| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Теоремы типа Боаса и Титчмарша для обобщенных классов Липшица и С. С. Волосивец, Ю. И. Кротова Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070052 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $f\colon \mathbb R\to \mathbb C$ является интегрируемой по Лебегу функцией на $\mathbb R$, $f\in L^1(\mathbb R)$. Тогда преобразование Фурье функции $f$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\widehat{f}(x)=(2\pi)^{-1/2}\int_{\mathbb R}f(t)e^{-itx}\,dt, \qquad x\in \mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Если, кроме того, $\widehat{f}\in L^1(\mathbb R)$ и $f\in C(\mathbb R)$ ($f$ непрерывна на $\mathbb R$), то имеет место формула обращения
$$
\begin{equation*}
f(t)=(2\pi)^{-1/2}\int_{\mathbb R}\widehat{f}(x)e^{itx}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in\mathbb R$ (см. [1; гл. 5, с. 192]). В этом случае мы имеем $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, т.е. $f\in C_0(\mathbb R)$. Для $m\in\mathbb N$ введем $m$-ю симметричную разность
$$
\begin{equation*}
\dot{\Delta}^m_hf(x)=\sum^m_{j=0}(-1)^{m-j} \binom{m}{j}f\biggl(x+\frac{(m-2j)h}2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $f\in C_0(\mathbb R_+)$ и $\|f\|=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|$, то величина $\omega_m(f,\delta):=\sup_{0\leqslant h\leqslant \delta}\|\dot{\Delta}^m_hf\|$ называется $m$-ым модулем гладкости. Обозначим через $\Phi$ множество непрерывных и неубывающих на $\mathbb R_+=[0,\infty)$ функций $\omega$ таких, что $\omega(0)=0$. Если $\omega\in \Phi$ и $\int^{\delta}_0t^{-1}\omega(t)\,dt=O(\omega(\delta))$, то $\omega$ принадлежит классу Бари $B$; если же $\omega\in \Phi$ и $\delta^m\int_{\delta}^{\infty}t^{-m-1}\omega(t)\,dt=O(\omega(\delta))$, $m>0$, то $\omega$ принадлежит классу Бари–Стечкина $B_m$ (см. [2]). Будем говорить, что функция $\omega\in\Phi$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если $\omega(2x)\leqslant C\omega(x)$, $x\in\mathbb R_+$, при некоторой постоянной $C>0$. По определению
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^{\omega,m}=\bigl\{f\in C_0(\mathbb R)\colon \omega_m(f,t)\leqslant C\omega(t),\,t\in\mathbb R_+\bigr\}, \\ h^{\omega,m}=\bigl\{f\in C_0(\mathbb R)\colon \omega_m(f,t)=o(\omega(t)),\,t\to 0\bigr\} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\omega\in\Phi$. Мориц [3] установил следующий результат. Теорема A. (i) Если $f\in L^1(\mathbb R)\cap C(\mathbb R)$ и для некоторого $\alpha\in (0,m]$, $m=1,2$, мы имеем то $\widehat{f}\in L^1(\mathbb R)$ и $f\in H^{\omega_\alpha,m}$, где $\omega_\alpha(t)=t^\alpha$. (ii) Если $f,\widehat{f}\in L^1(\mathbb R)$, $f\in H^{\omega_\alpha,m}$, $m\in\{1,2\}$, $\alpha\in (0,m]$, и $t^m\widehat{f}(t)\geqslant 0$ для всех $t\in\mathbb R$, то справедливо соотношение (1.1). (iii) Оба утверждения (i) и (ii) справедливы для $0<\alpha<m$, $m=1,2$, если правую часть (1.1) заменить на $o(y^{m-\alpha})$, $y\to\infty$, и условие $f\in H^{\omega_\alpha,m}$ заменить на $f\in h^{\omega_\alpha,m}$. Теорема A была распространена на случай $m\in\mathbb N$ и $\omega\in B\cap\Delta_2$ в работе [4]. В свою очередь, результаты из [3] и [4] являются аналогами утверждений для тригонометрических рядов, принадлежащих Боасу [5], Морицу [6] и Тихонову [7]. В последней работе рассматривались модули гладкости дробного порядка. Результаты такого рода называются теоремами типа Боаса. Беркак, Лоуалид и Дахер [8] получили аналог теоремы A для $q$-преобразования Фурье–Бесселя и обобщенных разностей порядка $m\in\mathbb N$. Титчмарш [9; теорема 85] установил следующий результат. Аналог теоремы B для $q$-преобразования Фурье–Бесселя и обобщенной разности порядка 1 установлен Ачаком, Дахером, Дхаоуади и Лоуалидом [10]. Целью этой работы является получение аналогов теорем A и B для обобщенных разностей произвольного положительного порядка, $q$-преобразования Фурье–Бесселя и более общих классов мажорант. Оказывается, что известные классы Бари и Бари-Стечкина являются подходящими для этих целей. 2. ОпределенияПусть $0<q<1$, $\nu>-1$ и $\mathbb R^+_q=\{q^n\colon n\in\mathbb Z\}$. Для комплексного числа $a$ мы положим
$$
\begin{equation*}
(a;q)_0=1, \qquad (a;q)_n=\prod^{n-1}_{i=0}(1-aq^i), \quad n\in\mathbb N=\{1,2, \dots\}, \qquad (a;q)_\infty=\prod^{\infty}_{i=0}(1-aq^i).
