| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) Определение коэффициента теплопередачи в математических моделях тепломассопереноса С. Г. Пятков, В. А. Баранчук Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010108 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеМы исследуем обратные задачи об определении граничных режимов, возникающие в задачах тепломассопереноса. Рассматривается параболическое уравнение вида где $Lu=\sum_{i,j=1}^na_{ij}(t,x)u_{x_i x_j} +\sum_{i=1}^n a_i(t,x)u_{x_i}+a_0(t,x)u$, $G\in\mathbb R^n$ – ограниченная область с границей $\Gamma$. Уравнение (1.1) дополняется начально-краевыми условиями:
$$
\begin{equation}
Bu|_S=g(t,x)\quad (S=(0,T)\times\Gamma),\qquad u|_{t=0}=u_0(x),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $Bu=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t,x)u_{x_i}\nu_j +(\beta(t,x)+\beta_0(t,x))u$, ($\nu$ – внешняя единичная нормаль к $\Gamma$) и условиями переопределения где $b_i\in\Gamma$, $\{b_i\}_{i=1}^r$ – некоторый набор точек. Задача состоит в нахождении решения уравнения (1.1), удовлетворяющего условиям (1.2), (1.3), и неизвестной функции $\beta(t,x)=\sum_{j=1}^r\beta_i(t)\Phi_i(t,x)$. где функции $\Phi_i$ заданы, а функции $\beta_i(t)$ считаются неизвестными. Обратные задачи о нахождения неизвестных граничных режимов, в частности, задачи конвективного теплообмена, являются классическими. Они возникают в самых различных задачах математической физики: описание различных процессов тепломассопереноса, диффузии, фильтрации, экологии и т.п. (см. [1]–[4]). В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численному решению задач (1.1)–(1.3) в различных постановках, возникающих в приложениях точки $\{b_i\}$ в (1.3) могут быть как внутренними [5]–[13], так и граничными точками [14]–[16] области $G$ в последних работах постановки совпадают с вышеприведенной. В стационарном случае такая постановка рассматривалась в [17]. В работе [16] рассматривается параболическая система и ищутся постоянные коэффициенты теплопередачи (получена теорема единственности решений и описан численный метод). Коэффициент теплопередачи, зависящий от времени, по значениям решения в некотором наборе внутренних точек численно определяется в [7]–[9], [11]–[13]. В работах [5], [6] рассматривается система $2$-х одномерных параболических уравнений и задача численного определения постоянных коэффициентов теплопередачи (граничные условия матричные) и некоторых других параметров по данным замеров температуры внутри области. В работах [7], [18] коэффициент теплопередачи ищется зависящим от $x$, а данные – данные Дирихле на части боковой поверхности цилиндра. По данным такого же типа коэффициент теплопроводности, зависящий от всех переменных, численно определяется в [19]. Имеется ряд работ, посвященных определению коэффициента теплопередачи в нелинейном граничном условии вида где функция $\rho$ считается неизвестной (см. [20]). Отметим работы (см. библиографию в [21]–[23]), где восстанавливается функция вида $\varphi(t,x,u)$ (иногда не зависящая от независимых переменных) в граничном условии Робина вида или близком условии. В этих работах, используются интегральные условия переопределения различного вида и в некоторых случаях получены теоремы существования и единственности решений таких задач локально по времени.Большое количество работ посвящено также близкой задаче об определении потоков через границу или ее часть, с использованием тех же условий переопределения (1.3), которая возникает при линеаризации задачи (см. [4], [24]–[26] и библиографию в этих работах). Основной метод построения приближенного решения – сведение задачи к задаче управления и минимизация соответствующего квадратичного функционала. Теоретических результатов, посвященных задаче (1.1)–(1.3), крайне мало. Единственная работа, посвященная задаче (1.1)–(1.3) в многомерном случае, есть работа [27] (см. также [28]), где в случае $Mu=u_t-\Delta u$ и $r=1$ была показана теорема существования и единственности классических решений задачи об определении потока и теорема единственности в задаче об определении коэффициента теплопередачи. Теорем существования решений задачи (1.1)–(1.3) по всей видимости нет. Доказательство единственности в [27] основано на сведении задачи к интегральному уравнению Абеля, за счет выделения главной части функции Грина. По-видимому, перенести результаты с помощью этого метода на случай общих параболических уравнений и систем вряд ли возможно. В данной работе мы опишем другой подход к исследованию задачи (1.1)–(1.3) об определении коэффициента теплопередачи $g(t,x)$, основанный на сведении задачи к интегральной уравнению Вольтерры второго рода; в этом случае решение находится методом последовательных приближений. На этой основе можно построить и новый метод численного решения задачи. В пространствах Соболева мы получаем теорему существования и единственности решений. 