| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об одной проблеме В. В. Немыцкого Б. С. Калитин Белорусский государственный университет, Белоруссия
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010236 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеКачественная теория устойчивости движения динамических систем на метрических пространствах включает вопросы исследования структуры окрестности инвариантных множеств, обладающих теми или иными устойчиво подобными свойствами. Здесь приведены характеристики окрестности инвариантных множеств для свойства орбитальной устойчивости [1]–[15], для свойства притяжения и слабого притяжения [5], [6], [16]–[21], для свойства асимптотической устойчивости (локальной и глобальной) [9]–[11], [15], [22], [23]. Сформулированы критерии качественной теории устойчиво подобных свойств как для случая локально компактных метрических пространств, так и для произвольных метрических пространств, в том числе обладающих свойством асимптотической компактности [14], [17], [21], [23], [24]. Вклад в качественную теорию устойчивости дали работы, посвященные классификации и изучению типов не только особых точек, но и произвольных компактных инвариантных множеств динамических систем [2]–[4], [9], [25]–[30] с точки зрения их устойчиво подобных свойств. Среди гипотез и сформулированных задач качественной теории выделяется проблема Немыцкого о существовании точек покоя эллиптического типа. В работе [2] им был поставлен вопрос о возможности существования в динамической системе $(X,\mathbb R,\pi)$ точки $p\in X$, обладающей окрестностью $U_p$ такой, что Первое решение этой проблемы дал Ладис для точек равновесия динамических систем. Результат представлен следующим утверждением.Теорема 1 [5]. В связном локально компактном, но не компактном метрическом пространстве $X$ не существует точек покоя эллиптического типа. Параллельно с этим в работе Челышевой [4] введены в рассмотрение и предложены к изучению динамические системы с компактными инвариантными множествами эллиптического типа. Речь идет о множестве $M$, обладающем окрестностью $U$, состоящей из точек эллиптического типа множества $M$. И естественно возник вопрос о развитии теоремы 1 на случай компактных инвариантных множеств вместо точек покоя. В статье [19] приводится решение проблемы Немыцкого для случая компактного инвариантного множества, где речь идет о множестве $M$ более широкого класса – слабо эллиптического типа. Доказан следующий результат. Теорема 2 [19]. В связном локально компактном, но не компактном метрическом пространстве $X$ не существует компактных инвариантных множеств слабо эллиптического типа. Отметим, что всякое множество эллиптического типа является в то же время и множеством слабо эллиптического типа. Следовательно, отсутствие множеств слабо эллиптического типа влечет отсутствие множеств эллиптического типа. Таким образом, теорема 2 является обобщением теоремы 1. Исключение свойства компактности фазового пространства $X$ в теоремах 1 и 2 не случайно. А именно, если оно не выполняется, то точки покоя эллиптического типа могут существовать. Примером служит динамическая система на компактном множестве с единственной точкой равновесия $M=\{(0;1)\}$, являющейся эллиптической точкой покоя.В предлагаемой статье рассматриваются проблемы устойчиво подобных свойств инвариантных множеств динамических и полудинамических систем на метрическом пространстве. Доказана теорема о характере поведения траекторий в окрестности притягивающего компактного инвариантного множества $M$ с использованием установленных свойств множества эллиптических точек $E(M)$ асимптотически компактных динамических систем. На основе этих результатов представлено решение проблемы Немыцкого о существовании множеств слабо эллиптического типа динамических систем на метрическом пространстве. 2. Обозначения и определения$\mspace{-5mu}$ Приведем используемые в динамических системах обозначения и общепринятые понятия [9], [10], [15]:
