| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Локальная экстремальная интерполяция на полуоси с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора В. Т. Шевалдин Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030148 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеРассмотрим на полуоси $[0;+\infty)$ бесконечную сетку узлов $\Delta=\{kh\}_{k=0}^\infty$ с шагом $h>0$. Пусть $y=\{y_k\}_{k=0}^\infty$ – произвольная последовательность действительных чисел. В данной работе будем рассматривать функции $f\colon[0;\infty)\to\mathbb R$, которые удовлетворяют условиям интерполяции: $f(kh)=y_k$ $(k\in\mathbb Z_+)$. Пусть $\{\beta_j\}_{j=1}^n$ – попарно различные действительные числа и $D$ – символ дифференцирования. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор $n$-го порядка с постоянными действительными коэффициентами следующего вида:
$$
\begin{equation}
{\mathscr L}_n(D)=(D-\beta_1)(D-\beta_2)\dotsb(D-\beta_n).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Этому дифференциальному оператору ставится в соответствие разностный оператор следующего вида:
$$
\begin{equation}
\Delta_h^{\mathscr L_n}y_k =(T-e^{\beta_1h}E)(T-e^{\beta_2h}E)\dotsb(T-e^{\beta_nh}E)y_k,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
определенный на пространстве последовательностей $y=\{y_k\}_{k=0}^\infty$. Здесь $Ty_k=y_{k+1}$ и $E$ – тождественный оператор. Впервые оператор (1.2) в явном виде был выписан в работе А. Шармы и И. Цимбаларио [1]. Разностный оператор (1.2) обладает свойством, что он обращается в нуль на решениях линейного дифференциального уравнения $\mathscr L_n(D)f=0$, взятых на равномерной сетке на всей числовой оси $\mathbb R$ с шагом $h$. Рассмотрим класс последовательностей
$$
\begin{equation*}
Y=Y_{\mathscr L_n}=\Bigl\{y=\{y_k\}_{k=0}^\infty\colon \sup_{k\in\mathbb Z_+} |\Delta_h^{\mathscr L_n}y_k|\leqslant 1\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждой последовательности $y\in Y$ определим класс функций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(y) &=F_{\mathscr L_n,\infty}(y) \\ &=\bigl\{f\colon f^{(n-1)}\in AC[0;+\infty),\,\mathscr L_n(D)f\in L_\infty[0;+\infty),\, f(kh)=y_k\,(k\in\mathbb Z_+)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $AC[0;+\infty)$ – класс функций, локально абсолютно непрерывных на полуоси $[0;+\infty)$, и норма функции в пространстве $L_\infty=L_\infty[0;+\infty)$ определяется обычным образом:
$$
\begin{equation*}
\|g\|_\infty=\|g\|_{L_\infty[0;+\infty)} =\operatorname*{ess\,sup}_{t\in [0;+\infty)}|g(t)|.
