| Математические заметки |
|
|
|
|
|
А. В. Васинa, Е. С. Дубцовb a Государственный университет морского и речного флота им. адмирала С. О. Макарова, г. Санкт-Петербург b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070039 
Реферативные базы данных:
  1. Введение1.1. Базовые определения1.1.1. Усеченные операторы Кальдерона–ЗигмундаОднородным $C^{k}$-гладким оператором Кальдерона–Зигмунда называется сверточный оператор где интеграл следует понимать в смысле главного значения, $dx$ обозначает меру Лебега на пространстве $\mathbb{R}^d$ и предполагается, что $\Omega(x)$ – это однородная функция степени $0$, которая является $C^k$-дифференцируемой на $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ и имеет нулевой интеграл по единичной сфере. Функция $K(x)$ называется ядром Кальдерона–Зигмунда.Для заданной области $D \subset\mathbb{R}^d$ рассмотрим соответствующую модификацию оператора $T$. А именно, оператор $T_D$, задаваемый формулой
$$
\begin{equation*}
T_Df= (Tf)\chi_D, \qquad \operatorname{supp} f\subset \overline{D},
\end{equation*}
\notag
$$
называется усеченным оператором Кальдерона–Зигмунда. В настоящей статье изучаются определенные свойства гладкости оператора $T_D$ для области $D$ с регулярной границей. 1.1.2. Липшицевы областиОпределение 1. Ограниченная область $D\subset \mathbb{R}^d$ называется $(\delta, R)$-липшицевой, если для каждой точки $a\in\partial D$ существует функция $A\colon \mathbb{R}^{d-1}\to \mathbb{R}$ со свойством $\|\nabla A\|_\infty\leqslant \delta$ и существует куб $\mathfrak{Q}\subset\mathbb{R}^d$ с ребром длины $R$ и центром $a$ такие, что равенство имеет место после подходящего сдвига и вращения системы координат. Куб $\mathfrak{Q}$ называется $R$-окном для рассматриваемой области. В дальнейшем параметры $\delta$ и $R$ явно не указываются. В работе рассматриваются общие липшицевы области, что не приводит к недоразумениям. В настоящей статье также используются стандартные пространства Липшица $\mathrm{Lip}_\alpha(D)$, $0<\alpha\leqslant 1$. По определению пространство $\mathrm{Lip}_\alpha(D)$ состоит из функций $f\colon D\to \mathbb R$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{L^\infty(D)} + \sup_{x, y\in D,\, x\neq y} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x-y|^{\alpha}} < \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
1.1.3. Пространства ЗигмундаСледуя Янсону [1], рассмотрим модули непрерывности общего вида. Определение 2 [1]. Непрерывная возрастающая функция $\omega\colon [0,\infty)\to[0,\infty)$, $\omega(0)=0$, называется модулем непрерывности порядка $n\in\mathbb N$, если $n$ является наименьшим натуральным числом, для которого выполнены два сформулированных ниже свойства регулярности. 1. Для некоторого $q$, $ n\leqslant q<n+1$, функция $\omega(t)/t^q$ почти убывает, т.е. существует положительная константа $C=C(q)$ такая, что 2. Для любого $r$, $n-1<r< n$, функция $\omega(t)/t^r$ почти возрастает, т.е. существует положительная константа $C=C(r)$ такая, что При изучении пространств Зигмунда термин куб и обозначение $Q$ будет использоваться для куба в пространстве $\mathbb{R}^d$, ребра которого параллельны координатным осям. Отметим, что на куб $\mathfrak{Q}$ в определении 1 такое ограничение не накладывается. Символ $|Q|$ обозначает объем рассматриваемого куба, $\ell=\ell(Q)$ обозначает длину его ребра. Обозначим символом $\mathcal{P}_n$ пространство многочленов степени не более, чем $n$. Определение 3. Для заданного модуля непрерывности $\omega$ порядка $n \in \mathbb{N}$ однородное пространство Зигмунда $\mathcal{C}_{\omega}(D)$ в области $D\subset \mathbb{R}^d$ состоит из функций $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(D,dx)$ таких, что полунорма типа Кампанато является конечной. Замечание 1. Классические аргументы, основанные на лемме Кальдерона–Зигмунда и используемые при исследовании стандартного пространства $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^d)$ и пространств Липшица $\mathrm{Lip}_\alpha(\mathbb{R}^d)$ (см., например, [2], [3] и [4; § 1.2]), позволяют проверить, что $L^1$-норму в определении (1.3) можно заменять на $L^p$-норму, $1 < p\leqslant\infty$, в произвольной области $D$. Соответствующие полунормы эквивалентны и задают одно и то же пространство. Дальнейшие детали и доказательства приведены в разделе 2 в предложении 3. 1.2. $T(1)$ и $T(P)$-теоремыЯнсон [1; § 6] доказал, что для общих модулей непрерывности порядка $n$, $n\in\mathbb N$, однородные пространства $\mathcal{C}_{\omega}(\mathbb{R}^d)$ инвариантны относительно некоторых мультипликаторов Фурье. Пространства $\mathcal{C}_{\omega}(\mathbb{R}^d)$, рассматриваемые в работе [1], определяются в терминах конечных разностей; в настоящей статье используются полиномиальные приближения. Далее, для областей естественно рассматривать соответствующие неоднородные пространства. Действительно, множество $\mathcal{C}_{\omega}(D)$ содержится в пространстве $L^1(D,dx)$, если $D$ – ограниченная липшицева область. Итак, по определению неоднородное пространство $\mathcal{C}_{\omega}(D)$ – это банахово пространство со следующей нормой: Настоящая работа мотивирована $T(1)$-теоремой, использованной для доказательства следующего результата, который получили Матеу, Оробич и Вердера [5; основная лемма] для пространств Липшица на областях $D\subset\mathbb{R}^d$. Теорема 1 (см. [5; основная лемма], а также [6]). Пусть $D$ – ограниченная область с $C^{1+\alpha}$-гладкой границей, $0<\alpha<1$. Тогда усеченный оператор Кальдерона–Зигмунда $T_D$ с четным ядром отображает пространство Липшица $\mathrm{Lip}_\alpha(D)$ в себя. В работе [7] доказана близкая $T(1)$-теорема для операторов Эрмита–Кальдерона–Зигмунда. В статье [8] теорема 1 распространена на слабо гладкие пространства, расположенные между пространствами $\mathrm{Lip}_\alpha(D)$ и $\mathrm{BMO}(D)$, иными словами, на случай целого порядка $n=0$. Отметим, что теорема 1 не только представляет независимый интерес, но и имеет интересные и важные приложения. В частности, в работе [5] с помощью теоремы 1 получены результаты о регулярности квазирегулярных функций, т.