| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О размерности пространства слабо аддитивных функционалов Р. Е. Жиемуратов Нукусский государственный педагогический институт имени Ажинияза
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030045 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеКак известно, слабо аддитивные, сохраняющие порядок функционалы стали в 1990-х годах важным инструментом для оценки рисков в управлении банками, компаниями ценных бумаг, инвестиционными фондами и другими финансовыми учреждениями при распределении активов и оценке эффективности. Слабо аддитивный, сохраняющий порядок функционал, связанный с заданным уровнем доверия для капитала предприятия, является верхним пределом возможных потерь в последующий определенный период времени. Частным случаем слабо аддитивного, сохраняющего порядок, нормированного функционала является идемпотентные вероятностные меры. Идемпотентные меры уже получили далеко продвинутые практические применения (см. работы [1]–[7] и литературу в них). Другим примером слабо аддитивного, сохраняющего порядок, нормированного функционала является вероятностная мера (см., например, [8] и литературу в ней). Пространства $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер и $P(X)$ вероятностных мер обладают рядом прикладных свойств; например они оба гомеоморфны $(n-1)$-мерному симплексу, если $X$ – $n$-точечный компакт. Однако, задача затрудняется для случая пространства $O(X)$ слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов даже в случае, когда $X$ состоит из двух точек. Так как понятие слабо аддитивного, сохраняющего порядок, нормированного функционала появилось из-за практических задач экономики, возникает вопрос об описании этого объекта. Данная работа посвящена этой проблеме. В работе установлены важные, востребованные свойства слабо аддитивных, сохраняющих порядок функционалов. Приведены разные интерпретации слабо аддитивного функционала, и доказана его непрерывность как функции, зависящей от множества, лежащего на заданном компакте. Используя эти результаты, построен пример, показывающий, что пространство $O(X)$ слабо аддитивных функционалов не вкладывается ни в какое пространство конечной (даже счетной) алгебраической размерности, как только компакт $X$ содержит более одной точки. Отметим, что работы [9]–[13] посвящены установлению свойств множества слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. В [14] были рассмотрены более специфические свойства пространства слабо аддитивных функционалов. 2. Слабо аддитивные функционалыВ работе под компактом подразумевается компактное хаусдорфово пространство, под отображением – непрерывное отображение. Пусть $X$ – компакт, $C(X)$ – алгебра непрерывных функций $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$, с обычными алгебраическими операциями и $\sup$-нормой. Для каждого $c\in \mathbb{R}$ через $c_{X}$ обозначим постоянную функцию, т.е. функцию, определяемую равенством $c_{X}(x)=c$, $x\in X$. Пусть $\varphi,\psi\in C(X)$. Будем писать $\varphi\leqslant \psi$ тогда и только тогда, когда $\varphi(x)\leqslant \psi(x)$ для всех $x\in X$. Определение 1 [11]. Функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ называется: Для компакта $X$ через $O(X)$ обозначим множество всех функционалов, обладающих свойствами 1)–3). Ясно, что имеет место включение $O(X) \subset \mathbb{R}^{C(X)}$. Множество $O(X)$ снабжается топологией поточечной сходимости. Эта топология совпадает с топологией, индуцированной из тихоновского произведения $\mathbb{R}^{C(X)}$. Следовательно, топологическое пространство $O(X)$ является тихоновским пространством. Базу окрестностей функционала $\mu\in O(X)$ относительно этой топологии образуют множества вида