\end{equation*}
\notag
$$
Введем $q$-производную функции $f$, определенной на $\mathbb R^+_q$, в точке $x\neq 0$ равенством $D_q(f)(x)=(f(x)-f(qx))/((1-q)x)$. Зададим $q$-интегралы Джексона функции $f$ на промежутках от $0$ до $a\in\mathbb R^+_q$ и от $0$ до $\infty$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\int^a_0f(x)\,d_qx=(1-q)a\sum^\infty_{n=0}f(aq^n)q^n, \qquad \int^\infty_0f(x)\,d_qx=(1-q)\sum_{n\in\mathbb Z}q^nf(q^n).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для $0<a<b$, $a,b\in\mathbb R^+_q$, полагаем
$$
\begin{equation*}
\int^b_af(x)\,d_qx=\int^b_0f(x)\,d_qx-\int^a_0f(x)\,d_qx.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что $D_q(\int^x_0 h(t)\,d_qt=h(x)$ для подходящих функций $h$ (см. [11] или [12]). Мы будем использовать формулу замены переменной следующего простого вида (см. [10]):
$$
\begin{equation}
\int^b_ah\biggl(\frac xr\biggr)x^{2\nu+1}\,d_qx=r^{2\nu+2}\int^{b/r}_{a/r}h(t)t^{2\nu+1}\,d_qt, \qquad r\in\mathbb R^+_q, \quad \nu>-1.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Более общий вариант см. в [12; формула (19.14)]. Третья $q$-бесселева функция Джексона первого типа порядка $\nu$, также называемая в некоторых статьях (см. [13]) $q$-бесселевой функцией Хана–Экстона, определяется равенством
$$
\begin{equation*}
J_\nu(x;q)=\frac{(q^{n+1};q)_\infty}{(q;q)_\infty}x^\nu\sum^\infty_{n=0}(-1)^n \frac{q^{n(n+1)/2}}{(q^{\nu+1};q)_n(q;q)_n}x^{2n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим также ее нормализованную форму
$$
\begin{equation*}
j_\nu(x;q)=\frac{(q;q)_\infty}{(q^{n+1};q)_\infty}x^{-\nu}J_\nu(x;q)= \sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q^{\nu+1};q)_n(q;q)_n}x^{2n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нормализованная третья $q$-бесселева функция Джексона удовлетворяет следующему условию ортогональности:
$$
\begin{equation*}
c^2_{q,\nu}\int^\infty_0 j_\nu(q^nx;q^2)j_\nu(q^mx;q^2)x^{2\nu+1}\,d_qx= \frac{q^{-2n(\nu+1)}}{1-q}\delta_{nm},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta_{nm}$ – символ Кронекера, $c_{q,\nu}=((1-q)(q^2;q^2)_\infty)^{-1}(q^{2(\nu+1)};q^2)_\infty$ (см. [13]). Далее мы будем писать $d\mu_{q,\nu}(x)$ вместо $x^{2\nu+1}\,d_qx$. Пусть $\Delta_{q,\nu}f(x)$ есть $q$-бесселев оператор, определяемый равенством
$$
\begin{equation*}
\Delta_{q,\nu}f(x)=x^{-2}\bigl[f(q^{-1}x)-(1+q^{2\nu})f(x)+q^{2\nu}f(qx)\bigr].
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $j_\nu(\lambda x;q)$ является решением следующего разностного уравнения: Для $1\leqslant p<\infty$ мы обозначим через $L^p_{q,\nu}$ множество всех действительнозначных функций $f$ определенных на $\mathbb R^+_q$ с конечной нормой
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{p,q,\nu}=\biggl(\int^\infty_0|f(x)|^p \,d\mu_{q,\nu}(x)\biggr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\chi_E$ является индикатором множества $E$ и $f(x)\chi_{(0,q^n)}(x)\in L^1_{q,\nu}$ для всех $n\in\mathbb Z$, то мы пишем $f\in L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}$. Определим $q$-преобразование Фурье–Бесселя $\mathcal F_{q,\nu}(f)$ для $f\in L^p_{q,\nu}$, $p\geqslant 1$, формулой
$$
\begin{equation*}
\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)=c_{q,\nu}\int^\infty_0f(t)j_\nu(xt,q^2)\,d\mu_{q,\nu}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $C_{q,0}$ – множество функций $g$ на $\mathbb R^+_q$ таких, что существуют пределы
$$
\begin{equation*}
\lim_{n\to-\infty} g(q^n)=0, \qquad \lim_{n\to+\infty} g(q^n)=a\in\mathbb R.