е. решений уравнения Бельтрами на комплексной плоскости. Дальнейшее развитие этой темы связано с регулярностью решений эллиптических уравнений второго порядка в дивергентной форме. В статье [5] теорема 1 также использована вместе с результатами Толсы [9], чтобы установить непосредственную связь между устранимыми множествами для ограниченных квазирегулярных функций и ограниченных голоморфных функций. Далее, пусть $\mathcal{P}_{n}(D)$ обозначает пространство многочленов из $\mathcal{P}_{n}$, умноженных на характеристическую функцию области $D$. В данной статье рассматриваются высокие порядки гладкости, поэтому она также мотивирована следующим результатом, который получили Пратс и Толса [10]. Теорема 2 [10; теорема 1.6]. Пусть $D$ – липшицева область, $T_D$ – усеченный $C^n$-гладкий сверточный оператор Кальдерона–Зигмунда, $n\in\mathbb{N}$ и $p > d$. Тогда оператор $T_D$ ограничен на пространстве Соболева $W^{n,p}(D)$ в том и только в том случае, когда $T_D P\in W^{n,p}(D)$ для любого многочлена $P\in\mathcal{P}_{n-1}(D)$. По аналогии с $T(1)$-теоремами Пратс и Толса [10] называют сформулированный результат $T(P)$-теоремой; таким образом, они явно указывают на то, что соответствующее описание использует значения оператора $T_D$ на полиномах подходящей степени. Отметим, что в теореме 2 не предполагается, что ядро рассматриваемого оператора является четным. В работе [10] показано, что теорема 2 также влечет результаты о регулярности в терминах пространств Соболева для решений уравнения Бельтрами. В настоящей статье получен подобный $T(P)$-результат для пространств Зигмунда. 1.3. Основная теоремаДля модуля непрерывности $\omega$ ассоциированный модуль непрерывности $\widetilde{\omega}$ задается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widetilde{\omega}(x)= \frac{\omega(x)}{\max \bigl\{1,\int_x^1 \omega(t)t^{-n-1}\,dt\bigr\}}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Теорема 3. Пусть $\omega$ – модуль непрерывности порядка $n\in \mathbb{N}$ и пусть $D\subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная липшицева область. Пусть $T$ – однородный $C^{n+1}$-гладкий оператор Кальдерона–Зигмунда. Тогда усеченный оператор $T_D$ ограничен на пространстве $\mathcal{C}_{\omega} (D)$ в том и только в том случае, когда выполнены следующие два свойства: Отдельно отметим, что теорему 3 можно использовать для классических пространств Зигмунда $\mathcal{Z}_n(D) := \mathcal{C}_{\omega_n}(D)$, где $\omega_n(t) = t^n$, $n\in \mathbb N$. Следствие 1. Пусть $n \mspace{-1mu} \in \mspace{-1mu} \mathbb{N}$ и пусть $D \mspace{-1mu} \subset \mspace{-1mu} \mathbb{R}^d$ – ограниченная липшицева область. Пусть $T$ – однородный $C^{n+1}$-гладкий оператор Кальдерона–Зигмунда. Тогда усеченный оператор $T_D$ ограничен на пространстве Зигмунда $\mathcal{Z}_{n} (D)$ в том и только в том случае, когда выполнены следующие два свойства: Замечание 2. Модуль непрерывности $\omega$ порядка $n$ называется регулярным по Дини, если сходится интеграл В этом случае функции $\omega(x)$ и $\widetilde{\omega}(x)$ эквивалентны, поэтому формулировка теоремы 3 существенно упрощается и превращается в типичную $T(P)$-теорему: свойство (ii) является излишним, так как оно следует из свойства (i). В общем случае функции $\omega(x)$ и $\widetilde{\omega}(x)$ не являются эквивалентными и свойство (ii), использующее функцию $\widetilde{\omega}(x)$, вообще говоря, не следует свойства (i). Замечание 3. Если функции $\omega$ и $\widetilde{\omega}$ не являются эквивалентными, то теорема 3, в определенном смысле, становится асимметричной. Действительно, пространство $\mathcal{C}_{\omega}(D)$ определяется в терминах модуля непрерывности $\omega$, однако в свойстве (ii) из теоремы 3 используется модуль непрерывности $\widetilde{\omega}$. В частности, следствие 1 иллюстрирует такую асимметрию. Замечание 4. Неэквивалентные модули непрерывности могут иметь эквивалентные ассоциированные модули непрерывности. Например, для семейства модулей непрерывности $\omega_{s}(t)=t \log^{s}1/t$ имеем $\widetilde{\omega}_{s}\approx\omega_{-1}$ при $s>-1$. В действительности, семейство $\omega_{s}(t)=t \log^{s}1/t$, $s\in\mathbb{R}$, и соответствующая шкала пространств Зигмунда $\mathcal{C}_{\omega_{s}}(D)$ могут служить полезным рабочим примером для теоремы 3. Эти пространства отражают специфичные свойства шкалы Зигмунда в сравнении со шкалой Липшица. Замечание 5. Поясним выбор $\mathcal{P}_n$ в качестве приближающего полиномиального пространства в равенстве (1.3). Пусть $\mathcal{C}_{\omega, k}(D)$ обозначает пространство, задаваемое определением 3 после замены $\mathcal{P}_n$ на пространство $\mathcal{P}_k$. $\bullet$ Если $k>n$, то неравенство типа Маршо для локальных полиномиальных приближений (см., например, [4; гл. 4], где рассматриваются степенные модули непрерывности) гарантирует, что соответствующая полунорма, определяемая равенством (1.3), задает то же пространство $\mathcal{C}_{\omega}(D)$, с точностью до факторизации по полиномиальному пространству $\mathcal{P}_k$. $\bullet$ Если $\omega(t)=o(t^n)$, то при $k<n$ пространство $\mathcal{C}_{\omega, k}(D)$ является тривиальным и совпадает с пространством приближающих многочленов $\mathcal{P}_k(D)$. $\bullet$ Если $t^n=O(\omega(t))$, то значение $k=n-1$ является допустимым и порождает шкалу пространств Липшица–Бернштейна $\mathcal{C}_{\omega, n-1}(D)$; стандартное пространство Липшица $\mathrm{Lip}_1(D)$ соответствует модулю непрерывности $\omega(t)=t$. Шкала пространств $\mathcal{C}_{\omega, n-1}(D)$ отличается от шкалы пространств Зигмунда $\mathcal{C}_{\omega}(D)$. В данной работе пространства $\mathcal{C}_{\omega, n-1}(D)$ не рассматриваются, так как они не являются инвариантными относительно сверточных операторов Кальдерона–Зигмунда даже в случае $D=\mathbb{R}^d$. 