Если метрическое пространство $X$ локально компактно, то полудинамическую (или динамическую) систему называют локально компактной. Определение 1 [9], [10], [23]. Пусть $(X,\mathbb R^+,\pi)$ – полудинамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – замкнутое множество. Будем говорить, что $M$ является Заметим, что если множество $M$ компактно, то из устойчивости $M$ следует его равномерная устойчивость [9; с. 84]. Определение 2 [17], [24]. Полудинамическая система $(X,\mathbb R^+,\pi)$ называется асимптотически компактной при $t\to+\infty$ на множестве $W$ из $X$, если для любой пары последовательностей $(x_n)\subset W$ и $(t_n)\subset\mathbb R^+$ таких, что $x_n[0,t_n]\subset W$ для всех $n\in\mathbb N$ и $t_n\to+\infty$, последовательность $(x_nt_n)$ относительно компактна. Если множество $W$ положительно инвариантно, то из свойства асимптотической компактности полудинамической системы $(X,\mathbb R^+,\pi)$ на $W$ следует, что для всякого движения $x\colon t\to xt$ ($xt\in W$ для всех $t\geqslant 0)$ предельное множество $L^+(x)$ непусто и компактно, т.е. всякое движение в $W$ устойчиво по Лагранжу [1; с. 359]. Приведем обобщение критерия Измана [6] относительно свойства асимптотической устойчивости компактного инвариантного множества. Предложение 1 [23]. Пусть $(X,\mathbb R^+,\pi)$ – полудинамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – компактное положительно инвариантное множество. Предположим, что $U$ – окрестность $M$, в которой $(X,\mathbb R^+,\pi)$ асимптотически компактна при $t\to +\infty$. Тогда множество $M$ асимптотически устойчиво в том и только том случае, когда существует окрестность $W$ для $M$ такая, что $W\setminus M$ не содержит относительно компактных отрицательных полутраекторий. 3. Эллиптические множестваНапомним следующие понятия [8; с. 114], [15; с. 32]. Определение 3. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – замкнутое инвариантное множество. Точка $x$ из $X$ называется Обозначим через $E_\omega(M)$ (соответственно $E(M)$) множество всех слабо эллиптических (соответственно эллиптических) точек множества $M$. Из определения 3, в частности, следует, что если $M$ компактно, то $M\subset E_\omega(M)$ и $M\subset E(M)$. Поясним определение 3 на примерах. Пример 1. Рассмотрим в $\mathbb R^2$ динамическую систему на Движения вдоль траекторий указаны стрелками. Положим т.е. $M$ несвязно, замкнуто и инвариантно.Из рис. 1 видно, что множество слабо эллиптических точек $E_\omega(M)=X$ и является замкнутым. Множество $M$ является слабо притягивающим. При этом $(0,0)$ – притягивающая точка $M$ при $t\to-\infty$, а ось $Ox_1$ состоит из слабо притягивающих точек $M$ при $t\to+\infty$. Пример 2. Рассмотрим динамическую систему в полосе Пусть множество $M$ является осью абсцисс, которая состоит из точек покоя, т.е. $M$ связно, замкнуто и инвариантно. Направления движений указаны стрелками. Здесь $M$ является эллиптическим множеством, где причем $E(M)$ не является замкнутым.Отметим некоторые свойства множеств $E_\omega(M)$ и $E(M)$. Лемма 1. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – связное компактное инвариантное множество. Тогда если множество $\overline{E_\omega(M)}$ компактно, то оно связно. Доказательство. Пусть $\overline{E_\omega(M)}$ компактно, и предположим, что оно несвязно. Тогда существуют два непустых компактных подмножества $P$ и $Q$ таких, что Так как $M$ компактно и связно, то, не нарушая общности дальнейших рассуждений, можно считать, что $M\subset P$. В силу компактности $P$ и $Q$ расстояние между ними строго положительно. Поэтому при достаточно малом $\varepsilon>0$ окрестности $B(P,\varepsilon)$ и $B(Q,\varepsilon)$ можно выбрать так, что эти множества будут непересекающимися. По построению $E(M)\cap Q\ne\varnothing$, поэтому существует такой элемент $x\in E_\omega(M)\cap Q$, что $L^+(x)\cap