2. Определения и вспомогательные результатыПусть $E$ – банахово пространство. Обозначения для пространств Лебега $L_p(G;E)$, Соболева $W_p^s(G;E)$, $W_p^s(Q;E)$ и Гёльдера $C^\alpha(\overline G;E)$ $(\alpha\geqslant 0)$ стандартные (см. [29]–[31]). Если $E=\mathbb R$ или $E=\mathbb R^n$, то символ $E$ не используем и обозначения упрощаются, пишем просто $W_p^s(G)$ и т.д. Все рассматриваемые пространства и коэффициенты уравнения (1.1) мы считаем вещественными. Под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Для данного интервала $J=(0,T)$ положим Соответственно,
$$
\begin{equation*}
W_p^{s,r}(S)=W_p^s(J;L_p(\Gamma))\cap L_p(J;W_p^r(\Gamma)).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть Говорим, что граница $\Gamma$ данной области $G$ принадлежит классу $C^s$, $s\geqslant 1$ (см. определение в [32; гл. 1]), если для любой точки $x_0\in\Gamma$ найдутся окрестность $Y_{x_0}$ (координатная окрестность) этой точки, и система координат $y$ (локальная система координат), полученная с помощью поворота и переноса начала координат из исходной, такая, что ось $y_n$ направлена по внутренней нормали в $\Gamma$ в точке $x_0$ и уравнение части границы $Y_{x_0}\cap\Gamma$ имеет вид $y_n=\gamma(y')$, $\gamma(0)=0$, $|y'|<\delta$, $y'=(y_1,\dots,y_{n-1})$, причем $\gamma\in C^s(\overline{B'_\delta})$ ($B'_\delta=\{y':|y'|<\delta\}$) и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G\cap Y_{x_0}&=\{y:|y'|<\delta,\,0<y_n-\gamma(y')<\delta_1\}, \\ (\mathbb R^n\setminus G)\cap Y_{x_0}&=\{y:|y'|<\delta,-\delta_1<y_n-\gamma(y')<0\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Числа $\delta$, $\delta_1$ для области $G$ фиксированы, причем без ограничения общности считаем, что $\delta_1>(M+1)\delta$, где $M$ постоянная Липшица функции $\gamma$. Обозначим, такой параметр $\delta$ через $\delta_\Gamma$ (он определен неоднозначно). Пусть $\Gamma_{x_0}=Y_{x_0}\cap\Gamma$. Фиксируем параметр $\delta_\Gamma$. Пусть $B_\delta(b_i)$ – шар радиуса $\delta$ с центром в точке $b_i$. Параметр $\delta\in(0,\delta_\Gamma)$ назовем допустимым, если $\overline{B_\delta(b_i)}\cap\overline{B_\delta(b_j)}=\varnothing$ для $i\ne j$, $i,j=1,2,\dots,r$. Введем обозначения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q^\tau=(0,\tau)\times G,\qquad G_\delta=\cup_i B_\delta(b_i)\cap G, \\ \Gamma_\delta=\Gamma\cap G_\delta,\qquad S_\delta=(0,T)\times\Gamma_\delta,\qquad S^\tau=(0,\tau)\times\Gamma,\quad i\leqslant r. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, мы считаем, что допустимый параметр $\delta>0$ зафиксирован. Рассматривая задачу (1)–(3), предполагаем, что Мы будем использовать в пространстве $W_p^s(0,\beta; E)$ ($s\in (0,1)$, $\beta>0$, $E$ – банахово пространство) норму
$$
\begin{equation*}
\|q(t)\|_{W_p^s(0,\beta;E)} =(\|q\|_{L_p(0,\beta;E)}^p+\langle q\rangle_{s,\beta}^p)^{1/p},\qquad \langle q\rangle_{s,\beta}^p =\int_0^\beta\int_0^\beta\frac{\|q(t_1)-q(t_2)\|_E^p}{|t_1-t_2|^{1+sp}}\,dt_1\,dt_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $E=\mathbb R$, то мы получим обычное пространство $W_p^s(0,\beta)$. При $s\in(0,1)$ положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde W_p^s(0,\beta;E) =\{q\in W_p^s(0,\beta;E):t^{-s}q(t)\in L_p(0,\beta;E)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наделим это пространство нормой
$$
\begin{equation*}
\|q(t)\|_{\widetilde W_p^s(0,\beta;E)}^p =\biggl\|\frac{q}{t^s}\biggr\|_{L_p(0,\beta;E)}^p+\langle q\rangle_{s,\beta}^p.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $s>1/p$ и $q\in\widetilde W_p^s(0,\beta;E)$, то $q(0)=0$ и эта норма и обычная норма $\|\cdot\|_{W_p^s(\alpha,\beta;E)}$ для функций $q(t)$ таких, что $q(0)=0$ эквивалентны (см. [30; п. 3.2.6, лемма 1]). Пространства $\widetilde W_p^s(0,\beta;L_p(G))$ и $\widetilde W_p^{s,2s}(Q^\beta)=\widetilde W_p^s(0,\beta;L_p(G)) \cap L_p(0,\beta;W_p^{2s}(G))$ при $s\ne 1/p$ состоят из функций $v(t,x)$ из $W_p^s(0,\beta;L_p(G))$ и $W_p^{s,2s}(Q^\beta)$, соответственно, таких, что $v(0,x)=0$ при $s>1/p$. Нормы ${\|\cdot\|}_{\widetilde W_p^{s,2s}(Q^\beta)}$, ${\|\cdot\|}_{\widetilde W_p^s(0,\beta;L_p(G))}$ определяются естественным образом, например,
$$
\begin{equation*}