$$
\begin{equation*}
\langle\mu;\varphi_{1},\dots,\varphi_{n};\varepsilon\rangle= \bigl\{\nu\in O(X)\colon |\nu(\varphi_{i})-\mu(\varphi_{i})|<\varepsilon,\, i=1,\dots,n\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_{i}\in C(X)$, $i=1,\dots,n$, и $\varepsilon>0$. Для компакта $X$ топологическое пространство $O(X)$ является компактом [11]. Более того, операция $O$ перехода из компакта $X$ в компакт $O(X)$ является ковариантным функтором в категории компактов и их непрерывных отображений. При этом для непрерывного отображения $f\colon X\to Y$ компактов, отображение $O(f)$: $O(X)\to O(Y)$ определяется по правилу
$$
\begin{equation}
O(f)(\mu)(\varphi)=\mu(\varphi\circ f),\qquad \varphi\in C(X).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Функтор $O$ слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов в категории компактов и их непрерывных отображений не сохраняет прообразы, т.е. не является нормальным. В дальнейшем слабо аддитивный, сохраняющий порядок, нормированный функционал для краткости назовем слабо аддитивным функционалом. Приведем наиболее важные свойства слабо аддитивных функционалов, пространства и функтора слабо аддитивных функционалов, установленные Т. Радулом в работах [10], [11]. Так как функтор $O$ слабо аддитивных функционалов действует в категории компактов и их непрерывных отображений, из условия 2 определения нормального функтора сразу извлекается следующее утверждение. Следствие 1. Функтор $O$ слабо аддитивных функционалов, действующий в категории компактов и их непрерывных отображений, сохраняет метризуемость компактов. Напомним, что подмножество $L$ называется $A$-подпространством пространства $C(X)$, если $0_{X}\in L$ и из $\varphi\in L$ вытекает, что $\varphi+c_{X}\in L$ для каждого $c\in \mathbb{R}$. Лемма 1 (вариант теоремы Хана–Банаха). Пусть $L$ – $A$-подпространство пространства $C(X)$. Тогда для всякого слабо аддитивного функционала $\nu\colon L\to \mathbb{R}$ существует слабо аддитивный функционал $\widetilde{\nu}\colon C(X)\to \mathbb{R}$ такой, что $\widetilde{\nu}|_{L}=L$. Говорят, что слабо аддитивный функционал $\mu\in O(X)$ сосредоточен на замкнутом множестве компакта $X$, если $\mu\in O(A)$. Лемма 2. Слабо аддитивный функционал $\mu$ сосредоточен на замкнутом подмножестве $A$ компакта $X$ тогда и только тогда, когда $\mu(\varphi)=\mu(\psi)$ для всякой пары функций $\varphi,\psi \in C(X)$ такой, что $\varphi|_{A}=\psi|_{A}$. Мы в разделе 3 предлагаем другое эквивалентное определение сосредоточенности слабо аддитивного функционала (см. следствие 5). Наименьшее (относительно включения) замкнутое подмножество компакта $X$, на котором сосредоточен слабо аддитивный функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$, называется его носителем и обозначается $\operatorname{supp}\mu$. По определению
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp}\mu=\bigcap\bigl\{A\subset X\colon \overline{A}=A,\, \mu\in O(A)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее запись $\overline{A}$ означает замыкание множества $A$, а равенство $\overline{A}=A$ означает, что $A$ – замкнутое множество в $X$. Для компакта $X$ и натурального числа $n$ определим [15] следующее множество:
$$
\begin{equation*}