M\ne\varnothing$, $L^-(x)\cap M\ne\varnothing$. Отсюда по определению $\alpha$- и $\omega$-предельных точек следует существование элемента $y\in\gamma(x)$ такого, что $y\in\operatorname{Fr}B(Q,\varepsilon)$. Иными словами, точка $y$ также принадлежит множеству $E_\omega(M)$. Но по построению $y\notin\overline{E_\omega(M)}$, что приводит к противоречию, а значит, $\overline{E_\omega(M)}$ связно. Этим и завершается доказательство. Для локально компактной динамической системы лемма 1 доказана в [15; с. 33]. Лемма 2. Пусть $(X,\mathbb R^+,\pi$) – полудинамическая система, $M$ – замкнутое положительно инвариантное подмножество $X$ и $K$ – окрестность $M$. Предположим, что $(X,\mathbb R^+,\pi)$ асимптотически компактна при $t\to+\infty$ на множестве $K$ и существуют последовательности $(x_n)\subset K\setminus M$ и $(t_n)\subset\mathbb R^+$ такие, что Тогда существуют подпоследовательности $(x_{n(k)})_{k\in\mathbb N}$, $(t_{n(k)})_{k\in\mathbb N}$ такие, что причем точка $y$ принадлежит $\operatorname{Fr}K$ и обладает отрицательной полутраекторией $\gamma^-(y)\subset K$. Доказательство. Пусть выполнены все предположения леммы. Тогда из свойства асимптотической компактности при $t\to+\infty$ в $K$ следует существование подпоследовательностей $(x_{n(k)})_{k\in\mathbb N}$ из $(x_n)$ и $(t_{n(k)})_{k\in\mathbb N}$ из $(t_n)$ таких, что причем $x_{n(k)}\to x\in M$. Покажем, что в этом случае $t_{n(k)}\to +\infty$ при $k\to+\infty$. На самом деле, если бы последовательность $(t_{n(k)})$ была бы ограниченной, то из нее можно было бы выделить сходящуюся подпоследовательность (пусть $t_{n(k)}\to T\geqslant 0$). В этом случае, переходя к пределу при $k\to+\infty$, в силу свойства интегральной непрерывности мы бы имели, что для движения $x\colon [0,T]\to X$ выполнялись бы следующие условия: $x0=x\in M$, $xT=y\in\operatorname{Fr}K$. Однако последнее противоречило бы определению положительной инвариантности множества $M$, а значит, мы доказали, что Перейдем теперь к доказательству существования полутраектории $\gamma^-(y)$, содержащейся в $K$. По предположению $x_{n(k)}t\in\operatorname{int}K$ для $0\leqslant t<t_{n(k)}$ и $x_{n(k)}t_{n(k)}\in\operatorname{Fr}K$ для любого $k\in\mathbb N$. Зафиксируем произвольное число $\tau<0$. Поскольку по доказанному $t_k\to +\infty $, то, не нарушая общности рассуждений, можно считать, что $t_{n(k)}+\tau>0$ для любого $k\in\mathbb N$, а значит, $x_{n(k)}(t_{n(k)}+\tau)\in\operatorname{int}K$ для любого $k\in\mathbb N$. Тогда в силу свойства интегральной непрерывности движений полудинамической системы из предела $x_{n(k)}t_{n(k)}\to y$ следует предел $x_{n(k)}(t_{n(k)}+\tau)\to y\tau$ при $k\to+\infty$ и при этом $y\tau\in K$. Следовательно, точка $y\tau$ существует, а в силу произвольности выбора $\tau<0$ существует и отрицательная полутраектория $\gamma^-(y)$, которая по построению содержится в окрестности $K$ множеств $M$. Это и доказывает справедливость леммы. Для локально компактной динамической системы лемма 2 доказана в [15; с. 125]. Лемма 3. Пусть $(X,\mathbb R^+,\pi)$ – полудинамическая система, $M$ – замкнутое, положительно инвариантное, слабо притягивающее подмножество $X$. Предположим существует число $\Delta>0$ такое, что полудинамическая система $(X,\mathbb R^+,\pi)$ асимптотически компактна при $t\to+\infty$ в области $B(M,\Delta)$. Для произвольного числа $\varepsilon>0$ такого, что $\varepsilon<\Delta$ и $\overline{B(M,\varepsilon)}\subset A_\omega^+(M)$, положим Тогда имеет место условие Доказательство. Во-первых, отметим, что величина $\tau_x$, определяемая (3.1), конечна для всех точек $x\in\operatorname{Fr}B(M,\varepsilon)$, так как имеет место включение $\overline{B(M,\varepsilon)}\subset A_\omega^+(M)$. Пусть, напротив, $T=+\infty$. Тогда согласно (3.1) и (3.2) существуют последовательности $(x_n)\subset B(M,\Delta)$ и $(t_n)\subset\mathbb R^+$, где $d(M,x_nt_n)=\varepsilon$, а также