\mathbb C[z]$. Для него известно описание множества всех мультипликаторов, т.е. всех функций $\psi$, для которых $\psi\cdot P_{(\omega),1}\subset P_{(\omega),1}$. А именно, это множество есть $\bigcap_{r>0}\bigcup_{a>0} P_{a,r}$ (см. [2; теорема 1]). Будем использовать обозначение $\mathcal P $ для всех трех введенных пространств в случае, когда не важно, о каком из них идет речь. Также обозначим символом $\mathcal M (\mathcal P)$ множество всех мультипликаторов пространства $\mathcal P$. Ясно, что $\mathcal M (\mathcal P)=\mathcal P$, если $\mathcal P=P_{(\omega)}$ или $P_{(\ln )}$. Говорят, что функция $\varphi\in\mathcal M (\mathcal P)$ есть делитель пространства $\mathcal P$, если верна импликация:
$$
\begin{equation}
\Phi\in\mathcal P, \quad \frac{\Phi}{\varphi}\in H(\mathbb C) \qquad\Longrightarrow \qquad \frac{\Phi}{\varphi}\in \mathcal P.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Напомним, что каждое из пространств $ P_{(\omega)}$, $P_{(\ln )}$ и $ P_{(\omega),1}$ является аналитической реализацией посредством преобразования Фурье–Лапласа $\mathcal F$ соответствующего пространства (ультра)распределений:
Для функции $\varphi\in\mathcal P$ положим $S=\mathcal F^{-1} (\varphi)$ и рассмотрим оператор свертки, порожденный функционалом $S$ и действующий в соответствующем пространстве ультрадифференцируемых или бесконечно дифференцируемых функций. Обозначим этот оператор $T_S$. Теорема A. Мультипликатор $\varphi$ пространства $\mathcal P$ является делителем этого пространства тогда и только тогда, когда оператор $T_S$ сюръективен (см. [8; теоремы 1, 2.2], [3; теорема 2.6, следствие 2.7], [2; теоремы 2, 3]). Для каждого из пространств $ P_{(\ln )}$, $ P_{(\omega)}$, $ P_{(\omega),1}$ имеется аналитический критерий того, что его мультипликатор $\varphi$ является и делителем в нем. Этот критерий доказан в работах [8; теоремы 1, 2.2] (для пространства $ P_{(\ln )}$), [3; теорема 2.6] (для пространства $ P_{(\omega)}$) и [2; теорема 2] (для пространства $ P_{(\omega),1}$). Теорема B. Функция $\varphi\in\mathcal M (\mathcal P)$ является делителем пространства $\mathcal P$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию $(E)$. Условие $(E)$ приведем отдельно для каждого из пространств $ P_{(\ln )}$, $ P_{(\omega)}$, $ P_{(\omega),1}$. Для функции $\varphi\in P_{(\ln )}$ выполнено условие $(E)$, если
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \exists\, A>0 \colon \qquad \forall\, x\in\mathbb R \quad\exists\, x'\in\mathbb R\colon \\ |x'-x|\leqslant A\ln (|x|+1), \qquad |x'|>|x| \qquad\text{и}\qquad \ln |\varphi(x')|\geqslant -A\ln (|x'|+1). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для функции $\varphi\in P_{(\omega)}$ выполнено условие $(E)$, если
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \exists\, A>0 \colon \qquad \forall\, x\in\mathbb R \quad \exists\, x'\in\mathbb R\colon \\ |x'-x| \leqslant A\omega (|x|), \qquad |x'|>|x| \qquad \text{и}\qquad \ln |\varphi(x')|\geqslant -A\omega (|x'|). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для функции $\varphi\in P_{(\omega),1}$ выполнено условие $(E)$, если
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \forall\,\varepsilon>0 \quad \forall\,\delta>0 \quad \exists\, x_0>0 \colon \qquad \forall\, x\in\mathbb R, \quad |x|\geqslant x_0 \qquad \exists\, x'\in\mathbb R\colon \\ |x'-x|\leqslant \delta\omega (|x|), \qquad|x'|>|x| \qquad\text{и}\qquad \ln |\varphi(x')|\geqslant -\varepsilon\omega (|x'|). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что если $\varphi =\mathcal F(S)$ – делитель пространства $\mathcal P$, то каждый элемент из ядра оператора свертки $T_S$ представляется в виде ряда (со скобками) по системе экспоненциальных одночленов, содержащихся в $\operatorname{ker} T_S$ (см. [3], [8], [9]). При этом последовательность показателей, по которой строится экспоненциально-полиномиальный базис в $\operatorname{ker} T_S$, с точностью до множителя $(-\mathrm{i})$, совпадает с нулевым множеством функции $\varphi$. Сказанное выше мотивирует к изучению нулевых множеств делителей пространства $\mathcal P$. Для случая $\mathcal P=P_{(\ln )}$ такие исследования были проведены нами в работах [10]–[13]. В частности, в [10] нами было выяснено, при каких условиях на возмущающую функцию $l$ последовательность $\{k+l(|k|)\}$, $k\in\mathbb Z$, представляет собой нулевое множество делителя пространства $P_{(\ln )}$. (Очевидно, что функция $\sin\pi z$, нулевое множество которой есть $\mathbb Z$, является делителем каждого из пространств $P_{(\ln )}$, $P_{(\omega)} $ или $ P_{(\omega),1}$.) В настоящей заметке мы изучаем аналогичный вопрос о нулевых множествах делителей пространств $P_{(\omega)} $ и $P_{(\omega),1}$, представляющих собой возмущения целочисленной последовательности. Отметим еще, что в работах [14]–[18] изучался вопрос об условиях на возмущения, при которых возмущенная целочисленная последовательность представляет собой нулевое множество целой функции типа синуса. Функции типа синуса играют ту же роль, что и делители пространства $\mathcal P$, в вопросах замкнутости, базисности экспоненциальных систем в пространстве $L^2$, а также задаче об интерполяции в пространстве Пэли–Винера. 2. Вспомогательные сведенияПусть функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{t\to\infty} \frac{\ln |l(t)|}{\ln t}=\alpha <1,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Положим Для $z\in\mathbb C$, $t\geqslant 0$ и последовательности $\Lambda =\{\lambda_k\}$ обозначим, как обычно, символом $n(z,t) $ число точек $\lambda_k$ в круге $|w-z|\leqslant t$, символами $n^+(0,t)$, $n^- (0,t) $ – число точек $\lambda_k$ в промежутках $[0,t]$ и $[-t,0]$, соответственно.Нам понадобится ряд свойств функции $\lambda$, последовательности (2.4) и считающих функций $n^+(0,t)$, $n^- (0,t) $, $n(0,t) $. Лемма 1. Пусть функция $l\colon [0,+\infty)\to\mathbb R$ удовлетворяет условиям (2.1), (2.2). Тогда Доказательство. Для функции $l$, удовлетворяющей вместо системы условий (2.1), (2.2) более сильному условию (2.6) утверждения 1)–6) леммы 1 были доказаны нами в [10; лемма 1]. Анализируя приведенное в [10] доказательство, легко убедиться в том, что при замене требования (2.6) системой условий (2.1), (2.2), остается справедливым соотношение (2.5). В свою очередь, доказательство утверждений 2)–6) леммы 1 в [10] опирается только на условие (2.1) и соотношение (2.5). Замечание 1. Если функция $l$ удовлетворяет (2.1), (2.2), а функция $\lambda$ определяется по ней формулой (2.3), то, как видно из доказательства леммы 1 в [10], имеет место следующее соотношение для обратной функции где $s=\lambda^{-1}(t)$, $L(t,s)=(l(s)-l(t))/(s-t)$. В работе [19] Фаворовым доказана следующая лемма. Лемма A. Пусть последовательность $A=\{ a_j\}\subset \mathbb C\setminus\{ 0\}$ удовлетворяет условиям Пусть функция $l$ удовлетворяет (2.1), (2.2), а функция $\lambda$ и последовательность $\{\lambda_k\}$ определены формулами (2.3), (2.4), соответственно. Тогда, в силу леммы 1 и леммы A формула
$$
\begin{equation}
\varphi (z) =\lim_{R\to\infty}\prod_{|\lambda_k|<R} \biggl( 1-\frac{z}{\lambda_k}\biggr) ,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
корректно определяет целую функцию экспоненциального типа, и для всех $z\in\mathbb C$ имеет место представление
$$
\begin{equation}
\ln |\varphi (z)| =\int_0^{\infty} \frac{n(0,t)-n(z,t)}{t}\,\mathrm{d} t.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Замечание 2. Как и в замечании 1 работы [10], изменим функцию $l$ на конечном отрезке $[0,t_0]$ так, чтобы функция $\lambda$ стала непрерывной и строго возрастающей на всей вещественной оси, $\lambda (0)=0$, и измененная функция $l$ являлась бы функцией ограниченной вариации на $[0,t_0]$ (а значит, в силу (2.2), на любом конечном отрезке $[a,b]\subset [0,+\infty)$). Такое изменение $l$ приведет к изменению не более, чем конечного числа точек последовательности $\{\lambda_k\}$, и следовательно, к изменению асимптотики функции $\ln |\varphi|$ на величину порядка $O(\ln |z|)$ при $|z|\to\infty $. Положим
$$
\begin{equation*}
d_1 = \min \biggl\{ \lambda_1, -\lambda_{-1}, \frac{d_0}2\biggr\} .
