| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) О наилучшем совместном приближении функций в пространстве Бергмана М. Ш. Шабозовab a Таджикский национальный университет, г. Душанбе b Институт математики им. А. Джураева АН Республики Таджикистан, г. Душанбе
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090080 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеЭкстремальные задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций в различных нормированных пространствах изучались, например, в работах [4]–[17] и многих других. В данной работе рассматривается более общая экстремальная задача: требуется найти верхние грани наилучших совместных приближений функций и их последовательных производных полиномами и их соответствующими производными в пространстве Бергмана $B_{2}$. Отметим, что сформулированная задача в случае совместного приближения периодических функций и их производных тригонометрическими полиномами в равномерной метрике исследована Гаркави [1], а в случае приближения функций и их производных на всей оси целыми функциями изучена Тиманом [2]. В более общей ситуации задача совместного приближения функций рассматривается в монографии Малоземова [3], где приводится обобщение некоторых классических теорем на случай совместного приближения функций. Для классов периодических функций в пространстве $L_{2}:=L_{2}[0,2\pi]$, усредненный с весом обобщенный модуль непрерывности высшего порядка которых ограничен сверху заданной мажорантой, сформулированную задачу рассмотрели Вакарчук и Забутная [18]. Аналогичная задача для некоторых классов аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Харди, рассмотрена в работе [19]. Пусть $\mathbb{N},\mathbb{Z}_{+},\mathbb{R}_{+},\mathbb{R}$ – соответственно множества натуральных, целых неотрицательных, положительных и вещественных чисел. Пусть далее, $\mathbb{C}$ – комплексная плоскость, $U:=\{z\in\mathbb{C}\colon |z|<1\}$ – единичный круг в $\mathbb{C}$, $A(U)$ – множество функций, аналитических в круге $U$. Определение 1 [11]. Говорят, что аналитическая в единичном круге $U$ функция принадлежит пространству Бергмана $B_2$, если Производную $r$-го порядка функции $f\in A(U)$ определим, как обычно,
$$
\begin{equation}
f^{(r)}(z):=\frac{d^{r}f(z)}{dz^{r}} =\sum_{k=r}^{\infty}k(k-1)\cdots(k-r+1)c_{k}(f)z^{k-r}, \qquad r\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Ради краткости, введем обозначение
$$
\begin{equation}
\alpha_{k,r}:=k(k-1)\cdots(k-r+1)=\frac{k!}{(k-r)!}, \qquad k,r\in\mathbb{N}, \quad k>r.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Всюду далее символом $B_{2}^{(r)}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $B_{2}^{(0)}=B_{2}$, обозначим множество функций $f\in A(U)$, принадлежащих пространству $B_{2}$, производная $r$-го порядка $f^{(r)}(z)$ которых также принадлежит $B_2$, т.е.
$$
\begin{equation*}
B_{2}^{(r)}:=\bigl\{f\in B_{2}\colon \|f^{(r)}\|_{2}<\infty\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathscr{P}_{n}$ – подпространство комплексных алгебраических многочленов степени $n$ вида
$$
\begin{equation*}
p_{n}(z)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}, \qquad a_{k}\in\mathbb{C}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величина
$$
\begin{equation}
E_{n}(f)_{2}:=E(f,\mathscr{P}_{n})_{B_2}=\inf\bigl\{\|f-p_{n}\|_{2}\colon p_{n}\in\mathscr{P}_{n}\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
называется наилучшим полиномиальным среднеквадратическим приближением функции $f\in B_{2}$ элементами подпространства $\mathscr{P}_{n}$. Хорошо известно [20; c. 203], что для произвольной функции $f\in B_{2}$ имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
E_{n-1}(f_{2})=\|f-T_{n-1}(f)\|_{2} =\biggl\{\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\biggr\}^{1/2},
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $T_{n-1}(f)$ – частная сумма порядка $n-1$ ряда (1.1). Запишем норму (1.1) в более удобном виде
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{2}:=\biggl(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}|f(\rho e^{it})|^{2}\rho\,d\rho\, dt\biggr)^{1/2},