1.4. Обозначения и организация статьиВ разделе 2 приведены базовые факты о пространстве $\mathcal{P}_n(D)$, а также доказаны некоторые свойства пространств Зигмунда на областях. Доказательство $T(P)$-теоремы изложено в разделе 3. Как обычно, символ $C$ обозначает константу, которая может изменяться от строки к строке и не зависит от соответствующих рассматриваемых переменных. Обозначение $A\lesssim B$ используется в том случае, когда существует фиксированная положительная константа $C$ такая, что $A < C B$. Если $A\lesssim B\lesssim A$, то используется обозначение $A\approx B$ и величины $A$ и $B$ называются эквивалентными. 2. Вспомогательные результаты2.1. Модули непрерывности и приближающие многочленыЗаданный модуль непрерывности $\omega$ можно заменить на эквивалентный $C^\infty$-гладкий модуль непрерывности $\widehat{\omega}$ с тем же натуральным параметром $n$. Поэтому далее предполагается, что $\omega$ является $C^\infty$-гладкой функций на луче $(0,\infty)$. Лемма 1 (см., например, [1; лемма 4]). Пусть $\omega$ – модуль непрерывности. Из свойства (1.1) с параметром $q$ для функции $\omega$ следует оценка Так как любые две нормы на пространстве $\mathcal{P}_n$ эквивалентны, имеет место следующая лемма. Лемма 2 [4], [11]. Пусть $Q$ – куб в $\mathbb{R}^d$ с центром $x_0$ и ребром длины $\ell$, $P= \sum_{|k|=0}^{n}a_k(x-x_0)^k$ – многочлен на $\mathbb{R}^d$, где $k=(k_1,\dots,k_d)\in \mathbb Z_+^d$ обозначает мультииндекс, $|k|=|k_1|+\dots+|k_d|$. Тогда Лемма 2 влечет следующую лемму, в которой используется обозначение $\ell_i=\ell(Q_i)$ для куба $Q_i$. Лемма 3. Пусть $Q_1\subset Q_2$ – два куба в пространстве $\mathbb{R}^d$. Для каждого многочлена $P\in \mathcal{P}_n$ верна оценка Если $Q$ – это куб и $s>0$, то пусть $sQ$ обозначает куб, у которого центр совпадает с центром куба $Q$, а длина ребра равна $s\ell(Q)$. Определение 4. Пусть $f\in\mathcal{C}_{\omega}(D)$ и $Q\subset D$ – куб. Будем говорить, что $P_Q \in \mathcal{P}_n$ является многочленом почти наилучшего приближения для функции $f$ на кубе $Q$, если где константа $C>0$ не зависит от $f$ и $Q$. Для продолжения функций из $\mathcal{C}_{\omega}(D)$ на все пространство $\mathbb{R}^d$ рассмотрим вспомогательное пространство $\mathcal{C}^{\mathrm{int}}_{\omega}(D)$. А именно, для $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(D)$ соответствующая норма задается следующим равенством: Подобным образом для функции $f\in\mathcal{C}^{\mathrm{int}}_{\omega}(D)$ вводятся полиномы почти наилучшего приближения на кубах.В обоих случаях искомые приближающие многочлены можно выбрать определенным единым способом (см. [3]). Приведенная ниже конструкция следует соответствующим рассуждениям из [4; гл. 1]. Положим $Q_0 = [-1/2, 1/2]^n$. Пусть $\mathbb{P}$ – произвольный проектор из $L^1(Q_0,dx)$ на $\mathcal{P}_n$. Так $\mathcal{P}_n$ является пространством конечной размерности, то оператор $\mathbb{P}$ ограничен на $L^p(Q_0,dx)$, $1 \leqslant p \leqslant \infty$. Оператор $\mathbb{P}$ переносится на произвольный куб $Q$ с помощью сдвига и растяжения. Норма полученного проектора $\mathbb{P}_Q$ на $L^p(Q; dx/|Q|)$ не зависит от куба $Q$. В частности, получаем
$$
\begin{equation*}
\|\mathbb{P}_Q(f)\|_{L^\infty(Q)}\lesssim \frac{1}{|Q|}\int_Q |f|
\end{equation*}
\notag
$$
с константой, которая не зависит от $Q$ и $f$. Далее, для произвольного многочлена $u \in\mathcal{P}_n$ имеем $\mathbb{P}_Q(f-u)=\mathbb{P}_Q(f)-u$, следовательно,
$$
\begin{equation*}
\|\mathbb{P}_Q(f)-u\|_{L^{\infty}(Q)} \lesssim \|f-u\|_{L^1(Q, dx/|Q|)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, далее всегда предполагается, что $P_Q=\mathbb{P}_Q(f)$ – это многочлен почти наилучшего приближения на кубе $Q$ в каждой $L^p(Q)$-метрике, $1 \leqslant p \leqslant \infty$. Лемма 4. Пусть $Q_1\subset Q_2\subset 4 Q_1$ – кубы в области $D$ и пусть $P_{Q_1}, P_{Q_2} \in \mathcal{P}_n$ – многочлены почти наилучшего приближения для функции $f\in \mathcal{C}_\omega(D)$ на кубах $Q_1$ и $Q_2$ соответственно. Тогда Подобная лемма, с соответствующими изменениями, верна для $f\in \mathcal{C}^{\mathrm{int}}_\omega(D)$. Доказательство. Аналог оценки (2.4) для $\|P_{Q_1}-P_{Q_2}\|_{L^1(Q_1, dx/|Q_1|)}$ выполнен в силу неравенства треугольника. Применение леммы 3 завершает доказательство. 2.2. Покрытия УитниЗафиксируем диадическую решетку из полуоткрытых кубов в пространстве $\mathbb{R}^d$. Определение 5. Набор кубов $\mathcal{W}$ называется покрытием Уитни для липшицевой области $D$, если выполнены перечисленные ниже условия. Такие покрытия хорошо известны в литературе и широко используются (см. [12; гл. 6]). Каждое $R$-окно $\mathfrak{Q}$ порождает вертикальное направление, задаваемое осью $x_d$, которая при необходимости была повернута. Сформулированное ниже свойство легко следует (см. [10; § 3]) из перечисленных условий и липшицевости рассматриваемой области. (vii) Количество кубов Уитни, которые имеют одинаковую длину ребра и пересекают заданную вертикальную прямую в окне, равномерно ограничено. Соответствующее вертикальное направление – это направление, порожденное окном. Это последнее свойство кубов Уитни, которое потребуется в дальнейшем. В действительности, нам потребуется покрытие Уитни $\mathcal{W}$ для липшицевой области $D$, а также покрытие Уитни $\mathcal{W}'$ для ее дополнения $D'=\mathbb{R}^d\setminus \overline{D}$. 