| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об алгебрах Ли, задаваемых касательными направлениями к однородным проективным многообразиям А. О. Завадский Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110342 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть $X\subset\mathbb P^m$ – вложенное комплексное проективное многообразие. Рассмотрим соответствующее этому многообразию аффинное коническое многообразие $\widehat X\subset \mathbb C^{m+1}$. Мы исследуем алгебру Ли $\mathfrak L$, которая порождается векторным пространством $\mathbb C^{m+1}$ и задана определяющими соотношениями вида
$$
\begin{equation}
[\xi,\eta]=0 \qquad\forall\, \xi\in\widehat X^{\mathrm{reg}}, \quad \eta\in \mathcal T_{\xi}\widehat X,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $\mathcal T_{\xi}\widehat X$ – касательное пространство к $\widehat X$ в точке $\xi$. Иными словами, алгебра $\mathfrak L$ получается факторизацией свободной алгебры Ли, порожденной базисом пространства $\mathbb C^{m+1}$, по идеалу $\mathfrak I$, порожденному элементами вида (1.1). Алгебра $\mathfrak L$ является интересным алгебраическим инвариантом вложенного проективного многообразия $X$. Опишем некоторую алгебро-геометрическую конструкцию, в которой возникают алгебры Ли такого вида (подробное ее описание содержится в обзорной статье [1]). Пусть $M$ – гладкое многообразие Фано c числом Пикара 1. Рассмотрим рациональные кривые минимальной степени, проходящие через точку $x$ общего положения многообразия $M$. Множество касательных векторов к ним в точке $x$ образует замкнутый конус $\mathcal C_x$. Проективизация этого конуса называется многообразием минимальных рациональных касательных. Обозначим через $\mathcal T_M$ касательное расслоение многообразия $M$. Пусть $\mathcal V$ – распределение на открытом подмножестве многообразия $M$, порожденное конусами $\mathcal C_x$ в точках общего положения $x\in M$. По определению $\mathcal V\subset\mathcal T_M$, $\mathcal V_x\subset\mathcal T_{M,x}$. Определим по индукции цепочку вложенных распределений:
$$
\begin{equation*}
\mathcal V^1=\mathcal V, \qquad \mathcal V^{k+1}=\mathcal V^k+\mathcal{O}_M\cdot[\mathcal V^1,\mathcal V^k].
\end{equation*}
\notag
$$
В окрестности точки общего положения $x\in M$ все $\mathcal V^k$ являются подрасслоениями касательного расслоения $\mathcal T_M$. Известно, что существует такое число $d$, что $\mathcal V^d=\mathcal T_M$ (см. [1; раздел 2.2]). Алгеброй символов распределения $\mathcal V$ в точке $x$ называется градуированная нильпотентная алгебра Ли
$$
\begin{equation*}
\operatorname{gr}\mathcal T_{M,x}=\mathcal V_x^1\oplus\mathcal V_x^2/\mathcal V_x^1\oplus\dots\oplus\mathcal V_x^d/\mathcal V_x^{d-1},
\end{equation*}
\notag
$$
скобка Ли в которой индуцирована операцией коммутатора векторных полей. Многообразие минимальных рациональных касательных и алгебра символов являются важными дифференциально-геометрическими инвариантами многообразия Фано, которые во многом определяют его геометрию [1]. В статье [2] доказано, что в некоторых случаях алгебра $\mathfrak L$, определяемая по многообразию минимальных рациональных касательных в точке общего положения $x\in M$, изоморфна алгебре символов $\operatorname{gr}\mathcal T_{M,x}$. В данной работе рассматриваются аффинные конические многообразия $\widehat X$, являющиеся замыканиями орбит младших векторов неприводимых представлений полупростых комплексных групп Ли. А именно, пусть $R$ – неприводимое представление полупростой комплексной группы Ли $G$ в пространстве $V$ с младшим весом $\Lambda$, $v_{\Lambda}$ – младший вектор представления, $\widehat X=R(G)v_{\Lambda}\cup\{0\}$ – замыкание орбиты младшего вектора. Это коническое аффинное алгебраическое многообразие, а его проективизация $X$ – однородное проективное многообразие в пространстве $\mathbb{P}(V)$. В дальнейшем, выбрасывая точку 0 из многообразия $\widehat X$, будем считать, что $\widehat X=R(G)v$. Алгебра $\mathfrak L$ при этом не изменится. Неприводимые представления полупростых алгебр Ли естественным образом содержатся внутри алгебр Каца–Муди. Пусть $\widetilde{\mathfrak g}$ – алгебра Каца–Муди, построенная по обобщенной матрице Картана $\widetilde{A}$. Выделим некоторую вершину диаграммы Дынкина этой алгебры и предположим, что диаграмма без этой вершины имеет конечный тип. Пусть $e_i,f_i,h_i$ – система канонических образующих алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$, где $e_0,f_0,h_0$ соответствуют выделенной вершине. Зададим $\mathbb Z$-градуировку $\widetilde{\mathfrak g}=\bigoplus_{k\in\mathbb Z}\widetilde{\mathfrak g}_k$ на алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$, присвоив элементу $e_0$ степень $1$, элементу $f_0$ степень $-1$, а остальным образующим и всем элементам подалгебры Картана – степень 0. Тогда слагаемое $\widetilde{\mathfrak g}_0$ – редуктивная алгебра Ли, полупростую часть которой обозначим через $\mathfrak g$, а слагаемое $\widetilde{\mathfrak g}_1$ в $\mathbb Z$-градуировке является неприводимым $\mathfrak g$-модулем. Представление $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ интегрируется до представления полупростой группы Ли $G$. Этой конструкцией можно получить любое неприводимое представление полупростой группы Ли. Можно показать, что при этом алгебра $\mathfrak L$, соответствующая орбите младшего вектора представления $G$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$, является факторалгеброй подалгебры $\widetilde{\mathfrak g}_1\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2\oplus\dots\subset\widetilde{\mathfrak g}$. Это утверждение, описывающее связь алгебры $\mathfrak L$ с алгеброй Каца–Муди, построенной по алгебре $\mathfrak g$ и младшему весу $\Lambda$ ее представления, более точно сформулировано и доказано в п. 2 данной работы. Таким образом, задача описания алгебры $\mathfrak L$ сводится к вычислениям в алгебрах Каца–Муди. При таком подходе удается получить описание алгебры $\mathfrak L$ во многих случаях. В п. 3 дано описание алгебры $\mathfrak L$ в случаях, когда соответствующая алгебра Каца–Муди симметризуема и имеет аффинный тип. 2. Основная теоремаПусть $G$ – полупростая комплексная группа Ли, $\mathfrak g$ – ее касательная алгебра Ли. Обозначим через $R$ неприводимое представление групп $G$ в пространстве $V$. Его дифференциал $\rho=dR\colon \mathfrak g\to \mathfrak{gl}(V)$ – представление алгебры $\mathfrak g$. Пусть $\Lambda$ – младший вес представления, $v_{\Lambda}$ – его младший вектор, $\widehat X=R(G)v_{\Lambda}$ – орбита младшего вектора. Будем обозначать через $n$ ранг алгебры $\mathfrak g$. Выберем картановскую подалгебру $\mathfrak h$. Пусть $\Phi$ – система корней алгебры $\mathfrak g$, взятая относительно подалгебры $\mathfrak h$. $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}\subset \Phi$ – фиксированная система простых корней, а $\{e_i,h_i,f_i\mid i=1,\dots,n\}$ – система канонических образующих алгебры $\mathfrak g$, связанная с $\Pi$. Обозначим через $A=(a_{ij})$ матрицу Картана алгебры $\mathfrak g$. По определению $a_{ij}=\alpha_j(h_i)$. Заменив группу $G$ на ее односвязную накрывающую (с той же алгеброй Ли $\mathfrak g$), можно без ограничения общности считать, что $G$ односвязна. Обозначим через $\operatorname{Lie}(V)$ свободную алгебру Ли, порожденную произвольным базисом пространства $V$. По универсальному свойству представление $\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$ может быть продолжено до представления $\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\operatorname{Lie}(V))$, причем
$$
\begin{equation*}
\rho(x)[y,z]=[\rho(x)y,z]+[y,\rho(x)z] \qquad\forall\, x\in\mathfrak g, \quad y,z\in\operatorname{Lie}(V).