\end{equation*}
\notag
$$
и символом
$$
\begin{equation*}
\Delta_{h}^{m}f(\rho e^{it}):=\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom{m}{k}f(\rho e^{i(t+kh)})
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим конечную разность $m$-го порядка функции $f\in B_{2}$ по аргументу $t$ с шагом $h$. Равенством
$$
\begin{equation*}
\|\Delta_{h}^{m}(f)\|_{2}:=\biggl(\frac{1}{\pi} \int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}|\Delta_{h}^{m}f(\rho e^{it})|^{2}\rho \,d\rho\, dt\biggr)^{1/2}
\end{equation*}
\notag
$$
обозначим норму разности $m$-го порядка функции $f\in B_{2}$. Модуль непрерывности $m$-го порядка функции $f\in B_{2}$ определим, как обычно, равенством
$$
\begin{equation}
\omega_{m}(f,\tau)_{2}:=\sup\bigl\{\|\Delta_{h}^{m}(f)\|_{2}\colon |h|\leqslant\tau\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Пользуясь соотношениями (1.3) и (1.4), для любого $r\in\mathbb{Z}_{+}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\Delta_{h}^{m}f^{(r)}(\rho e^{it})=\sum_{k=r+1}^{\infty}\alpha_{k,r}c_{k}(f)\rho^{k-r}e^{i(k-r)t} (1-e^{i(k-r)h})^{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, применяя тождество Парсеваля, получаем
$$
\begin{equation}
\|\Delta_{h}^{m}f^{(r)}\|^{2}=2^{m} \sum_{k=r+1}^{\infty}\alpha_{k,r}^{2}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k-r+1} \bigl(1-\cos(k-r)h\bigr)^{m}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
\omega_{m}(f^{(r)},\tau)_{2}=2^{m} \sup_{|h|\leqslant\tau}\sum_{k=r+1}^{\infty}\alpha_{k,r}^{2} \frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k-r+1} \bigl(1-\cos(k-r)h\bigr)^{m}.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Поскольку для функции $f\in B_{2}^{(r)}$, наравне с функциями $f$ и $f^{(r)}$, последовательные производные $f^{(s)}\ (s=1,2,\ldots,r-1)$ также принадлежат пространству $B_2$ [13], то представляет интерес отыскание точных значений наилучших совместных приближений функций и их производных
$$
\begin{equation}
E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}:=\inf\bigl\{\|f^{(s)}-p_{n-1}^{(s)}\|_{2}\colon p_{n-1}\in\mathscr{P}_{n-1}\bigr\},
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
на некотором подмножестве $\mathfrak{M}^{(r)}\subset B_{2}^{(r)}$ или на самом классе $B_{2}^{(r)}$. Точнее, требуется найти значение величины
$$
\begin{equation}
E_{n-s-1}(\mathfrak{M}^{(r)}):=\sup\bigl\{E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}\colon f\in\mathfrak{M}^{(r)}\bigr\}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Нам далее понадобятся следующие утверждения. Лемма 1. Пусть $n\in\mathbb{N}$, $r,s\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r\geqslant s$. Тогда для любой функции $f\in B_{2}^{(r)}$ справедливо равенство Равенство (1.12) доказывается по известной схеме доказательства (см., [20; c. 209, 210]), а потому мы ее здесь не приводим. Лемма 2 [19]. Для произвольной функции $f\in B_{2}^{(r)}$ при любых $n\in\mathbb{N}$, $r,s\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r\geqslant s$ имеет место неравенство которое для функции $f_{0}(z)=z^{n}\in B_{2}^{(r)}$ $n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r$, обращается в равенство. 2. Основные результатыИмеет место следующая Теорема 1. При любых $n,m\in\mathbb{N}$, $r,s\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r\geqslant s$, $0<(n-r)\tau\leqslant\pi/2$ справедливо равенство Доказательство. Сначала докажем, что для произвольной функции $f\in B_{2}$ имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
E_{n-1}^{2}(f)_{2}-\sum_{k=n}^{\infty} \frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\cos kt \leqslant E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\cdot\frac{1}{2}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В самом деле, без умаления общности ограничимся функциями $f\in B_{2}$, у которых $c_{k}(f)=0$, $k=0,1,\ldots,n-1$, т.е. введем в рассмотрение функции вида
$$
\begin{equation*}
f(z)=\sum_{k=n}^{\infty}c_{k}(f)z^{k}\in B_{2}^{(r)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для таких функций
$$
\begin{equation}
