| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) О связи между ростом нулей и убыванием тейлоровских коэффициентов целой функции Г. Г. Брайчев Московский педагогический государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010042 
Реферативные базы данных:
  1. Введение и предварительные сведенияРассмотрим отличную от многочлена целую функцию
$$
\begin{equation}
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}f_n z^n,\qquad z\in\mathbb C.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Сразу считаем, что $f$ имеет бесконечно много нулей и $f_0=f(0)=1$. Последовательность нулей запишем в порядке неубывания модулей и с учетом кратностей. Через $M_f(r)$ обозначим максимум модуля этой функции в круге $|z|\leqslant r$. Скорость стремления к бесконечности величины $M_f(r)$ связана с асимптотическим поведением как последовательности тейлоровских коэффициентов $\Phi=\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}_0}$, так и последовательности нулей $\Lambda=\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ функции $f$. Одним из подходов к описанию “совместного изменения” числовых последовательностей $\Phi$ и $\Lambda$ может служить сравнение известных формул для вычисления порядка, типа и других характеристик роста $\ln M_f(r)$ с плотностными характеристиками нулей. Опишем интересующие нас характеристики роста максимума модуля целой функции. Пусть функция $h(r)$, называемая далее весом, определена, неограниченно возрастает и дифференцируема на $(0,\,+\infty)$. Тип и нижний тип целой функции относительно веса $h(r)$ (коротко, $h$-тип и нижний $h$-тип) определяются соответственно формулами
$$
\begin{equation}
T_h=T_{h}(f)=\varlimsup_{r\to+\infty}\frac{\ln M_f(r)}{h(r)}\,,\qquad t_h=t_{h}(f)=\varliminf_{r\to+\infty}\frac{\ln M_f(r)}{h(r)}\,.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Следуя терминологии Валирона [1; с. 45], говорим, что целая функция имеет совершенно регулярный рост, если ее $h$-тип и нижний $h$-тип совпадают, т.е. если $T_h=t_h$. Мы рассмотрим случай целых функций конечного положительного порядка, когда вес $h(r)$ удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{r\to+\infty}\frac{r h'(r)}{h(r)}=\rho>0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
как, например, модельный вес $h(r)=r^\rho$. Формулы (1.2) задают обычные тип и нижний тип целой функции относительно уточненного порядка $\varrho(r)=\ln h(r)/\ln r$. Теперь определим величины, характеризующие рост последовательности нулей целой функции $f$, т.е. последовательности $\Lambda$, члены которой ранжируем в порядке неубывания модулей. Пусть $n(r)=\sum_{|\lambda_n|\leqslant r}1$ – считающая функция последовательности $\Lambda$, а $N(r)=\int_{0}^r(n(t)/t)\,dt$ – ее усредненная считающая функция. Верхняя и нижняя $h$-плотности последовательности $\Lambda$, а также верхняя и нижняя усредненные $h$-плотности $\Lambda$ определяются соответственно формулами:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \overline{\Delta}_{h}&=\overline{\Delta}_{h}(\Lambda)= \varlimsup_{r\to+\infty}\frac{n(r)}{r h'(r)}\,,&\qquad \underline{\Delta}_{\,h}&=\underline{\Delta}_{\,h}(\Lambda)= \varliminf_{r\to+\infty}\frac{n(r)}{r h'(r)}\,, \\ \overline{\Delta}^{\,*}_{h}&=\overline{\Delta}^{\,*}_{h}(\Lambda)= \varlimsup_{r\to+\infty}\frac{N(r)}{h(r)}\,,&\qquad \underline{\Delta}^*_{\,h}&=\underline{\Delta}^*_{\,h}(\Lambda)= \varliminf_{r\to+\infty}\frac{N(r)}{h(r)}\,. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что последовательность измерима, если $\overline{\Delta}_{h}=\underline{\Delta}_{\,h}=:\Delta_{h}$, или, что эквивалентно, если $\overline{\Delta}^{\,*}_{h}= \underline{\Delta}^*_{\,h}=:\Delta^*_{\,h}$. Величина $\Delta_{h}(\Lambda)$ называется $h$-плотностью последовательности $\Lambda$, а величина $\Delta^*_{\,h}=\Delta^*_{\,h}(\Lambda)$ – ее усредненной $h$-плотностью. Наконец, определим величины $\widehat{f}_n$ – “спрямленные по Адамару” коэффициенты степенного разложения (1.1). Пусть $y=G(x)$, $x\geqslant0$, задает уравнение границы выпуклой оболочки множества точек