2.3. Продолжение функций из области на все евклидово пространствоДля доказательства следующего результата достаточно повторить рассуждения, использованные при доказательстве предложения B.1 в статье [8]. Предложение 1. Пусть $\omega(t)$ – модуль непрерывности порядка $n \in \mathbb{N}$ и пусть $D\subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная липшицева область. Тогда множество $\mathcal{C}^{\mathrm{int}}_{\omega} (D)$ содержится в пространстве $L^1(D)$. Отметим, что из предложения 1 следует, что неоднородное пространство $\mathcal{C}^{\mathrm{int}}_{\omega}(D)$ можно снабдить следующей нормой:
$$
\begin{equation*}
\|f\|=\|f\|^{\mathrm{int}}_ {\omega,D}+\|f\|_{L^1(D,dx)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\mathcal{C}_{\omega}(D)\subset\mathcal{C}^{\mathrm{int}}_{\omega}(D)$, то является нормой на пространстве $\mathcal{C}_{\omega}(D)$. Если модуль непрерывности $\omega(t)$ является регулярным по Дини, то для построения продолжения на все множество $\mathbb{R}^d$ можно использовать рассуждения из книги Стейна [12; гл. VI]. В общем случае применяется метод, который использовали Джонс [13] для пространства $\mathrm{BMO}$ и Девор и Шапли [11] для пространств Бесова на равномерных областях. В частности, нам потребуется следующая лемма. Лемма 5 [11; лемма 5.2]. Пусть $D$ – липшицева область и $f\in L^1(D, dx)$. Тогда существуют три положительных константы $C$, $c$, $r_0$, которые зависят только от липшицевых констант области $D$ и обладают следующим свойством: если $Q$ – это куб в $\mathbb{R}^d$, для которого $\ell(Q)< r_0$ и $2Q\cap \partial D\neq \varnothing$, то где $\widetilde{P}_Q$ – подходящий многочлен из пространства $\mathcal{P}_n$ и $S'=9S/8$ для каждого куба $S$. Для построения искомого продолжения сначала зафиксируем $C^{\infty}$-гладкое разбиение единицы $\{\psi_Q\}_{Q\in \mathcal{W}'}$, ассоциированное с покрытием Уитни $\mathcal{W}'$ для $D'=\mathbb{R}^d\setminus \overline{D}$. По определению это означает, что функции $\psi_Q$ обладают следующими свойствами: $\psi_Q$ является $C^{\infty}$-гладкой функцией, $\chi_{4Q/5}\leqslant \psi_Q\leqslant \chi_{5Q/4}$, $Q\in \mathcal{W}'$ и $\sum_{Q\in \mathcal{W}'} \psi_Q = \chi_{D'}$. Для заданного куба Уитни $Q\in \mathcal{W}'$ будем говорить, что куб Уитни $\widetilde{Q}\in \mathcal{W}$ является отражением для $Q$, если $\widetilde{Q}$ – это максимальный куб такой, что $\mathrm{dist}(Q, \widetilde{Q})\leqslant 2 \mathrm{dist}(Q, \partial D)$. Пусть $P_{\widetilde{Q}}$ – полином почти наилучшего приближения для $f$ на кубе $\widetilde{Q}$. Зададим продолжение функции $f$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widetilde{f}=f\chi_D+\sum_{Q\in \mathcal{W}',\,\ell(Q)\leqslant R} \psi_Q P_{\widetilde{Q}},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $R$ – это липшицева константа из определения 1. Предложение 2. Пусть $\omega$ – модуль непрерывности порядка $n\in\mathbb{N}$, и пусть $f \in \mathcal{C}^{\mathrm{int}}_{\omega}(D)$. Тогда функция $\widetilde{f}$, заданная равенством (2.5), обладает перечисленными ниже свойствами. Доказательство. Свойства (i) и (ii) очевидны. Чтобы проверить свойство (iii), необходимо оценить супремум из правой части равенства (1.3) при $D=\mathbb{R}^d$.
Сначала получим искомую оценку только для кубов $Q$ таких, что $2Q\cap \partial D\neq \varnothing$ и $\ell(Q)< r_0$ для подходящего числа $r_0>0$. А именно, зафиксируем столь малый параметр $r_0<R$, что лемма 5 выполнена для $r_0$, $c$ и $C$, а также куб $cQ$ содержится в некотором $R$-окне. Для любого куба Уитни $S\in \mathcal{W}$ верно $ 2S'\subset D$, поэтому лемма 5 гарантирует, что
$$
\begin{equation*}
I=\int_Q|\widetilde{f}-\widetilde{P}_Q|\,dx \leqslant C\|f\|_{\omega,D}^{\mathrm{int}} \sum_{S\subset cQ,\,S\in \mathcal{W}}\omega (\ell(S)) \ell(S)^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим теперь количество кубов одинакового размера, по которым ведется суммирование. Свойство кубов Уитни (vii), сформулированное после определения 5, гарантирует, что для любого куба Уитни $S\subset cQ$ существует прямая (она задается осью $x_d$ соответствующего $R$-окна), которая пересекает конечное число кубов Уитни с длиной ребра $\ell(S)$. Количество соответствующих кубов оценивается сверху константой $C$, зависящей только от липшицевых констант области $D$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\sharp{S}\lesssim \biggl(\frac{\ell(cQ)}{\ell(S)}\biggr)^{d-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sharp{S}$ обозначает количество всех кубов с размером ребра $\ell(S)$, которые пересекают куб $cQ$.
Пусть $s$ – такое целое число, что $2^s= \ell(S)$, и пусть $m$ – такое целое число, что $2^m\leqslant \ell(cQ)<2^{m+1}$. Тогда с константой, которая не зависит от куба $Q$. Так как функция $\omega$ возрастает, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &\lesssim\sum_{s=-\infty}^m\biggl(\frac{2^m}{2^s}\biggr)^{d-1}\omega (2^s) (2^s)^d \|f\|^{\mathrm{int}}_ {\omega,D} =(2^m)^{d-1}\sum_{s=-\infty}^m{2^s}\omega (2^s) \|f\|^{\mathrm{int}}_ {\omega,D} \\ &\lesssim(2^m)^{d-1}\omega (2^m)\sum_{s=-\infty}^m{2^s} \|f\|^{\mathrm{int}}_ {\omega,D} \lesssim(2^m)^{d}\omega (2^m) \|f\|^{\mathrm{int}}_ {\omega,D} \lesssim |Q| \omega (\ell(Q))\|f\|^{\mathrm{int}}_ {\omega,D}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что завершает оценку для малых кубов, расположенных около границы области.