\end{equation*}
\notag
$$
Сформулируем задачу локальной экстремальной интерполяции на полуоси, которую в 1996 году поставил Субботин [2]. В своей работе он сделал это только для оператора $\mathscr L_n(D)=D^n$. Для оператора вида (1.1) данная задача может быть сформулирована следующим образом. Пусть задано число $s\in\mathbb N$ и первые члены $y_0,y_1,\dots,y_{s-1}$ интерполируемой последовательности $y=\{y_k\}_{k=0}^\infty$. Требуется вычислить (или оценить) следующие величины:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{\mathscr L_n}(y_0,y_1,\dots,y_{s-1}) =\sup_{y\in Y}\inf_{f\in F(y)}\|\mathscr L_n(D)f\|_\infty, \\ B_{\mathscr L_n}(s,n) =\sup_{y_0,y_1,\dots,y_{s-1}}A_{\mathscr L_n}(y_0,y_1,\dots,y_{s-1}). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичная задача (без фиксирования каких-либо значений последовательности $y$) для равномерной сетки узлов на всей числовой оси $\mathbb R$ в случае оператора $\mathscr L_n(D)=D^n$ (т.е. для $n$-й производной и конечных разностей) возникла в исследованиях Н. Н. Яненко в задачах численного решения уравнений математической физики при замене дифференциальных операторов разностными и была поставлена им в беседах с С. Б. Стечкиным и Ю. Н. Субботиным в начале 60-х годов прошлого века. Точное решение этой задачи было получено Субботиным [3] (его работа привела к бурному развитию теории сплайнов в нашей стране), который в дальнейшей своей деятельности рассмотрел и более общие постановки данной задачи (см., например, [4], [5] и обзор [6]). Следует отметить, что ранее близкая по постановке интерполяционная задача на конечном интервале для $n$-й производной и разделенных разностей с произвольными (не обязательно, равномерными) узлами интерполяции была рассмотрена Ж. Фаваром [7] (см. также [8]–[10]). Цель настоящей работы: показать, что для операторов вида (1.1) при $s\geqslant n\geqslant 2$ величина $B_{\mathscr L_n}(s,n)$ конечна, а при $1\leqslant s\leqslant n-1$ величина $B_{\mathscr L_n}(s,n)=\infty$. В случае оператора $\mathscr L_n(D)=D^n$ эти результаты получил Субботин [2]. Кроме того, он в своей работе исследовал вопрос реализации величины $B_{D^n}(s,n)$ линейным методом и точно вычислил эту величину при $s\geqslant n=2$ и $s=n=3$. Отметим, что случаи $n=1$ и $s=0$ в данной задаче интерполяции на полуоси $[0;+\infty)$ неинтересны, поскольку первый случай сводится к обычной интерполяции ломаными, а в случае $s=0$ за счет выбора $y_0$ и $y_1$ можно добиться, чтобы норма $\|\mathscr L_n(D)f\|_\infty$ у интерполируемой функции $f$ на отрезке $[0;h]$ стремилась к бесконечности. 2. Экспоненциальная интерполяцияВ данном разделе всюду считаем, что числа $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$ действительны и попарно различны. Лемма 1. Экспоненциальный многочлен удовлетворяющий условиям интерполяции: может быть записан в следующем виде: где $\mathscr L_{n-1,j}=\mathscr L_{n-1,j}(D) =\prod_{\substack{s=1\\ s\ne j}}^n(D-\beta_s)$. Доказательство. Положим $x_j=e^{\beta_jh}$, $j=1,2,\dots,n$. Операторные равенства (2.1) с учетом (2.2) равносильны равенствам соответствующих характеристических многочленов в левой и правой частях этих равенств, которые можно записать в виде где $\omega(x)=\prod_{s=1}^n(x-x_s)$. Как известно, алгебраический многочлен Лагранжа $p(x)$ степени $n-1$, удовлетворяющий условиям интерполяции где $x_1,x_2,\dots,x_n$ – попарно различные действительные числа, может быть записан следующим образом:
$$
\begin{equation*}
