| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Плотность нулей функций класса Картрайт и условие Хельсона–Сегё С. А. Авдонинab, С. А. Ивановc a University of Alaska Fairbanks, США b Московский центр фундаментальной и прикладной математики c Лаборатория морских геомагнитных исследований, Санкт-Петербургский филиал Института земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн Российской академии наук
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010194 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеТеория базисов Рисса из комплексных экспонент $\mathcal{E}=\{e^{i \lambda_n t}\}$ или, другими словами, теория негармонических рядов Фурье в $L^2$ на интервале, началась с классической работы Пэли и Винера [1], которая мотивировала целый ряд работ многих математиков (см., например, ссылки в [2]–[5]). В [6] (см. также [7; лекции 21–23]) Левин разработал набор методов, который позволяет связать свойство базисности семейства $\mathcal{E}$ со свойствами целой функции с множеством нулей $\{\lambda_n\}$. Следуя этому подходу и привлекая геометрию пространства Харди $H^2_+$ в верхней полуплоскости, Павлов [8] получил полное описание экспоненциальных базисов Рисса. Различные обобщения результата Павлова можно найти в [9], [3], [10] и [11]. В этой статье мы обозначаем через $\Lambda=\{\lambda_n\}$ последовательность в $\mathbb{C}$ (допускаются кратные нули), лежащую в полосе $S_{\Lambda}$, параллельной вещественной оси: $\sup|{\operatorname{Im}\lambda_n}| < \infty$. Без потери общности и для удобства обозначений мы также предполагаем, что эта полоса расположена в верхней полуплоскости, т.е. $\inf\operatorname{Im}\lambda_n>0$. Последовательность $\Lambda$ называется отделимой или равномерно дискретной, если $\inf_{k \ne n}|\lambda_k-\lambda_n|>0$. Мы говорим, что последовательность $\Lambda$ относительно равномерно дискретна, если ее можно представить в виде объединения конечного числа равномерно дискретных подпоследовательностей. Следующее понятие играет важную роль в теории базисов из экспонент. Функция $F$ экспоненциального типа называется функцией типа синуса, если ее нули $\lambda_n$ лежат в полосе $S_{\Lambda}$ и $|F(x)| \asymp 1$, $x \in \mathbb{R}$. Левин [6] и Головин [12] доказали следующее Предложение 1. Семейство $\mathcal{E}$ образует базис Рисса в $L^2(0,T)$, если существует функция типа синуса с индикаторной диаграммой ширины $T$ и равномерно дискретным множеством нулей $\Lambda$. В случае функции $f$ типа синуса ширина индикаторной диаграммы равна сумме экспоненциальных типов $f$ в верхней и нижней плоскостях. Результат Павлова можно сформулировать следующим образом. Предложение 2. Семейство $\mathcal{E}$ образует базис Рисса в $L^2(0,T)$ тогда и только тогда, когда существует целая функция $F$ экспоненциального типа с индикаторной диаграммой ширины $T$ и равномерно дискретным множеством нулей $\Lambda$ таким, что $|F(x)|^2$ удовлетворяет условию Хельсона–Сегё: существуют функции $u,v\in L^{\infty}(\mathbb{R})$, $\|v\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}<\pi/2$, такие, что Здесь отображение $v \mapsto \mathcal{H}v$ обозначает преобразование Гильберта для ограниченных функций:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{H}v(x)=\frac{1}{\pi} \,\mathrm{v.p.}\int_{-\infty}^\infty v(t) \biggl\{\frac{1}{x-t}+\frac{t}{t^2+1}\biggr\}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $F$ в этой теореме называется производящей функцией семейства $\{e^{i\lambda_nt}\}$ на интервале $(0,T)$. Это понятие играет центральную роль в современной теории негармонических рядов Фурье [3], [2]. Если последовательность $\Lambda$ не равномерно дискретна, а лишь относительно равномерно дискретна, семейство экспонент $\mathcal{E}$ не является базисом Рисса, но может образовывать базис Рисса из конечномерных подпространств (базис со скобками). Первый результат такого рода был получен Левиным [6]. Он доказал, что множество $\Lambda$ нулей функции $F$ типа синуса с индикаторной диаграммой ширины $T$ относительно равномерно дискретно, а соответствующее семейство $\mathcal{E}$ образует базис Рисса со скобками в $L^2(0,T)$. Необходимые и достаточные условия базисности по Риссу со скобками для $\mathcal{E}$ были сформулированы как условие Хельсона–Сегё для производящей функции $F$ и условие, что ее множество нулей $\Lambda$ является относительно равномерно дискретным [13]. В настоящей работе мы доказываем, что последнее условие является избыточным: если $F$ удовлетворяет условию Хельсона–Сегё, то его множество нулей относительно равномерно дискретно. Более того, мы доказываем, что вывод верен, если $\log|F(x)|$ принадлежит классу BMO. Это условие слабее, чем условие Хельсона–Сегё (подробности см. ниже). От базисов Рисса из подпространств мы можем вернуться к базисам из отдельных функций, если вместо экспонент рассмотрим семейство экспоненциальных разделенных разностей. Теория базисов Рисса из экспоненциальных разделенных разностей была разработана в [13], [14]. Эта теория имеет важные приложения к теории управления гибридными системами и к уравнениям с запаздыванием нейтрального типа, см., например, [15], [16]. Для применения теории базисов Рисса из экспоненциальных разделенных разностей необходимо проверить следующие два условия:
Доказательство утверждения (ii) обычно довольно сложно, поскольку оно требует подробной информации об асимптотическом поведении последовательности $\lambda_n$. В настоящей работе мы доказываем, что утверждение (i) влечет (ii). Нам нужно ввести еще несколько определений. Верхняя равномерная плотность $D_+(\Lambda)$ последовательности $\Lambda$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
D_+(\Lambda)=\lim_{r\to+\infty}\,\sup_{x\in\mathbb{R}} \frac{\#\{\operatorname{Re}\Lambda \cap [x,x+r)\}}{r}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Это понятие, а также аналогичное понятие нижней равномерной плотности $D_-(\Lambda)$, играет важную роль в теории экспоненциальных базисов $\mathcal{E}$ на интервале см. [17], [13], [14]. Если $D_+(\Lambda)=C<\infty$, то в любой полосе $I \times \mathbb{R}$ найдется не более $C|I|$ точек множества $\Lambda$. Это эквивалентно тому факту, что $\Lambda$ относительно равномерно дискретно. Здесь $I$ – интервал вещественной оси, а $|I|$ – его длина. Функции класса Картрайт подробно изучены в классической монографии [18]. Определение 2. Среднее колебание $p_I(f)$ локально интегрируемой функции $f$ на интервале $I$ определяется как где $f_I$ – среднее значение $f$ на $I$: Локально интегрируемая функция на $\mathbb{R}$ принадлежит классу BMO, если супремум ее среднего колебания $\sup_{I\in {\mathcal J}}p_I(f)$, взятый по множеству всех интервалов вещественной оси, конечен. Известно, что локально интегрируемая функция $f$ на $\mathbb{R}$ принадлежит классу BMO тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде где $u,v \in L^\infty(\mathbb{R})$.В настоящей работе мы показываем, что если функция $F$ с множеством нулей $\Lambda$ принадлежит классу Картрайт и то $\Lambda$ имеет конечную верхнюю равномерную плотность: $D_+(\Lambda)<\infty$.Удобно доказать этот факт в контрапозитивной форме (как теорему, обратную противоположной): Теорема 1. Пусть функция $F$ с множеством нулей $\Lambda$ в полосе $0<\inf\operatorname{Im}z \leqslant \sup\operatorname{Im}z<\infty$ принадлежит классу Картрайт и $D_+(\Lambda)=\infty$. Тогда В частности, это означает, что $F$ не удовлетворяет условию Хельсона–Сегё. Замечание 1. Авторы благодарны анонимному рецензенту за примеры функций класса Картрайт с множеством нулей с бесконечной верхней равномерной плотностью в полосе, параллельной вещественной оси. В первом примере функция имеет нули неограниченно возрастающей кратности:
$$
\begin{equation*}
f(z)=\prod_{n=1}^\infty \cos^n\biggl(\frac{z}{n^3}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
От условия кратности можно избавиться. Для этого во втором примере мы рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
f_n(z)=\cos\biggl[\frac{\pi}{2}(3^{-n}+3^{-n^2})z\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
обращающуюся в нуль в точках для всех целых $k$, $n$ таких, что $k>n$. Легко проверить, что при достаточно больших $k$ функция имеет на интервале $(3^k-1,3^k)$ не менее $k/2$ простых нулей.