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [10; лемма 2] нами было устанавлено, что считающие функции
$$
\begin{equation*}
n(0,t) =[\lambda^{-1} (t)]-[\lambda^{-1} (-t)], \qquad n(x,t) =[\lambda^{-1} (x+t)]-[\lambda^{-1} (x-t)]
\end{equation*}
\notag
$$
в представлении (2.10) можно заменить (асимптотически) на выражения
$$
\begin{equation*}
(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t)), \qquad (\lambda^{-1} (x+t)-\lambda^{-1} (x-t)),
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно. Приведем точную формулировку. Лемма 2. Пусть функция $l$ удовлетворяет условию (2.6). Тогда для произвольного фиксированного $\delta_0\in (0,d_1)$ справедливо асимптотическое соотношение В дальнейшем нам понадобится замечание 2 из работы [10]: Замечание 3. Пусть точка $z=x+\mathrm{i}y$ лежит на окружности $|z-\lambda_k|=\delta_0$ для некоторого $k\in\mathbb Z'$, число $\delta_0$ такое же, как в лемме 2. Тогда, очевидно, где $t^* =\sqrt{t^2-y^2}$, $y\in [0,\delta_0]$. Аналогично тому, как было доказано соотношение (2.11), выводится, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag & \int_{0}^{\infty} \frac{n(0,t)-n(z,t)}{t}\,\mathrm{d} t-\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t)}{t}\,\mathrm{d} t \\ &\qquad\qquad +\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*)}{t}\,\mathrm{d} t =O(\ln |z|) , \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
когда $z\to\infty$, $z\in E$, где 3. Основной результат3.1. Теоремы об асимптотике $\ln |\varphi (z)|$Пусть $\nu\colon \mathbb R\to\mathbb R$ – канонический вес. Напомним, что канонический вес $\nu$ называется строгим, если для некоторого $K>1$ (см. [5; 1.3.5]).Всюду далее функции $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$, $\lambda$ и последовательность $\{\lambda_k\}_{k\in\mathbb Z'}$ те же, что и в разделе 2; в частности, $l$ удовлетворяет (2.6). Теорема 1. Предположим, что существуют дифференцируемая функция и строгий вес $\nu$ со свойствами Доказательство. С учетом того, что $\nu $ – канонический вес, из леммы 2 и замечания 3 следует, что соотношение (3.6) эквивалентно оценке при $ |z|\to\infty$, $z=x+\mathrm{i}y\in E$, где, как и выше, $t^* =\sqrt{t^2-y^2}$, $y\in [0,\delta_0]$.
Представим интеграл из левой части (3.7) в виде суммы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int_{\delta_0}^{\infty} \frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*)) -(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t))}{t}\,\mathrm{d} t =I_1+I_2+I_3 \\ &\qquad =\biggl(\int_{\delta_0}^{|x|/2}+\int_{|x|/2}^{2|x|} +\int_{2|x|}^{\infty}\biggr) \frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*))-(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t))}{t} \,\mathrm{d} t. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Оценки для слагаемых $I_1$, $I_2$, $I_3$ проведем при $x>0$ (случай $x<0$ рассматривается аналогично). Принимая во внимание соотношения (2.7), (3.2), (3.4), (3.5), для слагаемого $I_1$ при $x\to\infty$ получим
$$
\begin{equation}
I_1= \int_{\delta_0}^{x/2}\frac{2(t^*-t)-(l(x+t^*)-l(x-t^*))}{t}\,\mathrm{d}t + O(1) = O(\nu( x)) .