\end{equation*}
\notag
$$
При этом $\rho$ является дифференциалом представления группы $G$, которое также будем обозначать буквой $R$. Для него выполнено тождество
$$
\begin{equation*}
R(g)[y,z]=[R(g)y,R(g)z] \qquad\forall\, g\in G, \quad y,z\in\operatorname{Lie}(V).
\end{equation*}
\notag
$$
Новое представление $R$ является продолжением исходного на $\operatorname{Lie}(V)$. Пусть $\mathfrak I$ – идеал в $\operatorname{Lie}(V)$, порожденный соотношениями вида (1.1), $\mathfrak L=\operatorname{Lie}(V)/\mathfrak I$. Из сюръективности орбитного отображения $R_{v_{\Lambda}}\colon G\to \widehat X$, $g\mapsto R(g)v_{\Lambda}$ следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathfrak I=\bigl([R(g)v_{\Lambda},\rho(x)R(g)v_{\Lambda}]\mid g\in G,\, x\in\mathfrak g\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что $\mathfrak I$ – инвариантное подпространство представления $R$. Следовательно, $\mathfrak I$ инвариантно относительно $\rho$, поэтому корректно определено представление $\overline\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\mathfrak L)$, заданное по формуле
$$
\begin{equation*}
\overline\rho(x)(y+\mathfrak I)=\rho(x)y+\mathfrak I, \qquad x\in\mathfrak g, \quad y\in\operatorname{Lie}(V).
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\mathfrak n_+$ – подалгебра в $\mathfrak g$, порожденная каноническими образующими $e_1,\dots,e_n$. Элемент $v_{\Lambda}$ – младший вектор, поэтому $V$ – линейная оболочка векторов вида $\rho(e_{j_1})\dots \rho(e_{j_s})v_{\Lambda}$. Алгебра $\mathfrak g$ действует на $\mathfrak L$ дифференцированиями, поэтому можно построить полупрямую сумму алгебр $\mathfrak n_+$ и $\mathfrak L$: $\widetilde{\mathfrak L}=\mathfrak L\oplus\mathfrak n_+$. Алгебра $\widetilde{\mathfrak L}$ порождена каноническими образующими $e_1,\dots,e_n$ алгебры $\mathfrak g$ и элементом $e_0=v_{\Lambda}$. Алгебры $\mathfrak L$ и $\mathfrak n_+$ естественным образом вкладываются в $\widetilde{\mathfrak L}$. Пусть $\pi_1,\dots,\pi_n$ – фундаментальные веса относительно системы $\Pi$, а именно такие веса, что $\pi_i(h_j)=\delta_{ij}$. Обозначим через $\Lambda_i$ числовые отметки веса $\Lambda$. По определению $\Lambda_i=\Lambda(h_i)$. Числовые отметки – целые неположительные числа, которые служат координатами веса $\Lambda$ в базисе фундаментальных весов $\pi_1,\dots,\pi_n$. Пусть также $b_i=0$, если $\Lambda_i=0$, и $b_i=-1$, если $\Lambda_i\ne 0$. Имеем следующие соотношения в алгебре Ли $\widetilde{\mathfrak L}$: Первое соотношение выполнено, так как $\rho(e_i)^{1-\Lambda_i}v_{\Lambda}=0$. Второе – поскольку $[v_{\Lambda},\rho(e_i)v_{\Lambda}]\in \mathfrak I$ при $\Lambda_i\ne0$, а при $\Lambda_i=0$ равенство $[e_0,e_i]=0$ следует из (2.1).Пусть $\mathfrak g(\widetilde A)$ – алгебра Каца–Муди, соответствующая матрице Картана
$$
\begin{equation*}
\widetilde A= \left( \begin{array}{c|c} 2 & b_1 \cdots b_n \\ \hline \Lambda_1 \\ \vdots & A \\ \Lambda_n \end{array} \right),
\end{equation*}
\notag
$$
где $b_i$ берутся по тому же принципу, что и выше. Ее конструкция описана в [3; гл. 1]. Диаграмма Дынкина, соответствующая матрице Картана $\widetilde A$, получается добавлением к диаграмме Дынкина матрицы $A$ одной вершины (нулевой), соединенной с $i$-й вершиной ребром кратности $|\Lambda_i|$. При этом, если $|\Lambda_i|=|a_{i0}|>1$, то это ребро со стрелкой, направленной к $i$-й вершине. Матрица $\widetilde A$ называется симметризуемой, если существует такая обратимая диагональная матрица $D$ и симметрическая матрица $B$, что $\widetilde A=DB$. В таком случае алгебра $\mathfrak g(\widetilde A)$ называется симметризуемой. Условие симметризуемости матрицы $\widetilde A=(a_{ij})$ равносильно выполнению двух условий:
Для матрицы $\widetilde{A}$, которой соответствует диаграмма Дынкина без циклов, эти условия выполнены автоматически. Опишем строение коммутанта $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$ алгебры $\mathfrak g(\widetilde A)$. Для этого рассмотрим алгебру Ли $\widehat{\mathfrak g}$ с образующими $e_i, f_i, h_i$, $i=0,\dots,n$, и определяющими соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, [h_i, h_j]=0, \quad [e_i,f_i]=h_i, \quad [e_i, f_j]=0, \qquad i\ne j, \\ [h_i,e_j]=a_{ij}e_j, \qquad [h_i,f_j]=-a_{ij}f_j. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеется разложение в прямую сумму векторных пространств $\widehat{\mathfrak g}=\widehat{\mathfrak n}_-\oplus\widetilde{\mathfrak h}\oplus\widehat{\mathfrak n}_+$, где $\widehat{\mathfrak n}_-$ и $\widehat{\mathfrak n}_+$ – свободные алгебры Ли, порожденные $f_0,\dots,f_n$ и $e_0,\dots,e_n$ соответственно, а $\widetilde{\mathfrak h}=\langle h_0,\dots,h_n\rangle$ – коммутативная алгебра Ли. В алгебре $\widehat{\mathfrak g}$ среди идеалов, имеющих нулевое пересечение с $\widetilde{\mathfrak h}$, существует максимальный идеал $\mathfrak m$, причем $\mathfrak m=\mathfrak m_-\oplus\mathfrak m_+$, где $\mathfrak m_{\pm}=\mathfrak m\cap\widehat{\mathfrak n}_{\pm}$. Тогда $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]=\widehat{\mathfrak g}/\mathfrak m$. В симметризуемом случае идеалы $\mathfrak m_-$ и $\mathfrak m_+$ порождаются соответственно элементами вида
$$
\begin{equation}