\|u\|_{\widetilde W_p^{s,2s}(Q^{\beta})} =(\|u\|_{\widetilde W_p^s(0,\beta;L_p(G))}^p +\|u\|_{L_p(0,{\beta};W_p^{2s}(G))}^p)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично определяем пространства $\widetilde W_p^s(0,\beta;L_p(\Gamma))$, $\widetilde W_p^{s,2s}(S^\beta)$. Далее, мы считаем, что допустимый параметр $p>n+2$ зафиксирован. Следующая лемма известна (см. [33; леммы 1–4]). Лемма 1. Существует постоянная $C$, не зависящая от $\tau\in(0,T]$, такая, что для всех $v\in W_p^{1,2}(Q^\tau)$ таких, что $v(x,0)=0$. Здесь $s_1=1-1/(2p)$ и $s_0=1/2-1/(2p)$. Лемма 2. Пусть $s\in((n+2)/2p,1)$. Тогда, если $q\in\widetilde W_p^{s,2s}(Q^\tau)$ и $v\in W_p^{s,2s}(Q^\tau)$, то $qv\in\widetilde W_p^{s,2s}(Q^\tau)$ и справедлива оценка Доказательство. Доказательство основано на определении нормы и фактически оно доказано в доказательстве леммы 1 в [35]. Поэтому мы его опустим. Замечание 1. Условие $s\in((n+2)/2p,1)$ гарантирует включение $W_p^{s.2s}(Q)\subset C(\overline Q)$ (см. § 6.3 и теорему 1 в разделе замечания (с. 424) в [36]). Лемма 3. Пусть $G\subset\mathbb R^n$ – ограниченная область с границей класса $C^m$ или $G=\mathbb R^n$, $E$ – банахово пространство. Тогда Здесь для сокращения обозначений под символами $W_p^s$, $B_{q,p}^s$ и т.д. понимаем пространства Соболева и Бесова функций, определенных на области $G$ со значениями в банаховом пространстве $E$, т.е. пространства $W_p^s(G;E)$, $B_{q,p}^s(G;E)$ и т.д. Для областей с бесконечно дифференцируемой границей утверждение леммы содержится в [31] (см. § 2, 3, 4, соотношения (3.1)–(3.9), следствие 4.3). Однако, как известно (см. замечение в конце работы [31]) утверждения могут быть доказаны и для областей с конечной гладкостью границы, для тех областей, заданные функции в которых допускают продолжение на все $\mathbb R^n$ с сохранением классов. В данном случае можно использовать стандартный метод продолжения Хестенса (см. утверждение и доказательство теоремы 4.2.2 в [30]). Оператор $L$ считается эллиптическим, т.е. для некоторой постоянной $\delta_0>0$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\sum_{i,j=1}^na_{ij}\xi_i\xi_j\geqslant\delta_0|\xi|^2\qquad \forall\,\xi\in\mathbb R^n\quad \forall\,(t,x)\in Q.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем условия на исходные данные. Считаем, что выполнены условия
$$
\begin{equation}
a_i\in L_p(Q),\qquad a_{kl}\in C(\overline Q),\qquad \beta_0,a_{kl}|_\Gamma\in W^{s_0,2s_0}_p(S),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
a_i\in L_\infty(0,T;W_p^1(G_\delta)),\qquad a_{kl}\in L_\infty(0,T;W_\infty^1(G_\delta)),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\beta\in W^{s_0,2s_0}_p(S),\qquad g(0,x)=B(x,0,\partial_x) u_0|_\Gamma,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $i=0,1\dots,n$, $k,l=1,\dots,n$. Построим функции $\varphi_i(x)\in C_0^\infty(\mathbb R^n)$ такие, что $\varphi_i(x)=1$ в $B_{\delta/2}(b_i)$ и $\varphi_i(x)=0$ в $\mathbb R^n\setminus B_{3\delta/4}(b_i)$; положим Мы используем выпрямление границы. Это преобразование где $y$ – локальная система координат в точке $b_i$. При выполнении условия (2.1) оно и обратное к нему $y_n=z_n+\gamma(z')$, $y'=z'$ принадлежат классу $C^3$ (т.е. $y=y(z)\in C^3(\overline{B'_\delta})$). Тоже самое утверждение имеет место и для преобразований $x=x(y(z))=x^i(z)$.Пусть $U=\{z:|z'|<\delta,\,0<z_n<\delta_1\}$. Положим $Q_0^\tau=(0,\tau)\times U$, $Q_0=(0,T)\times U$ и $S_0^\tau=(0,\tau)\times B'_\delta$, $S_0=(0,T)\times B'_\delta$. Считаем, что
$$
\begin{equation}
u_0(x)\in W_p^{2-2/p}(G),\qquad f\in L_p(Q),\qquad g\in W_p^{s_0,2s_0}(S),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Пусть $Y_{b_i}$ – координатная окрестность точки $b_i\in\Gamma$. Выпрямим границу и перейдем к системе координат $z=(z',z_n)$. Мы также предполагаем, что
$$
\begin{equation}
\nabla_{z'}\varphi_ig(t,x^i(z',0)) \in W_p^{s_0,2s_0}(S_0),\qquad \nabla_{z'}\varphi_if(t,x^i(z))\in L_p(Q_0),\qquad i=1,2,\dots,r,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
и что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nabla_{z'}\varphi_iu_0(x^i(z)) &\in W_p^{2-2/p}(U), \nonumber \\ \nabla_{z'}a_{kl}(t,x^i(z',0)), \nabla_{z'}\beta_0(t,x^i(z',0)) &\in W_p^{s_0,2s_0}(S_0),\qquad k,l=1,2\dots,n,\quad i\leqslant r. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Отметим, что условия (2.6)–(2.8) не зависят от введенной локальной системы координат $y$ и системы координат $z$. Например, последнее включение в условии (2.8) эквивалентно тому, что для любого гладкого (класса $C^2$) касательного к $\Gamma$ векторного поля $\tau=(\tau_1(x),\dots,\tau_n(x))$