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Оценим слагаемое $I_3$. Для этого разобьем его на сумму двух интегралов: где
$$
\begin{equation*}
I_{31}=\int_{2x}^{\infty} \frac{2(t^*-t)-(l(t^*+x)-l(t^* -x))}{t}\,\mathrm{d}t , \qquad I_{32}=I_3-I_{31}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из соотношения (2.8) и условий (3.2)–(3.5) выводится оценка Используя (3.2), (3.4), (3.5) и принимая во внимание определение $t^*$, получаем
$$
\begin{equation}
I_{31}= O\biggl( \int_{2x}^{\infty}\frac{\nu (t)x}{t^2}\,\mathrm{d}t\biggr) +O(1) = O\biggl( \int_{2}^{\infty}\frac{\nu (\tau x)}{\tau^2}\,\mathrm{d}\tau\biggr) +O(1)= O(\nu (x)), \qquad x\to \infty.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Последнее равенство в (3.11) следует из условия строгости веса $\nu$ (см. [5; 1.3.5 (2)]).
Из (3.10), (3.11) выводим оценку Для интеграла $I_{2}$ напишем представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2 &=I_{21} +I_{22}+I_{23} \\ &=\biggl( \int_{x/2}^{x-1}+\int_{x-1}^{x+1}+\int_{x+1}^{2x}\biggr) \frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*))-(\lambda^{-1} (t) -\lambda^{-1} (-t))}{t}\,\mathrm{d} t . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться в том, что
Для $I_{21} $, учитывая (2.7), а затем (3.2) и (3.4), (3.5), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{21} &= \int_{x/2}^{x-1}\frac{(\lambda^{-1} (x+t^*)-\lambda^{-1} (x-t^*)) -(\lambda^{-1} (t)-\lambda^{-1} (-t))}{t}\,\mathrm{d} t \\ &=\int_{x/2}^{x-1}\frac{2(t^*-t)-(l(x+t^*)-l(x-t^* ))}{t}\,\mathrm{d}t +O(\nu(x)) \\ &=-\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x+t^*)-l(x)}{t}\,\mathrm{d}t-\int_{x/2}^{x-1} \frac{l(x)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t +O(\nu(x)) \\ &=-\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t +O(\nu( x)), \qquad x\to\infty . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t &=\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x)-l(x-t)}{t}\,\mathrm{d}t +\int_{x/2}^{x-1}\frac{l(x-t)-l(x-t^*)}{t}\,\mathrm{d}t \\ &=\int_{1/2}^{1-1/x}\frac{l(x)-l((1-\tau )x)}{\tau}\,\mathrm{d}\tau + O(1) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
когда $ x\to\infty$. Полагая $x=e^s$, $\delta=1-\tau$ и используя условия (3.2), (3.4), (3.5), последний интеграл оценим следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl| \int_{1/2}^{1-1/x}\frac{l(x)-l((1-\tau )x)}{\tau}\,\mathrm{d}\tau \biggr| &=\biggl| \int_{1/x}^{1/2}\frac{l(e^s)-l((e^{s+\ln \delta })}{1-\delta} \,\mathrm{d} \delta \biggr| \\ &\leqslant \mathrm{const}\int_{1/x}^{1/2} \frac{\mu (e^{s^*}) e^{s^*} \cdot (-\ln \delta)}{e^{s^*}(1-\delta)} \,\mathrm{d} \delta=O(\nu( x)) , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $s^*\in [s+\ln \delta,s]$. Окончательно получаем
Аналогично доказывается, что Из оценок (3.13)–(3.15) следует, что В свою очередь, из соотношений (3.9), (3.12), (3.16) вытекает оценка (3.7), а значит, и оценка (3.6).Замечание 4. Отметим, что функция $\mu $, фигурирующая в формулировке теоремы 1, не обязательно является строгим весом, и наоборот, строгий вес $\nu$ не обязательно удовлетворяет соотношению (3.2). Это обосновывает наличие в условии теоремы 1 промежуточного веса $\mu$. Замечание 5. Для справедливости (3.3) (при условии, что выполнены соотношения (3.4), (3.5)), достаточно, например, чтобы порядок функции $\nu$ был меньше 1/2, т.е. С другой стороны, теорема 1 справедлива при замене условия (3.3) следующим более слабым требованием:
$$
\begin{equation}
\int_{x^{1/\beta}}^{\infty}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}=O(\omega (x)), \qquad x\to\infty ,
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta=\varlimsup_{t\to\infty}\frac{\ln |\nu (t)|}{\ln t};
\end{equation*}
\notag
$$
здесь $\beta<1$, так как $\nu$ – строгий вес. Действительно, в силу (2.8), (3.2), (3.4), (3.5), иммем
$$
\begin{equation*}
I_{32}=O\biggl(\int_{2x}^{\infty}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\biggr)= \biggl(\int_{2x}^{x^{1/\beta}} +\int_{x^{1/\beta}}^{\infty}\biggr) \frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t.