\|\Delta_{t}^{m}(f)\|_{2}^{2}=2^{m}\sum_{k=n}^{\infty} \frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}(1-\cos kt)^{m}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Учитывая равенство (2.3), рассмотрим разность
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{n-1}^{2}(f)_{2}-\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\cos kt &=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}(1-\cos kt) \\ &=\sum_{k=n}^{\infty}\biggl(\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\biggr)^{1-1/m} \biggl(\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\biggr)^{1/m}(1-\cos kt). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применив к правой части полученного соотношения неравенство Гёльдера для сумм
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\beta_{k} \leqslant\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}^{p}\biggr)^{1/p} \biggl(\sum_{k=1}^{\infty}\beta_{k}^{q}\biggr)^{1/q},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha_{k},\beta_{k}\geqslant0$, $k\in\mathbb{N}$, $p>1$, $1/p+1/q=1$, полагая $p:=m/(m-1)$, $q:=m$, а также используя формулу (1.12) в случае $s=0$ и равенство (2.3), запишем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E_{n-1}^{2}(f)_{2}-\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\cos kt \leqslant\biggl(\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\biggr)^{1-1/m} \biggl(\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}(1-\cos kt)^{m}\biggr)^{1/m} \\ &\qquad=E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\cdot\frac{1}{2} \biggl(2^{m}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}(1-\cos kt)^{m}\biggr)^{1/m} \\ &\qquad=E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\cdot\frac{1}{2} \|\Delta_{t}^{m}(f)\|_{2}^{2/m}\leqslant E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\cdot\frac{1}{2}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует неравенство (2.2).
Интегрируя обе части неравенства (2.2) по переменному $t$ от $0$ до $\tau$, будем иметь
$$
\begin{equation}
\tau E_{n-1}^{2}(f)_{2}\leqslant\sum_{k=n}^{\infty} \frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\,\frac{\sin k\tau}{k}+E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\,\frac{1}{2} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}\,dt.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Поделив обе части (2.4) на $\tau$, получаем
$$
\begin{equation}
E_{n-1}^{2}(f)_{2}\leqslant\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1} \,\frac{\sin k\tau}{k\tau}+E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\frac{1}{2\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}\,dt.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Пользуясь тем, что [21]
$$
\begin{equation*}
\max_{u\geqslant nt}\biggl|\frac{\sin u}{u}\biggr|=\frac{\sin nt}{nt}, \qquad 0\leqslant nt\leqslant\frac{\pi}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
из неравенства (2.5) будем иметь
$$
\begin{equation}
\biggl(1-\frac{\sin n\tau}{n\tau}\biggr)E_{n-1}^{2}(f)_{2}\leqslant E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\frac{1}{2\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}\,dt.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Отсюда вытекает неравенство
$$
\begin{equation}
E_{n}(f)_{2}\leqslant\biggl\{\frac{n}{2(n\tau-\sin n\tau)}\biggr\}^{m/2} \biggl\{\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}\,dt\biggr\}^{m/2}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Если теперь предполагать, что функция $f\in B_{2}^{(r)}$, то из (2.7) следует, что
$$
\begin{equation}