$$
\begin{equation*}
(n,-\ln |f_n|)\in \mathbb{R}^2,\qquad n\in\mathbb N_0=\mathbb N\cup\{0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возникающая кусочно линейная конструкция называется ломаной Ньютона–Адамара. Положим $\widehat{f}_n=e^{-G(n)}$, $n\in\mathbb N_0$, и обозначим $R_0=1$, $R_n=\widehat{f}_{n-1}/\widehat{f}_n$, $n\in\mathbb N$. Как мы убедимся позже, последовательность $\Lambda$ нулей функции (1.1) удобно связать именно с новой последовательностью $\{R_n\}_{n\in\mathbb{N}_0}$, построенной на основе исходной последовательности $\Phi$ тейлоровских коэффициентов. Возрастание значений $R_n=\widehat{f}_{n-1}/\widehat{f}_n$ означает по определению логарифмическую выпуклость последовательности $\{1/\widehat{f}_n\}_{n\in\mathbb{N}_0}$. Кроме того, если последовательность $\{1/|f_n|\}_{n\in\mathbb{N}_0}$ логарифмически выпукла, то $|f_n|=\widehat{f}_n$ для всех $n\in\mathbb{N}_0$. В общем случае такое равенство имеет место в абсциссах вершин ломаной Ньютона–Адамара, но возможно, не только в них. Именно, для всех $n\in\mathbb{N}_0$ выполняется неравенство $|f_n|\leqslant\widehat{f}_{n}$, причем $|f_{n_k}|=\widehat{f}_{n_k}$, $k\in\mathbb{N}$. Здесь $n_k$ – абсциссы вершин ломаной, которые согласно Валирону [1] называются центральными индексами ряда (1.1). Отметим одно полезное свойство таких индексов. Лемма 1. Пусть $n_k$ – центральные индексы ряда (1.1), а положительная последовательность $\varphi_n$ логарифмически выпукла. Тогда справедливы равенства1 Доказательство. Введем функцию $\varphi(x)$, график логарифма которой состоит из прямолинейных отрезков, соединяющих последовательно точки $(n,\ln\varphi_n)$, $n\in\mathbb{N}$. Функция $\ln\varphi(x)-G(x)$ является выпуклой на каждом отрезке $[n_kn_{k+1}]$, $k\in\mathbb{N}$, в силу линейности $G(x)$ на нем. Следовательно, отношение $(\ln\varphi(x)-G(x))/x$ свое максимальное значение на любом из упомянутых отрезков принимает в концевых точках отрезка. Но $|f_{n_k}|=\widehat{f}_{n_k}$ при любом $k\in\mathbb{N}$. Поэтому заявленные в лемме равенства вытекают из цепочки соотношений 2. Основные результатыВ недавней работе автора [2] доказаны следующие оценки снизу, характеризующие взаимный рост нулей и коэффициентов целой функции. Теорема A. Нули и тейлоровские коэффициенты, спрямленные по Адамару, произвольной целой функции с бесконечным числом нулей удовлетворяют неравенствам Эти общие результаты в конкретных ситуациях могут не достигать необходимой точности. Наша цель – уточнить оценки теоремы A для целых функций положительного порядка конечного $h$-типа, определенного в (1.2). Кроме того, мы докажем некоторые неравенства противоположного смысла и укажем классы целых функций, на которых все оценки достигаются. Всюду в дальнейшем предполагается, что вес $h(r)$ удовлетворяет условию (1.3). Теорема 1. Пусть $h$-тип целой функции $f$ нормален, т.е. удовлетворяет условию $0<T_h<+\infty$. Тогда ее нули и спрямленные по Адамару тейлоровские коэффициенты связаны неравенствами Доказательство. Согласно известному неравенству Йенсена имеем Рассмотрим вспомогательную целую функцию