\end{equation*}
\notag
$$
При этом, из (3.4), (3.5) следует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{2x}^{x^{1/\beta}}\frac{\nu (t)l(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t = O\biggl(\int_{2x}^{x^{1/\beta}}\frac{\nu^2 (t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\biggr), \qquad x\to\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Для оценки последнего интеграла воспользуемся тем, что согласно [5; п. 1.3.5 (2)] строгость веса $\nu$ эквивалентна соотношению
$$
\begin{equation*}
\lim_{\tau\to\infty}\varlimsup_{x\to\infty}\frac{\nu (\tau x)}{\tau\nu (x)} =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{2x}^{x^{1/\beta}}\frac{\nu^2 (t)}{t^2}\,\mathrm{d}t = O\biggl(\frac{\nu (x)}{x}\int_{2}^{x^{1/\beta}-1}\frac{\tau^{\beta}x^{\beta}}{\tau} \,\mathrm{d}\tau\biggr)=O(\nu (x)), \qquad x\to\infty .
\end{equation*}
\notag
$$
Из этой оценки и (3.17) следует (3.10). Напомним, что выпуклая функция $f\colon [0,\infty)\to\mathbb R$ такая, что удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если для любого $c>1$ найдутся $\xi_0>0$ и $C>0$ такие, что $f(c\xi)\leqslant Cf(\xi )$ при всех $\xi\geqslant\xi_0$ (см. [20; гл. I, § 4]).Следствие 1. Предположим, что функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$, будучи измененной на конечном отрезке $[0,l_0]$ (если это необходимо), удовлетворяет условию: $f(\xi):=l(e^{\xi})$ – выпуклая функция и для нее выполнены (3.18) и $\Delta_2$-условие. Тогда для функции $\varphi$, определенной формулой (2.9), верно соотношение когда $|z|\to\infty$, $z\in E$, множество $E$ определяется формулой (2.13). Доказательство. Согласно [20; теорема 4.1] выполнение $\Delta_2$-условия для функции $f$ равносильно тому, что
$$
\begin{equation}
\varlimsup_{\xi\to\infty}\frac{f'(\xi)\xi}{f(\xi)}<\infty .
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Из (3.18) и (3.20) нетрудно вывести, что тем более $\int_{0}^{\infty} (f(\xi)/e^{\xi})\,\mathrm{d}\xi<\infty$.
Следовательно, $l$ – канонический вес с асимптотикой $O(\ln ^p |x|)$, когда $|x|\to\infty $, при некотором $p>1$ (см. [5; 1.3.3 (2)]. К тому же, этот вес строгий, так как для $K>1$ в силу $\Delta_2$-условия для $f(\xi)=l(e^{\xi})$ и (3.20) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, l(Kx)&=f(\xi+\ln K)=f(\xi)+f'(\widetilde{\xi}) \ln K\leqslant f (\xi)\biggl( 1+\frac{\mathrm{const}\ln K}{\xi}\biggr) \\ &= l(x)\biggl( 1+\frac{\mathrm{const}\ln K}{\ln x}\biggr)\leqslant (K-\delta) l(x), \qquad \widetilde{\xi}\in [\xi, \xi+\ln K], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $x\geqslant x_{\delta}$ при достаточно малом $\delta >0$. Замечая еще, что $l$ удовлетворяет (3.2), (3.3) и применяя теорему 1 с $\nu=\mu=l$, получим требуемое утверждение. Замечание 6. Доказанное следствие, кроме того, предоставляет примеры функций $l$, для которых выполнены условия теоремы 1. В силу (3.23) функция $l$ должна иметь рост $O( \ln ^{p} |x|)$ для некоторого $p>1 $ и быть строгим весом. Нетрудно проверить, что условиям следствия 1 удовлетворяет функция $\ln ^p (|x|+1)$ при $p>1$. Отметим также, что имеются функции $l$, растущие быстрее любой степени $\ln |x|$, для которых справедливо утверждение теоремы 1. Например, это функции где $\rho\in (0,1/2)$, $p>0$.В следующем утверждении мы показываем, что, вообще говоря, условие строгости веса $\nu$ в теореме 1 существенно для весов, растущих быстрее любой степени $\ln |x|$. Теорема 2. Пусть $l\colon [0,\infty)\to\mathbb R$ – канонический вес и вогнутая функция, удовлетворяющая условиям Для функции $\varphi$, определенной формулой (2.9), соотношение имеет место тогда и только тогда, когда вес $l$ строгий. Доказательство. Достаточность вытекает из теоремы 1.