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial a_{ij}}{\partial\tau} \in W_p^{s_0,2s_0}((0,T)\times\Gamma_\delta),\qquad i,j=1,2\dots,n.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее эквивалентно тому, что $\partial a_{ij}/\partial\tau\in W_p^{s_0,2s_0}((0,T)\times(B_\delta(b_i)\cap\Gamma))$ для всех $i$. В свою очередь $\partial/\partial z_i=\partial/\partial\tau$, $i\leqslant n-1$, для некоторого такого векторного поля $\tau$. Приведем вспомогательный результат. Условия (2.6)–(2.8) могут быть переписаны и в терминах переменной $x$, но удобнее оставить их в вышеприведенной форме. Теорема 1. Пусть выполнены условия (2.2), (2.4), (2.5) и $\Gamma\in C^2$. Тогда существует единственное решение задачи (1.1), (1.2) такое, что $u\in W_p^{1,2}(Q)$, причем справедлива оценка Доказательство. Вначале считаем, что $\tau=T$. Утверждение о разрешимости задачи (1.1), (1.2) из класса $u\in W_p^{1,2}(Q)$ вытекает из теоремы 2.1 [29]. В лучае произвольного $\tau\in(0,T]$ доказательство осуществляется по той же схеме, что и доказательство теоремы 2 в [33]. Поэтому мы его не приводим. В формулировке следующей теоремы в каждой точке $b_i$ и соответствующей окрестности $Y_{b_i}$ мы будем использовать преобразование выпрямления границы и локальную систему координат $z$. Теорема 2. Пусть выполнены условия (2.1)–(2.8). Тогда на промежутке $(0,\tau)$ существует единственное решение $u$ задачи (1.1), (1.2) такое, что $u\in W_p^{1,2}(Q^\tau)$, причем $\nabla_{z'}\varphi_i u(x^i(z))\in W_p^{1,2}(Q_0^\tau)$, $i=1,\dots,r$. Если $u_0\equiv 0$, то решение удовлетворяет оценке Доказательство. Доказательство использует метод конечных разностей (см. лемму 4.6 гл. 2 в [3] и теорему 4, п. 4, § 3, гл. 3 в [34]). Рассуждения совпадают с теми которые приведены в доказательстве теоремы 4, п. 3, § 2, гл. 4 в [34]. Поэтому мы остановимся только на основных моментах. Возьмем точку $b_i\in\Gamma$. Умножая уравнение на $\varphi_i$, для $v=\varphi_iu$, имеем
$$
\begin{equation*}
Mv=v_t-Lv=\varphi_if+[\varphi_i,L]u=\widetilde f,\qquad v|_{t=0}=\varphi_iu_0(x),\qquad Bv|_S=\varphi_ig-[\varphi_i,B]u,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\varphi_i,L]u&=\varphi_iLu-L(\varphi_iu) =-2\sum_{l,k=1}^na_{lk}u_{x_k}\varphi_{ix_l} -\sum_{l,k=1}^na_{lk}u\varphi_{ix_{l}x_k} -\sum_{k=1}^na_k\varphi_{ix_k}u, \\ [\varphi_i,B]u&=-\sum_{k,l=1}^na_{kl}\nu_k\varphi_{ix_l}u. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к локальной системе координат $y$ и обозначим полученные коэффициенты через $\widetilde a_{ij}$, $\widetilde a_i$. Оператор $B$ будет иметь тот же вид (изменятся фактические координаты вектора $\nu$). Выпрямим границу преобразованием $z_n=y_n-\gamma(y')$, $z'=y'$ и перейдем к новым координатам $z$ в уравнении. Получим задачу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Mv &=v_t-\widetilde Lv=\widetilde f,\qquad v|_{t=0}=v_0(z)=\varphi_i(x^i(z))u_0(x^i(z)), \\ \widetilde Bv|_{z_n=0} &=\varphi_ig(t,x^i(z',0))-[\varphi_i,B]u(t,x^i(z',0)) =\widetilde g(t,z'), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где $\widetilde L$, $\widetilde B$ – операторы $L$, $B$, записанные в системе координат $z$. Обозначим коэффициенты $\widetilde L$ через $c_{kl}$, $c_k$, оператор $\widetilde B$ запишется в виде
$$
\begin{equation*}
\widetilde Bu=\sum_{k=1}^n\gamma_k(t,z')u_{z_k}+(\beta+\beta_0)u,\qquad \text{где}\quad \gamma_n=\sqrt{1+|\nabla\gamma|^2} \sum_{k,l=1}^n\widetilde a_{k,l}\nu_k\nu_l|_{z_n=0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение рассматривается для $z\in U$. Пусть $\Delta_jv(z)=(v(z+e_j\eta)-v(z))/\eta$ ($e_j$ – $j$-й координатный вектор), где $|\eta|<\delta/8$ и $j\leqslant n-1$. Тогда функция $w=\Delta_j v$ есть решение задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, w_t-\widetilde L(t,z,D)w =-[\widetilde L,\Delta_j]v+\Delta_j\widetilde f=\widetilde f_0, \\ \widetilde Bw|_{z_n=0} =[\widetilde B,\Delta_j]v+\Delta_j\widetilde g=\widetilde g_0,\qquad w|_{t=0}=\Delta_jv_0=\widetilde u_{01}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\widetilde L,\Delta_j]v &=-\sum_{k,l=1}^n\Delta_jc_{kl}(t,z)v_{z_{k}z_{l}}(t,z+e_j \eta) \\ &\qquad -\sum_{k=1}^n\Delta_jc_{k}(t,z)v_{z_{k}}(t,z+e_j \eta)-\Delta_jc_0(t,z)v(t,z+e_j \eta), \\ [\widetilde{B},\Delta_j]v &=-\sum_{k=1}^n\Delta_j\gamma_{k}v_{z_{k}}(t,z'+e_j\eta,0)+ \Delta_j(\beta+\beta_0)(t,z'+e_j\eta,0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти равенства получаются, если мы применим оператор $\Delta_j$ в (2.12). Вернемся к переменным $x$ и продолжим все функции в (2.13) нулем вне $Y_{b_i}\cap G$. Тогда функция $w\in W_p^{1,2}(Q)$ есть решение задачи (1.1), (1.2) с некоторыми новыми правыми частями в граничном условии и уравнении, т.е.