E_{n-r-1}(f^{(r)})_{2}\leqslant\biggl\{\frac{n-r}{2((n-r)\tau-\sin (n-r)\tau)}\biggr\}^{m/2} \biggl\{\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\biggr\}^{m/2},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и, применяя лемму 2 с учетом неравенства (2.8), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2} \leqslant\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}} \sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} E_{n-r-1}(f^{(r)}) \\ &\qquad\leqslant\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}}\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2((n-r)\tau-\sin (n-r)\tau)}\biggr\}^{m/2} \biggl\{\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\biggr\}^{m/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Из (2.9) сразу следует оценка сверху величины, стоящей в левой части равенства (2.1):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sup_{f\in B_{2}^{(r)}}\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}} {\bigl\{\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\bigr\}^{m/2}} \leqslant\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2((n-r)\tau-\sin(n-r)\tau)}\biggr\}^{m/2}, \\ 0<(n-r)\tau\leqslant\frac{\pi}{2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Для получения соответствующей оценки снизу введем в рассмотрение функции $f_{0}=z^{n}\in B_{2}^{(r)}$, для которой в силу (1.9) и (1.12) запишем
$$
\begin{equation}
\omega_{m}^{2}(f^{(r)},t)_{2}=2^{m}\frac{\alpha_{n,r}^{2}}{n-r+1} \bigl(1-\cos(n-r)t\bigr)^{m}, \qquad 0<(n-r)t\leqslant\frac{\pi}{2},
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
$$
\begin{equation}
E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}=\frac{\alpha_{n,s}}{\sqrt{n-s+1}}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Простые вычисления дают
$$
\begin{equation}
\biggl\{\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},t)_{2}\,dt\biggr\}^{m/2} =\frac{\alpha_{n,r}}{\sqrt{n-r+1}} \biggl\{\frac{2((n-r)\tau-\sin(n-r)\tau)}{n-r}\biggr\}^{m/2}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Пользуясь равенствами (2.12) и (2.13), запишем оценку снизу указанной экстремальной характеристики
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{f\in B_{2}^{(r)}}\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}} {\bigl\{\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\bigr\}^{m/2}}\geqslant \frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f_{0}^{(s)})_{2}} {\bigl\{\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},t)_{2}\,dt\bigr\}^{m/2}} \\ \notag &\qquad =\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}}) \cdot\alpha_{n,s}/\sqrt{n-s+1}}{\alpha_{n,r}/\sqrt{n-r+1} \bigl\{2[(n-r)\tau-\sin(n-r)\tau]/(n-r)\bigr\}^{m/2}} \\ &\qquad =\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2((n-r)\tau-\sin(n-r)\tau)}\biggr\}^{m/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Требуемое равенство (2.1) получаем из сопоставления неравенств (2.10) и (2.14), чем и завершаем доказательство теоремы 1. Теорема 2. Для любых $n,m\in\mathbb{N}$, $r,s\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r\geqslant s$ и $0<h\leqslant\pi/(n-r)$ справедливо равенство Доказательство. Умножив обе части (2.4) на 2 и интегрируя обе части по переменному $\tau$ от $0$ до $h$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
h^{2}\,E_{n-1}^{2}(f)_{2}\leqslant2\sum_{k=n}^{\infty} \frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\,\frac{1-\cos kh}{k^{2}}+E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2} \int_{0}^{h}\biggl(\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}\,dt\biggr)d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменив под знаком суммы $1/k^{2}$ на $1/n^{2}$ и выполнив интегрирование по частям в двойном интеграле, будем иметь
$$
\begin{equation}
h^{2}E_{n-1}^{2}(f)_{2} \leqslant\frac{2}{n^2} \sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}(1-\cos kh) +E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2} \int_{0}^{h}(h-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f,\tau)_{2}\,d\tau.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
В силу (2.2) неравенство (2.16) запишем в виде
$$
\begin{equation*}
h^{2}\,E_{n-1}^{2}(f)_{2}\leqslant\frac{1}{n^2}E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2} \omega_{m}^{2/m}(f,h)_{2}+E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2} \int_{0}^{h}(h-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f,\tau)_{2}\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, получаем
$$
\begin{equation*}