2. Доказательство главного результата (теорема 1)Предположим, что $D_+(\Lambda)=\infty$. Следуя [19], введем непрерывную ветвь $\varphi_z(t)$ аргумента $\operatorname{Arg}b_z(t)$ для множителя Бляшке При $z=x+iy$, $y>0$ и положим
$$
\begin{equation*}
\varphi_z(t)=\begin{cases} \psi_z(t)+\pi, & t>\dfrac{|z|^2}{x}\,, \\ \dfrac{\pi}{2}\,, & t=\dfrac{|z|^2}{x}\,, \\ \psi_z(t), & t<\dfrac{|z|^2}{x}\,, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
если $x>0$, и
$$
\begin{equation*}
\varphi_z(t)=\begin{cases} \psi_z(t), & t>\dfrac {|z|^2}{x}\,, \\ -\dfrac{\pi}{2}\,, & t=\dfrac{|z|^2}{x}\,, \\ \psi_z(t)-\pi, & t<\dfrac{|z|^2}{x}\,, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
если $x<0$. Следующий результат был получен в [19]. Предложение 3. Пусть функция $F$ с множеством нулей $\{z_n\}$ принадлежит классу Картрайт. Тогда преобразование Гильберта $\mathcal{H}$ функции $\log|F|$ представимо в следующем виде: где $T$ – ширина индикаторной диаграммы $F$, а $\theta$ – константа. Отметим, что ряд сходится, потому что последовательность $\{z_n\}$ удовлетворяет условию Бляшке В качестве первого шага в доказательстве теоремы 1 мы покажем, что сумма быстро растет, если $D_+(\Lambda)=\infty$.Доказательство леммы. Прямое вычисление дает Для $t=x+\delta$, $|\delta| \leqslant 1$, получаем Для $z$ в полосе $0<\alpha \leqslant \operatorname{Im}z \leqslant \beta<\infty$ минимум функции $y/(y^2+\delta^2)$ положителен:
$$
\begin{equation}
\psi'_{x+iy}(t)\geqslant \frac{y}{y^2+1}\geqslant \min\biggl\{\frac{\alpha}{\alpha^2+1}\,, \frac{\beta}{\beta^2+1}\biggr\}=c>0 \qquad \text{при} \quad t \in [x-1,x+1].
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Теперь положим
$$
\begin{equation*}
\Lambda_a=\{z_n\mid\operatorname{Re}z_n \in [a,a+1]\}
\end{equation*}
\notag
$$
и выберем такой отрезок $[a,a+1]$, что $\# \Lambda_a \geqslant M/c$; это возможно по условию леммы. Очевидно,
$$
\begin{equation*}
\Phi(a+1)-\Phi(a)\geqslant\sum_{z_n\in \Lambda_a}\varphi_{z_n}(a+1)- \sum_{z_n\in \Lambda_a}\varphi_{z_n}(a)= \sum_{z_n\in \Lambda_a}[\varphi_{z_n}(a+1)-\varphi_{z_n}(a)].
\end{equation*}
\notag
$$
В силу неравенства (2.2) и поэтому Лемма доказана. Лемма 2. Пусть $g$ – возрастающая функция на $\mathbb{R}$ и для любого $M>0$ существует $a \in \mathbb{R}$ такое, что Тогда и, следовательно, $g$ не принадлежит BMO. Доказательство этой леммы основана на прямых вычислениях. Пусть $M$ и $a$ удовлетворяют неравенству (2.3). Возьмем $I=I_M=[a-1,a+2]$. Мы докажем, что Очевидно, что среднее значение $g_I$ принадлежит интервалу $[g(a-1),g(a+2)]$ и Рассмотрим следующие два случая: Случай (i). Если $x\in [a+1,a+2]$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g(x) \geqslant g(a+1)\geqslant g(a)+M \geqslant g(a)+\frac{M}{2} \geqslant g_I, \\ |g(x)-g_I|=g(x)-g_I \geqslant g(a+1)-g_I \geqslant g(a)+M-g_I\geqslant \frac{M}{2}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
p_I(g)\geqslant \frac{1}{3}\int_{a+1}^{a+2}|g(x)-g_I|\,dx\geqslant \frac{M}{6}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Случай (ii). Если $x\in [a-1,a]$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, g_I \geqslant g(a)\geqslant g(x), \\ |g(x)-g_I|=-g(x)+g_I\geqslant g(a)+\frac{M}{2}-g(x)\geqslant g(a)+\frac{M}{2}-g(a)\geqslant \frac{M}{2}\,. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
p_I(g)\geqslant \frac{1}{3}\int_{a-1}^{a}|g(x)-g_I|\,dx\geqslant \frac{M}{6}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получили (2.4), и лемма доказана. Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 1. Функционал $p_I$ от члена $Tt/2$ постоянен на интервалах длины 3. Поэтому из (2.1) и лемм 1 и 2 следует, что Преобразование Гильберта отображает класс BMO в себя и $\mathcal{H}^2=-\operatorname{Id}$. Поэтому и, следовательно, $\log|F|$ не принадлежит BMO. Теорема доказана.Замечание 2. На самом деле, для доказательства основной теоремы явные формулы в предложении 3 не нужны. В случае бесконечной плотности нам нужно только показать “быстрый рост” непрерывной ветви аргумента $F$ (в смысле леммы 1). Это было получено авторами другим способом, но результат работы [19] значительно упрощает доказательство основного результата. Отметим также, что связи между непрерывными ветвями аргумента произведения Бляшке, пространством BMO и базисностью экспоненциальных семейств обсуждались в [3; раздел I.4]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvdIva23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|