$$
\begin{equation}
Mw=w_t-Lw=\widetilde f_0,\quad (t,x)\in Q,\qquad w|_{t=0}=\widetilde u_{01},\quad Bw|_S=\widetilde g_0.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Ссылаясь на теорему 1, заключаем, что справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\|w\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)} \leqslant C_1(\|\widetilde f_0\|_{L_p(Q^\tau)} +\|\widetilde g_0\|_{\widetilde W_p^{s_0,2s_0}(S^\tau)} +\|\widetilde u_{01}\|_{W_p^{2-2/p}(G)}),
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
В случае $u_0=0$ дополнительно имеем, что
$$
\begin{equation}
\|w\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)} \leqslant C_2(\|\widetilde f_0\|_{L_p(Q^\tau)} +\|\widetilde g_0\|_{\widetilde W_p^{s_0,2s_0}(S^\tau)}),
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где постоянная $C_2$ уже не зависит от параметра $\tau$. Далее необходимо показать, что нормы правых частей оцениваются постоянными, не зависящими от параметра $\eta\in(0,\delta/8)$. Оценки более или менее стандартные. Мы используем условия на данные, теоремы вложения и леммы 1, 2, а также представления вида
$$
\begin{equation*}
\Delta_jv_0=\frac{1}{\eta} \int_{z_j}^{z_j+\eta}v_{0z_j}(z_1,\dots,z_{j-1},\xi,z_{j+1},\dots,z_n)\,d\xi =\int_0^{1}v_{0z_j}(z+e_j\tau\eta)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Полученные оценки и лемма 4.11 в [32] или теорема 4, п. 4, § 3, гл. 3 в [34]), гарантируют утверждение теоремы. 3. Основные результатыПусть $p\in(n+2,\infty)$. Приведем условия на данные. Считаем, что функции $\Phi_i(t,x)$ при всех $i$ обладают свойствами
$$
\begin{equation}
\Phi_i\in W_p^{s_0,2s_0}(S),\quad \nabla_{z'}\Phi_i(t,x^j(z',0))\in W_p^{s_0,2s_0}(S_0),\qquad i,j=1,2,\dots,r.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Пусть $\Phi(t)$ – матрица с элементами $\phi_{ij}=\Phi_j(t,b_i)$, $i,j=1,2,\dots,r$. В силу теорем вложения $\Phi_i(t,b_j)\in C^{1/2-(n+2)/2p}([0,T])$ (см. § 6.3 и теорему 1 (раздел замечания, с. 424) в [36]). Дополнительные условия на данные имеют вид
$$
\begin{equation}
|\psi_i(t)|\geqslant\delta_1,\qquad |{\det\Phi}|\geqslant\delta_1>0\quad \forall\,t\in[0,T],\qquad \psi_i\in W_p^{s_1}(0,T),\qquad u_0(b_i)=\psi_i(0),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\delta_1$ – некоторая положительная постоянная и $i=1,2,\dots,r$. Однако это не все условия, гарантирующие разрешимость задачи. Возьмем первое из равенств (1.2) в точке $(0,b_j)$. Имеем
$$
\begin{equation}
Bu_0(b_j)=\frac{\partial u_0(b_j)}{\partial N}+\beta(0,b_j)u_0(b_j) =g(0,b_j)-\beta_0(0,b_j)u_0(b_i),\qquad j=1,\dots,r.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Из этой системы в силу (3.2) однозначно определяются величины $\beta_i(0)$ как решение системы
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^r\beta_i(0)\Phi_i(0,b_j) =\frac{1}{u_0(b_j)}\biggl(g(0,b_j)-\frac{\partial u_0(b_j)}{\partial N} -\beta_0(0,b_j)u_0(b_i)\biggr),\qquad j=1,\dots,r.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Тогда, если решение задачи (1.1)–(1.3) существует, то выполнено равенство
$$
\begin{equation}
\frac{\partial u_0(x)}{\partial N}+(\beta(0,x)+\beta_0(0,x))u_0(x)=g(0,x)\qquad \forall\,x\in\Gamma,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где постоянные $\beta_j(0)$ – решение системы (3.4). Это равенство – дополнительное условие согласования данных. Положим $\beta^0=\sum_{i=1}^r\beta_i(0)\Phi_i(t,x)$. Считая, что условия теорем 1, 2 выполнены, построим решение $w_0$ уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям
$$
\begin{equation}
\frac{\partial w_0(t,x)}{\partial N}+(\beta^0+\beta_0)w_0(t,x)=g,\qquad (t,x)\in S.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Отметим, что в силу условия (3.1) и леммы 2, $\beta^0\in W_p^{s_0,2s_0}(S)$, $\nabla_{z'}\beta^0(x^{j}(z',0))\in W_p^{s_0,2s_0}(S_0)$ для всех $j$ и таким образом, условия теорем 1, 2 будут выполнены. Сделаем замену $u=v+w_0$ в (1.1)–(1.3). Обозначим $\alpha=\beta-\beta^0$, $\alpha_0=\beta^0+\beta_0$. Функция $v$ есть решение обратной задачи
$$
\begin{equation}
v|_{t=0}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial N}+\alpha_0v=-\alpha v-\alpha w_0,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Имеем, что $\alpha=\sum_{i=1}^r\alpha_i\Phi_i(t,x)$, $\alpha_i=\beta_i(t)-\beta_i(0)$. Положим $\vec\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_r)$. Сформулируем основной результат. Теорема 3. Пусть выполнены условия (2.1)–(2.3), (2.5), (2.7), (2.8), (3.1), (3.2), (3.5). Тогда на некотором промежутке $[0,\tau_0]$ существует единственное решение задачи (1.1)–(1.3) такое, что $u\in W_p^{1,2}(Q^\tau)$, $\beta_i(t)\in W_p^{s_0}(0,\tau_0)$, $i=1,2,\dots,r$, причем $\nabla_{z'}\varphi_i u(x^i(z))\in W_p^{1,2}(Q_0^\tau)$, $i=1,\dots,r$. Доказательство. Достаточно доказать утверждение для вспомогательной задачи (3.8)–(3.10). Фиксируем $R_0>0$ (эту величину мы определим позже) и предположим, что Повторяя рассуждения использованные при получении оценки (3.25), получим при $\tau\leqslant\tau_1$, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|\widetilde\omega\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)} \leqslant c_3\|\widetilde\alpha\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)},
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
где $c_3$ не зависит от $\tau$. Аналогично при $\tau\leqslant\tau_2$ имеем оценку
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^r \|\nabla_{z'}\varphi_i\widetilde\omega(t,x^i(z))\|_{W_p^{1,2}(Q_0^\tau)} \leqslant c_4\biggl(\|\widetilde\alpha\|_{\widetilde W_p^{s_0,2s_0}(S^\tau)} +\sum_{i=1}^r \|\nabla_{z'}\widetilde{\alpha}(x^i(z',0))\|_{\widetilde W_p^{s_0,2s_0}(S_0^\tau)}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Используя (3.27)–(3.30), неравенства (3.31), (3.32) перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\|\widetilde\omega\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)}+\sum_{i=1}^r\|\nabla_{z'}\varphi_i \widetilde\omega(t,x^i(z))\|_{W_p^{1,2}(Q_0^\tau)} \leqslant c_5\|\vec\alpha_1-\vec\alpha_2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)}.