последовательность моментов времени $(\tau_{x_n})$ такая, что $\tau_{x_n}\leqslant t_n$ для любого $n\in\mathbb N$ и $\tau_{x_n}\to+\infty$ при $n\to +\infty$. Отсюда, в частности, следует, что $t_n\to+\infty$ при $n\to +\infty$. Так как по предположению замыкание $\overline{B(M,\varepsilon)}$ расположено в области асимптотической компактности при $t\to +\infty$ полудинамической системы, то, не теряя общности, можно считать, что сходится последовательность точек $(x_nt_n)$: $x_nt_n\to y$. Более того, по построению $y\in\operatorname{Fr}B(M,\varepsilon)$. Пусть величина $\tau_y\in(0,+\infty)$ такова, что выполняется включение $y\tau_y\in B(M,\varepsilon)$. Тогда по определению числа $\tau_y$ в соответствии с (3.1) для достаточно больших $n$ получим $\tau_{x_n}\leqslant\tau_y$. Однако это противоречит тому, что $\tau_{x_n}\to+\infty$ при $n\to+\infty$. Лемма доказана. Для случая компактного множества $M$ лемма 3 доказана в работах [9; c. 64] и [15; c. 137] в зависимости от свойств пространства $X$. Теорема 3. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – компактное инвариантное притягивающее множество. Предположим, что $(X,\mathbb R,\pi)$ асимптотически компактна при $t\to+\infty$ в области притяжения $A^+(M)$. Тогда множество $E_\omega(M)$ компактно. Доказательство. Пусть $M$ – компактное притягивающее подмножество $X$. Зафиксируем достаточно малое число $\varepsilon>0$ так, чтобы $\overline{B(M,\varepsilon)}\subset A^+(M)$. Если $E_\omega(M)=M$, то утверждение теоремы 3, очевидно, верно. В противном случае выберем произвольную последовательность $(e_n)\subset E_\omega(M)\setminus M$ слабо эллиптических точек $M$ и покажем, что она содержит сходящуюся в $E_\omega(M)$ подпоследовательность. Для этого можно при необходимости уменьшить число $\varepsilon>0$ настолько, что $\overline{B(M,\varepsilon)}$ будет содержать лишь конечное число элементов последовательности $(e_n)$, так как иначе существовала бы подпоследовательность $(e_{n(i)})\subset(e_n)$ такая, что $d(M,e_{n(i)})\to 0$ при $i\to+\infty$. В этом случае доказательство компактности $E_\omega(M)$ было бы тривиальным в силу того, что $M\subset E_\omega(M)$. Следовательно, остается рассмотреть лишь случай, когда $\overline{B(M,\varepsilon)}$ содержит только конечное число точек $(e_n)$. Пусть это так. Тогда можно считать $\varepsilon>0$ настолько малым, что $\overline{B(M,\varepsilon)}$ и вовсе не содержит ни одной точки из $(e_n)$. Кроме того, согласно определению слабо эллиптической точки $L^-(e_n)\cap M\ne\varnothing$ для любого $n\in\mathbb N$. Поэтому существует последовательность моментов времени $(t_n)\subset\mathbb R^-$ таких, что для точек $p_n=e_nt_n$ расстояние $d(M,p_n)\to 0$ при $n\to+\infty$ и, более того, выполняется неравенство $d(M,p_n)<\varepsilon$ для всех $n\in\mathbb N$. К тому же, с учетом инвариантности множества $M$ имеем $t_n\to-\infty$. Из сказанного следует существование последовательности $(\tau_n)\subset\mathbb R^-$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\tau_n<t_n<0,\quad d(M,e_n\tau_n)=\varepsilon,\quad d(M,e_n(\tau_n+t))<\varepsilon\qquad \forall\,n\in\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
если только $\tau_n+t<t_n$. Отсюда, в частности следует, что $\tau_n\to-\infty$ при $n\to+\infty$. Положим $q_n=e_n\tau_n$ для любого $n\in\mathbb N$. Тогда можно предположить, что последовательность $(q_n)$ сходится, так как граница $\operatorname{Fr}B(M,\varepsilon)$ содержится в области асимптотической компактности динамической системы, а именно, $q_n\to q\in\operatorname{Fr}B(M,\varepsilon)$ при $n\to+\infty$. Покажем, что $q$ – слабо эллиптическая точка. Действительно, так как по построению точка $q\subset A^+(M)$, то предельное множество $L^+(q)\subset M$, причем $L^+(q)\ne\varnothing$. Поэтому достаточно показать, что выполняется условие $L^-(q)\cap M\ne\varnothing$. На самом деле, по предложению 1 следует, что полутраектория $\gamma^-(q)\subset\overline{B(M,\varepsilon)}$, т.