(\operatorname{ad} f_{i})^{1-a_{ij}}f_{j}, \qquad i\ne j, \quad i,j=0,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
(\operatorname{ad} e_{i})^{1-a_{ij}}e_{j}, \qquad i\ne j, \quad i,j=0,\dots,n,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
а в несимметризуемом случае, возможно, еще некоторыми элементами в дополнение к этим. Будем также рассматривать алгебру $\widetilde{\mathfrak g}=\widehat{\mathfrak g}/\widehat{\mathfrak m}$, где $\widehat{\mathfrak m}$ – идеал, порожденный элементами вида (2.3) и (2.4). Имеется треугольное разложение: $\widetilde{\mathfrak g}=\widetilde{\mathfrak n}_-\oplus\widetilde{\mathfrak h}\oplus\widetilde{\mathfrak n}_+$, где $\widetilde{\mathfrak n}_{\pm}=\widehat{\mathfrak n}_{\pm}/\widehat{\mathfrak m}_{\pm}$, а $\widehat{\mathfrak m}_{\pm}=\widehat{\mathfrak m}\cap\widehat{\mathfrak n}_{\pm}$. Из замечания выше следует, что в симметризуемом случае алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ и $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$ совпадают, а в общем случае алгебра $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$ является факторалгеброй алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Введем на алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$ $\mathbb Z$-градуировку, положив
$$
\begin{equation*}
\deg e_0=1, \qquad \deg f_0=-1, \qquad\deg e_i=\deg f_i=0, \quad i=1,\dots, n, \qquad\deg{\widetilde{\mathfrak h}}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\widetilde{\mathfrak g}=\bigoplus_{k\in\mathbb Z}\widetilde{\mathfrak g}_k$, и имеем $\widetilde{\mathfrak g}_0=\mathfrak g+\widetilde{\mathfrak h}$, а $\widetilde{\mathfrak g}_1$ – неприводимый $\mathfrak g$-модуль с младшим весом $\Lambda$. Будем выделять вершину диаграммы Дынкина матрицы $\widetilde{A}$, которой соответствуют образующие $e_0, f_0, h_0$. Введем обозначение
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathfrak g}_{>0}:=\widetilde{\mathfrak g}_{1}\oplus\widetilde{\mathfrak g}_{2}\oplus\dotsb.
\end{equation*}
\notag
$$
В симметризуемом случае будем также использовать обозначение
$$
\begin{equation*}
[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}=\widetilde{\mathfrak g}_{>0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее будем обозначать через $\mathfrak J$ идеал в алгебре Ли $\widetilde{\mathfrak n}_+$, порожденный элементами вида $(\operatorname{ad} e_0)^2 e_{\alpha}$, где $e_{\alpha}$ – корневые векторы алгебры $\mathfrak g$, отвечающие положительным корням $\alpha$. Имеется включение $\mathfrak J\subset\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$, значит $\mathfrak J$ также является идеалом в $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$. Добавляя к порождающим нулевые элементы, можем считать, что $\mathfrak J$ порождается всевозможными элементами вида $(\operatorname{ad} e_0)^2x$, где $x$ – лиевские одночлены вида $[e_{i_1},[e_{i_2},\dots,[e_{i_{k-1}},e_{i_k}]\dots]$, причем среди чисел $i_1,\dots, i_k$ не встречается число $0$. Доказательство. Достаточно доказать, что идеал $\mathfrak J$ инвариантен относительно порождающих $e_i,f_i,h_i$, $i=1,\dots,n$, алгебры $\mathfrak g$.
Включение $[e_i,\mathfrak J]\subset\mathfrak J$ следует из определения $\mathfrak J$. Включение $[h_i,\mathfrak J]\subset\mathfrak J$ – из того, что $h_i$ действует скалярно на весовых подпространствах $\widetilde{\mathfrak n}_+$. Докажем, что $[f_i,\mathfrak J]\subset\mathfrak J$. Идеал $\mathfrak J$ порождается как векторное пространство элементами $y=[e_{i_1},\dots,[e_{i_k},\operatorname{ad}(e_0)^2x]\dots]$, где $x\in\mathfrak n_+$ – лиевский одночлен от $e_1,\dots,e_n$. Заметим, что $[f_i,e_j]=0$ при $i\ne j$. Тогда Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего, содержатся в $\mathfrak J$. Рассмотрим последнее слагаемое. Если $x=e_i$, то $\operatorname{ad}(e_0)^2[f_i,x]=-\operatorname{ad}(e_0)^2h_i=0$. В противном случае $[f_i,x]\in\mathfrak n_+$, и последнее слагаемое содержится в $\mathfrak J$.Теперь мы можем сформулировать основную теорему. Теорема 1. 1. Алгебры $\widetilde{\mathfrak L}$ и $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ изоморфны. 2. Алгебры $\mathfrak L$ и $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ изоморфны. 3. Если $\widetilde{\mathfrak g}$ такова, что $(\operatorname{ad} e_0)^2=0$ на $\mathfrak g$, то алгебры $\mathfrak L$ и $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ изоморфны. Доказательство. Идеал $\mathfrak J$ $\mathfrak g$-инвариантен, поэтому присоединенное представление индуцирует представление $\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J)$, которое в свою очередь интегрируется до представления группы: $R\colon G\to GL(\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J)$. В алгебре $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ выполнены соотношения $[e_0,\operatorname{ad}(x)e_0]=0$ для любых $x\in\mathfrak g$. Имеем Действуя на соотношения $[e_0,\operatorname{ad}(x)e_0]=0$ операторами $R(g)$, получаем, что в $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ выполнены соотношения вида $[R(g)e_0,\rho(y)R(g)e_0]=0$ для любых $g\in G, y\in\mathfrak g$. Такие соотношения порождают идеал $\mathfrak I$, значит $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ является факторалгеброй алгебры $\mathfrak L$.