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
Далее, изучим свойства отображения $\vec\alpha\to(w_1,w_2,\dots,w_r)$. Приведем оценку для правой части в (3.13) в $L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1))$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\|f_1(t,0,z_n)\|_{L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1))} \leqslant c_{6}\|f_1(t,z',z_n)\|_{W_p^s(B_{\delta}';L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1)))}=J
\end{equation*}
\notag
$$
при $s>(n-1)/p$ в силу леммы 3. Далее снова используем лемму 3, а точнее неравенства, вытекающие из соответствующих интерполяционных равенств. Имеем
$$
\begin{equation}
J\leqslant c_7\|f_1(t,z)\|_{W_p^1(B'_\delta;L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1)))}^\theta \|f_1(t,z)\|_{W_p^{-1}(B'_\delta;L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1)))}^{1-\theta},\qquad 2\theta-1=s.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Исходя из определения $f_1$ и условий на коэффициенты, имеем
$$
\begin{equation}
\|f_1\|_{W_p^{-1}(B_{\delta}';L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1)))} \leqslant c\|v\|_{L_p(0,\tau;W^{1}_p(U))} \leqslant c_8\tau^{1/2}\|v\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)},
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
где постоянная $c_1$ не зависит от $\tau$. Последняя оценка получается, если мы применим интерполяционное неравенство
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{L_p(0,\tau;W^{1}_p(U))} \leqslant c_9\|v\|_{L_p(0,\tau;W^2_p(U))}^{1/2}\|v\|_{L_p(0,\tau;L_p(U))}^{1/2}
\end{equation*}
\notag
$$
и оценку
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{L_p(0,\tau;L_p(U))}\leqslant\tau\|v_{t}\|_{L_p(0,\tau;L_p(U)},
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающую из формулы Ньютона–Лейбница, а затем оценим полученные нормы через норму в $W_p^{1,2}(Q^\tau)$. Оценки (3.34), (3.35) влекут, что
$$
\begin{equation}
\|f_1(t,0,z_n)\|_{L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1)))} \leqslant c_{10}\tau^{(1-\theta)/2}(\|\nabla_{z'}\varphi_iv(t,z)\|_{W_p^{1,2}(Q_0^\tau)} +\|v\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)}),
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
где $c_{10}$ – постоянная, не зависящая от $\tau$. Как вытекает из неравенств (3.25), (3.26), неравенство (3.36) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|f_1(t,0,z_n)\|_{L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1)))} \\ &\qquad\leqslant c_3\tau^{(1-\theta)/2}\biggl(\|w_0\|_{W_p^{s_0,2s_0}(S_0)} +\sum_{i=1}^r\|\nabla_{z'} \varphi_iw_0(x^i(z))\|_{W_p^{s_0,2s_0}((0,T)\times B_{\delta}')}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть, как и ранее, $\vec\alpha_i=(\alpha_{i1},\alpha_{i2},\dots,\alpha_{ir})\in B_{R_0}$, $i=1,2$, и $v_i$ – соответствующие решения задачи (3.8), (3.9), где функция $\alpha$ заменяется на соответствующие функции $\alpha^j=\sum_{i=1}^r\alpha_{ji}\Phi_i$, $j=1,2$. Пусть $w_i^j$, $j=1,2$, решения задач (3.13), (3.14) c новыми правыми частями, где вместо $v$ стоят функции $v_i$ и $w^0=\varphi_i\widetilde\omega$. Тогда разности $k_i=w_i^1-w_i^2$ есть решения задач
$$
\begin{equation}
k_{it}-c_{nn}(t,0,z_n)k_{i z_nz_n} =\sum_{i+j<2n}c_{ij}\omega^0_{z_iz_j} +\sum_{i=1}^nc_i\omega_{z_i}^0+c_0\omega^0 +[\varphi_i,L]\widetilde\omega|_{z'=0}=\widetilde f_i,
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
$$
\begin{equation}
k_i|_{t=0} =0,\qquad k_i|_{z_n=0}=0,\qquad k_i|_{z_n=\delta_1}=0,\qquad i\leqslant r.
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
Из известных свойств параболических задач (см., например, [2]) имеем оценку
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^r\|k_i\|_{W_p^{1,2}((0,\tau)\times(0,\delta_1))} \leqslant\sum_{i=1}^r\|\widetilde f_i\|_{L_p((0,\tau)\times(0,\delta_1))}.
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Используя аналог оценки (3.36) для оценки правой части, получим
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^r\|k_i\|_{W_p^{1,2}((0,\tau)\times(0,\delta_1))} \leqslant c_2\tau^{(1-\theta)/2}\biggl(\|\widetilde\omega\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)} +\sum_{i=1}^r\|\nabla_{z'}\varphi_i\widetilde\omega(t,x^i(z))\|_{W_p^{1,2}(Q_0^\tau)}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, отсюда и из (3.33) вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
\sum_{i=1}^r\|k_{iz_n}(t,0)\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_4\tau^{(1-\theta)/2}\|\vec\alpha_1-\vec\alpha_2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)}.