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in C_{q,0}$ при $f\in L^1_{q,\nu}$ (см. [14] или [15]). По формуле обращения (см. часть 1) леммы 2) мы получаем $f\in C_{q,0}$ и можно определить $f(0)=\lim_{n\to+\infty}f(q^n)=0$. Также мы вводим $q$-бесселев оператор сдвига следующим образом (см. [14]):
$$
\begin{equation*}
T^\nu_{q,x}(f)(y)=c_{q,\nu}\int^\infty_0\mathcal F_{q,\nu}(f)(t)j_v(xt,q^2)j_v(yt,q^2)\,d\mu_{q,\nu}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Известно, что для $f\in L^1_{q,\nu}$ выполнено равенство (см. [14; предложение 5.2])
$$
\begin{equation}
\int^\infty_0T^\nu_{q,x}(f)(y)\,d_{q,\nu}(y)=\int^\infty_0 f(y)\,d_{q,\nu}(y).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Через $Q_\nu$ мы обозначим область положительности $q$-бесселева оператора сдвига
$$
\begin{equation*}
Q_\nu=\bigl\{q\in(0,1)\colon T^\nu_{q,x}f\geqslant 0, \, f\in L^1_{q,\nu}, \, f\geqslant 0, \, x\in\mathbb R^+_q \bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [16] Фитоухи и Дхаоуади доказали, что $Q_\nu\subset Q_\mu$ для $-1<\nu<\mu$. Более того, при $\nu\geqslant 0$ верно равенство $Q_\nu=(0,1)$; если $-1/2\leqslant \nu<0$, то $(0,q_0)\subset Q_{-1/2}\subset Q_\nu\subset (0,1)$ для некоторого $q_0>0$; наконец, если $-1<\nu<-1/2$, то $Q_\nu\subset Q_{-1/2}$. Отметим также, что
$$
\begin{equation}
|j_\nu(x,q^2)|\leqslant 1, \qquad x\in \mathbb R^+_q, \quad \nu\geqslant 0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
(см. [15; замечание 1]). Так как константа $1$ в (2.3) является важной для доказательств, далее мы рассматриваем случай $\nu\geqslant 0$, в котором верно это неравенство. Ограничений на $q\in (0,1)$ нет.
3. Вспомогательные утвержденияРезультаты следующей леммы 1 можно найти в [10]. Лемма 1. Существуют постоянные $\alpha,\beta,\eta>0$ такие, что Лемма 2. 1) Для $f\in L^p_{q,\nu}$, $p\geqslant 1$, мы имеем 2) Если $f\in L^p_{q,\nu}$ и $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^p_{q,\nu}$, $p=1,2$, то $\|\mathcal F_{q,\nu}(f)\|_{2,q,\nu}=\|f\|_{2,q,\nu}$. 3) Для любой функции $f\in L^p_{q,\nu}$, $p=1,2$, справедливо равенство Первое и второе утверждение леммы 2 доказаны в [14; теорема 3.2] и [15; теоремы 1, 2], тогда как третье можно найти в [10; следствие 1] для $f\in L^2_{q,\nu}$, но доказательство в случае $f\in L^1_{q,\nu}$ является тем же самым. Рассмотрим теперь обобщенную разность порядка $m>0$ с шагом $h\in\mathbb R^+_q$
$$
\begin{equation*}
\Delta^m_{q,\nu,h}=(I-T^\nu_{q,h})^m=\sum^\infty_{j=0}(-1)^j \binom{m}{j}(T^\nu_{q,h})^j,
\end{equation*}
\notag
$$
где $I$ – тождественный оператор и $(T^\nu_{q,h})^0=I$. В силу (2.2) мы имеем $\Delta^m_{q,\nu,h}(f)\in L^p_{q,\nu}$ для $f\in L^p_{q,\nu}$, $1\leqslant p<\infty$, поскольку ряд $\sum^\infty_{j=0}\binom{m}{j}$ сходится (см. [7]). Из части 3) леммы 2 (см. также [8; лемма 2.5]) мы выводим. Функция $\gamma(t)$ называется почти возрастающей (почти убывающей) на $[0,+\infty)$, если существует постоянная $K := K(\gamma) \geqslant 1$ такая, что $K\gamma(t) \geqslant \gamma(u)$ ($K\gamma(u) \geqslant \gamma(t)$) при $ 0 \leqslant u \leqslant t$. Следующая лемма принадлежит Бари и Стечкину [2] (в случае $m\in\mathbb N$ для части 2), но доказательство остается верным и при $m>0$). Лемма 3. 1) Пусть $\omega \in \Phi$. Тогда $\omega \in B$ в том и только в том случае, когда существует $\alpha \in (0,1)$ такое, что функция $ t^{-\alpha} \omega(t)$ является почти возрастающей на положительной полуоси. 2) Пусть $\omega \in \Phi$. Тогда $\omega \in B_m$, $m>0$, в том и только в том случае, когда существует $\alpha \in (0,m)$ такое, что функция $t^{\alpha - m} \omega(t)$ является почти убывающей на положительной полуоси. Следствие 2. Пусть $\omega \in \Phi$. Тогда $\omega \in B_m$, $m>0$, в том и только в том случае, когда $\omega^2 \in B_{2m}$. Следующие две леммы являются аналогами лемм 4 и 5 из [4]. Лемма 4. Пусть $m>0$, $\nu\geqslant 0$. 1) Если $\omega \in B_m$, $g(t)$ неотрицательна на $\mathbb R^+_q$ и
$$
\begin{equation}
\int_{y}^{\infty} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) = O\biggl(\omega\biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
то функция $t^m g(t)$ принадлежит $L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}$ и
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{y}t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)= O\biggl(y^m \omega \biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