(nh)^{2} E_{n-1}^{2/m}(f)_{2}\leqslant\omega_{m}^{2/m}(f,h)_{2}+n^{2} \int_{0}^{h}(h-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f,\tau)_{2}\,d\tau,
\end{equation*}
\notag
$$
или, что то же
$$
\begin{equation*}
E_{n-1}(f)_{2}\leqslant(nh)^{-m} \biggl\{\omega_{m}^{2/m}(f,h)_{2}+n^{2}\int_{0}^{h}(h-\tau) \omega_{m}^{2/m}(f,\tau)_{2}\,d\tau\biggr\}^{m/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее неравенство для величины $E_{n-r-1}(f^{(r)})$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &E_{n-r-1}(f^{(r)})_{2} \\ &\qquad \leqslant((n-r)h)^{-m}\biggl\{\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},h)_{2}+(n-r)^{2} \int_{0}^{h}(h-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},\tau)_{2}\,d\tau\biggr\}^{m/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Пользуясь леммой 2 и учитывая неравенство (2.17), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}\leqslant\sqrt{\frac{n-r-1}{n-s-1}}\, \frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}}\,\frac{1} {((n-r)h)^{m}} \\ &\qquad\qquad\times \biggl\{\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},h)_{2}+(n-r)^{2} \int_{0}^{h}(h-t)\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},\tau)_{2}\,d\tau\biggr\}^{m/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда сразу следует оценка сверху экстремальной характеристики, расположенной в левой части равенства (2.15):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{f\in B_{2}^{(r)}}\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}} {\bigl\{\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}+(n-r)^{2} \int_{0}^{t}(h-t)\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},\tau)_{2}\,d\tau\bigr\}^{m/2}} \\ &\qquad \leqslant\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}}\frac{1}{[(n-r)h]^m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
С целью получения аналогичной оценки снизу вновь введем ранее рассмотренную нами функцию $f_{0}(z)=z^{n}\in B_{2}^{(r)}$, для которой имеет место равенства (2.11). Пользуясь равенством (2.11) и проведя простые вычисления, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\biggl\{\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},h)_{2}+(n-r)^{2} \int_{0}^{t}(h-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},\tau)_{2}\,d\tau\biggr\}^{m/2} \\ \notag &\qquad =\biggl\{2\biggl(\frac{\alpha_{n,r}^{2}}{n-r+1}\biggr)^{1/m} (1-\cos(n-r)h) \\ \notag &\qquad\qquad +2\biggl(\frac{\alpha_{k,r}^{2}}{n-r+1}\biggr)^{1/m}(n-r)^{2} \int_{0}^{h}(h-\tau)(1-\cos(n-r)\tau)\,d\tau\biggr\}^{m/2} \\ \notag &\qquad =\frac{\alpha_{n,r}}{\sqrt{n-r+1}} \biggl\{2(1-\cos(n-r)h)+2(n-r)^{2} \biggl[\frac{h^2}{2}-\frac{1-\cos(n-r)h}{(n-r)^{2}}\biggr]\biggr\}^{m/2} \\ &\qquad =\frac{\alpha_{n,r}}{\sqrt{n-r+1}}[(n-r)h]^{m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Учитывая равенств (2.12) и (2.19), запишем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{f\in B_{2}^{(r)}}\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}} {\bigl\{\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}+(n-r)^{2} \int_{0}^{t}(t-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},\tau)_{2}\,d\tau\bigr\}^{m/2}} \\ \notag &\qquad \geqslant\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f_{0}^{(s)})_{2}} {\bigl\{\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},t)_{2}+(n-r)^{2} \int_{0}^{t}(t-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},\tau)_{2}\,d\tau\bigr\}^{m/2}} \\ &\qquad =\frac{(\alpha_{n,r}/\alpha_{n,s})\alpha_{n,s}/ \sqrt{n-s+1}}{\alpha_{n,r}/\sqrt{n-r+1}\cdot [(n-r)h]^m}= \sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}}\frac{1}{[(n-r)h]^m}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Сопоставляя неравенства (2.18) и (2.20), получаем требуемое равенство (2.15). Теорема 2 доказана. Имеет место также следующая Теорема 3. Для любых чисел $n,m\in\mathbb{N}$, $r,s\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r\geqslant s$ и любого $h\in(0,\pi/(n-r)]$ справедливо равенство В частности, из (2.21) при $h=\pi/(n-r)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\sup_{f\in B_{2}^{(r)}}\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}} {\bigl\{\int_{0}^{\pi/(n-r)} \bigl(\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\bigr) \,d\tau\bigr\}^{m/2}} =\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2(\pi-\operatorname{Si}(\pi))}\biggr\}^{m/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Интегрируя обе части неравенства (2.5) по переменному $\tau$ от $0$ до $h$, $0<nh\leqslant\pi$, с учетом определения интегрального синуса, запишем