Далее, если $\ell(Q)< r_0$ и $2Q\cap \partial D = \varnothing$, то требуемая оценка супремума следует из свойства $\widetilde{f} \in C^\infty (D')$. Наконец, для доказательства искомой оценки при $\ell(Q)\geqslant r_0$ достаточно показать, что $\widetilde{f}\in L^1(\mathbb{R}^d, dx)$. Последнее свойство следует из предложения 1 и формулы (2.5). Доказательство предложения завершено. 2.4. Эквивалентность полунорм на пространстве ЗигмундаЕсли $\omega$ – модуль непрерывности порядка $n\in \mathbb N$, то для доказательства искомой эквивалентности при различных значениях параметра $p$, $1\leqslant p \leqslant \infty$, применимы идеи из работ [2], [3]; см. также [8; предложение A.1]. Нам потребуется следующая лемма Кальдерона–Зигмунда. Лемма 6 [4; гл. 1]. Пусть $Q$ – куб, $f \in L^1(Q)$ и $A>(1/|Q|) \int_Q|f|$. Тогда существует не более чем счетное семейство $\{Q_i\}$, состоящее из таких диадических кубов с непересекающимися внутренностями, что Предложение 3. Пусть $\omega$ – модуль непрерывности порядка $n\in\mathbb{N}$ и $D\subset \mathbb{R}^d$ – ограниченная область. Тогда полунормы эквивалентны и задают одно и то же пространство $\mathcal{C}_{\omega} (D)$ при $ 1\leqslant p\leqslant\infty$. Доказательство. Достаточно показать, что с константой, которая не зависит от куба $Q$. Пусть $\{\mathbb{P}_Q\}$ – построенное в разделе 2.1 единое семейство проекторов из $L^1(Q,dx/|Q|)$ на полиномиальное подпространство $\mathcal{P}_n(Q)$. Пусть $C$ – универсальная положительная константа, которая присутствует в соответствующих оценках почти наилучших приближений. Далее, пусть $C'$ обозначает норму проектора $\mathbb{P}_Q$ из $L^1(Q,dx/|Q|)$ на подпространство $\mathcal{P}_n(Q)$, снабженное равномерной нормой.
Выберем куб $Q\subset D$. Применим лемму 6 к функции $|f-\mathbb{P}_Q(f)|$, $\|f\|_{\omega,D} =1$ и параметру $A=2 C\omega(\ell),$ где $\ell=\ell(Q)$. Таким образом, на первом шаге получаем семейство $\{Q'_i\}$, состоящее из кубов $Q'_i\subset Q$ со следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |f-\mathbb{P}_Q(f)|\leqslant 2 C\omega(\ell) \qquad\text{п.в. на}\quad Q\setminus\bigcup Q'_i, \\ |\mathbb{P}_{Q'_i}(f)-\mathbb{P}_Q(f)|=|\mathbb{P}_{Q'_i}(f-\mathbb{P}_Q(f))| \leqslant \frac{C'}{|Q'_i|} \int_{Q'_i} |f-\mathbb{P}_Q(f)|\leqslant 2^{d+1}C'C\omega(\ell), \\ \sum|Q'_i|<\frac{1}{2 C\omega(\ell)} \int_Q |f-\mathbb{P}_Q(f)|\leqslant \frac{|Q|}2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь применим изложенную выше конструкцию с параметром $A=2C\omega(\ell')$ к функции $|f-\mathbb{P}_{Q'_i}(f)|$ для каждого куба $Q'$ из семейства $\{Q'_i\}$. Таким образом, на втором шаге получаем семейство $\{Q''_i\}$, состоящее из кубов $Q''_i \subset Q'$ со следующими свойствами:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |f-\mathbb{P}_{Q'}(f)|\leqslant 2C\omega(\ell') \qquad\text{п.в. на}\quad Q'\setminus\bigcup Q''_i, \\ |\mathbb{P}_{Q''_i}(f)-\mathbb{P}_{Q'}(f)|=|\mathbb{P}_{Q''_i}(f-\mathbb{P}_{Q'}(f))| \leqslant\frac{C'}{|Q''_i|} \int_{Q''_i}|f-\mathbb{P}_{Q'}(f)| \leqslant 2^{d+1}C'C\omega(\ell'), \\ \sum|Q''_i|< \frac{1}{2 C\omega(\ell')}\int_{Q'}|f-\mathbb{P}_{Q'_i}(f)|\leqslant \frac{|Q'|}2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя сумму последнего неравенств по всем кубам из семейства $ \{Q'_i\}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\sum|Q''|\leqslant\sum\frac{|Q'|}2\leqslant\frac{|Q|}4.
\end{equation*}
\notag
$$
Также имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |f-\mathbb{P}_Q(f)| &\leqslant|f-\mathbb{P}_{Q'_i}(f)|+|\mathbb{P}_{Q'_i}(f)-\mathbb{P}_{Q}(f)| \leqslant 2C\omega(\ell')+2^{d+1}C'C\omega(\ell) \\ &\leqslant 2^{d+1}C'C(\omega(\ell')+\omega(\ell)) \qquad\text{п.в. на}\quad \bigcup{Q'}\setminus\bigcup{Q''}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Повторяя указанную процедуру, получаем семейства вложенных кубов $\{Q^k_j\}$, $k=0,\dots, m$, таких, что каждый куб $Q^{k}_{i_k}$ вложен в соответствующий куб $Q^{k-1}_{i_{k-1}}$ и Также верна оценка
$$
\begin{equation}
|f-\mathbb{P}_Q(f)|\leqslant2^{d+1} C'C\sum_{k=0}^{m-1}\omega(\ell(Q^k_{j_k})) \qquad\text{п.в. на}\quad \bigcup{Q^{m-1}}\setminus \bigcup{Q^{m}}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
для последовательности вложенных кубов $Q\supset Q'_{j_1}\supset\dots\supset Q^{m-1}_{i_{m-1}}$.