2) Если $\omega \in B$, $g(t)$ является неотрицательной функцией на $\mathbb R^+_q$, функция $t^m g(t)$ принадлежит $L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}$ и имеет место (3.5), то $g(x)X_{(q^n,\infty)}(x)\in L^1_{q,\nu}$ при всех $n\in\mathbb Z$ и справедливо соотношение (3.4). Доказательство. 1) В силу (3.4) имеем
$$
\begin{equation*}
\int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) \leqslant \int^\infty_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) \leqslant C_1 \omega(q^k), \qquad k\in\mathbb Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря условию $\omega\in B_m$ и предыдущему неравенству получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int^{(1/q)^n}_0 t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) =\sum^{n-1}_{k=-\infty} \int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) \\ &\qquad \leqslant C_2 \sum^{n-1}_{k=-\infty} \biggl(\frac1q\biggr)^{km}\int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)\leqslant C_3\sum^n_{k=-\infty}\biggl(\frac1q\biggr)^{km}\omega(q^{k-1}) \\ &\qquad \leqslant C_4\sum^n_{k=-\infty}\biggl(\frac1q\biggr)^{km}\omega(q^k)\leqslant C_5\sum^n_{k=-\infty}\biggl(\frac1q\biggr)^{k(m+1)}\int^{q^{k-1}}_{q^k}\omega(u)\,du \\ &\qquad\leqslant C_6\sum^n_{k=-\infty}\int^{q^{k-1}}_{q^k}\frac{\omega(u)}{u^{m+1}}\,du= C_6\int^\infty_{q^n}\frac{\omega(u)}{u^{m+1}}\,du\leqslant C_7\biggl(\frac1q\biggr)^{nm}\omega(q^n), \qquad n\in\mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь использован тот факт, что $\omega\in B_m$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию (см. часть 2) леммы 3).
2) Если выполнено (3.5), то для $k\in\mathbb Z$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(\frac1q\biggr)^{km}\int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)\leqslant\int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) \\ &\qquad \leqslant \int^{(1/q)^{k+1}}_0 t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)\leqslant C_8\biggl(\frac1q\biggr)^{(k+1)m}\omega(q^{k+1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует
$$
\begin{equation*}
\int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)\leqslant C_8\biggl(\frac1q\biggr)^{m}\omega(q^{k+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя последнее неравенство и условие $\omega\in B$, мы находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int^{\infty}_{(1/q)^n} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)=\sum^\infty_{k=n}\int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)\leqslant C_9\sum^\infty_{k=n}\frac{\omega(q^{k+1})}{q^k}\int^{q^k}_{q^{k+1}}1\,du \\ &\qquad \leqslant C_{10}\sum^\infty_{k=n}\int^{q^k}_{q^{k+1}}u^{-1}\omega(u)\,du =C_{10}\int^{q^n}_{0}u^{-1} \omega(u)\,du\leqslant C_{11}\omega(q^n), \qquad n\in\mathbb Z. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Лемма 4 установлена. Близкий к лемме 4 результат верен для $o$-соотношений. Лемма 5. Пусть $m>0$, $\nu\geqslant 0$. 1) Если $\omega \in B_m$, $g(t)$ неотрицательна на $\mathbb R^+_q$, удовлетворяет (3.4) и
$$
\begin{equation}
\int_{q^n}^{\infty} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) = o(\omega(q^{-n})), \qquad n \to -\infty,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
то функция $t\to t^m g(t)$ принадлежит $L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}$ и
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{q^n} t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)= o(q^{mn} \omega(q^{-n})), \qquad n\to -\infty.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
2) Если $\omega \in B$, $g(t)$ неотрицательна на $\mathbb R^+_q$, функция $t\to t^m g(t)$ принадлежит $L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}(\mathbb R_+)$ и выполнено (3.8), то (3.7) также имеет место. Доказательство. 1) Пусть $\varepsilon>0$. В силу (3.7) существует $k_0>0$ такое, что для всех $k \geqslant k_0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) &\leqslant \int^{\infty}_{(1/q)^k} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t)< \varepsilon \omega(q^k), \\ \notag \int_{(1/q)^{k_0}}^{(1/q)^{k}} t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) &\leqslant \sum_{i = k_0}^{k - 1} \biggl(\frac1q\biggr)^{(i+1)m}\int_{(1/q)^i}^{(1/q)^{i+1}} g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) \\ &\leqslant\sum_{i = k_0}^{k - 1} \biggl(\frac1q\biggr)^{(i+1)m} \varepsilon \omega(q^i) \leqslant C_1 \varepsilon \biggl(\frac1q\biggr)^{km} \omega(q^k) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