Алгебры $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ и $\mathfrak L$ являются прямыми дополнениями к $\mathfrak n_+$ в $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ и $\widetilde{\mathfrak L}$ соответственно, значит $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ – факторалгебра алгебры $\widetilde{\mathfrak L}$. Как было отмечено выше, $\widetilde{\mathfrak n}_+=\widehat{\mathfrak n}_+/\widehat{\mathfrak m}_+$. Тогда алгебра $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ совпадает с факторалгеброй $\widehat{\mathfrak n}_+/\widehat{\mathfrak J}$, где идеал $\widehat{\mathfrak J}$ порождается элементами вида (2.4) и $(\operatorname{ad} e_0)^2x$ для всех лиевских одночленов $x$ в свободной алгебре Ли $\operatorname{Lie}(e_1,\dots, e_n)$. В алгебре $\widetilde{\mathfrak L}$ соотношения (2.4) для $i,j\ne0$ выполнены, так как имеется вложение $\mathfrak n_+\subset\widetilde{\mathfrak L}$, а для $i$ или $j$ равных 0 – в силу (2.1) и (2.2). Соотношения из $\mathfrak J$ выполнены, потому что $[v_{\Lambda},\rho(e_{\alpha})v_{\Lambda}]\in \mathfrak J$. Таким образом, $\widetilde{\mathfrak L}$ является факторалгеброй $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$. Тем самым доказан п. 1 теоремы. Второе утверждение следует из первого, так как алгебры $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ и $\mathfrak L$ являются идеалами, порожденными $e_0$, в $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ и $\widetilde{\mathfrak L}$ соответственно. Третье утверждение следует из второго, если учесть, что идеал $\mathfrak J$ в этом случае тривиален. В следующем следствии простые корни простой алгебры Ли $\mathfrak g$ пронумерованы в соответствии с таблицей $\operatorname{Fin}$ из [3; § 4.8], а $\pi_i$ – фундаментальные веса. Следствие 1. В следующих случаях $\mathfrak L\simeq[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}$. 1) Алгебра $\mathfrak g$ простая типа $X_n$, причем
Эти веса, имеющие вид $\Lambda=-k\pi_i$, характеризуются тем, что в разложении $\theta=\sum_{j=1}^n a_j\alpha_j$ старшего корня алгебры $\mathfrak g$ в сумму простых корней выполнено условие $a_i=1$. 2) Алгебра $\mathfrak g$ раскладывается в прямую сумму простых идеалов, и представление каждого из них с младшим вектором $v_{\Lambda}$ (являющееся неприводимым слагаемым ограничения исходного представления на этот идеал) является одним из представлений из списка выше. Доказательство. Проверим, что выполняется условие равенства нулю $(\operatorname{ad} e_0)^2$ на $\mathfrak g$. Это достаточно проверить для каждого простого идеала, в прямую сумму которых раскладывается $\mathfrak g$.
Пусть $X_n$ и $\Lambda=-k\pi_i$ – соответственно тип алгебры Ли и младший вес представления из списка. Тогда $(\operatorname{ad} e_0)^2 e_i=0$ и $[e_0,e_j]=0$, $j\ne i$. Пусть $\theta=a_1\alpha_1+\dots+a_n\alpha_n$ – старший корень алгебры Ли типа $X_n$. Для рассматриваемых случаев $a_i=1$. Значит, и для любого положительного корня $\alpha$ алгебры $\mathfrak g$ имеем $\alpha=a_1\alpha_1+\dots+a_n\alpha_n$, где $a_i$ равно 0 или 1. Тогда $\mathfrak n_+$ порождается как векторное пространство элементами $x=[e_{i_1},[e_{i_2},[\dots,[e_{i_{k-1}},e_{i_k}]\dots]$, причем среди $i_1,\dots,i_k$ число $i$ встречается не более одного раза. Значит, достаточно доказать, что $(\operatorname{ad} e_0)^2x=0$ для любого элемента $x$ такого вида. Доказательство проведем индукцией по $k$. База: $k=1$. $(\operatorname{ad} e_0)^2e_i=0$ следует из соотношений Серра (2.4) в алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$. Шаг: пусть $(\operatorname{ad} e_0)^2x=0$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\operatorname{ad} e_0)^2[e_j,x]=[(\operatorname{ad} e_0)^2e_j,x]+2[[e_0,e_j],[e_0,x]]+[e_j,(\operatorname{ad} e_0)^2x]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Покажем, что $(\operatorname{ad} e_0)^2[e_j,x]=0$. Для этого рассмотрим два случая.
Пусть $\{e,h,f\}$ – стандартный базис алгебры $\mathfrak{sl}_2$. Из теории представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ следует, что младший вес $\Lambda$ отождествляется с неположительным целым числом $\Lambda(h)$. Из следствия 1, 1) имеем $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$, где
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ \Lambda&2 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
если $\Lambda\ne0$, и
$$
\begin{equation*}
\widetilde{A}= \begin{pmatrix}2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
при $\Lambda=0$. При $|\Lambda|\leqslant 3$ алгебра $\mathfrak L$ конечномерна, а при $|\Lambda|\geqslant 4$ – бесконечномерна. Предложение 1. Пусть диаграмма Дынкина обобщенной матрицы Картана $\widetilde{B}$ получается из диаграммы для матрицы $\widetilde{A}$ добавлением вершин и увеличением кратностей ребер (без изменения направления стрелок), в том числе добавлением новых ребер. Тогда алгебра $\mathfrak L_{\widetilde{A}}$, соответствующая матрице $\widetilde{A}$, является факторалгеброй алгебры $\mathfrak L_{\widetilde{B}}$, соответствующей матрице $\widetilde{B}$. Доказательство. Занумеруем вершины диаграммы $\widetilde{B}$ числами $0,\dots,n$ так, что выделена вершина с номером 0, а диаграмма $\widetilde{A}$ получается удалением вершин $k+ 1, \dots,n$, всех ребер, выходящих из них, а также уменьшением кратностей некоторых ребер из оставшихся (возможно, до нуля).
Профакторизуем алгебру $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde B}\simeq\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ по идеалу, порожденному элементами $e_{k+1}$, $\dots,e_n$. Мы получим алгебру $\mathfrak N$, порожденную элементами $e_0,\dots, e_k$, определяющие соотношения которых происходят из тех определяющих соотношений в $\widetilde{\mathfrak n}_+$ и одночленов из $\mathfrak J$, которые не содержат $e_{k+1},\dots,e_n$. Ребру, соединяющему $i$-ю и $j$-ю вершины, соответствуют два порождающих элемента идеала соотношений: $(\operatorname{ad} e_i)^{1-a_{ij}}e_j$ и $(\operatorname{ad} e_j)^{1-a_{ji}}e_i$. При уменьшении кратности ребра числа $a_{ij}$ и $a_{ji}$ могут только уменьшиться по модулю. Тогда идеал соотношений увеличится, и $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde A}$ является факторалгеброй алгебры $\mathfrak N$, а значит, и $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde B}$. Учитывая, что алгебры $\mathfrak L_{\widetilde A}$ и $\mathfrak L_{\widetilde B}$ являются идеалами, порожденными $e_0$ в $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde{A}}$ и $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde B}$ соответственно, получим требуемое утверждение. Почти во всех случаях алгебра $\mathfrak L$ бесконечномерна. Более точно, имеет место Предложение 2. Пусть в диаграмме Дынкина, соответствующей матрице $\widetilde{A}$, из выделенной вершины выходит более трех ребер (с учетом кратностей). Тогда алгебра $\mathfrak L$ бесконечномерна. Доказательство. Применяя предложение 1, можем уменьшить кратности ребер, выходящих из выделенной вершины, чтобы из нее выходило ровно 4 ребра. Удалим все вершины, не соединенные ребрами с выделенной вершиной, а затем удалим ребра, соединяющие невыделенные вершины. Этим действиям соответствует переход к факторалгебре алгебры $\mathfrak L$. Диаграмма Дынкина примет один из следующих пяти видов: Во всех этих случаях применимо следствие 1 из теоремы 1. Cледовательно, в них алгебра $\mathfrak L$ изоморфна алгебре $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}$, которая бесконечномерна, так как построенные диаграммы – аффинного типа. Главная сложность при описании алгебры $\mathfrak L$ заключается в том, что условие $(\operatorname{ad} e_0)^2=0$ на $\mathfrak g$ во многих случаях не выполнено. В таких случаях нужно найти пересечения $\mathfrak J\cap\widetilde{\mathfrak g}_i$. Пример 2. Пусть $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_3$, а $\widetilde A=A_2^{(1)}$ – обобщенная матрица Картана аффинного типа, Имеем
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ad} e_{0})^{2}e_{1}=(\operatorname{ad} e_{0})^{2}e_{2}=0,
\end{equation*}
\notag
$$
что непосредственно следует из вида матрицы $A_{2}^{(1)}$, но при этом $(\operatorname{ad} e_{0})^{2}[e_{1},e_{2}]\ne0$. Действительно, $\widetilde{\mathfrak g}$ – коммутант нескрученной аффинной алгебры, в явной конструкции которой как расширения алгебры петель $\mathfrak{sl}_3\otimes\mathbb C[t,t^{-1}]$ (см. [3; гл. 7]) имеем
$$
\begin{equation*}
e_{0}= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ t&0&0 \end{pmatrix}, \qquad e_{1}= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2}= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ad} e_{0})^{2}[e_{1},e_{2}]= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ -2t^{2}&0&0 \end{pmatrix}\ne0.