p(x)=\prod_{j=1}^n\frac{\omega(x)}{(x-x_j)\omega'(x_j)}\,\overline y_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Он точен на базисных многочленах $1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$ в том смысле, что если $\overline y_j=x_j^l$, $j=1,2,\dots,n$; $l=0,1,\dots,n-1$, то имеют место равенства (2.3). Поэтому лемма 1 доказана. Лемма 3 [11; c. 12]. Решение $\varphi_n$ линейного однородного дифференциального уравнения $\mathscr L_n(D)f=0$, удовлетворяющего условиям: где $\delta_{j,n-1}$ – символ Кронекера, может быть записано в виде 3. Основные результатыТеорема 1. Пусть числа $\beta_1,\dots,\beta_n$ действительны и попарно различны. При $s\geqslant n\geqslant 2$ величина $B_{\mathscr L_n}(s,n)$ конечна. Доказательство. Для доказательства теоремы 1 для любой последовательности $y\in Y$ требуется построить $n$ раз дифференцируемую функцию $f\in F(y)$, т.е. такую, что норма $\|\mathscr L_n(D)f\|_\infty$ конечна, и которая удовлетворяет условиям интерполяции: $f(kh)=y_k$ $(k\in \mathbb Z_+)$. В качестве такой функции $f$ на отрезке $[0;(n-1)h]$ положим где функция $P_0(x)$ определена равенством (2.2) при $k=0$. Поэтому на интервале $(0;(n-1)h)$ имеет место равенство $\mathscr L_n(D)f=0$. Пусть функция $f$ уже построена на отрезке $[0;mh]$, $m\geqslant n-1$. Покажем, как строить эту функцию на отрезке $[mh;(m+1)h]$. Для этого положим Теорема 2. Пусть числа $\beta_1,\dots,\beta_n$ действительны и попарно различны. При $1\leqslant s\leqslant n-1$ $(n\geqslant 2)$ имеет место равенство $B_{\mathscr L_n}(s,n)=\infty$. Доказательство. Рассмотрим экспоненциальный многочлен удовлетворяющий $s+1$ интерполяционным условиям: где $a$ – некоторое число. По лемме 1 имеем Рассмотрим любую $n$ раз дифференцируемую функцию $f$ такую, что $f(kh)=y_k^*$, $k\in\mathbb Z_+$. Существование такой функции следует из теоремы 1. Вначале рассмотрим случай $s=n-1$. Будем изучать поведение функции $f$ на отрезке $[(n-2)h;(n-1)h]$. Обозначим При этом $\alpha_0=f((n-2)h)=y_{n-2}^*=0$. Любое решение линейного дифференциального уравнения $\mathscr L_n(D)f(t)=u(t)$ может быть записано в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f(x)=A_1e^{\beta_1x}+A_2e^{\beta_2x}+\dotsb+A_ne^{\beta_nx} +\int_{(n-2)h}^x\varphi_n(x-t)u(t)\,dt, \\ x\in[(n-2)h;(n-1)h]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Константы $A_1,A_2,\dots,A_n$ выберем, исходя из системы уравнений При этом снова возникает определитель Вандермонда, и в силу условий теоремы 2 числа $A_1,A_2,\dots,A_n$ определяются единственным образом. Эти числа являются линейной комбинацией чисел $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$. Теперь подставим $x=(n-1)h$ в равенство (3.9). Тогда
$$
\begin{equation*}
a=y_{n-1}^*=f((n-1)h)=\sum_{j=1}^{n}A_je^{\beta_j(n-1)h} +\int_{(n-2)h}^{(n-1)h}\varphi_n((n-1)h-t)\mathscr L_n(D)f(t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $A=\sum_{j=1}^nA_je^{\beta_j(n-1)h}$. Из полученного равенства имеем
$$
\begin{equation*}
|a-A|=\biggl|\int_{(n-2)h}^{(n-1)h}\varphi_n((n-1)h-t)\mathscr L_n(D)f(t)\,dt\biggr| \leqslant C\|\mathscr L_n(D)f\|_{L_\infty[(n-2)h;(n-1)h]},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
C=\int_{(n-2)h}^{(n-1)h}|\varphi_n((n-1)h-t)|\,dt =\int_0^h|\varphi_n(t)|\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
– некоторая положительная константа, зависящая от чисел $n$, $h$ и $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\|\mathscr L_n(D)f\|_{L_\infty[(n-2)h;(n-1)h]} \geqslant\frac{|a-A|}{C}\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя в этом неравенстве число $a$ к бесконечности, получаем, что Доказательство теоремы 2 при $1\leqslant s<n-1$ по существу не меняется. Надо только вместо отрезка $[(n-2)h;(n-1)h]$ провести оценку нормы функции $\mathscr L_n(D)f$ на отрезке $[(s-1)h;sh]$. Теорема 2 доказана. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{She23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|