как в доказательстве части 1) леммы 4. С другой стороны, по лемме 3 существует число $\alpha\in (0,m)$ такое, что последовательность $\{(1/q)^{k(m - \alpha)} \omega(q^k)\}^\infty_{k=0}$ является почти возрастающей. Тогда имеем аналогично доказательству леммы 4
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\int^{(1/q)^{k_0}}_{0} t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) \leqslant C_2 \biggl(\frac1q\biggr)^{k_0 m} \omega(q^{k_0}) \\ \notag &\qquad =C_2\biggl(\frac1q\biggr)^{k_0(m - \alpha)}\biggl(\frac1q\biggr)^{k_0 \alpha} \omega(q^{k_0})\leqslant C_3\biggl(\frac1q\biggr)^{k(m-\alpha)}\biggl(\frac1q\biggr)^{k_0\alpha}\omega(q^k) \\ &\qquad =C_3 \biggl(\frac1q\biggr)^{\alpha(k_0 - k)} \biggl(\frac1q\biggr)^{k(m - \alpha)} \biggl(\frac1q\biggr)^{k \alpha} \omega(q^k) \leqslant \varepsilon \biggl(\frac1q\biggr)^{km} \omega(q^k) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
для достаточно больших $k$. Из (3.9) и (3.10) вытекает неравенство
$$
\begin{equation*}
\int^{(1/q)^k}_{0} t^m g(t)\,d\mu_{q,\nu}(t) < (C_1 + 1) \varepsilon \biggl(\frac1q\biggr)^{km} \omega(q^k), \qquad k\geqslant k_1(\varepsilon).
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, утверждение части 1) леммы установлено. Утверждение пункта 2) доказывается аналогично доказательству пункта 2) леммы 4. 4. Теоремы типа Боаса для $q$-преобразования Фурье–БесселяДля $m>0$, $\omega\in\Phi$ и $\nu\geqslant 0$ введем пространства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, H^{m,\omega}_{q,\nu}=\bigl\{f\colon \mathbb R^+_q\to \mathbb R\colon |\Delta^m_{q,\nu,h}f(x)|=O(\omega(h)), \, h\in \mathbb R^+_q\bigr\}, \\ h^{m,\omega}_\nu=\bigl\{f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}\colon |\Delta^m_{q,\nu,h}f(x)|=o(\omega(h)), \,h\to +0, \, h\in \mathbb R^+_q\bigr\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обе оценки выше $O(\omega(h))$ и $o(\omega(h))$ являются равномерными по $x\in\mathbb R^+_q$. Теорема 1. Пусть $f\colon \mathbb R^+_q\to \mathbb R$, $m>0$, $\nu\geqslant 0$, $\omega\in B$. 1) Если $f\in L^1_{q,\nu}$ и
$$
\begin{equation}
\int^y_0 x^{2m}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)=O\biggl(y^{2m}\omega\biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
то $\mathcal F_\nu(f)\in L^1_{q,\nu}$ и $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$. 2) Если $f,\mathcal F_\nu(f)\in L^1_{q,\nu}$, $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$, $\mathcal F_\nu(f)(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, то имеет место (4.1). Доказательство. 1) Интеграл $\int^\infty_y|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)$ конечен для всех $y\in\mathbb R^+_q$ в силу пункта 2) леммы 4 и условия (4.1). Из определения $\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)$ и ограниченности $q$-бесселевой функции $j_\nu(x,q^2)$ (см. (2.3)) мы выводим, что $\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)$ является ограниченной и $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}$. При $x,h\in\mathbb R^+_q$ согласно следствию 1 и лемме 2 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag |\Delta^m_{q,\nu,h}f(y)| &=\biggl|\int^\infty_0(1-j_\nu(hx,q^2))^m \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)j_\nu(xy,q^2)\,d\mu_{q,\nu}(x)\biggr| \\ \notag &\leqslant\biggl(\int^{1/h}_0+\int^\infty_{1/h}\biggr)|1-j_\nu(hx,q^2)|^m\, |\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,|j_\nu(xy,q^2)|\,d\mu_{q,\nu}(x) \\ &\equiv I_1(y)+I_2(y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В силу (3.2) из леммы 1 и условия (4.1) мы получаем для $h\in\mathbb R^+_q$ неравенство
$$
\begin{equation}
I_1(y)\leqslant C_1\int^{1/h}_0 (xh)^{2m}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x) \leqslant C_2h^{2m}\biggl(\frac1h\biggr)^{2m}\omega(h)=C_2\omega(h).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
С другой стороны, используя неравенство (2.3) и часть 2) леммы 4, имеем
$$
\begin{equation}
I_2(y)\leqslant 2^m\int^\infty_{1/h}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)\leqslant C_3\omega(h).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Из (4.2), (4.3) и (4.4) мы выводим, что $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$.