е. $\gamma^-(q)\subset A^+(M)$. В таком случае, имеем $L^-(q)\cap,\,M\ne\varnothing$, поскольку $L^-(q)$ непусто инвариантно и содержится в $A^+(M)$. Следовательно, точка $q$ принадлежит множеству $E_{\omega }(M)$, т.е. $q$ – слабо эллиптическая точка, что и требовалось доказать. Покажем, наконец, что последовательность $(e_n)$ сходится к некоторой точке из $E_\omega(M)$. Действительно, множество $M$ притягивающее. Поэтому существует число $T>0$ такое, что $d(M,qt))<\varepsilon/2$ для всех $t\geqslant T$. Из непрерывности фазового отображения $\pi$ и свойства притяжения $M$ вытекает существование натурального числа $N$ такого, что $d(M,q_n t))<\varepsilon/2$ для любого $t\geqslant T$ и любого $n\geqslant N$. Следовательно, расстояние
$$
\begin{equation*}
d(M,(e_n\tau_n)t_n))<\frac{\varepsilon}{2}\qquad \forall\,\tau_n+t_n\geqslant T,\quad n\geqslant N.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 3 последовательность $(\tau_n)$ ограничена снизу. Поэтому, не теряя общности дальнейших рассуждений, можно предположить, что она сходится, т.е. $\tau_n\to\tau$ при $n\to+\infty$. Отсюда получаем следующие соотношения: Другими словами, точки $e$ и $q$ являются слабо эллиптическими, что и доказывает компактность $E_\omega(M)$. Напомним следующее утверждение [15; c. 134]. Предложение 2. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – компактное слабо притягивающее множество. Предположим, что $(X,\mathbb R,\pi)$ асимптотически компактна при $t\to +\infty$ в области слабого притяжения $A^+_\omega(M)$. Тогда выполняется одно из следующих двух условий: Теорема 4. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – компактное инвариантное слабо притягивающее множество. Тогда имеют место следующие условия: Доказательство. Рассмотрим сначала свойство 1). Пусть множество $M$ асимптотически устойчиво. Так как $M$ компактно и инвариантно, то $M\subset E_\omega(M)$. Поэтому если предположить, что (3.3) не выполняется, то можно указать точку $x\in E_\omega(M)\setminus M$, для которой $L^-(x)\cap M\ne\varnothing$. Однако по лемме 1 [23] это противоречило бы свойству устойчивости множества $M$. Докажем теперь свойство 2). Пусть $M$ – слабо притягивающее компактное инвариантное множество и выполняется (3.3). Если при этом множество $M$ не является асимптотически устойчивым, то согласно предложению 2 существует точка $q\in X\setminus M$ такая, что $L^-(q)\cap M\ne\varnothing$. В таком случае $q\in E_\omega(M)\setminus M$, что противоречит равенству (3.3). Полученное противоречие и доказывает теорему. Приведем теперь основной результат о структуре окрестности компактного притягивающего множества. Теорема 5. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система на метрическом пространстве $X$ и $M\subset X$ – связное компактное инвариантное притягивающее множество. Предположим, что $(X,\mathbb R,\pi)$ асимптотически компактна при $t\to+\infty$ в области притяжения $A^+(M)$. Тогда множество $E_\omega(M)$ есть наименьшее компактное инвариантное асимптотически устойчивое множество, содержащее $M$. Кроме того, для областей притяжения $A^+(E_\omega(M))$ и $A^+(M)$ выполняется равенство Доказательство. Пусть $M$ – компактное притягивающее подмножество $X$. Так как $A^+(M)$ – открытая окрестность $M$, то можно указать достаточно малое число $\varepsilon>0$ так, чтобы $\overline{B(M,\varepsilon)}\subset A^+(M)$. По теореме 3 множество $E_\omega(M)$ компактно, а следовательно, $\overline{E_\omega(M)}=E_\omega(M)$. Докажем, что $E_\omega(M)$ асимптотически устойчиво. Для этого заметим, что $A^+(M)$ и $E_\omega(M)$ инвариантные множества, содержащие $M$, и $A^+(M)$ является окрестностью $M$. Поэтому можем заключить, что $E_\omega(M)\subset A^+(M)$. Предположим, напротив, что $E_\omega(M)$ не является асимптотически устойчивым. Тогда по предложению 1 для любого числа $r>0$ существует