\end{equation}
\tag{3.40}
$$
Возьмем $\vec\alpha=0$. Тогда в силе единственности решений задачи (3.8), (3.9) $v=v(\vec\alpha)=0$, в этом случае координаты вектора $\vec F(0)$ запишутся в виде
$$
\begin{equation*}
F_i(0)=\frac{1}{\psi_i}(-\gamma_n(t,0)\omega_{iz_n}(t,0) -\alpha_0\widetilde\psi_i(t)),\qquad i=1,2,\dots,r,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\omega_i$ есть решение задачи
$$
\begin{equation*}
w_{it}(t,z_n)-c_{nn}(t,0,z_n)w_{iz_nz_n}=0,\qquad w_i(0,z_n)=0,\quad w_i|_{z_n=0}=\widetilde\psi_i(t),\quad w_i|_{z_n=\delta_1}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $R_0=2\|\Phi^{-1}\vec F(0)\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,T)}$. В этом случае при $\tau\leqslant\tau_2$ будут справедливы все вышеприведенные оценки. Постоянная $\tau_2$ зависит от $R_0$ и норм данных задачи. Получим оценки, считая, что $\vec\alpha_i\in B_{R_0}$, $i=1,2$. Из (3.18) имеем, что
$$
\begin{equation*}
\|R(\vec\alpha_1)-R(\vec\alpha_2)\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c\sum_{i=1}^r\|F_i(\vec\alpha_1)-F_i(\vec\alpha_2)\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и ранее, обозначим соответствующие решения задачи (3.8), (3.9) через $v_i$, $i=1,2$, положим $\widetilde w=v_1-v_2$ обозначим через $\omega_j^i$, $i=1,2$, решения задач (3.13), (3.14), положим $k_i=\omega_i^1-\omega_i^2$. Рассмотрим первое слагаемое в координате $F_i(\vec\alpha_1)-F_i(\vec\alpha_2)$. Оно записывается в виде
$$
\begin{equation}
J_1=-\gamma_n(\omega_{iz_n}^1-\frac{\omega_{iz_n}^2}{\psi_i(t)}\,,
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
где $\gamma_n=\sqrt{1+|\nabla\gamma|^2} \sum_{k,l=1}^n\widetilde a_{k,l}(y^i(z))\nu_k\nu_l|_{z_n=0}$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\nu_k=-\frac{\gamma_{z_k}(z')}{\sqrt{1+|\nabla\gamma|^2}}\,,\quad k<n,\qquad \nu_n=\frac1{\sqrt{1+|\nabla\gamma|^2}}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widetilde a_{k,l}$ – старшие коэффициенты оператора $L$ записанного в локальной системе координат $y$. В силу леммы 2 и неравенства (3.40) имеем
$$
\begin{equation*}
\|J_1\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_1\|\omega_{iz_n}^1-\omega_{iz_n}^2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_2\tau^{\beta_1}\|\vec\alpha_1-\vec\alpha_2\|_{\widetilde W_p^s(0,\tau)},
\end{equation*}
\notag
$$
где все постоянные не зависят от $\tau$ и $\beta_1$ – положительная постоянная. Рассмотрим второе слагаемое
$$
\begin{equation*}
J_2=-\sum_{j=1}^{n-1}\gamma_j(t,0)\frac{\widetilde w_{z_j}(t,x^i(0))}{\psi_i(t)}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу леммы 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\|J_2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_2\sum_{i=1}^r(\|\widetilde w(t,x^i(0))\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} +\|\nabla_{z'}\widetilde w(t,x^i(0))\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Каждое из слагаемых, входящих в эту сумму, оценивается одинаково. Отметим, что условие $v(t,x^i(z))\in\widetilde W_p^{s_1,2s_1}(S_0^\tau)$ влечет, что $\nabla_{z'}v\in\widetilde W_p^{s_0,2s_0}(S_0^\tau)$ и справедлива оценка (см. [37; лемма 7.2])
$$
\begin{equation*}
\|\nabla_{z'}v\|_{\widetilde W_p^{s_0,2s_0}(S_0^\tau)} +\|v\|_{\widetilde W_p^{s_0,2s_0}(S_0^\tau)} \leqslant c\|v\|_{\widetilde W_p^{s_1,2s_1}(S_0^\tau)},
\end{equation*}
\notag
$$
где с помощью замены переменных легко убедиться, что постоянная $c$ не зависит от $\tau$. В частности, отсюда вытекает оценка (см. лемму 1)
$$
\begin{equation}
\|v\|_{W_p^{1}(B'_{\delta};\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau))} \leqslant c\|v\|_{\widetilde W_p^{s_1,2s_1}(S_0^\tau)} \leqslant c_1\|v\|_{W_p^{1,2}(Q^\tau)}.