O_{n}(X)=\bigl\{\mu\in O(X)\colon |\operatorname{supp}\mu|\leqslant n\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее, запись $|A|$ означает мощность множества $A$. Положим Элементы множества $O_{\omega}(X)$ называются [16] слабо аддитивными функционалами с конечным носителем. Легко установить, что имеет место Предложение 4. Конструкция $O_{n}$ при $n\geqslant 3$ является ковариантным функтором, действующим в категории $\mathfrak{Comp}$. При этом отображение $f\colon X\to Y$ переходит в отображение $O_{n}(f)=O(f)|_{O_{n}(X)}$. Более того, функтор $O_{n}$ удовлетворяет всем условиям нормальности, кроме сохранения прообразов. Прежде чем излагать следующий пример, показывающий, что функторы $O_{n}$ не сохраняют прообразы, приведем понятие меры Дирака. Для точки $x$ компакта $X$ функционал $\delta_{x}\colon C(X)\to \mathbb{R}$, определяемый равенством $\delta_{x}(\varphi)=\varphi(x)$, $\varphi\in C(X)$, называется мерой Дирака. Как легко видеть, каждая мера Дирака $\delta_{x}$ является слабо аддитивным функционалом, сосредоточенным на одноточечном множестве $\{x\}$, $x\in X$. Ясно, что $\operatorname{supp}\delta_{x}=\{x\}$. Теперь построим пример, показывающий, что при $n\geqslant 3$ функтор $O_{n}$ не сохраняет прообразы. Примеры 1. Пусть $X=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$ и $Y=\{y_{1},y_{2}\}$ – конечные компакты (все точки $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $y_{1}$, $y_{2}$ различны). Отображение $f\colon X\to Y$ построим следующим образом: $f(x_{1})=y_{1}$, $f(x_{2})=f(x_{3})=y_{2}$. Рассмотрим слабо аддитивный функционал $\delta_{y_{2}}\in O(Y)$, сосредоточенный на множестве $\{y_{2}\}$. Функционал $\mu\in O(X)$ определим по формуле 3. Элементарные свойства слабо аддитивных функционаловХотя следующие факты для неотрицательных линейных функционалов выполняются очевидным образом, их варианты для слабо аддитивного случая требуют аккуратного доказательства. Напомним, что подмножество $B$ частично упорядоченного линейного пространства $L$ называется $A$-подпространством [17], если $0_{L}\in B$, и из $u\in B$ вытекает, что $(u+c\cdot 1_{L})\in B$, где $c\in \mathbb{R}$, $0_{L}$ – нуль и $1_{L}$ – единица пространства $L$. Легко видеть, что множество $C(X)$ является $A$-подпространством пространства $B(X)$ ограниченных функций $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$, снабженного $\sup$-нормой. Поэтому, согласно варианту теоремы Хана–Банаха [9] всякий слабо аддитивный функционал $\mu$: $C(X)\to \mathbb{R}$ допускает непрерывное продолжение $\widetilde{\mu}\colon B(X)\to \mathbb{R}$ на $B(X)$. Отметим, что слабо аддитивный вариант теоремы Хана–Банаха не утверждает единственность [12] продолжения $\widetilde{\mu}$ заданного функционала $\mu$. Тем не менее, имеет место следующее Предложение 5. Пусть $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ – слабо аддитивный функционал. Для каждого продолжения $\widetilde{\mu}\colon C(X)\to \mathbb{R}$ функционала $\mu$ и для всякой $\psi\in B(X)$ имеют место неравенства В частности, для любого подмножества $A\subset X$ имеем Для компакта $X$ определим следующее множество:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \chi(X)=C(X)&\cup \bigl\{\alpha\chi_{A}+c_{X}\colon \alpha,\, c\in \mathbb{R}, \\ &\qquad A-\text{открытое или замкнутое в } X \text{ множество}\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Каждый слабо аддитивный функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$ доопределим на множество $\chi(X)$ следующим образом. Для открытого подмножества $U$, а также для замкнутого подмножества $F$ компакта $X$ и вещественных чисел $\alpha$ и $c$ положим
$$
\begin{equation}
\mu(\alpha\chi_{U}+c_{X}) =\begin{cases} \sup\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon 0_{X}\leqslant \varphi \leqslant \alpha\chi_{U}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha> 0, \\ \inf\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon 0_{X}\geqslant\varphi\geqslant \alpha\chi_{U}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha< 0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