2) Предположим, что $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$. Тогда в силу следствия 1 и леммы 2 неравенство
$$
\begin{equation}
\biggl|\int^\infty_0(1-j_\nu(hx,q^2))^m \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)\biggr|=|\Delta^m_{q,\nu,h}f(0)|\leqslant C_4\omega(h)
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
справедливо для всех $h\in\mathbb R^+_q$. В самом деле, запишем
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int^\infty_0(1-j_\nu(hx,q^2))^m \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)j_\nu(q^n x,q^2)\,d\mu_{q,\nu}(x)\biggr| =|\Delta^m_{q,\nu,h}f(q^n)|
\end{equation*}
\notag
$$
и отметим, что подынтегральное выражение в левой части мажорируется По теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получаем (4.5) при $n\to+\infty$.
Так как $\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, в силу неравенства (3.3) из леммы 1 находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I &=\int^{1/h}_0(xh)^{2m}\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)\leqslant C_5\int^{1/h}_0(1-j_\nu(xh,q^2))^m\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x) \\ &\leqslant C_5\int^\infty_0(1-j_\nu(xh,q^2))^m\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)=C_5\Delta^m_{q,\nu,h}f(0)\leqslant C_4C_5\omega(h). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя $1/h=y$, получаем
$$
\begin{equation*}
\int^y_0x^{2m}\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)\leqslant C_6y^{2m}\omega\biggl(\frac1y\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, (4.1) и теорема 1 установлены. Следствие 3. Пусть $f\colon \mathbb R^+_q\to \mathbb R$, $m>0$, $\omega\in B\cap B_{2m}$. 1) Если $f\in L^1_{q,\nu}$ и
$$
\begin{equation}
\int^\infty_{y}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)=O\biggl(\omega\biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q,
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
то $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$ и $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$. 2) Если $f, \mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$, $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$ и $ \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, то имеет место (4.6). Доказательство. Используя часть 1) леммы 4 и условие $\omega\in B_{2m}$, мы выводим (4.1) из (4.6). Применяя только что доказанную теорему 1, получаем утверждение части 1) следствия 3. Если выполнены условия части 2) следствия, то имеем (4.1) в силу теоремы 1 и условия $\omega\in B$. С помощью части 2) леммы 4 находим, что (4.6) также справедливо. Следствие 4 является аналогом теоремы типа Боаса, полученной для тригонометрических рядов и Изуми [17]. Следствие 4. Пусть $f\colon \mathbb R^+_q\to \mathbb R$, $m>0$, $\omega\in B\cap B_{2m}$. 1) Если $f\in L^1_{q,\nu}$ и
$$
\begin{equation}
\int^{(1/q)^{k+1}}_{(1/q)^k}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)=O(\omega(q^k)), \qquad k\in\mathbb Z,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
то $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$ и $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$. 2) Если $f, \mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$, $f\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$ и $ \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, то справедливо соотношение (4.7). Доказательство. Ясно, что из (4.6) следует (4.7). Значит, часть 2) следствия 4 вытекает из части 2) следствия 3. С другой стороны, мы выводим соотношение
$$
\begin{equation*}
\int^\infty_{(1/q)^n}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)=O(\omega(q^n)), \qquad n\in\mathbb Z,
\end{equation*}
\notag
$$
из (4.7) аналогично (3.6), т.е. (4.6) выполнено. Следовательно, результат части 1) следствия 4 вытекает из части 1) следствия 3. В утверждении 1) леммы 2 указано на двойственность между функцией $f$ и ее $q$-преобразованием Фурье–Бесселя $\mathcal F_{q,\nu}(f)$, именно, функция $f$ может рассматриваться как $q$-преобразованием Фурье–Бесселя функции $\mathcal F_{q,\nu}(f)$. В следующей теореме 2 функция $f$ и ее $q$-преобразованием Фурье–Бесселя $\mathcal F_{q,\nu}(f)$ меняются местами по сравнению с теоремой 1. Теорема 2. Пусть $f\colon \mathbb R^+_q\to \mathbb R$, $m>0$, $\nu\geqslant 0$, $\omega\in B$. 1) Если $f\in L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}$, существует $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$ и