\end{equation}
\tag{3.42}
$$
Рассмотрим, например, последнее слагаемое в оценке для $\|J_2\|$. Имеем (см. лемму 3)
$$
\begin{equation*}
\|\nabla_{z'}(\widetilde w(t,x^i(z)))|_{z=0}\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_2\|\nabla_{z'} \varphi_i(\widetilde w(t,x^i(z',0)))\|_{W_p^s(B_{\delta}';\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau))},
\end{equation*}
\notag
$$
при $s>(n-1)/p$ (возьмем $s\in(n-1)/p,1)$). Далее, используя интерполяционное неравенство (следствие леммы 3) и (3.42) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|\nabla_{z'}(\widetilde w(t,x^i(z)))|_{z=0}\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_2\|\nabla_{z'}(\widetilde w(t,x^i(z',0)))\|_{W_p^s(B'_\delta;\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau))} \\ &\qquad\leqslant c_3\|\nabla_{z'}\varphi_i(\widetilde w(t,x^i(z',0)))\|_{W_p^1(B'_\delta;\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau))}^\theta \|\nabla_{z'}\varphi_i(\widetilde w(t,x^i(z',0)))\|_{W_p^{-1}(B'_\delta;\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau))}^{1-\theta} \\ &\qquad\leqslant c_4\|\nabla_{z'}\varphi_i(\widetilde w(t,x^i(z)))\|_{W_p^{1,2}(Q_0^\tau)}^\theta \|\varphi_i(\widetilde w(t,x^i(z',0)))\|_{L_p(B'_\delta;\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau))}^{1-\theta} \\ &\qquad\leqslant c_5\|\nabla_{z'}\varphi_i(\widetilde w(t,x^i(z',0)))\|_{W_p^{1,2}(Q_0^\tau)}^\theta \tau^{(1-\theta)/2}\|\varphi_i(\widetilde w(t,x^i(z',0)))\|_{L_p(B'_\delta;\widetilde W_p^{s_1}(0,\tau))}^{1-\theta}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ссылаясь на лемму 1 и используя (3.33), получим оценку
$$
\begin{equation*}
\|\nabla_{z'}(\widetilde w(t,x^i(z)))|_{z=0}\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_6\tau^{\beta_2}\|\vec\alpha_1-\vec\alpha_2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично оцениваются оставшиеся слагаемые в $\|J_2\|$, и можно сказать, что
$$
\begin{equation}
\|J_2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_7\tau^{\beta_2}\|\vec\alpha_1-\vec\alpha_2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)}.
\end{equation}
\tag{3.43}
$$
для некоторого $\beta_2>0$ и не зависящей от $\tau$ постоянной $c_7$. Окончательная оценка, как вытекает из (3.41), (3.43), имеет вид
$$
\begin{equation*}
\|R(\vec\alpha_1)-R(\vec\alpha_2)\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)} \leqslant c_8\tau^{\beta_0}\|\vec\alpha_1-\vec\alpha_2\|_{\widetilde W_p^{s_0}(0,\tau)},
\end{equation*}
\notag
$$
где показатель $\beta_0$ минимальный из полученных в доказательстве, и постоянная $c_{10}$ не зависит от $\tau$. Возьмем в качестве $\tau_0$ число со свойством $\tau_0\leqslant\tau_2$, $c_{8}\tau_0^{\beta_0}\leqslant 1/2$. В этом случае оператор $R$ переводит шар $B_{R_0}$ в себя и является в нем сжимающим. Следовательно уравнение (3.17) имеет решение $\vec\alpha\in \widetilde W_p^{s_0}(0,\tau_0)$. Используя найденное решение $\vec\alpha$, найдем решение $v$ задачи (3.8), (3.9). Покажем, что у нас выполнены условия переопределения (3.10). Возьмем равенства (3.9), записанные в системе координат $z$ и взятые в точке $t$, $x^i(0)$ ($x^i(0)=b_i$), и вычтем их из соответствующих равенств (3.15), получим
$$
\begin{equation}
\gamma_n(t,0)(w_{iz_n}(t,0)-v_{z_n}(t,x^i(0))) +\alpha_0(w_i(t,0)-v(t,x^i(0)))+\alpha(w_i(t,0)-v(t,x^i(0)))=0,
\end{equation}
\tag{3.44}
$$
где $i=1,2,\dots,r$. Функция $w_{0i}=\varphi_iv$ удовлетворяет уравнению (3.12). Возьмем в этом уравнении $z'=0$ и вычтем его из равенства (3.13). Получим равенства
$$
\begin{equation}
(w_{it}(t,z_n)-w_{0it}(t,x^i(0,z_n))) -c_{nn}(t,0,z_n)(w_{iz_nz_n}-w_{0iz_nz_n}(t,x^i(0,z_n)))=0,\qquad i\leqslant r.
\end{equation}
\tag{3.45}
$$
Функции $w_i(t,z_n)-w_{0i}(t,x^i(0,z_n))$ удовлетворяют уравнениям (3.45) начальному условию $(w_i(t,z_n)-w_{0i}(t,x^i(0,z_n)))|_{t=0}=0$ и в силу (3.44) граничным условиям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, &\gamma_n(t,0)(w_i(t,z_n)-w_{0i}(t,x^i(0))) +\alpha_0(w_i(t,z_n)-w_{0i}(t,x^i(0))) \\ &\qquad{} +\alpha(w_i(t,0)-w_{0i}(t,x^i(0)))=0,\qquad \end{aligned} \\ w_i(t,z_n)-w_{0i}(t,x^i(0,z_n))|_{z_n=\delta_1}=0,\quad i=1,2,\dots,r, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу единственности решений смешанной начально-краевой задачи $w_i(t,z_n)=w_{0i}(t,x^i(0,z_n))$. Следовательно, выполнены равенства
$$
\begin{equation*}
w_{0i}(t,x^i(0))=v(t,x^i(0))=\widetilde\psi_i\qquad \forall\,i.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку локально по времени задача сводится к уравнению со сжимающим оператором, то утверждение о единственности решений здесь очевидно. Замечание 2. Утверждение теоремы 3 легко обобщается на случай систем параболических уравнений. В этом случае роль коэффициента $\beta$ играет соответствующая матрица, куда входят неизвестные функции, зависящие от времени. В самом общем случае элементы матрицы имеют вид $\beta_{ij}=\sum_{k=1}^{r_{ij}}\alpha_{ij}^k(t)\Phi_{ij}^k(x)$, где неизвестными являются функции $\alpha_{ij}^k(t)$. Схема рассуждений та же самая, однако, формулировка условий и результатов становится существенно более громоздкой.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PyaBar23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|