\mu(\alpha\chi_{F}+c_{X}) =\begin{cases} \inf\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon \alpha\chi_{F}\leqslant \varphi \leqslant 1_{X}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha> 0, \\ \sup\bigl\{\mu(\varphi)\colon \varphi\in C(X)\colon \alpha\chi_{F}\geqslant \varphi\geqslant -1_{X}\bigr\}+c, & \text{если }\alpha< 0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Ясно, что из (3.1) вытекает корректность формул (3.2) и (3.3), а также единственность такого продолжения функционала $\mu$ на $\chi(X)$. Из определений (3.2) и (3.3) вытекает следующие свойства слабо аддитивных функционалов типа “непрерывности” на множестве $\chi(X)$. Предложение 6. Пусть $Z_{\alpha}$, $\alpha\in \mathfrak{U}$, – замкнутые в компакте $X$ множества такие, что $\bigcap_{\alpha\in \mathfrak{U}}Z_{\alpha}=K$. Тогда Предложение 7. Пусть $V_{\alpha}$, $\alpha\in \mathfrak{U}$, – открытые в компакте $X$ множества такие, что $\bigcup_{\alpha\in \mathfrak{U}}V_{\alpha}=U$. Тогда Доказательство. Докажем первое равенство предложения 6. Остальные случаи устанавливаются аналогично. Не ограничивая общности, можно считать, что $Z_{\alpha} \supset Z_{\alpha^{\prime}}$ при $\alpha^{\prime}>\alpha$ т.е. замкнутые множества $Z_{\alpha}$, $\alpha\in \mathfrak{U}$, составляют убывающую сеть (иначе, полагая $F_{\alpha}=\bigcap_{\alpha < \alpha'}Z_{\alpha}$, получили бы убывающую сеть $F_{\alpha}$, такую, что $\bigcap_{\alpha\in \mathfrak{U}}F_{\alpha}=K$). Поскольку $\chi_{\bigcap_{\alpha\in \mathfrak{U}}Z_{\alpha}}= \inf_{\alpha\in \mathfrak{U}}\chi_{Z_{\alpha}}$, в силу непрерывности $\mu$ имеем Предложение 8. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$, $\mu\in O(X)$. Тогда для каждого продолжения $\widetilde{\mu}$ следующие условия эквивалентны: Доказательство. (i) $\Leftrightarrow$ (ii). Если $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_A)=0$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$, то имеем и, если $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{X\setminus A})=\alpha$ для любого $\alpha\in\mathbb{R}$, то имеем (i) $\Rightarrow$ (iii). Пусть $\varphi\in C(X)$ – произвольная функция. Введем следующие обозначения: $\alpha=\min\{\varphi(x)\colon x\in X\}$, $\beta=\max\{\varphi(x)\colon x\in X\}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
0=\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(\beta\chi_{A})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=0$. (iii) $\Rightarrow$ (iv). Достаточно положить $\varphi \equiv n$. (iv) $\Rightarrow$ (i). Для произвольного $\alpha\in \mathbb{R}$ имеем
$$
\begin{equation*}
0=\widetilde{\mu}([\alpha]\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A}) \leqslant \widetilde{\mu}(([\alpha]+1)\chi_{A})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=0$. Здесь $[\alpha]$ – целая часть числа $\alpha$. Предложение 8 доказано. Предложение 9. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$, $\widetilde{\mu}$ – продолжение функционала $\mu\in O(X)$ и $\varphi\in C(X)$ – произвольная функция такая, что либо $\varphi\geqslant 0$, либо $\varphi\leqslant 0$. Тогда если $\mu(\varphi\chi_{A})=0$, то $\mu(\varphi\chi_{B})=0$ для всякого подмножества $B\subset A$. В частности, если $\mu(\alpha\chi_{A})=0$, то $\mu(\alpha\chi_{B})=0$ для всякого подмножества $B\subset A$, где $\alpha$ – произвольное число. Доказательство. Пусть $\varphi\geqslant 0$. Тогда $0_{X} \leqslant \chi_{B} \leqslant \chi_{A}$. Следовательно, $0\leqslant \mu(\chi_{B}) \leqslant \mu(\chi_{A})=0$, т.