$$
\begin{equation}
\int^y_0 x^{2m}|f(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)=O\biggl(y^{2m}\omega\biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q0,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
то $f\in L^1_{q,\nu}$ и $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$. 2) Если $f,\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$, $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in H^{m,\omega}_{q,\nu}$ и $f(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, то выполнено (4.8). Доказательство теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1, только первая строка (4.2) заменяется на
$$
\begin{equation*}
|\Delta^m_{q,\nu,h}\mathcal F_{q,\nu}(f)(y)|=\biggl|\int^\infty_0(1-j_\nu(hx,q^2))^m f(x) j_\nu(xy,q^2)\,d\mu_{q,\nu}(x)\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь дадим аналог теоремы 1 с использованием $o$ вместо $O$. Теорема 3. Пусть $f\colon \mathbb R_+\to \mathbb R$, $m>0$, $\nu\geqslant 0$, $\omega\in B$. 1) Если $f\in L^1_{q,\nu}$, выполнено условие (4.1) и
$$
\begin{equation}
\int^y_0 x^{2m}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)=o\biggl(y^{2m}\omega\biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\in \mathbb R^+_q, \quad y\to+\infty,
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
то $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$ и $f\in h^{m,\omega}_{q,\nu}$. 2) Если $f,\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$, $f\in h^{m,\omega}_{q,\nu}$ и $\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, то справедливо (4.9). Доказательство. 1) По теореме 1 мы имеем $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$. Используя обозначения $I_1$ и $I_2$ из (4.2), мы получаем в силу (4.9) и леммы 1, что
$$
\begin{equation}
I_1(y)\leqslant C_1\int^{1/h}_0 (xh)^{2m}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)<\frac{\varepsilon\omega(h)}2, \qquad 0<h<h_1(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
С другой стороны, по лемме 5 находим, что
$$
\begin{equation}
I_2(y)\leqslant C_2\int^{\infty}_{1/h} |\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)<\frac{\varepsilon\omega(h)}2, \qquad 0<h<h_2(\varepsilon).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Отметим, что $h\in\mathbb R^+_q$ в (4.10) и (4.11). Из (4.10), (4.11) и (4.2) мы выводим, что $|\Delta^m_{q,\nu,h}f(x)|<\varepsilon\omega(h)$ при $0<h<h_0=\min(h_1,h_2)$ и $f\in h^{m,\omega}_{q,\nu}$.
2) Аналогично доказательству теоремы 1 имеем
$$
\begin{equation}
\biggl|\int^\infty_0(1-j_{q,\nu}(hx,q^2))^m \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)\biggr| =|\Delta^m_{q,\nu,h}f(0)|\leqslant \varepsilon\omega(h)
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
для $0\leqslant h\leqslant h_0$ и $1-j_\nu(x,q^2)\geqslant C_3x^{2}$ при $0\leqslant x\leqslant 1$ согласно (3.3) из леммы 1. Используя условие $\mathcal F_\nu(f)(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R_+$, мы получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \int^{1/h}_0(xh)^{2m}\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)\leqslant C^{-m}_3\int^{1/h}_0(1-j_\nu(hx,q^2))^m \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x), \\ C^{-m}_3\int^\infty_0(1-j_\nu(hx,q^2))^m \mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)\leqslant C^{-m}_3\varepsilon\omega(h) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при $0\leqslant h\leqslant h_0$. Делая замену $1/h=y$, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\int^{y}_0 x^{2m}\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)\,d\mu_{q,\nu}(x)\leqslant C_4\varepsilon y^{2m}\omega\biggl(\frac1y\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q, \quad y>\frac{1}{h_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате, (4.9) и теорема 3 доказаны. Следствие 5. Пусть $f\colon \mathbb R^+_q\to \mathbb R$, $m>0$, $\nu\geqslant 0$, $\omega\in B\cap B_{2m}$. 1) Если $f\in L^1_{q,\nu}$, справедливо (4.6) и
$$
\begin{equation}
\int^\infty_y |\mathcal F_{q,\nu}(f)(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x) =o\biggl(\omega\biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\to+\infty, \quad y\in \mathbb R^+_q,