\end{equation*}
\notag
$$
В таком случае алгебра $\mathfrak L$ не совпадает с $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$. Замечание 1. Предположим, что $R$ – неприводимое представление полупростой группы Ли $G$ с младшим вектором $e_0$ веса $\Lambda$, а $\mathfrak L_G$ – алгебра Ли, ему соответствующая. Пусть $S\subset G$ – полупростая подгруппа Ли. Тогда слагаемое $\widetilde{\mathfrak g}_1$ разлагается в прямую сумму $S$-модулей, и $e_0$ является младшим вектором некоторого веса $\mu$ в одном из этих модулей. Пусть $\mathfrak s=\mathfrak n_-'\oplus\mathfrak h'\oplus\mathfrak n_+'$ – треугольное разложение алгебры $\mathfrak s$, причем его слагаемые содержатся в соответствующих слагаемых треугольного разложения алгебры $\mathfrak g$. Рассмотрим подалгебру $\mathfrak M$, порожденную в $\widetilde{\mathfrak L}_G$ подалгеброй $\mathfrak n_+'$ и элементом $e_0$. В ней выполнены соотношения где $e_i'$ – канонические образующие в $\mathfrak s$, а $\mu_i$ – числовые отметки веса $\mu$. Значит, эта подалгебра является факторалгеброй алгебры $\widetilde{\mathfrak L}_S$, соответствующей представлению $S$ с младшим весом $\mu$. В следующем примере матрица $\widetilde A$ неопределенного типа. Пример 3. Алгебра, соответствующая представлению группы Ли $\mathrm{SL}_3$ с младшим весом $\Lambda=-\pi_1-2\pi_2$, бесконечномерна. Тензорное представление трех неприводимых $\mathrm{SL}_3$-модулей с младшим весом $-\pi_1$ является неприводимым $\mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3$-модулем, которому соответствует диаграмма Дынкина следующего вида:  Группа $S=\mathrm{SL}_3$ вкладывается в $G=\mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3$ диагонально таким образом, что положительная часть треугольного разложения алгебры $\mathfrak{sl}_3$ порождается элементами $e_1'=e_1+e_3+e_5$ и $e_2'=e_2+e_4+e_6$. Тогда элемент $e_0$ является младшим вектором $\mathrm{SL}_3$-модуля с младшим весом $-\pi_1-2\pi_2$. В соответствии с замечанием выше будем обозначать соответствующую представлению группы $\mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3$ алгебру через $\widetilde{\mathfrak L}_G$, а алгебру, соответствующую представлению подгруппы $\mathrm{SL}_3$ – через $\widetilde{\mathfrak L}_S$. Тогда из замечания выше следует, что подалгебра $\mathfrak M$, порожденная в $\widetilde{\mathfrak L}_G$ элементами $e_0$, $e_1+e_3+e_5$ и $e_2+e_4+e_6$, является факторалгеброй алгебры $\widetilde{\mathfrak L}_S$. Алгебра $\widetilde{\mathfrak L}_G$ является коммутантом нескрученной аффинной алгебры типа $E_6^{(1)}$, и в ее явной конструкции имеем при $i\ne3$: $e_i=1\otimes\widetilde e_i$, где $\widetilde e_i$ – канонические образующие конечномерной алгебры Ли типа $E_6$, а $e_3=t\otimes\widetilde e_{\theta}$, где $\widetilde e_{\theta}$ – корневой вектор, отвечающий младшему корню $\theta=-\alpha_1-2\alpha_2-3\alpha_0-2\alpha_4-2\alpha_5-\alpha_6$ алгебры $E_6$. Докажем, что $\mathfrak M$ – бесконечномерная подалгебра в $\widetilde{\mathfrak L}_G$. Для этого докажем по индукции, что $t^k\otimes e_0\in\mathfrak M$ для любого $k\in\mathbb N$. База индукции очевидна. Элемент $t^k\otimes e_0$ является младшим вектором $\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3$-модуля веса $-\pi_2-\pi_4-\pi_5$. Минимальный положительный мнимый корень в алгебре $\widetilde{\mathfrak L}_G$ равен
$$
\begin{equation*}
\delta=3\alpha_0+\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3+2\alpha_4+2\alpha_5+\alpha_6.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ad}[e_1',e_2'])^3(t^k\otimes e_0)=e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}\in\mathfrak M,
\end{equation*}
\notag
$$
где $e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}$ – корневой вектор алгебры $\widetilde{\mathfrak L}_G$. По теореме 8.7 из [3] слагаемые $\mathfrak g_{3k+2}$ и $\mathfrak g_{-1}$ в аффинной алгебре типа $E_6^{(1)}$ изоморфны как $\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3$-модули, а из предложения 8.6 из [3] модуль $\mathfrak g_{-1}$ двойственен модулю $\mathfrak g_1$. Поэтому $\mathfrak g_{3k+2}$ – модуль с младшим весом $-\pi_1-\pi_3-\pi_6$. Элемент $[e_0,e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}]$ содержится в нем. Имеем
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ad} e_1')(\operatorname{ad} e_2')^2[e_0,e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}]=e_{\varphi}\in\mathfrak M,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\varphi=k\delta+2\alpha_0+\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3 +2\alpha_4+2\alpha_5+\alpha_6=(k+1)\delta-\alpha_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $e_{\varphi}=t^{k+1}\otimes e_{-\alpha_0}$. Тогда $(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\varphi}=t^{k+1}\otimes e_0\in\mathfrak M$. Таким образом, алгебра $\mathfrak M$ бесконечномерна. Значит, $\mathfrak L_S$ – бесконечномерная алгебра Ли. Следующая лемма вместо п. 2) теоремы 1 описывают алгебру $\mathfrak L$ в случае, когда модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводим. Лемма 2. Пусть $\widetilde{\mathfrak g}_2$ – неприводимый $\mathfrak g$-модуль, и $(\operatorname{ad} e_0)^2\ne0$ на $\mathfrak g$. Тогда $\mathfrak L$ коммутативна. Доказательство. По теореме 1 $\mathfrak L\simeq\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$. Найдется такой элемент $x\in\mathfrak g$, что $[e_0,[e_0,x]]\in \mathfrak J$, но $[e_0,[e_0,x]]$ – ненулевой элемент $\widetilde{\mathfrak g}_2$. Тогда из неприводимости $\widetilde{\mathfrak g}_2$ следует, что $\widetilde{\mathfrak g}_2\subset \mathfrak J$. Но $\widetilde{\mathfrak g}_2=[\widetilde{\mathfrak g}_1,\widetilde{\mathfrak g}_1]$, а $\widetilde{\mathfrak g}_1$ порождает алгебру Ли $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$. Таким образом, алгебра $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_1$ коммутативна. Пусть алгебра $\widetilde{\mathfrak g}$ конечномерна. Тогда модуль $\widetilde{\mathfrak g}_i$ разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей, каждый из которых является прямой суммой корневых подпространств алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$, отвечающих корням $\alpha=\sum k_i\alpha_i$ с фиксированными коэффициентами $k_i$ при простых корнях, не содержащихся в системе простых корней подалгебры $\mathfrak g$ (см. [4; п. 3.3.5]). В рассматриваемом случае $\alpha_0$ – единственный такой простой корень, и все корневые подпространства в $\widetilde{\mathfrak g}_i$ отвечают корням с $k_0=i$. Значит, модули $\widetilde{\mathfrak g}_i$ неприводимы при всех $i$. Воспользуемся леммой 2 для описания алгебры $\mathfrak L$ в случае конечномерной алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Теорема 2. Пусть $\widetilde{\mathfrak g}$ – простая конечномерная алгебра Ли. Тогда, если $\alpha_0$ – длинный корень, то $\mathfrak L\simeq\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$. Если $\alpha_0$ – короткий корень, то $\mathfrak L$ коммутативна. Доказательство теоремы 2. Пусть $\alpha_0$ – длинный корень. Покажем, что для любого положительного корня $\beta$ алгебры $\widetilde{\mathfrak g}_0$ вектор $2\alpha_0+\beta$ не является корневым в алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$. Ограничение на вещественную форму подалгебры $\mathfrak h$ инвариантной билинейной формы $(\cdot\,|\,\cdot)$ положительно определено, поэтому из неравенства треугольника получаем, что
$$
\begin{equation*}
(2\alpha_0+\beta \mid 2\alpha_0+\beta)>(\alpha_0\mid\alpha_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $2\alpha_0+\beta$ не может быть корнем алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Тогда $(\operatorname{ad} e_0)^2=0$ на $\mathfrak g$, и по теореме 1 имеем $\mathfrak L\simeq\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$.
Пусть корень $\alpha_0$ – короткий, и существует корень $\alpha_k$ большей длины. Из классификации простых алгебр Ли следует, что тогда в диаграмме Дынкина алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ найдется поддиаграмма вида  (мы учитываем, в рассматриваемых нами диаграммах Дынкина не может быть ребра, стрелка которого указывает на выделенную вершину). Тогда в алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$ имеется корень $\beta=2\alpha_1+\dots+2\alpha_{k-1}+\alpha_k$. При этом $\beta+2\alpha_0$ тоже является корнем. Значит, $(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\beta}\ne0$. Тогда из леммы 2 следует, что $\widetilde{\mathfrak g}_2\subset \mathfrak J$, и алгебра $\mathfrak L$ коммутативна. Случай длинного корня был рассмотрен в работе [2]. В этом случае алгебра $\mathfrak L$ изоморфна алгебре символов распределения $\mathcal V$, порожденного касательными векторами к минимальным рациональным кривым на однородном многообразии $\widetilde G/\widetilde P$, где $\widetilde G$ – простая группа Ли с касательной алгеброй $\widetilde{\mathfrak g}$, а $\widetilde P$ – максимальная параболическая подгруппа, соответствующая выделенной вершине. 3. Случай аффинных алгебр Каца–МудиВ этом разделе будем считать, что $\widetilde A$ – матрица Картана аффинной алгебры Ли типа $X_N^{(r)}$. Ей соответствует диаграмма Дынкина из списков $\operatorname {Aff}1$–$\operatorname {Aff}3$ в [3; § 4.8]. В алгебре $\mathfrak g(\widetilde A)$ имеется единственный положительный мнимый корень $\delta$, такой, что все положительные мнимые корни имеют вид $k\delta$, $k\in\mathbb N$. Числовые отметки $a_i$ при вершинах диаграммы Дынкина являются координатами мнимого корня $\delta$ в базисе простых корней алгебры $\mathfrak g(\widetilde A)$: $\delta=\sum a_i\alpha_i$. Напомним конструкцию алгебры $\mathfrak g(\widetilde A)$ как расширения скрученной алгебры петель. По предложению 8.6 из [3], простая конечномерная алгебра Ли $\mathfrak g(X_N)$ разлагается в прямую сумму $\mathfrak g(X_N)=\mathfrak g_{\overline 0}\oplus\dots\oplus \mathfrak g_{\overline{m-1}}$. Это разложение является градуировкой алгебры $\mathfrak g(X_N)$ по модулю $m=ra_0$, и слагаемые $\mathfrak g_{\overline i}$ являются собственными подпространствами некоторого автоморфизма $\sigma$ порядка $m$, причем а) $\mathfrak g_{\overline 0}=\mathfrak g$ является полупростой алгеброй Ли. Ее диаграмма Дынкина является поддиаграммой аффинной диаграммы $X_N^{(r)}$, состоящей из вершин $1,\dots, n$; б) $\mathfrak g_{\overline 1}$ – неприводимый $\mathfrak g_{\overline 0}$-модуль с младшим весом $\Lambda$, а $\mathfrak g_{\overline {m-1}}$ – двойственный неприводимый $\mathfrak g_{\overline 0}$-модуль со старшим весом $-\Lambda$. По теореме 8.7 из [3] алгебра $(\bigoplus_{j\in\mathbb Z}t^j\otimes \mathfrak g_{\overline j})\oplus \mathbb C K$ с коммутатором, заданным по формуле
$$
\begin{equation}