е. $\mu(\chi_{B})=0$. Аналогично получим равенство $\mu(\chi_{B})=0$ для случая $\varphi\leqslant 0$. Полагая $\varphi\equiv\alpha$, $\alpha\in \mathbb{R}$, обнаружим, что $\mu(\alpha\chi_{B})=0$. Предложение 9 доказано. Замечание 1. Условие $\varphi\geqslant 0$ или $\varphi\leqslant 0$ в предложении 9 существенно. Действительно, пусть $X=[0;1]$ – пространство с естественной топологией. Если взять функцию $\varphi(x)=x-1/2$, то для функционала $\mu=\min\{\delta_{x}\colon x\in X\}$ на $C(X)$ и его (единственного) продолжения $\widetilde{\mu}=\mu$ на $B(X)$ имеем хотя $[1/2;4/5] \supset [2/3;3/4]$. Следствие 2. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$, $\widetilde{\mu}$ – продолжение функционала $\mu\in O(X)$, $\alpha\in \mathbb{R}$. Тогда если $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$, то $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{B})=\alpha$ для всякого множества $B \subset X$, содержащего $A$. Предложение 10. Пусть $A$ – произвольное подмножество $X$. Пусть для каждого продолжения $\widetilde{\mu}\colon B(X)\to \mathbb{R}$ и для каждого $\alpha\in \mathbb{R}$ справедливо равенство $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$. Тогда $\operatorname{supp}\mu\subset \overline{A}$. Доказательство. Предположим, что $\operatorname{supp}\mu \cap (X\setminus \overline{A}) \ne \varnothing$. Определим следующие функционалы: Предложение 10 допускает следующее усиление. Предложение 11. Пусть $A$ – произвольное замкнутое подмножество компакта $X$, $\widetilde{\mu}$ – некоторое продолжение $\mu\in O(X)$. Включение $\operatorname{supp}\mu \subset A$ справедливо тогда и только тогда, когда $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ для всех $\alpha\in \mathbb{R}$. Доказательство. В силу предложения 10 достаточно установить, что из включения $\operatorname{supp}\mu \subset A$ вытекает справедливость равенства $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$. Для этой цели рассмотрим на $B(X)$ следующие слабо аддитивные, сохраняющие порядок, нормированные функционалы: Следствие 3. Пусть $X$ – компакт, $\widetilde{\mu}$ – некоторое продолжение функционала $\mu\in O(X)$, и $A\subset X$ – некоторое множество. Если $\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=\varphi$ для всякой функции $\varphi\in C(X)$, то справедливо включение $\operatorname{supp}\mu \subset \overline{A}$. Доказательство. Если условия предложения выполнены, то в силу предложения 8 имеем $\widetilde{\mu}(\alpha\chi_{A})=\alpha$ для всякого $\alpha$. Поэтому из предложения 11 следует, что $\operatorname{supp}\mu \subset \overline{A}$. Следствие 3 доказано. Имеет место обратное утверждение. Предложение 12. Пусть $X$ – компакт, $\mu\in O(X)$ и $A\subset X$ – некоторое множество. Если имеет место включение $\operatorname{supp} \mu \subset A$, то $\widetilde{\mu}(\varphi\chi_{A})=\mu(\varphi)$ для всякой функции $\varphi\in C(X)$. Доказательство. Пусть $\mu\in O(X)$ и $i_{\operatorname{supp} \mu}\colon \operatorname{supp}\mu\to X$ – тождественное вложение. По определению носителя имеем $\mu\in O(\operatorname{supp}\mu)$. Пусть $\widetilde{\mu}\colon B(\operatorname{supp}\mu)\to \mathbb{R}$ – продолжение $\mu$. Так как $\varphi=\varphi \circ i_{\operatorname{supp}\mu}$ для каждой $\varphi\in C(\operatorname{supp}\mu)$, имеем $\widetilde{\mu}(\varphi)=\widetilde{\mu}(\varphi \circ i_{\operatorname{supp}\mu})= O(i_{\operatorname{supp} \mu})(\widetilde{\mu})(\varphi)$, т.