Устремим $m$ к бесконечности в сумме (2.8). Применяя оценку (2.7) и свойство (2.2) для функции $\omega$, получаем Таким образом, $|f-\mathbb{P}_Q(f)|\lesssim \omega (\ell)$ п.в. на кубе $Q$ с константой, которая не зависит от $Q$. Доказательство предложения завершено.2.5. Оценки многочленов почти наилучшего приближенияДля модуля непрерывности $\omega$ порядка $n$ положим Напомним, что ассоциированная функция задается равенством
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\omega}(t)=\frac{\omega(t)}{\max\{1,\xi(t)\}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение. Лемма 7. Пусть $\omega$ – модуль непрерывности порядка $n$ и пусть $P_Q$ и $P_{2Q}$ – полиномы почти наилучшего приближения для функции $f\in\mathcal{C}_{\omega}(\mathbb{R}^d)$ на кубах $Q$ и $2Q$ соответственно, $0< \ell(Q) <1/2$. Рассмотрим разложения Тейлора относительно точки $t_0 \in Q$. Тогда Доказательство. Из определения пространства Зигмунда и неравенства треугольника следует оценка
$$
\begin{equation*}
\|P_{Q}-P_{2Q}\|_{L^\infty(Q)}\lesssim \omega(\ell)\|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Неравенство Бернштейна гарантирует, что для всех производных порядка $k$, $|k|\leqslant n$. Следовательно, что и требовалось доказать. Лемма 8. Пусть $\omega$ – модуль непрерывности порядка $n\in \mathbb{N}$ и $f\in\mathcal{C}_{\omega}(D)$. Пусть $P_Q$ – полином почти наилучшего приближения для $f$ на кубе $Q\subset D$ с центром $t_0$ и с длиной ребра $\ell<1/2$. Рассмотрим разложение Тейлора относительно точки $t_0$, где $k=(k_1,\dots,k_d)$ – мультииндекс, $|k|=k_1+\dots+k_d$. Тогда с константой, которая не зависит от $Q$. Доказательство. Применяя предложение 2, продолжим $f$ до функции $\widetilde f$, заданной на $\mathbb{R}^d$. Пусть – разложение Тейлора относительно точки $t_0 \in 2^iQ$ для многочлена почти наилучшего приближения $P_{2^iQ}$ функции $\widetilde f$ на кубе $2^iQ$. Используя телескопические суммы, имеем
$$
\begin{equation*}
|A_{k,Q}|\leqslant \sum_{i=0}^{N-1} |A_{k,2^iQ}-A_{k,2^{i+1}Q}|+|A_{k,2^{N}Q}|,
\end{equation*}
\notag
$$
где $N$ – минимальное натуральное число такое, что $2^{N}Q \supset D$. Так как $N\approx \log 1/\ell$, лемма 7 гарантирует, что
$$
\begin{equation*}
|A_{k,Q}|\lesssim \biggl(1+\sum_{i=0}^{N} \omega(2^i\ell) (2^i\ell)^{-|k|}\biggr) \|f\| \lesssim\biggl(1+\int_{\ell}^1\frac{\omega(t)\,dt}{t^{|k|+1}}\biggr)\|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как функция $\omega$ удовлетворяет условию (1.2), получаем $|A_{k,Q}|\lesssim \|f\|$ при $|k|< n$. Наконец, по определению функции $\xi(x)$ имеем при $|k|= n$. Доказательство леммы завершено. Леммы 2 и 8 влекут следующее утверждение. Следствие 2. Пусть $\omega$ – модуль непрерывности порядка $n\in \mathbb{N}$, $f\in\mathcal{C}_{\omega}(D)$ и $P_Q$ – полином почти наилучшего приближения для $f$ на кубе $Q\subset D$ с $\ell<1/2$. Тогда с константой, которая не зависит от куба $Q$. 2.6. Построение экстремальной функцииВ этом разделе будут найдены функции $\varphi_e(x)\in \mathcal{C}_{\omega} (D)$, $e\in \mathbb{R}^d$, $|e|=1$, и соответствующие многочлены $P_{Q, e}$ почти наилучшего приближения с экстремальными свойствами (ср. с [16]). Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\varphi(y)=\int_{|y|}^{1}\frac{\omega(t)}{t^{n+1}}(t-y)^n\,dt, \qquad y\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $x, e\in \mathbb{R}^d$, $|e|=1$, положим $x_e=\langle x,e\rangle$, где $\langle\cdot, \cdot \rangle$ обозначает скалярное произведение в пространстве $\mathbb{R}^d$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
\varphi_e(x)=\varphi(x_e), \qquad x\in \mathbb{R}^d.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Для положительного параметра $\gamma$ функция
$$
\begin{equation*}
P_\gamma(y)=\int_{\gamma}^{1}\frac{\omega(t)}{t^{n+1}}(t-y)^n \,dt, \qquad y\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
является многочленом от $y$. Для куба $Q$ положим $\gamma=\max_{x\in Q}|x_e|$, и определим следующий полином:
$$
\begin{equation}
P_{Q,e}(x)=P_{\gamma}(x_e)\in \mathcal{P}_n(\mathbb{R}^d).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Лемма 9. Пусть $\varphi_e(x)$ и $P_{Q,e}(x)$ заданы равенствами (2.12) и (2.13) соответственно. Доказательство. Сначала докажем свойство (i). Пусть $\ell(Q)<1/2$. Имеем
Если $\ell<\frac{1}{2} \gamma$, то свойство (1.1) функции $\omega$ гарантирует, что
$$
\begin{equation*}
\int_{|x_e|}^{\gamma}\frac{\omega(t)}{t^{n+1}}(t-x_e)^n \,dt \lesssim \frac{\omega(|x_e|)}{|x_e|^{n+1}}\ell^{n+1} \lesssim \omega(\ell).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\ell\geqslant \frac{1}{2} \gamma$, то $\gamma\approx \ell$. Имеем $t-x_e\leqslant t$ при $x_e\geqslant 0$, a также $t-x_e\leqslant t+|x_e|\leqslant 2t$ при $x_e < 0$ и $|x_e|\leqslant t$. Поэтому в силу свойства (1.2) получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{|x_e|}^{\gamma}\frac{\omega(t)}{t^{n+1}}(t-x_e)^n \,dt \lesssim\int_{|x_e|}^{\gamma}\frac{\omega(t)}{t^{n+1}}t^n \,dt \lesssim\frac{\omega(\gamma)}{\gamma^{n-\varepsilon}}\int_{|x_e|}^{\gamma}{t^{n-1-\varepsilon}} \,dt \lesssim \omega(\gamma) \lesssim \omega(\ell).
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, часть (i) доказана.
Для доказательства части (ii) заметим, что Так как $\gamma\approx \ell$ для рассматриваемого куба $Q$, то имеем с константой $C>0$, которая не зависит от куба $Q$ и вектора $e$, $|e|=1$. Доказательство леммы завершено.3. Доказательство теоремы 33.1. Основная вспомогательная конструкцияЗафиксируем функцию $f\in\mathcal{C}_{\omega}(D)$. Положим Рассмотрим произвольный куб $Q$ такой, что $2Q \subset D$. Пусть $x_0$ – центр куба $Q$, $\ell=\ell(Q)$.Пусть $P_Q$ является полиномом почти наилучшего приближения для $f$ в кубе $Q$. Рассмотрим следующие вспомогательные функции (подобные рассуждения использованы, например, в работах [8], [14], [15]):
$$
\begin{equation*}
f_1 =P_Q \chi_D, \qquad f_2=(f-P_Q) \chi_{2Q}, \qquad f_3 =(f-P_Q) \chi_{D\setminus 2Q}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что $f = f_1 + f_2 + f_3$. Следующая лемма показывает, что функции $T_D f_2$ и $T_D f_3$ можно обработать должным образом. Лемма 10. Существуют многочлены $ P_{k,Q}$, $k=2,3$, такие, что с некоторой константой $C>0$, которая не зависит от куба $Q$. Доказательство. Пусть $k=2$. Положим $P_{2,Q}=0$. В силу неравенства Гёльдера имеем
$$
\begin{equation*}
I_2=\frac{1}{|Q|}\int_Q|T_Df_2|\,dx \leqslant \biggl(\frac{1}{|Q|}\int_Q|T_Df_2|^2\,dx\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что оператор $T_D$ ограничен на пространстве $L^2$ (см. [12; гл. 2]). Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_2 &\lesssim\biggl(\frac{1}{|Q|}\int_{2Q}|f_2|^2\,dx\biggr)^{1/2} = \biggl(\frac{1}{|Q|}\int_{2Q}|f-P_Q|^2\,dx\biggr)^{1/2} \\ &\lesssim \biggl(\frac{1}{|Q|}\int_{2Q}|f-P_{2Q}|^2\,dx\biggr)^{1/2} +\biggl(\frac{1}{|Q|}\int_{2Q}|P_Q-P_{2Q}|^2\,dx\biggr)^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь заметим, что первое слагаемое оценивается с помощью $C\omega(\ell)\|f\|_{\omega, D}$. Действительно, доказательство предложения 3 позволяет заменить $L^2$-норму на $L^1$-норму, поэтому остается применить определение 4 для полинома $P_{2Q}$. Далее, лемма 4 гарантирует, что второе слагаемое также оценивается с помощью $C\omega(\ell)\|f\|_{\omega, D}$. Итак, доказательство леммы для $k=2$ завершено.