[t^i\otimes x_1 +\lambda_1K, t^j\otimes x_2 +\lambda_2K]=t^{i+j}\otimes[x_1,x_2] +\frac{i}{m}\delta_{i,-j}(x_1| x_2)K,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $(\cdot\,|\,\cdot)$ – инвариантная билинейная форма на алгебре $\mathfrak g(X_N)$, изоморфна производной алгебре $\widetilde{\mathfrak g}=[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$, причем градуировка на ней задается, если положить $\deg t=1$, $\deg x=0$ для $x\in\mathfrak g$, $\deg K=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathfrak g}_0=\mathfrak g_{\overline 0}\oplus\mathbb CK, \qquad \widetilde{\mathfrak g}_{i}=t^i\otimes\mathfrak g_{\overline i}, \quad i\ne0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующая лемма (см. [4; п. 3.3.11]) описывает строение $\mathfrak g$-модулей $\widetilde{\mathfrak g}_i$. Лемма 3. Имеется разложение Идеалы $\mathfrak g^{(j)}$ являются суммами простых идеалов, в сумму которых $\mathfrak g$ разлагается однозначно. При этом некоторые идеалы $\mathfrak g^{(j)}$ могут быть нулевыми. В таком случае соответствующие им подмодули $\widetilde{\mathfrak g}_i^{(j)}$ одномерны. Идеал $\mathfrak J$ порождается элементами вида $(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\alpha}$, где $e_{\alpha}$ – корневые векторы алгебры $\mathfrak g_0$. Таким образом, $\mathfrak J$ порождается некоторыми элементами модуля $\widetilde{\mathfrak g}_2$. Неприводимые подмодули $\widetilde{\mathfrak g}_2 $ либо целиком содержатся в идеале $\mathfrak J$, либо пересекаются с ним по нулю. Для описания алгебры $\mathfrak L$ необходимо изучить, какие из них попадают в идеал $\mathfrak J$. Следующая лемма описывает некоторые случаи, в которых модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ является неприводимым. Лемма 4. Пусть автоморфизм $\sigma$ имеет порядок $m=1$ или $m=3$. Тогда модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводим. Если же $m=2$, то $\mathfrak g$-модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ изоморфен $\mathfrak g$ и неприводим тогда и только тогда, когда алгебра $\mathfrak g$ проста. Доказательство. Если $m=1$ или $m=3$, то $\widetilde{\mathfrak g}_2=t^2\otimes \mathfrak g_{\overline{m-1}}$. Тогда неприводимость модуля $\widetilde{\mathfrak g}_2$ следует из п. б) выше. В случае $m=2$ имеем $\widetilde{\mathfrak g}_2=t^2\otimes \mathfrak g_{\overline 0}$, и в модуле $\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводимых компонент ровно столько же, на сколько простых идеалов разлагается алгебра $\mathfrak g_{\overline0}$. Пусть $n$ – ранг алгебры $\mathfrak g$. Разобьем множество индексов $\{1,\dots,n\}$ на множества $I_0,\dots,I_p$, где в $I_k$ входят те индексы $j$, для которых $\alpha_j$ – простые корни алгебры Ли $\mathfrak g^{(k)}$. Нам пригодится предложение 3.2.2 из [4] в двойственной формулировке. Лемма 5. Пусть вес $\lambda=\Lambda+\alpha_{i_1}+\dots+\alpha_{i_k}$, где $\Lambda$ – младший вес неприводимого представления $\rho$ полупростой алгебры Ли, а $\alpha_{i_j}$ – некоторые простые корни, антидоминантен. Тогда $\lambda$ является весом представления $\rho$. В частности, если младший вес представления принадлежит решетке корней, то 0 является весом представления. Весовые векторы представления алгебры $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ являются корневыми векторами алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$, причем векторами нулевого веса являются только векторы, отвечающие мнимым корням $k\delta$. При $a_0$, равном 1 или 2, в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ существует корень вида $({2}/{a_0})\delta$, который является нулевым весовым представления $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_2$. Тогда $\widetilde{\mathfrak g}_2$ раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей $\widetilde{\mathfrak g}_2=\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}\oplus\dots\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(p)}$, причем $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(k)}$ порождается как векторное пространство корневыми векторами, отвечающими корням вида $({2}/{a_0})\delta+\sum_{i\in I_k}c_i\alpha_i$. Из леммы 5 вытекает следующее утверждение (лемма 3.3.9 из [4]). Лемма 6. Пусть все веса линейного представления полупростой алгебры Ли однократны и сравнимы между собой по модулю решетки корней. Тогда это представление неприводимо. Поскольку в алгебре $\mathfrak g(\widetilde{A})$ кратными корнями являются только мнимые, которые имеют вид $k\delta=k\sum a_i\alpha_i$, $k\in\mathbb Z\setminus\{0\}$, то при $a_0>2$ в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ нет кратных корней алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Тогда, применив лемму 6, получим следующее утверждение. Далее для удобства обозначений зафиксируем нумерацию вершин диаграммы Дынкина $\widetilde{A}$ в соответствии с таблицами $\operatorname {Aff}1$–$\operatorname {Aff}3$ в [3; § 4.8] и будем считать, что выделена ее произвольная вершина, а не нулевая, как ранее. В следующей теореме описаны алгебры $\mathfrak L$ в случае аффинной матрицы Картана $\widetilde{A}$. Теорема 3. 1. В следующих случаях алгебра $\mathfrak L$ коммутативна. (a) Матрица $\widetilde{A}$ соответствует диаграмме Дынкина из таблицы $\operatorname{Aff}1$. Алгебра $\mathfrak g$ простая, выделена вершина с числовой отметкой, равной 1. (b) Диаграмма Дынкина имеет следующий вид: 2. Следующие диаграммы Дынкина исчерпывают случаи, когда алгебра $\mathfrak L$ конечномерна, но некоммутативна: В этих случаях алгебра $\mathfrak L$ нильпотентна степени 2. 3. В остальных случаях $\mathfrak L$ бесконечномерна и изоморфна алгебре $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$. Доказательство. В случаях из п. 1, a) автоморфизм $\sigma$ имеет порядок, равный 1. Значит, модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводим по лемме 4. Докажем, что $(\operatorname{ad} e_0)^2\ne0$ на $\mathfrak g$. Тогда коммутативность алгебры $\mathfrak L$ будет следовать из леммы 2. Пуcть $\theta$ – старший корень алгебры $\mathfrak g$. В описанной выше конструкции алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ имеем $e_0=t\otimes e_{-\theta}$. Тогда $(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\theta}=-2t^2\otimes e_{-\theta}\ne0$. Частный случай этого вычисления приведен выше в примере 3.