е. $O(i_{\operatorname{supp}\mu})(\widetilde{\mu})=\widetilde{\mu}$. Следовательно, для всякой ограниченной на $X$ и непрерывной на $\operatorname{supp}\mu$ функции $h$ имеют место равенства Теперь, объединяя результаты, установленные в предложениях 8–12 и в следствиях 2, 3, можем сформулировать следующую теорему. Теорема 1. Пусть $A$ – произвольное подмножество компакта $X$, $\mu\in O(X)$. Тогда для каждого продолжения $\widetilde{\mu}$ эквивалентны следующие равенства: Из теоремы 1 вытекает ряд важных утверждений. Следствие 4 [9]. Для любого слабо аддитивного функционала $\mu\in O(X)$ и для всякой функции $\varphi\in C(X)$ имеем $\mu(\varphi)=\mu(\varphi|_{\operatorname{supp}\mu})$. Следующее утверждение является более естественным определением сосредоточенности слабо аддитивного функционала на замкнутом подмножестве компакта. Следствие 5 [18]. Слабо аддитивный функционал $\mu$ сосредоточен на замкнутом подмножестве $A$ компакта $X$ тогда и только тогда, когда $\mu(\varphi)=0$ для всякой функции $\varphi\in C(X)$ такой, что $\varphi(x)=0$ при $x\in A$. Следствие 6 [19]. Для компакта $X$ и натурального числа $n$ имеем Следующее утверждение вытекает из теоремы 1 и условия 7 определения нормального функтора, и является частным случаем следствия 6. Стоит отметить, что оно носит самостоятельный характер. Следствие 7 [20]. Для каждого компакта $X$ имеем Иными словами, отображение $\delta\colon X\to O(X)$, определенное равенством $\delta(x)=\delta_{x}$, $x\in X$, является топологическим вложением компакта $X$ в $O(X)$. 4. Пространство слабо аддитивных функционалов не лежит в пространстве с конечной алгебраической размерностиПусть $X$ – компакт, $\mu\in O(X)$ – функционал такой, что $|\operatorname{supp}\mu|=n$, $n\geqslant 1$. Предположим, что $\operatorname{supp}\mu=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$. Тогда в силу предложения 12 для любой $\varphi\in C(X)$ имеет место $\mu(\varphi)= \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{\operatorname{supp}\mu})$. С другой стороны, если отождествить $\mu$ с его образом при тождественном вложении $O(\operatorname{supp}\mu)$ в $O(X)$, то имеем $\mu(\varphi|_{\operatorname{supp} \mu})= \widetilde{\mu}(\varphi\chi_{\operatorname{supp} \mu})$. Из этих последних двух равенств получим, что $\mu(\varphi|_{\operatorname{supp} \mu})=\mu(\varphi)$. Следовательно, имея в виду равенство
$$
\begin{equation}
\varphi|_{\operatorname{supp}\mu}= (\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n})),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
получим
$$
\begin{equation}
\mu(\varphi)=\mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n}))= \mu(\delta_{x_{1}}(\varphi),\dots,\delta_{x_{n}}(\varphi))= \mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\varphi).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Таким образом, функционал $\mu$ может быть интерпретирован двояко. 1. При фиксированном упорядоченном наборе $\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ точек из $X$, как функционал $\mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\cdot)\colon C(X) \to \mathbb{R}$, определяемый по правилу
$$
\begin{equation}
\mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\varphi)= \mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n})),\qquad \varphi\in C(X).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
2. При фиксированной функции $\varphi\in C(X)$, как функция $\mu\circ\delta(\,\cdot\,,\dots,\,\cdot\,)(\varphi)$: $X^{n} \to \mathbb{R}$, определяемая по формуле
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mu\circ\delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi)= \mu(\delta_{x_{1}},\dots,\delta_{x_{n}})(\varphi)= \mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n})), \\ (x_{1},\dots,x_{n})\in X^{n}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $X^{n}$ – $n$-я степень компакта $X$ при топологическом произведении. Первый случай не требует пояснений. Поясним второй случай. Пусть $(y_{1},\dots, y_{n})\in X^{n}$ – произвольный упорядоченный набор. Определим гомеоморфизм