$$
\begin{equation}
F(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n}\,,\qquad z\in\mathbb{C},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
построенную по нулям целой функции $f$, и заметим, что величина
$$
\begin{equation*}
N(r)=\ln\dfrac{r^n}{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}\,,\qquad n=n(r),\quad r>0,
\end{equation*}
\notag
$$
является логарифмом максимального члена функции $F$, заданной степенным разложением (2.4). Поэтому $F$ является функцией конечного порядка, логарифм максимального члена которой эквивалентен при $r\to+\infty$ логарифму ее максимума модуля. Отсюда следует, что $h$-тип функции $F$ совпадает с усредненной $h$-плотностью нулей функции $f$, а ее нижний $h$-тип – c нижней усредненной $h$-плотностью нулей функции $f$. Следовательно, $h$-тип и нижний $h$-тип функций $f$ и $F$ относительно веса $h(r)$ вычисляются единообразно по формулам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (T_h\,e\rho)^{1/\rho}&= \varlimsup_{n\to\infty} k(n)\sqrt[n]{\widehat{f}_n}= \varlimsup_{n\to\infty} k(n)\sqrt[n]{|f_n|}\,, \\ (t_h\,e\rho)^{1/\rho}&= \varliminf_{n\to\infty} k(n)\sqrt[n]{\widehat{f}_n}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
и, соответственно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\overline{\Delta}^{\,*}_{h}e\rho)^{1/\rho}&= \varlimsup_{n\to\infty} \frac{k(n)}{\sqrt[n]{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}}\,, \\ (\underline{\Delta}^{*}_{\,h}e\rho)^{1/\rho}&= \varliminf_{n\to\infty} \frac{k(n)}{\sqrt[n]{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}}\,, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $k(n)$ – значения функции, обратной к $h(r)$ (см. [3]). Мы учли в (2.6), что последовательность чисел $|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|$ логарифмически выпукла. Отметим также, что существование пределов в формулах (2.5) равносильно совершенной регулярности роста функции $f$, заданной рядом (1.1), а существование пределов в (2.6) эквивалентно измеримости последовательности ее нулей. Сочетая формулы (2.5), (2.6), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\widehat{f}_n\,|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}\geqslant \frac{\varliminf_{n\to\infty} k(n)\sqrt[n]{\widehat{f}_n}} {\varliminf_{n\to\infty} (k(n)/\sqrt[n]{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|})}= \frac{(t_h\,e\rho)^{1/\rho}} {(\underline{\Delta}^{*}_{\,h}\,e\rho)^{1/\rho}}= \biggl(\frac{t_h}{\underline{\Delta}^{*}_{\,h}}\biggr)^{1/\rho}, \\ \varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\widehat{f}_n|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}\geqslant \frac{\varlimsup_{n\to\infty}k(n)\sqrt[n]{\widehat{f}_n}} {\varlimsup_{n\to\infty} (k(n)/\sqrt[n]{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|})}= \frac{(T_h\,e\rho)^{1/\rho}} {(\overline{\Delta}^{\,*}_{h}e\rho)^{1/\rho}}= \biggl(\frac{T_h}{\overline{\Delta}^{\,*}_{h}}\biggr)^{1/\rho}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этим доказана левая часть двойного неравенства (2.1). Правая часть этого неравенства выводится аналогичным образом:
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\widehat{f}_n|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}\leqslant \frac{\varlimsup_{n\to\infty}k(n)\sqrt[n]{\widehat{f}_n}} {\varliminf_{n\to\infty} (k(n)/\sqrt[n]{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|})}= \frac{(T_h\,e\rho)^{1/\rho}}{(\overline{\Delta}^{\,*}_{h} e\rho)^{1/\rho}}= \biggl(\frac{T_h}{\underline{\Delta}^{*}_{\,h}}\biggr)^{1/\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из близких соображений выводим и остальные неравенства. Например, левая часть двусторонней оценки (2.2) доказывается так:
$$
\begin{equation*}
\varliminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{\widehat{f}_n|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}\geqslant \frac{\varliminf_{n\to\infty} k(n)\sqrt[n]{\widehat{f}_n}} {\varlimsup_{n\to\infty} (k(n)/\sqrt[n]{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|})}= \frac{(t_h e\rho)^{1/\rho}} {(\overline{\Delta}^{\,*}_{h}e\rho)^{1/\rho}}= \biggl(\frac{t_h}{\overline{\Delta}^{\,*}_{h}}\biggr)^{1/\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства осталось применить лемму, чтобы в верхнем пределе заменить $\widehat{f}_{n}$ на $|f_n|$ и получить двустороннюю оценку (2.1). Требование нормальности величины типа целой функции в условии теоремы обеспечивает содержательность полученных в ней оценок. Теорема 1 доказана. Замечание 1. Если $a=0$ является исключительным по Борелю2 значением целой функции $f$, то порядок $\rho\in\mathbb{N}$, и справедливо представление где $c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\psi(z)$ – целая функция минимального $h$-типа. В этом случае имеем $t_h=T_h=|c|$, $\underline{\Delta}^{*}_{\,h}=\overline{\Delta}^{\,*}_{h}=0$, а также (ср. с (2.2)) Формулы (2.1), (2.2) теоремы 1 существенно упростятся, если оба неравенства (2.3) превратятся в равенства. Существование целых функций положительного порядка со свойством
$$
\begin{equation}
t_h=\underline{\Delta}^{*}_{\,h},\qquad T_h=\overline{\Delta}^{\,*}_{h}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
доказано в работе [5] для стандартного веса $h(r)=r^\rho$ при любом $\rho>0$. В таком случае можно выбрать $t_h<T_h$, что влечет $\underline{\Delta}^{*}_{\,h}<\overline{\Delta}^{\,*}_{h}$, и конструкция [5] для произвольного $\rho>0$ дает пример функции со свойством (2.7), не имеющей совершенно регулярного роста, с неизмеримой последовательностью нулей. На классе таких функций имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 1\leqslant\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|f_n\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}\leqslant \biggl(\frac{\overline{\Delta}^{\,*}_{h}} {\underline{\Delta}^{*}_{\,h}}\biggr)^{1/\rho}, \qquad \biggl(\frac{\underline{\Delta}^{*}_{\,h}} {\overline{\Delta}^{\,*}_{h}}\biggr)^{1/\rho}\leqslant \varliminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{\widehat{f}_n|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|} \leqslant 1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим также простой результат, действующий в двух достаточно “регулярных” ситуациях: $t_h=T_h$ и $\underline{\Delta}^{*}_{\,h}=\overline{\Delta}^{\,*}_{h}$. Эти ситуации различны, ибо ни одно из указанных равенств не влечет другое (см., например, [6]). Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Если функция $f$, заданная рядом (1.1), имеет совершенно регулярный рост относительно $h(r)$, то
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|f_n\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}= \biggl(\frac{T_h} {\underline{\Delta}^{*}_{\,h}}\biggr)^{1/\rho},\qquad \varliminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{\widehat{f}_n\,|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}= \biggl(\frac{T_h}{\overline{\Delta}^{\,*}_{h}}\biggr)^{1/\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
2. Если последовательность нулей функции $f$ измерима, то