полутраектория $\gamma^-(x)$, которая содержится в $B(E_\omega(M),r)\setminus E_\omega(M)$. Выберем $r>0$ настолько малым, чтобы в силу компактности $E_\omega(M)$ множество $\overline{B(E_\omega(M),r)}$ входило бы в $A^+(M)$. Тогда для каждого элемента $y\in L^-(x)$ имеем включение $L^-(y)\subset M\subset E_\omega(M)$. Отсюда вытекает, что $L^-(x)\cap M\ne\varnothing$. Более того, $L^+(y)\subset M\subset E_\omega(M)$, и при этом согласно определению слабо эллиптических точек $x\in E_\omega(M)$. Однако последнее противоречит выбору точки $x$, принадлежащей множеству $B(E_\omega(M),r)\setminus E_\omega(M)$. Следовательно, справедливо обратное, т.е. множество $E_\omega(M)$ асимптотически устойчиво. Докажем теперь справедливость формулы (3.4). В самом деле, для любого элемента $e\in E_\omega(M)$ имеем $L^+(e)\cap M\ne\varnothing$, поэтому $e\in A^+(M)$. Следовательно, $E_\omega(M)\subset A^+(M)$. Для всякой точки $x\in A^+(M)$ также будет $L^+(x)\cap E_\omega(M)\ne\varnothing$, поскольку $M\subset E_\omega(M)$. Отсюда имеем включение $A^+(M)\subset A^+(E_\omega(M))$. Докажем обратное включение. Пусть точка $x\in A^+(E_\omega(M))$. Тогда
$$
\begin{equation*}
L^-(x)\cap E_\omega(M)\ne\varnothing,\qquad \text{т.е.}\qquad \gamma^+(x)\cap A^+(M)\ne\varnothing.
\end{equation*}
\notag
$$
Из свойства инвариантности следует, что $\gamma^+(x)\subset A^+(M)$, а значит, получаем $A^+(E_\omega(M))\subset A^+(M)$, что и доказывает справедливость формулы (3.4). Наконец, покажем, что множество $E_\omega(M)$ есть наименьшее компактное инвариантное асимптотически устойчивое множество, содержащее $M$. Пусть $Y$ – компактное асимптотически устойчивое множество такое, что $M\subset Y\subset E_\omega(M)$. Тогда получаем
$$
\begin{equation}
E_\omega(M)\subset E_\omega(Y)\subset E_\omega(E_\omega(M)).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Более того, так как $E_\omega(M)$ асимптотически устойчивое множество, то $E_\omega(E_\omega(M))=E_\omega(M)$. Это в совокупности с (3.5) приводит к равенству $E_\omega(Y)=E_\omega(M)$. Если $Y$ асимптотически устойчивое, то $Y=E_\omega(Y)=E_\omega(M)$. Следовательно, $E_\omega(M)$ является наименьшим компактным инвариантным асимптотически устойчивым множеством, содержащим $M$. Для локально компактного пространства $X$ эта теорема доказана в [15; с. 138]. Напомним следующий результат [15; с. 146]. Предложение 3. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система и $M$ – компактное инвариантное слабо притягивающее подмножество $X$. Тогда если выполняется условие $\operatorname{Fr}E_\omega(M)\ne\varnothing$, то $M\cap\operatorname{Fr}E_\omega(M)\ne\varnothing$. 4. Проблема В. В. НемыцкогоРезультаты предыдущих пунктов позволяют сформулировать и обосновать в более общем виде решение одной из проблем качественной теории топологической динамики, известной как проблема Немыцкого о существовании эллиптических точек покоя. Заметим, что всякая эллиптическая точка покоя является притягивающим и даже двусторонне притягивающим компактным инвариантным множеством. Поставим проблему, изложенную в работах [2], [4], для свойства слабого двустороннего притяжения. Предварительно поясним ситуацию на следующем примере. Пример 3. Пусть $X$ есть боковая поверхность кругового цилиндра в $\mathbb R^3$ единичного радиуса и единичной высоты. На нижнем и верхнем основании $X$ расположено по одной точке покоя соответственно $M_1$ и $M_2$. Пусть окружности обоих оснований цилиндра являются инвариантными множествами. Предположим, что движения на остальной части $X$ осуществляются по винтовой линии, асимптотически приближаясь к верхнему основанию цилиндра при $t\to+\infty$ и стремясь к нижнему основанию при $t\to-\infty$. Ясно, что таким образом определенная динамическая система на цилиндре $X$ с естественной метрикой из $\mathbb R^3$ имеет слабо эллиптическое компактное инвариантное множество $M$, являющееся объединением точек покоя $\{M_1\}\cup\{M_2\}$. Таким образом, в случае компактного фазового пространства $X$ в динамических системах $(X,\mathbb R,\pi)$ могут существовать компактные инвариантные, но несвязные множества слабо эллиптического типа. Сформулируем проблему в новой постановке: при каких условиях в динамической системе $(X,\mathbb R,\pi)$ существуют компактные инвариантные множества слабо эллиптического типа? Ответ основывается на следующем утверждении. Теорема 6. Пусть $(X,\mathbb R,\pi)$ – динамическая система на некомпактном метрическом пространстве $X$ и $M$ – некоторое связное компактное притягивающее множество в $X$. Предположим,что динамическая система асимптотически компактна при $t\to+\infty$ в области притяжения $A^+(M)$. Тогда множество $M$ не является множеством слабо эллиптического типа. Доказательство. Пусть $X$ – некомпактное связное метрическое пространство и пусть, напротив, существует непустое компактное инвариантное множество $M$ в $X$ слабо эллиптического типа. Тогда $M$ является слабо притягивающим. По предложению 2 $E_\omega(M)$ является компактным инвариантным асимптотически устойчивым множеством с областью притяжения $A^+(M)$. Так как $X$ не является компактным, а $A^+(M)$ – открытое множество [9; с. 60 ], то выполняются следующие условия: Отсюда, в частности, следует, что $\operatorname{Fr}E_\omega(M)\ne\varnothing$. Поэтому с учетом предложения 3 множество $N=M\cap\operatorname{Fr}E_\omega(M)\ne\varnothing$. На основании проведенных рассуждений подчеркнем обстоятельства, в которых мы находимся: Отсюда следует вывод: в любой окрестности множества $N$ существует точка $p\in A^+(M)\setminus E_\omega(M)$, для которой $L^-(p)\cap M\ne\varnothing$. Но в таком случае пересечение $L^-(p)\cap E_\omega(M)\ne\varnothing$. Однако это противоречит асимптотической устойчивости $E_\omega(M)$ при $t\to+\infty$, что и доказывает теорему.Теорема 7. Существуют динамические системы $(X,\mathbb R,\pi)$ с нелокально компактным фазовым пространством $X$, содержащие компактные инвариантные множества эллиптического типа. Доказательство 3. Построим пример динамической системы $(X,\mathbb R,\pi)$ с нелокально компактным метрическим пространством $X$, в котором имеется компактное инвариантное множество эллиптического типа. Пусть функция $a\colon\mathbb R\to\mathbb R$, график которой изображен на рис. 3, определена равенством Определим множество функций
$$
\begin{equation*}
X=\{a(\alpha t+\beta):\alpha,\,\beta\in\mathbb R\}\cup M,
\end{equation*}
\notag
$$
где $M=\{a_c:0\leqslant c\leqslant 1\text{ для }a_c(t)\equiv c\}$ – компактное множество постоянных функций. Введем в $X$ топологию равномерной сходимости на компактах с помощью метрики Бебутова [8; с. 75], где расстояние между элементами $a$ и $b$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
d(a,b)=\sup_{T>0}\min\biggl\{\max_{|t|\leqslant T}|a(t)-b(t)|,\, \dfrac{1}{T}\biggr\},\qquad a,b\in X,\quad T\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим на пространстве $X$ динамическую систему сдвигов $\pi\colon X\times\mathbb R\to X$, полагая $\pi(x,t)=y$, где функция $y$ определяется равенством $y(\tau)=x(t+\tau)$ для всех $\tau\in\mathbb R$. Можно убедиться в том, что для $\pi\colon X\times\mathbb R\to X$ выполняются все аксиомы динамической системы (см., например, [9; с. 9]). Она называется динамической системой Бебутова [8; с. 75]. Отметим следующие свойства. Для всякого элемента $y\in X$ траектория $\gamma(y)$ относительно компактна и можно указать число $c=c(y)\in[0,1]$ такое, что т.е. $M=\{a_c,0\leqslant c\leqslant 1\}$ – компактное эллиптическое множество системы сдвигов $(X,\mathbb R,\pi)$. Покажем это, рассмотрев два случая.