$$
\begin{equation*}
g\colon \{x_{1},\dots,x_{n}\}\to \{y_{1},\dots,y_{n}\}
\end{equation*}
\notag
$$
по правилу $g(x_{i})=y_{i}$, $i=1,\dots,n$. Тогда равенством
$$
\begin{equation}
O(g)(\mu)(\varphi)=\mu(\varphi\circ g)(\varphi), \qquad \mu\in O(\{x_{1},\dots,x_{n}\}), \quad \varphi\in C(\{y_{1},\dots,y_{n}\}),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
можно определить отображение $O(g)\colon O(\{x_{1},\dots,x_{n}\})\to O(\{y_{1},\dots,y_{n}\})$. Из (4.1) и (4.2) получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, O(g)(\mu)(\varphi)&=O(g)(\mu)(\varphi(y_{1}),\dots,\varphi(y_{n}))= O(g)(\mu)(\delta_{y_{1}}(\varphi),\dots,\delta_{y_{n}}(\varphi)) \\ &=O(g)(\mu)(\delta_{y_{1}},\dots,\delta_{y_{n}})(\varphi)= O(g)(\mu) \circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, из (4.1), (4.2) и (4.5) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, O(g)(\mu)(\varphi)&=\mu(\varphi\circ g)= \mu(\varphi(g(x_{1})),\dots,\varphi(g(x_{n}))) \\ &=\mu(\varphi(y_{1}),\dots,\varphi(y_{n}))= \mu(\delta_{y_{1}},\dots,\delta_{y_{n}})(\varphi)= \mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последних двух равенств вытекает, что
$$
\begin{equation*}
O(g)(\mu)\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)= \mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, во втором случае множество (более точно, упорядоченный набор $(\,\cdot_{1},\dots,\, \cdot_{n})$), на котором рассматриваются значения (фиксированной) функции $\varphi\in C(X)$, меняется, но правило $\mu$ вычисления функции, зависящей от $n$ действительных чисел (именно, от значений $\varphi(\,\cdot_{1}),\dots,\varphi(\,\cdot_{n})$), не меняется. Иными словами, во втором случае закон $\mu$ представляет собой действие над мерами Дирака. Из предложения 1 вытекает, что функционал $\mu$, рассматриваемый в первом случае, т.е. определенный по правилу (4.3), является непрерывным. Следующее утверждение показывает, что функция $\mu$, рассматриваемая во втором случае, т.е. определенная по правилу (4.4), также является непрерывной. Теорема 2. Пусть $\varphi\in C(X)$. Тогда функция $\mu\circ\delta(\,\cdot_{1},\dots,\,\cdot_{n})(\varphi)\colon X^{n}\to \mathbb{R}$, определенная равенством (4.4), является непрерывной. Доказательство. В силу следствия 7 компакт $X$ можно считать подпространством пространства $O(X)$. Пусть $(y_{1},\dots,y_{n})\in X^{n}$ – набор такой, что $\delta_{y_{i}}\in \langle\delta_{x_{i}};\varphi; \varepsilon\rangle$, $i=1,\dots,n$, $\varepsilon > 0$. Существует функция $\psi\in C(X)$ такая, что для всех $i=1,\dots,n$. Действительно, пусть $\zeta\colon \{y_{1},\dots,y_{n}\}\to \{x_{1},\dots,x_{n}\}$ – гомеоморфизм, определенный по правилу $\zeta(y_{i})=x_{i}$. Положим $\psi'(y_{i})=\varphi\circ\zeta(y_{i})$. Теперь произвольное продолжение функции $\psi'$ на $X$ удовлетворяет равенство (4.6). Отсюда следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\psi)&= \mu(\psi(y_{1}),\dots,\psi(y_{n})) \\ &=\mu(\varphi(x_{1}),\dots,\varphi(x_{n}))= \mu\circ\delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation}
\mu\circ\delta(y_{1},\dots,y_{n})(\psi)= \mu\circ\delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
С другой стороны, в силу $\delta_{y_{i}}\in\langle\delta_{x_{i}};\varphi;\varepsilon\rangle$ имеем Согласно (4.6) последнее неравенство равносильно неравенству откуда последовательно получим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, -\varepsilon < \psi(y_{i})-\varphi(y_{i}) < \varepsilon, \\ \varphi(y_{i})-\varepsilon<\psi(y_{i})<\varphi(y_{i})+\varepsilon. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего неравенства вытекает, что $\varphi-\varepsilon < \psi < \varphi+\varepsilon$ на множестве $\{y_{1},\dots,y_{n}\}$. Поэтому для сохраняющего порядок функционала $\mu$, сосредоточенного на множестве $\{y_{1},\dots,y_{n}\}$, будем иметь