$$
\begin{equation*}
h\,E_{n-1}^{2}(f)_{2}\leqslant\sum_{k=n}^{\infty} \frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\, \frac{\operatorname{Si}(kh)}{k}+E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{h}\biggl(\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2} \,dt\biggr)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
E_{n-1}^{2}(f)_{2} \leqslant\sum_{k=n}^{\infty}\frac{|c_{k}(f)|^{2}}{k+1}\, \frac{\operatorname{Si}(kh)}{kh}+E_{n-1}^{2-2/m}(f)_{2}\frac{1}{2h} \int_{0}^{h}\biggl(\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}\,dt\biggr)\,d\tau.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Учитывая, что функция $\operatorname{Si}(x)/x$ является невозрастающей на $\mathbb{R}_{+}$ (см., например, [22; с. 335]) при всех $k\geqslant n$, $k,n\in\mathbb{N}$, запишем
$$
\begin{equation}
\max_{k\geqslant n} \frac{\operatorname{Si}(kh)}{kh}=\frac{\operatorname{Si}(nh)}{nh}, \qquad 0<nh\leqslant\pi.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Из неравенства (2.22) с учетом (2.23) следует, что
$$
\begin{equation}
E_{n-1}(f)_{2}\leqslant\biggl\{\frac{n}{2(nh-\operatorname{Si}(nh))}\biggr\}^{m/2} \biggl\{\int_{0}^{h}\biggl(\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f,t)_{2}\,dt\biggr)\,d\tau\biggr\}^{m/2}.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Так как неравенство (2.24) справедливо для любой функции $f\in B_{2}^{(r)}$, заменив в нем $f$ на $f^{(r)}$ и $n$ на $n-r$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E_{n-r-1}(f^{(r)})_{2} \\ &\qquad\leqslant \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\operatorname{Si}((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2} \biggl\{\int_{0}^{h}\biggl(\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau} \omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\biggr)\,d\tau\biggr\}^{m/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя лемму 2 к последнему неравенству, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2} &\leqslant\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}} \sqrt{\frac{n-r-1}{n-s-1}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\operatorname{Si}((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2} \\ &\qquad\times \biggl\{\int_{0}^{h}\biggl(\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\biggr)\,d\tau\biggr\}^{m/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем оценку сверху величины, стоящей в левой части (2.21):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{f\in B_{2}^{(r)}}\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}} {\bigl\{\int_{0}^{h}\bigl(\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\bigr)\, d\tau\bigr\}^{m/2}} \\ &\qquad \leqslant\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\operatorname{Si}((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Для получения соответствующей оценки снизу по-прежнему вводим в рассмотрение функцию $f_{0}(z)=z^{n}\in B_{2}^{(r)}$, для которой, кроме равенств (2.11)–(2.13), имеют место также равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},t)_{2}\,dt =2\biggl(\frac{\alpha_{n,r}}{\sqrt{n-r+1}}\biggr)^{2/m} \biggl(1-\frac{\sin(n-r)\tau}{(n-r)\tau}\biggr), \\ \biggl\{\int_{0}^{h}\biggl(\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},t)_{2}\,dt\biggr) \,d\tau\biggr\}^{m/2} =\frac{\alpha_{n,r}}{\sqrt{n-r+1}} \biggl\{\frac{2[(n-r)h-\operatorname{Si}((n-r)h)]}{n-r}\biggr\}^{m/2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь последними равенствами, получаем оценку снизу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{f\in