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
то $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$ и $f\in h^{m,\omega}_{q,\nu}$. 2) Если $f$, $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$, $f\in h^{m,\omega}_{q,\nu}$ и $\mathcal F_{q,\nu}(f)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, то имеет место (4.13). В конце раздела мы приведем аналог теоремы 2 с использованием $o$ вместо $O$. Теорема 4. Пусть $f\colon \mathbb R^+_q\to \mathbb R$, $m>0$, $\nu\geqslant 0$, $\omega\in B\cap \Delta_2$. 1) Если $f\in L^1_{q,\nu,\mathrm{loc}}$, существует $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$, выполнено условие (4.8) и
$$
\begin{equation}
\int^y_0 x^{2m}|f(x)|\,d\mu_{q,\nu}(x)=o\biggl(y^{2m}\omega\biggl(\frac1y\biggr)\biggr), \qquad y\in\mathbb R^+_q, \quad y\to+\infty,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
то $f\in L^1_{q,\nu}$ и $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in h^{m,\omega}_{q,\nu}$. 2) Если $f,\mathcal F_{q,\nu}(f)\in L^1_{q,\nu}$, $\mathcal F_{q,\nu}(f)\in h^{m,\omega}_{q,\nu}$ и $f(x)\geqslant 0$ на $\mathbb R^+_q$, то имеет место (4.14). Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 3. 5. Аналог теоремы ТитчмаршаРассмотрим величину
$$
\begin{equation*}
G_h(f)=\biggl(\int^\infty_{h^{-1}}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(y)|^2\,d_{q,\nu}(y)\biggr)^{1/2}, \qquad h\in\mathbb R^+_q.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая теорема 5 является обобщением теоремы 3.1 из [10]. Теорема 5. Пусть $f\in L^2_{q,\nu}$, $m>0$ и $\omega\in B_m$. Тогда условия равносильны. Доказательство. В силу аналога равенства Парсеваля (см. часть 2) леммы 2), формулы замены переменной (2.1) и следствия 1 получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|\Delta^m_{q,\nu,h}(f)\|^2_{2,q,\nu} &=\|\mathcal F_{q,\nu}(\Delta^m_{q,\nu,h}(f))\|^2_{2,q,\nu} =\int^\infty_0(1-j_\nu(yh,q^2))^{2m}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(y)|^2\,d_{q,\nu}(y) \\ &\notag =h^{-2\nu-2}\int^\infty_0(1-j_\nu(t,q^2))^{2m}\biggl|\mathcal F_{q,\nu}(f)\biggl(\frac th\biggr)\biggr|^2\,d_{q,\nu}(t) \\ & =h^{-2\nu-2}\biggl(\int^1_0+\int^\infty_1\biggr)=h^{-2\nu-2}(I_1+I_2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Используя (2.1) и (3.1), имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G^2_h(f) &=h^{-2\nu-2}\int^\infty_1\biggl|\mathcal F_{q,\nu}(f)\biggl(\frac th\biggr)\biggr|^2\,d_{q,\nu}(t) \\ &\leqslant h^{-2\nu-2}\int^\infty_1\frac{(1-j_\nu(t,q^2))^{2m}}{\alpha^{2m}} \biggl|\mathcal F_{q,\nu}(f)\biggl(\frac th\biggr)\biggr|^2\,d_{q,\nu}(t) \\ &\leqslant h^{-2\nu-2}\alpha^{-2m}I_2\leqslant \alpha^{-2m}\|\Delta^m_{q,\nu,h}(f)\|^2_{2,q,\nu}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (5.1) влечет (5.2) при любом $\omega\in\Phi$.
Пусть теперь верно (5.2). Тогда имеем, благодаря (2.3) и формуле замены переменной (2.1), соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^{-2\nu-2}I_2 &\leqslant 2^{2m}h^{-2\nu-2}\int^\infty_1 \biggl|\mathcal F_{q,\nu}(f)\biggl(\frac th\biggr)\biggr|^2\,d_{q,\nu}(t) \\ &=2^{2m}\int^\infty_{h^{-1}}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(y)|^2\,d_{q,\nu}(y)=2^{2m}G^2_h(f)=O(\omega^2(h)), \qquad h\in \mathbb R^+_q. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, в силу оценки (3.2) и формулы (2.1)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^{-2\nu-2}I_1 &\leqslant \beta^{m}h^{-2\nu-2}\int^1_0t^{2m} \biggl|\mathcal F_{q,\nu}(f)\biggl(\frac th\biggr)\biggr|^2\,d_{q,\nu}(t) \\ &=\beta^{m}h^{2m}\int^{1/h}_0 y^{2m}|\mathcal F_{q,\nu}(f)(y)|^2\,d_{q,\nu}(y). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно следствию 2 имеем $\omega^2\in B_{2m}$ и согласно пункту 1) леммы 4 находим, что $h^{-2\nu-2}I_1=O(\omega^2(h))$, $h\in \mathbb R^+_q$. Из равенства (5.3) и полученных выше оценок мы выводим (5.1). Теорема доказана. Доказательство теоремы 6 аналогично доказательству теоремы 5, только в конце вместо части 1) леммы 4 надо использовать часть 1) леммы 5. Авторы выражают признательность рецензенту за ценные замечания, позволившие улучшить изложение результатов работы. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VolKro23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|