$$
\begin{equation*}
\mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)-\varepsilon < \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\psi) < \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя равенство (4.7), получим
$$
\begin{equation*}
\mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)-\varepsilon < \mu\circ \delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi) < \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)+\varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation*}
|\mu\circ \delta(x_{1},\dots,x_{n})(\varphi)- \mu\circ \delta(y_{1},\dots,y_{n})(\varphi)| < \varepsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. Следующий пример анонсирован в [21]. Примеры 2. Пусть $X=\{0,1\}$ – двухточечное пространство с дискретной топологией. Тогда $C(X)=\mathbb{R}^2$. Всякий функционал $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$, определенный по формуле Замечание 2. Так как среди функций $f$, рассматриваемых в (4.8) и удовлетворяющих условиям $(1^*)$–$(3^*)$, существует несчетная система линейно независимых, отсюда вытекает, что пространство $O(X)$ слабо аддитивных функционалов не вкладывается ни в какое пространство конечной (даже счетной) алгебраической размерности, как только компакт $X$ содержит более одной точки. Например, функция Для трехточечного дискретного пространства $\{0,1,2\}$ множество $\bigl\{\mu_{s}(\varphi(0),\varphi(1), \varphi(2))\colon s\in \mathbb{R},\, s>1\bigr\}$ состоит из несчетной системы линейно независимых функций
$$
\begin{equation*}
\mu_{s}(\varphi(0),\varphi(1),\varphi(2))=\frac{1}{3}\bigl(\varphi(0)+ \varphi(1)+\varphi(2)+(|\varphi(0)-\varphi(2)|^{s}+|\varphi(1)- \varphi(2)|^{s})^{1/s}\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что пространство $P(X)$ всех вероятностных мер (т.е. неотрицательных, линейных, нормированных функционалов $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$), а также пространство $I(X)$ всех идемпотентных вероятностных мер (т.е. $\max$-$\operatorname{plus}$-аддитивных, $\max$-$\operatorname{plus}$-однородных, нормированных функционалов $\mu\colon C(X)\to \mathbb{R}$), снабженные топологией поточечной сходимости, являются замкнутыми подпространствами компакта $O(X)$. При этом каждая (идемпотентная) вероятностная мера с конечным носителем представляется единственным образом в виде ($\max$-$\operatorname{plus}$-)аффинной комбинации мер Дирака, сосредоточенных в точках носителя этой меры. При этом пространства $P(X)$ и $I(X)$ для $n$-точечного $X$ гомеоморфны $(n-1)$-мерному симплексу. В частности, $P(\{0,1\})$ есть отрезок, соединяющий точки $\delta_{0}$ и $\delta_{1}$. А пространство $I(\{0,1\})$ представляет собой $\max$-$\operatorname{plus}$-отрезок, соединяющий точки $\delta_{0}\equiv 0\odot\delta_{0}\oplus (-\infty)\odot\delta_{1}$ и $\delta_{1}\equiv(-\infty)\odot\delta_{0}\oplus 0\odot\delta_{1}$. Иными словами, пространства $P(\{0,1\})$ и $I(\{0,1\})$ могут быть вложены в одномерное пространство. Так как для каждого компакта $X$ пространства $P(X)$ вероятностных мер и $I(X)$ идемпотентных вероятностных мер являются подпространствами пространства слабо аддитивных функционалов $O(X)$, то пример 2 показывает, что насколько шире пространство $O(X)$ по сравнению с пространствами $P(X)$ и $I(X)$. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Jie23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|