Пусть $y\in\{a(\alpha t+\beta):\alpha,\beta\in\mathbb R\}$, и докажем, что $L^+(y)=\{a_0\}\in M$. Возьмем произвольную последовательность моментов времени $(t_n)\subset\mathbb R^+$, $t_n\to +\infty$. По определению системы сдвигов имеем функцию $y(\tau)=x(t_n+\tau)$ для всех $\tau\in\mathbb R$. Отсюда с учетом определения функции $a(t)$ следует существование достаточно большого $N\in\mathbb N$ такого, что $y(\tau)=x(t_n+\tau)\equiv 0$ для всех $n\geqslant N$ и всех $\tau\in\mathbb R$, а именно, $y=a_0\in M$. Поскольку $t_n\to+\infty$, то $L^+(y)\cap M\ne\varnothing$. Более того, последовательность $(t_n)\subset\mathbb R^+$ была выбрана произвольно, а значит, $a_0$ – единственная $\omega$-предельная точка для $y$. Другими словами, $L^+(y)\equiv\{a_0\}\in M$. Аналогичным образом можно показать, что $L^-(y)=\{a_0\}\in M$. Таким образом, компактное инвариантное множество $M$ является множеством эллиптического типа. Покажем, что метрическое пространство $X$ не является локально компактным метрическим пространством. Действительно, в противном случае по теореме Асколи–Арцела всякая последовательность функций из $X$ была бы равностепенно непрерывной. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation*}
a_n(t)=a(nt),\qquad t'_n=\dfrac{1}{n}\,,\qquad t''_n=\dfrac{1}{2n}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем моменты времени $t'_n,t''_n\in[0,1]$ с условием $t'_n -t''_n\to 0$ при $n\to +\infty$, причем
$$
\begin{equation*}
|a(t'_n)-a(t''_n)|=\biggl|a\biggl(\frac{1}{2}\biggr)-a(1)\biggr|=1.
\end{equation*}
\notag
$$
То есть последовательность функций $(a_n)$ из $X$ не является равностепенно непрерывной на отрезке $[0,1]$. Таким образом, фазовое пространство $X$ не является локально компактным. Отметим в дополнение, что динамическая система $\pi\colon X\times\mathbb R\to X$, используемая при доказательстве теоремы 7, является асимптотически компактной при $t\to +\infty$ в любом замкнутом множестве $W$. Действительно, зафиксируем произвольное замкнутое подмножество $W\subset X$ и последовательности $(a_n)\subset W$ и $(t_n)\subset\mathbb R^+$ такие, что $a_n[0,t_n]\subset W$ для всех $n\in\mathbb N$ и $t_n\to+\infty$. Тогда по определению движений динамической системы выполняется тождество $a_nt_n\equiv 0$ для любого достаточно большого $n\geqslant N\in\mathbb N$. А это и соответствует сходимости последовательности $(a_nt_n)$. То есть последовательность $(a_nt_n)$ относительно компактна, а значит, система $\pi\colon X\times\mathbb R\to X$ асимптотически компактна в $W$ при $t\to +\infty$. Примеры асимптотически компактных полудинамических систем для произвольных метрических пространств (не локально компактных) приведены в [17], [24]. 5. ЗаключениеРешение проблемы В. В. Немыцкого, представленной в докладе на Международном конгрессе математиков (Москва, 1966 г.), характеризуется следующим. Во-первых, известно, что точки равновесия эллиптического типа не существуют во всех локально компактных динамических системах, кроме одного вида, когда фазовое пространство системы компактно (теорема 1). Во-вторых, проблема, сформулированная в обобщенной постановке для случая локально компактного фазового пространства, когда вместо точки покоя рассматривается произвольное компактное инвариантное множество $M$ и вместо свойства притяжения рассматривается свойство слабого притяжения, имеет формально то же самое решение (теорема 2). А поскольку всякая эллиптическая точка множества $M$ является в то же время и его слабо эллиптической точкой, то теорема 2 представляет обобщение теоремы 1 для случая локально компактного метрического пространства $X$ динамической системы $\pi\colon X\times\mathbb R\to X$. Совокупность доказанных в статье теорем 6 и 7 представляют дальнейшее развитие теорем 1 и 2 в решении проблемы В. В. Немыцкого для случая произвольного метрического пространства. Для пояснения этих результатов приведены иллюстрирующие примеры существования точек эллиптического типа для случая динамических систем на компактном и нелокально компактном метрических пространствах. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kal23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|