Пусть $k=3$. Чтобы оценить осцилляцию определим $P_{3,Q}$ как образ функции $f_3$ под действием специального интегрального оператора с полиномиальным ядром. А именно, рассмотрим полином Тейлора порядка $n$ ядра $K(x) ={\Omega(x)}{|x|^{-d}}$ для оператора $T$ в точке $y$, $y\neq 0$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{T}K(y, h)=K(y)+ (\nabla_y K )(h) +\dots + \frac{\nabla_y^{n} K}{n!}(h), \qquad h\in\mathbb{R}^d, \quad |h| < \frac{|y|}2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nabla_y^j K$ обозначает дифференциал порядка $j$ функции $K$ в точке $y$. Напомним, что $x_0$ обозначает центр куба $Q$. Зададим многочлен $P_{3,Q}$ следующим равенством:
$$
\begin{equation*}
P_{3,Q}(x)=\int_{D\setminus 2Q} \mathcal{T}K(x_0-u, x- x_0) f_3(u)\,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Ядро $K$ является $C^{n+1}$-гладким, поэтому
$$
\begin{equation*}
\biggl| \nabla_y^j K \biggr| \lesssim |y|^{-d-j}, \qquad j=0, 1, \dots, n+1, \quad y\neq 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для $u\in \mathbb{R}^d\setminus 2Q$ и $x\in Q$ остаток в формуле Тейлора оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |K(x-u)-\mathcal{T}K(x_0-u, x-x_0)| &\leqslant C\sup _{t\in Q,\, u\notin 2Q}|\nabla^{n+1}_t K(t-u)|\frac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!} \\ &\leqslant C \frac{|x-x_0|^{n+1}}{|u-x_0|^{n+1+d}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где константа $C>0$ не зависит от $u$, $x$, $x_0$ и $Q$. Используя полученную оценку, имеем
$$
\begin{equation*}
I_3 \leqslant \frac{C}{|Q|}\int_Q dx \int_{D\setminus 2Q} \frac{|x-x_0|^{n+1}}{|u-x_0|^{n+1+d}}|f-P_Q|(u) \,du \lesssim \ell^{n+1}\int_{D\setminus 2Q} \frac{|f-P_Q|(u)}{|u-x_0|^{n+1+d}} \,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь зададим функцию $\widetilde{f}$ с помощью формулы (2.5). Имеем
$$
\begin{equation*}
I_3\lesssim \ell^{n+1}\int_{\mathbb{R}^d\setminus 2Q} \frac{|\widetilde{f}-P_Q|(u)}{|u-x_0|^{n+1+d}} \,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $Q_k=(2^{k+1}Q\setminus 2^{k}Q)$ и перепишем полученную оценку следующим образом:
$$
\begin{equation*}
I_3\lesssim\ell^{n+1}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(\ell2^k)^{n+1+d}}\int_{Q_k} |\widetilde{f}-P_Q|(u) \,du.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя телескопические суммы, получаем
$$
\begin{equation*}
I_3\lesssim\ell^{n+1}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(\ell2^k)^{n+1+d}} \biggl(\int_{Q_k} |\widetilde{f}-P_{2^{k+1}Q}|(u)\,du+\sum_{s=0}^{k} \int_{Q_k}|P_{2^sQ}-P_{2^{s+1}Q}|(u)\,du \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $P_{2^sQ}:=\mathbb{P}_{2^sQ}\widetilde{f}$ – полином почти наилучшего приближения для функции $\widetilde{f}$ на кубе $2^sQ$, $s=0,1,\dots, k$, $k\in\mathbb N$. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{|2^{k+1}Q|} \int_{Q_k}|P_{2^sQ} -P_{2^{s+1}Q}|(u)\,du \leqslant \frac{1}{|2^{k+1}Q|} \int_{2^{k+1}Q}|P_{2^sQ}-P_{2^{s+1}Q}|(u)\,du \\ &\qquad \lesssim \biggl(\frac{\ell 2^{k+1}}{\ell 2^{s+1}}\biggr)^n \frac{1}{|2^{k+1}Q|} \int_{2^{s+1}Q}|P_{2^sQ}-P_{2^{s+1}Q}|(u)\,du \\ &\qquad \lesssim \biggl(\frac{2^{k}}{2^{s}}\biggr)^n \omega(\ell 2^{s+1})\|f\|_\omega \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу лемм 3 и 4 соответственно. Используя последнее неравенство для оценки $I_3$, получаем
$$
\begin{equation*}
I_3 \lesssim \ell^{n+1} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(\ell 2^k)^{n+1+d}} \sum_{s=0}^k \frac{(\ell 2^{k+1})^{d} 2^{kn}}{2^{sn}} \omega(2^s\ell)\|f\|_\omega \lesssim\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\sum_{s=0}^k \frac{1}{2^{sn}} \omega(2^s\ell)\|f\|_\omega.