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|f_n\,\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}= \biggl(\frac{T_h}{\overline{\Delta}^{\,*}_{h}}\biggr)^{1/\rho},\qquad \varliminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{\widehat{f}_n\,|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}= \biggl(\frac{t_h}{\overline{\Delta}^{\,*}_{h}}\biggr)^{1/\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующий результат гарантирует существование предела в теореме 1 для более узкого (но весьма важного) класса, состоящего из целых функций вполне регулярного роста в смысле Левина–Пфлюгера [7]. Напомним, что речь идет о функциях, для которых существует предел
$$
\begin{equation*}
H_h(\theta)=\lim_{r\notin E,r\to+\infty} \frac{\ln|f(re^{i\theta})|}{h(r)}\,,\qquad \theta\in[0,2\pi],
\end{equation*}
\notag
$$
где $E$ – $C_0$-множество (подробности см. в [7]). Функция $H_h(\theta)$ называется $h$-индикатором целой функции $f$. Обозначим
$$
\begin{equation}
I_h:=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0}H_h(\theta)\,d\theta.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Теорема 3. Спрямленные по Адамару коэффициенты и нули целой функции конечного положительного $h$-типа и вполне регулярного роста удовлетворяют условию В частности, если $h$-индикатор функции постоянен, то выполняется равенство Доказательство. Из формулы Йенсена Следствие 1. Пусть последовательность нулей целой функции (1.1) измерима и удовлетворяет условию Тогда $f$ есть функция вполне регулярного роста в смысле Левина–Пфлюгера с постоянным $h$-индикатором $H_h(\theta)\equiv T_h$, $\theta\in[0,2\pi]$. Доказательство. Соотношение (2.10) выводится из (2.13) с помощью теоремы Штольца: Замечание 2. Как видно из доказательства, утверждение теоремы останется в силе, если требование измеримости последовательности нулей целой функции заменить на требование совершенной регулярности ее роста. Неожиданным (по крайней мере, для автора) оказался тот факт, что условия только на модули тейлоровских коэффициентов и на модули нулей целой функции влекут полную регулярность ее роста, означающую наличие угловой плотности у последовательности нулей. Связь коэффициентов целой функции с ее нулями можно выражать также, используя $h$-плотности нулей вместо усредненных $h$-плотностей. Для этого применяем вместо (2.6) следующие формулы для $h$-плотностей:
$$
\begin{equation}
(\overline{\Delta}_{h}\rho)^{1/\rho}= \varlimsup_{n\to\infty}\frac{k(n)}{|\lambda_n|}\,, \qquad (\underline{\Delta}_{\,h}\rho)^{1/\rho}= \varliminf_{n\to\infty}\frac{k(n)}{|\lambda_n|}\,,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $k(n)$ – значения функции, обратной к $h(r)$. Теорема 4. Нули и спрямленные по Адамару тейлоровские коэффициенты целой функции нормального $h$-типа связаны неравенствами Если функция $f$, заданная рядом (1.1), имеет совершенно регулярный рост относительно $h(r)$, то выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty}|\lambda_n|\sqrt[n]{|f_n|}= \biggl(\frac{T_h e}{\underline{\Delta}_{\,h}}\biggr)^{1/\rho}, \qquad \varliminf_{n\to\infty}|\lambda_n|\sqrt[n]{\widehat{f}_n}= \biggl(\frac{T_h e}{\overline{\Delta}_{h}}\biggr)^{1/\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если последовательность нулей функции $f$ измерима, то справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\varlimsup_{n\to\infty}|\lambda_n|\sqrt[n]{|f_n|}= \biggl(\frac{T_h e}{\Delta_h}\biggr)^{1/\rho},\qquad \varliminf_{n\to\infty}|\lambda_n|\sqrt[n]{\widehat{f}_n}= \biggl(\frac{t_h e}{\Delta_h}\biggr)^{1/\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если функция имеет совершенно регулярный рост относительно $h(r)$ и измеримую последовательность нулей, то выполняется равенство Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Поэтому приведем лишь основные моменты. Верны соотношения Из теоремы 4 вытекает следующий результат. Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4 и существует предел Тогда справедливы равенства $T_h=\overline{\Delta}_{\,h}$, $t_h=\underline{\Delta}_{\,h}$, а функция $f$ имеет постоянный индикатор $H(\theta) \equiv T_h$, $\theta\in[0,2\pi]$. Если $f$ обладает измеримой последовательностью нулей или имеет совершенно регулярный рост, то она является функцией вполне регулярного роста в смысле Левина–Пфлюгера. Доказательство. В самом деле, применяя формулы (2.5) и (2.14), имеем Отметим, что нулевое множество целой функции вполне регулярного роста с постоянным индикатором представляет собой пример множества единственности для определенных классов целых функций. Поясним сказанное. Пусть $\Lambda=(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ – последовательность комплексных чисел, стремящаяся к бесконечности. Следуя [8], символом $T^{\ast}(\Lambda,h)$ обозначим точную нижнюю грань чисел $T>0$, при которых $\Lambda$ является подпоследовательностью последовательности всех нулей для какой-либо отличной от тождественного нуля целой функции $f(z)$, имеющей $h$-тип $T_h=T$. Пусть $\overline{T}>0$. Обозначим через $[h,\overline{T})$ (линейное) множество целых функций, имеющих $h$-тип $T_h<\overline{T}$. Из определения величины $T^{\ast}(\Lambda,h)$ следует, что две функции из множества $[h,T^{\ast}(\Lambda,h))$, совпадающие на последовательности $\Lambda$3, совпадают на всей комплексной плоскости4. Поэтому имеет смысл найти условия на последовательность $\Lambda$, позволяющие вычислить величину $T^{\ast}(\Lambda,h)$. Одно из таких условий предоставляет следствие 1 из теоремы 3, поскольку оно гарантирует, что каноническое произведение Вейерштрасса
$$
\begin{equation*}
W(z)=\prod_{n=1}^\infty\biggl(1-\frac{z}{\lambda_{n}}\biggr) e^{z/\lambda_n+\cdots+z^{p}/\lambda^{p}_n}, \qquad z\in\mathbb{C},\quad p=[\rho]{}-{}\text{целая часть числа } \rho,
\end{equation*}
\notag
$$
построенное по последовательности $\Lambda$, имеет $h$-тип (обозначим его $T_W$), совпадающий с $T^{\ast}(\Lambda,h)$. Покажем это. Пусть $f(z)$ – целая функция, обращающаяся в нуль на последовательности $\Lambda$. Тогда можем записать $f(z)=W(z)g(z)$ с некоторой целой функцией $g(z)$. Поскольку $W(z)$ имеет вполне регулярный рост, то индикатор произведения функций $W(z)$ и $g(z)$ равен сумме их индикаторов. Учитывая, что $h$-тип есть наибольшее значение $h$-индикатора, при некотором $\theta_0\in[0,2\pi]$ получаем
$$
\begin{equation*}
T_f\geqslant H_f(\theta_0)=H_W(\theta_0)+H_g(\theta_0)= T_W+H_g(\theta_0)\geqslant T_W, \quad\text{т.е.}\quad T_f\geqslant T_W.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь нижний индекс у характеристик роста ($h$-тип и $h$-индикатор) указывает на функцию, к которой эта характеристика относится. Доказанное неравенство влечет оценку $T_W \leqslant T^{\ast}(\Lambda,h)$. Противоположная оценка вытекает из определения $T^{\ast}(\Lambda,h)$. Поэтому $T_W =T^{\ast}(\Lambda,h)$, что позволяет вычислить эту величину непосредственно по последовательности корней $\Lambda=\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Действительно, согласно формуле (2.6) имеем
$$
\begin{equation*}
T^{\ast}(\Lambda,h)=\frac{1}{e\rho}\biggl(\varlimsup_{n\to\infty} \frac{k(n)} {\sqrt[n]{|\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n|}}\biggr)^{\rho}.