B_{2}^{(r)}}\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f^{(s)})_{2}} {\bigl\{\int_{0}^{h} \bigl(\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau} \omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\bigr)\,d\tau\bigr\}^{m/2}} \geqslant\frac{(\alpha_{n,r}/{\alpha_{n,s}})E_{n-s-1}(f_{0}^{(s)})_{2}} {\bigl\{\int_{0}^{h}\bigl(\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau}\omega_{m}^{2/m}(f_{0}^{(r)},t)_{2} \,dt\bigr)\,d\tau\bigr\}^{m/2}} \\ &\qquad =\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\operatorname{Si}((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Требуемое равенство (2.21) получаем из сравнения неравенств (2.25) и (2.26), чем и завершаем доказательство теоремы 3. 3. Решение экстремальной задачи (1.11) для некоторых классов функцийИсходя из результатов теоремы 1 и 2, введем следующие классы функций. Символом $W_{m,2}^{(r)}(h):=W_{2}^{(r)}(\omega_{m};h)$ обозначим множество функций $f\in B_{2}^{(r)}$, для любых $h\in (0,\pi/2(n-r)]$, $n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r$ удовлетворяющих условию
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{h}\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},t)_{2}\,dt\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом, символом $\widetilde{W}_{m,2}^{(r)}(h):=\widetilde{W}_{2}^{(r)}(\omega_{m},h)$ обозначим множество функций $f\in B_{2}^{(r)}$, для которых при любых $h\in(0,\pi/(n-r)]$, $n\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},h)_{2}+(n-r)^{2} \int_{0}^{h}(h-\tau)\omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},\tau)_{2}\,d\tau\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Теорема 4. При любых $n\in\mathbb{N}$, $r,s\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r\geqslant s$ и $h\in(0,\pi/2(n-r)]$ имеют место равенства Доказательство. Из неравенства (2.9) для произвольной функции $f\in W_{m,2}^{(r)}(h)$ получаем
$$
\begin{equation*}
E_{n-s-1}(f^{(s)})\leqslant\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}} \sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\sin((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и получаем оценку сверху
$$
\begin{equation}
\mathcal{E}_{n-s-1}(W_{m,2}^{(r)}(h))_{2} \leqslant\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}}\sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\sin((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Получим оценку снизу величины $\mathcal{E}_{n-s-1}^{(s)}(W_{m,2}^{(r)}(h))_{2}$. Для этого рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
g_{0}(z)=\frac{\sqrt{n-r+1}}{\alpha_{n,r}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\sin((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2} z^{n},
\end{equation*}
\notag
$$
для которой при всех $s=1,\dots,r$
$$
\begin{equation*}
g_{0}^{(s)}=\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}}\,\sqrt{n-r+1} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\sin((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2}z^{n-s},
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
E_{n-s-1}(g_{0}^{(s)})=\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}} \sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\sin((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Простыми вычислениями легко убедимся, что
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{h}\omega_{m}^{2/m}(g_{0}^{(r)},t)_{2}\,dt=1,
\end{equation*}
\notag
$$
а потому функция $g_{0}\in W_{m,2}^{(r)}(h)$. Пользуясь равенством (3.3), получаем оценку снизу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \mathcal{E}_{n-s-1}^{(s)}(W_{m,2}^{(r)}(h))_{2} &\geqslant E_{n-s-1}(g_{0}^{(s)})_{2} \\ &=\frac{\alpha_{n,s}}{\alpha_{n,r}} \sqrt{\frac{n-r+1}{n-s+1}} \biggl\{\frac{n-r}{2[(n-r)h-\sin((n-r)h)]}\biggr\}^{m/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Требуемое равенство (3.1) получаем из сопоставления оценки сверху (3.2) с оценкой снизу (3.4).
Теорема 4 доказана. Теорема 5. Пусть $n\in\mathbb{N}$, $r,s\in\mathbb{Z}_{+}$, $n>r\geqslant s$, $h\in(0,\pi/(n-r)]$. Тогда справедливо равенство 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sha23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|