\end{equation*}
\notag
$$
Меняя порядок суммирования, имеем
$$
\begin{equation*}
I_3 \lesssim \|f\|_\omega \sum_{s=0}^\infty\frac{1}{2^{s(n+1)}}\omega(2^s\ell) \lesssim \|f\|_\omega \int_1^\infty \frac{\omega(t\ell)}{t^{n+2}}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, заменяя переменную в интеграле и применяя свойство (2.1) из леммы 1, получаем требуемое неравенство Доказательство леммы завершено. 3.2. Доказательство теоремы 3: достаточностьПредположим, что имеют место свойства (i) и (ii) из теоремы 3. Пусть $f\in\mathcal{C}_{\omega}(D)$ и $Q$ – такой куб, что $2Q \subset D$. Так как $\mathcal{C}_{\omega}(D) =\mathcal{C}^{\mathrm{int}}_{\omega}(D)$ в силу предложения 2, то для доказательства искомой импликации достаточно проверить следующее свойство: существует многочлен $S_Q \in \mathcal{P}_n$ такой, что
$$
\begin{equation}
I=\frac{1}{|Q|}\int_{Q}|T_D f-S_Q|\,dx \leqslant C \omega (\ell )\|f\|,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где константа $C>0$ не зависит от $Q$. Пусть $P_Q$ – полином почти наилучшего приближения для $f$ в рассматриваемом кубе $Q$. Запишем разложение Тейлора относительно центра $x_0\in Q$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P_Q(x) &=\sum_{|k|=0}^{n} A_{k,Q}(x-x_0)^k =\sum_{|k|=0}^{n-1} A_{k,Q}(x-x_0)^k + \sum_{|k|=n} A_{k,Q}(x-x_0)^k \\ & :=P_{n-1}(x)+P_n(x), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $k=(k_1,\dots,k_d)$ обозначает мультииндекс, $|k|=k_1+\dots+k_d$. Так как выполнено условие (i) теоремы 3, существует многочлен $S_{1, Q} \in \mathcal{P}_n$ такой, что
$$
\begin{equation*}
J_1:= \frac{1}{|Q|}\int_{Q }|T_D (\chi_D P_{n-1}) - S_{1, Q}|\,dx \lesssim\ \omega(\ell) \|P_{n-1}\|_{L^\infty(D)}
\end{equation*}
\notag
$$
с константой, которая не зависит от куба $Q$. Леммы 2 и 8 гарантируют, что В силу условия (ii) теоремы 3 существует многочлен $S_{2, Q} \in \mathcal{P}_n$ такой, что
$$
\begin{equation*}
J_2:= \frac{1}{|Q|}\int_{Q }|T_D (\chi_D P_n) - S_{2, Q}|\,dx \lesssim\|P_n\|_{L^\infty(D)} \widetilde{\omega}( \ell)
\end{equation*}
\notag
$$
с константой, которая не зависит от куба $Q$. Следствие 2 гарантирует, что
$$
\begin{equation*}
J_2 \lesssim\xi(\ell) \widetilde{\omega}( \ell)\|f\| \lesssim \omega(\ell)\|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя оценки для $J_1$ и $J_2$, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|Q|}\int_{Q}| T_D (\chi_D P_Q) -S_{1, Q}-S_{2,Q}|\,dx \lesssim \omega(\ell) \|f\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что $\chi_D P_Q = f_1$ в обозначениях леммы 10. Таким образом, полученная оценка и лемма 10 влекут искомое свойство (3.1). Доказательство достаточности завершено. 3.3. Доказательство теоремы 3: необходимостьТак как $\mathcal{P}_n(D) \subset \mathcal{C}_{\omega} (D)$, необходимость очевидна для регулярного по Дини модуля непрерывности $\omega$. Действительно, в этом случае $\omega(t)\approx \widetilde{\omega}(t)$ и условие (i) теоремы 3 влечет условие (ii). Имеет место стандартная симметричная $T(P)$-теорема без дополнительного условия (ii). Теперь предположим, что модуль непрерывности $\omega$ не является регулярным по Дини. Требуется доказать, что выполнено условие (ii). Отметим, что функции $\omega(t)$ и $\widetilde{\omega}(t)$ эквивалентны при $1/2\leqslant t <\infty$, так как $\omega(t)= \widetilde{\omega}(t)$ при $t\geqslant 1$. Поэтому при проверке условия (ii) для куба $Q$ можно предположить, что $\ell(Q)<1/2$. Рассмотрим следующее семейство сдвигов экстремальной функции, заданной равенством (2.12):
$$
\begin{equation*}
\varphi_{e,x_0} (x)=\varphi_e(x-x_0), \qquad x_0\in D.
\end{equation*}
\notag
$$
Область $D$ является липшицевой, поэтому свойства функций $\varphi_{e,x_0}\chi_D$ подобны свойствам функции $\varphi_e$. А именно, $\varphi_{e,x_0} \chi_D\in\mathcal{C}_{\omega}(D)$ и соответствующие нормы в пространстве $\mathcal{C}_{\omega}(D)$ равномерно относительно точки $x_0\in D$ и вектора $e$, $|e|=1$, ограничены константой, которая зависит только от липшицевых констант области $D$. Для каждой функции $\varphi_{e,x_0} \chi_D$ выберем полином почти наилучшего приближения с помощью формулы (2.13):
$$
\begin{equation*}
P_{e,x_0,Q}(x)=P_{e,Q}(x-x_0)=\sum_{k=0}^{n} A_{k,Q,e} \langle x-x_0, e\rangle^k := P_{n-1}(x)+ A_{n,Q,t}\langle x-x_0, e\rangle^n
\end{equation*}
\notag
$$
с коэффициентами, которые не зависят от точки $x_0\in D$. Положим $f=\varphi_{e,x_0}$ и $f_1=P_{e,x_0,Q}\chi_D$. По условию оператор $T_D$ ограничен на $\mathcal{C}_{\omega}(D)$. Поэтому в силу леммы 10 и неравенства треугольника существует многочлен $S_Q\in \mathcal{P}_n$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|Q|}\int_{Q }|T_D f_1-S_Q|\,dx\lesssim \omega(\ell) \|\varphi_{e,x_0}\|.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\chi_D P_{n-1}\in \mathcal{P}_n(D) \subset \mathcal{C}_{\omega} (D)$, существует многочлен $S_Q'\in \mathcal{P}_n$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|Q|}\int_{Q }|T_D (\chi_D P_{n-1})-S_Q'|\,dx \lesssim \omega(\ell) \|P_{n-1}\| \lesssim \omega(\ell) \|\varphi_{e,x_0}\|
\end{equation*}
\notag
$$
в силу лемм 2 и 8. Таким образом, неравенство треугольника гарантирует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{|Q|}\int_{Q }|T_D (\chi_D A_{n,Q,e} \langle x-x_0, e\rangle^n) -(S_Q-S_Q')(x)|\,dx\lesssim \omega(\ell) \|\varphi_{e,x_0}\| \lesssim \omega(\ell) \|\varphi\|
\end{equation*}
\notag
$$
с константой, которая зависит только от липшицевых констант области $D$. Положим $R_Q=(S_Q-S_Q')/A_{k,Q,e}$ и перепишем полученное неравенство в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
|A_{n,Q,e}|\frac{1}{|Q|}\int_{Q }|T_D (\chi_D \langle x-x_0, e\rangle^n) -R_Q(x)|\,dx\lesssim \omega(\ell) \|\varphi\|.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 9 имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{|Q|}\int_{Q }|T_D (\chi_D \langle x-x_0, e\rangle^n) - R_Q(x)|\,dx\lesssim \frac{\omega(\ell)}{\xi(\ell)} \|\varphi\| \lesssim \widetilde{\omega}(\ell)\|\varphi\|
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
равномерно относительно точки $x_0 \in D$ и вектора $e$, $|e|=1$. Остается заметить, что из свойства (3.2) следует условие (ii) теоремы 3. Доказательство необходимости завершено. БлагодарностьАвторы выражают признательность рецензенту за полезные замечания и комментарии. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VasDou23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|