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось убедиться, что целые функции с указанными выше свойствами существуют. Для этого нам понадобится один результат о лакунарных степенных рядах из “свежей” работы [2]. Сформулируем его в сокращенном виде, чтобы не отвлекаться на ненужные здесь тонкости. Теорема B. Пусть целая функция представима рядом Рассмотрим теперь целую функцию, заданную рядом
$$
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{n_k}}{(n_k!)^{1/\rho}}\,,\qquad z\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Возрастающую последовательность натуральных чисел $n_k$ выберем позже. При любом выборе этой последовательности функция $f(z)$ имеет при порядке $\rho$ и $h(r)=r^\rho$ тип $T_h=1/\rho$. Действительно, применяя первую формулу из (2.5), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (T_he\rho)^{1/\rho}&=\varlimsup_{n\to\infty}n^{1/\rho} \sqrt[n]{|f|_n}=\lim_{k\to\infty}n_k^{1/\rho} \sqrt[\,n_k]{\frac{1}{(n_k!)^{1/\rho}}} \\ &=\lim_{k\to\infty}n_k^{1/\rho} \sqrt[n_k]{\biggl(\frac{e}{n_k}\biggr)^{n_k/\rho} \frac{1}{\sqrt[2\rho]{2\pi n_k}}}=e^{1/\rho}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что согласно нашим обозначениям
$$
\begin{equation*}
R_{n_k}=\biggl|\frac{f_{n_{k}-1}}{f_{n_k}}\biggr|= \biggl|\frac{f_{n_{k-1}}}{f_{n_k}}\biggr|^{1/\gamma_k},\qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $n_k=[k^\alpha]$, $\alpha>2$ ($[\,\cdot\,]$ – целая часть числа), и вычислим $R_{n_k}$ для проверки условия (2.18). Поскольку $n_k\sim n_{k-1}$ и $\gamma_k=\alpha k^{\alpha-1}e_k=o(n_k)$, где $e_k\to 1$, $k\to\infty$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_{n_k}&=\biggl( \frac{f_{n_{k-1}}}{f_{n_k}}\biggr)^{1/\gamma_k}= \biggl(\frac{n_k!}{n_{k-1}!}\biggr)^{1/(\rho\gamma_k)} \\ &=[(n_{k-1}+1)(n_{k-1}+2)\cdots (n_{k-1}+\gamma_k)]^{1/(\rho\gamma_k)} =(n_{k-1}+c_k\gamma_k)^{1/\rho}\sim n_k^{1/\rho}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $R_{n_k}\sim n^{1/\rho}_k$, $k\to\infty$. Продолжая вычисления, убеждаемся, что при $\alpha>2$ неравенство (2.18) выполняется для достаточно больших значений $k$. В самом деле,
$$
\begin{equation*}
\frac{R_{n_{k+1}}}{R_{n_k}}\sim \biggl(\frac{n_{k+1}}{n_k}\biggr)^{1/\rho}\sim \biggl(\frac{k+1}{k}\biggr)^{\alpha/\rho}>1+\frac{\alpha}{\rho k}> \biggl(1+\frac{\ln\alpha k^{\alpha-1}e_k} {\alpha k^{\alpha-1}e_k}\biggr)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы B имеем
$$
\begin{equation*}
|\lambda_n|\sim R_n=R_{n_k}\sim n^{1/\rho}_k\sim n^{1/\rho},\qquad n\in(n_k,n_{k+1}],\quad k\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда заключаем, что последовательность нулей функции $f(z)$ измерима. На основании следствия 1 можем утверждать, что сумма лакунарного степенного ряда5
$$
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{[k^\alpha]}}{([k^\alpha]!)^{1/\rho}}\,, \qquad \alpha>2,
\end{equation*}
\notag
$$
является функцией вполне регулярного роста в смысле Левина–Пфлюгера, имеет постоянный индикатор $H(\theta)\equiv 1/\rho$, $\theta\in[0,2\pi]$, и обладает нулями со свойством $|\lambda_n|\sim n^{1/\rho}$ при $n\to\infty$. Отметим также, что нули такой функции распределены равномерно в комплексной плоскости, поскольку при любых $\alpha,\beta,\alpha\leqslant\beta<\alpha+2\pi$, постоянство $h$-индикатора функции влечет для угловой плотности ее нулей равенство (см. [7; c. 199])