Докажем необходимость. Как и в теореме 1, соотношение (3.26) эквивалентно соотношению (3.7) с $\nu=l$. Рассмотрим слагаемые представления (3.8) при $x>0$. Видим, что в силу условий на вес $l$ (канонический вес, вогнутая функция, соотношение (3.24)), остаются справедливыми оценки (3.9), (3.10) и (3.16) с $\nu=l$. Поэтому для $z\in E\cap (0,\infty)$ будет
$$
\begin{equation}
\ln |\varphi (x)| =-I_{31}+ O(l (x)), \qquad x\to\infty,
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
где
$$
\begin{equation*}
I_{31}=-\int_{2x}^{\infty} \frac{l (t+x)-l (t -x)}{t}\,\mathrm{d}t .
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая вогнутость функции $l$ и соотношение (3.25), имеем для достаточно малого $\delta>0$ и достаточно большого $M>1$, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -I_{31} &\geqslant \int_{2x}^{\infty} \frac{2xl'(t+x)}{t}\,\mathrm{d}t\geqslant \int_{2x}^{\infty} \frac{2x(l (M(t+x)-l (t +x))}{M(t+x)t}\,\mathrm{d}t \\ &> \frac{2\delta}{M}\int_{2}^{\infty} \frac{l((A+1)x)}{A^2}\,\mathrm{d} A. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если вес $l$ не является строгим, то в силу критерия из [5; 1.3.5 (1)] будет
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{x\to\infty}\frac{1}{l (x)} \int_{2}^{\infty} \frac{l ((A+1)x)}{A^2}\,\mathrm{d} A=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{x\to\infty}\frac{-I_{31}}{l (x)} =\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и, следовательно, оценка (3.6) не выполняется на множестве $ E\cap (0,\infty)$. Полученное противоречие завершает доказательство. 3.2. Делители пространств $P_{(\omega)}$ и $P_{(\omega),1}$, нулевые множества которых – сдвиги целочисленной последовательностиПрименяя результаты, полученные в предыдущем пункте, выведем утверждения о делителях в пространствах $P_{(\omega)}$ и $P_{(\omega),1}$. Теорема 3. Предположим, что функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$ удовлетворяет условию (2.6), а также, что существуют дифференцируемая функция $\mu \colon [0,+\infty )\to \mathbb R$ и строгий вес $\nu$, со свойствами Теорема 3 есть результат применения теоремы B и теоремы 1. Частным случаем теоремы 3 является следующее утверждение. Следствие 2. Предположим, что функция $l\colon [0,+\infty)\to \mathbb R$, будучи измененной на конечном отрезке $[0,l_0]$ (если это необходимо), удовлетворяет условию: $f(\xi):=l(e^{\xi})$ – выпуклая функция, для которой выполнены (3.18) и $\Delta_2$-условие. Тогда функция $\varphi$, определенная формулой (2.9) по последовательности (3.28), есть делитель пространства $P_{(\omega)}$ ($P_{(\omega),1}$) для любого канонического веса $\omega$, такого, что $l (x)= O(\omega(x))$ (соответственно $l (x)= o(\omega(x))$) при $ x\to\infty$. Из теоремы 2 вытекает Теорема 4. Пусть $l\colon [0,\infty)\to\mathbb R$ – вогнутый канонический вес, для которого Автор выражает признательность рецензенту за полезные замечания и исправления. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Abu23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|