$$
\begin{equation*}
\Delta_{h}(\alpha,\beta)=\lim_{r\to+\infty} \frac{n(r;\alpha,\beta)}{h(r)}=\frac{\beta-\alpha}{2\pi}\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $n(r;\alpha,\beta)$ – число нулей в круговом секторе $\{z \in\mathbb{C}:|z|\leqslant r, \arg z\in(\alpha,\beta)\}$.
3. Влияние геометрии расположения нулей на комплексной плоскостиОсобый интерес представляет вопрос о взаимосвязи тейлоровских коэффициентов и нулей целой функции при дополнительной информации о расположении последних на комплексной плоскости. Так, например, если последовательность (всех) нулей целой функции лежит на одном луче, то ее измеримость влечет как совершенно регулярный, так и вполне регулярный рост функции. В этом случае несложно получаются точные результаты о связи нулей и тейлоровских коэффициентов. Картина резко меняется, если измеримости последовательности нулей нет. В этом мы убедимся в нижеследующих теоремах 6 и 7, в которых полагаем $h(r)=r^\rho$. Теорема 6. Пусть целая функция имеет нормальный $h$-тип при $h(r)=r^\rho$, где $\rho\in(0,1)$ и только положительные нули усреднкнных плотностей $\overline{\Delta}^{\,*}_{h}$ и $\underline{\Delta}^{*}_{\,h}$. Тогда выполняются двусторонние оценки. Доказательство. Приведенные в теореме неравенства следуют из оценок (2.1) и (2.2) теоремы 1, а также из оценок (см., например, [7; гл. 4, § 1] и [9; теорема 2] соответственно). В следующей теореме собраны некоторые известные точные оценки, на которые мы будем опираться. Теорема C. Пусть $h(r)=r^\rho$, где $\rho\in(0,1)$. Пусть $f$ – целая функция c последовательностью положительных нулей, имеющей заданные $\rho$-плотности6 Оценка (3.1) получена Поповым [11], а учитывающая обе $\rho$-плотности оценка (3.2) – Шерстюковым [12]. Заключительная часть теоремы доказана автором в [13]. Приведенные оценки снизу типов целых функций через плотности нулей сразу дают серию оценок совместного поведения нулей и коэффициентов. Достаточно применить левые части оценок (2.1) и (2.15). Теорема 7. Пусть целая функция имеет конечный тип при порядке $\rho\in(0,1)$ и только положительные нули. Тогда справедливы неравенства Аналогичные результаты справедливы в случае, когда целая функция имеет только вещественные нули, или все ее нули расположены на осях, или на лучах, разбивающих комплексную плоскость на равные углы, или внутри таких углов. Во всех перечисленных ситуациях найдены точные оценки типа функции через плотности и другие характеристики последовательности нулей. Описание соответствующих экстремальных задач можно найти в обзоре [14], где приведена и обширная библиография. В заключение укажем, что наш метод может быть применен не только к целым функциям положительного порядка, но и к целым функциям нулевого порядка, а также к функциям, аналитическим в единичном круге. Это намечается сделать в другом месте. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bra23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|