В случаях из п. 1, b), кроме $C_l^{(1)}$, модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ также неприводим по лемме 4. Действительно, в случаях $F_4^{(1)}$, $A_{2l-1}^{(2)}$ и $E_6^{(2)}$ порядок автоморфизма $\sigma$ равен 2 и алгебра $\mathfrak g$ проста, а в случае $D_4^{(3)}$ порядок автоморфизма $\sigma$ равен 3. В этих диаграммах выделена $k$-я вершина, $k=4$ в случае $F_4^{(1)}$ и $k=0$ в остальных случаях. Как и в п. 1, a), достаточно показать, что $(\operatorname{ad} e_k)^2\ne0$ на $\mathfrak g$. Для этого возьмем такой корень $\beta$ алгебры $\mathfrak g$, что $\beta+2\alpha_k$ является корнем алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Тогда $(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\beta}\ne0$. В случае $F_4^{(1)}$ возьмем $\beta=\alpha_2+2\alpha_3$; В случае $A_{2l-1}^{(2)}$: $\beta=2\alpha_2+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l$; В случае $E_6^{(2)}$: $\beta=2\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$; В случае $D_4^{(3)}$: $\beta=2\alpha_1+\alpha_2$. В случае $C_l^{(1)}$ $\widetilde{\mathfrak g}_2$ изоморфен $\mathfrak g$ как $\mathfrak g$-модуль. Алгебра Ли $\mathfrak g$ разлагается в прямую сумму двух простых идеалов $\mathfrak g^{(1)}$ и $\mathfrak g^{(2)}$, являющихся простыми алгебрами Ли типов $C_k$ и $C_{l-k}$ соответственно. Значит $\widetilde{\mathfrak g}_2$ разлагается в прямую сумму двух неприводимых подмодулей. Имеем $\delta=\alpha_0+2\alpha_1+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l$. Как было отмечено выше, в первом подмодуле содержатся корневые векторы, отвечающие корням вида $\delta+c_0\alpha_0+\dots+c_{k-1}\alpha_{k-1}$, а во втором – корневые векторы, отвечающие корням вида $\delta+c_{k+1}\alpha_{k+1}+\dots+c_{l}\alpha_{l}$. Пусть – старший корень алгебры $\mathfrak g^{(1)}$, а – старший корень алгебры $\mathfrak g^{(2)}$. Корни $\theta_1$, $\theta_2$ и $\alpha_k$ являются вещественными корнями алгебры Ли $\widetilde{\mathfrak g}$, причем $\theta_1+2\alpha_k$ и $\theta_2+2\alpha_k$ также являются корнями. Значит, $x=(\operatorname{ad} e_k)^2 e_{\theta_1}\ne0$ и $y=(\operatorname{ad} e_k)^2 e_{\theta_2}\ne0$ в алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$. При этом $x$ – корневой вектор, отвечающий корню $\theta_1+2\alpha_k=\delta-2\alpha_{k+1}-\dots-2\alpha_{l-1}-\alpha_l$. Поэтому $x$ содержится в подмодуле $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$. Аналогично, $y$ отвечает корню $\delta-\alpha_0-2\alpha_1-\dots-2\alpha_{k-1}$ и содержится в подмодуле $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$. Значит, оба неприводимых подмодуля содержатся в идеале $\mathfrak J$. Поэтому $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J=\widetilde{\mathfrak g}_1$ – коммутативная алгебра Ли.Рассмотрим случаи п. 2.  В этом случае алгебра $\mathfrak g$ разлагается в прямую сумму идеалов $\mathfrak p_1$ и $\mathfrak p_2$. Идеал $\mathfrak p_1$ является алгеброй типа $A_1$ с простым корнем $\alpha_0$, а $\mathfrak p_2$ – алгебра типа $B_3$ с простыми корнями $\alpha_2$, $\alpha_3$ и $\alpha_4$. В алгебре $\mathfrak p_2$ имеется ненулевой элемент $e_{\beta}=[e_2,[e_2,e_3]]$, отвечающий вещественному корню $\beta=2\alpha_2+\alpha_3$. Заметим, что $\theta=\beta+2\alpha_1$ также является корнем алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$, поэтому $e_{\theta}=(\operatorname{ad} e_1)^2e_{\beta}$ – ненулевой элемент, соответствующий корню $\theta$. Элемент $e_{\theta}$ является младшим вектором $\mathfrak g$-модуля $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$, поэтому $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}\subset \mathfrak J$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\theta(h_0)=-2, \qquad \theta(h_2)=0, \qquad \theta(h_3)=0, \qquad \theta(h_4)=-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ является тензорным произведением представления $A_1$ размерности 3 с младшим весом $-2\pi_0$ и представления $B_3$ размерности 7 с младшим весом $-\pi_4$. Значит, $\dim\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}=3\cdot7=21$. Покажем, что в модуле $\widetilde{\mathfrak g}_2$ содержится еще один неприводимый одномерный подмодуль $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$. Модули $\mathfrak g$, $\widetilde{\mathfrak g}_1$, $\widetilde{\mathfrak g}_2$, $\widetilde{\mathfrak g}_3$, изоморфны собственным подпространствам автоморфизма $\sigma$ алгебры $E_6$ порядка 4. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\dim\mathfrak g+\dim\widetilde{\mathfrak g}_1+\dim\widetilde{\mathfrak g}_2+\dim\widetilde{\mathfrak g}_3=\dim E_6=78.
\end{equation*}
\notag
$$
Модуль $\mathfrak g$ является прямой суммой алгебр типов $A_1$ и $B_3$, значит, $\dim\mathfrak g= 3+21=24$. Модуль $\widetilde{\mathfrak g}_1$ является тензорным произведением неприводимого представления алгебры $A_1$ размерности 2 с младшим весом $-\pi_0$ и неприводимого представления алгебры $B_3$ размерности 8 с младшим весом $-\pi_2$. Значит, $\dim\widetilde{\mathfrak g}_1=2\cdot8=16$. Представление $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_3$ двойственно представлению в $\widetilde{\mathfrak g}_1$, значит, $\dim\widetilde{\mathfrak g}_3=\dim\widetilde{\mathfrak g}_1=16$. Тогда $\dim\widetilde{\mathfrak g}_2=22$. Имеем $\dim\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}=21$, поэтому в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ имеется еще один одномерный подмодуль $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$, который натянут на корневой вектор $z$, отвечающий весу $\delta$. Элемент $z$ не имеет вид $(\operatorname{ad} e_1)^2 w$, где $w\in\mathfrak g$, так как $\delta-2\alpha_1=\alpha_0+3\alpha_2+2\alpha_3+\alpha_4$ не является корнем алгебры $\mathfrak g$, и не получается из такого элемента действием $\mathfrak g$, так как $\operatorname{ad}(\mathfrak g)=0$ на $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$. Значит, $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}\not\subset \mathfrak J$, Заметим, что $\widetilde{\mathfrak g}_3$ – неприводимый $\mathfrak g$-модуль. Поэтому он либо целиком содержится в $\mathfrak J$, либо с ним пересекается тривиально. Докажем, что $\widetilde{\mathfrak g}_3\subset \mathfrak J$. Для этого достаточно предъявить корневой вектор $x\in\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ и корневой вектор $y\in\widetilde{\mathfrak g}_1$, отвечающие вещественным корням, сумма которых также является корнем. Тогда их коммутатор $[x,y]$ будет ненулевым вектором, содержащимся в $\widetilde{\mathfrak g}_3$ и в $\mathfrak J$, так как $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}\subset \mathfrak J$. Рассмотрим вещественные корни
$$
\begin{equation*}
\beta_1=\theta=2\alpha_1+2\alpha_{2}+\alpha_3, \qquad \beta_2=\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4.
\end{equation*}
\notag
$$
Их сумма равна
$$
\begin{equation*}
\beta_1+\beta_2=\alpha_0+3\alpha_1 +3\alpha_2+2\alpha_3+\alpha_4=\delta+\alpha_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что представления $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ и $\widetilde{\mathfrak g}_3$ изоморфны, так как самодвойственны, а $\beta_1+\beta_2$ получается сдвигом на $\delta$ из корня $\alpha_k$. Значит, $\beta_1+\beta_2$ – вещественный корень алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Тогда можем взять $x=e_{\beta_1}=e_{\theta}, y=e_{\beta_2}$. Таким образом, $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_1\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$, и алгебра $\mathfrak L$ конечномерна. Остались нерассмотренными два случая: Предъявим соответствующий автоморфизм $\sigma$ порядка 4 алгебры Ли $\mathfrak g(X_N)$. Для обоих случаев он строится одинаково. Рассмотрим векторное пространство $V$ размерности $n=2l+1$ в случае $A_{2l}^{(2)}$ или размерности $n=2l$ в случае $A_{2l-1}^{(2)}$. Пусть оно разложено в прямую сумму: $V=V_1\oplus V_2$, причем $\dim V_1=n_1=2k+1$ в случае $A_{2l}^{(2)}$ или $\dim V_1=n_1=2k$ в случае $A_{2l-1}^{(2)}$, а $\dim V_2=n_2=2l-2k$ в обоих случаях. Пусть $f$ – невырожденная билинейная форма на $V$, такая что $f(V_1,V_2)=f(V_2,V_1)=0$, $f|_{V_1}$ – симметрична, а $f|_{V_2}$ кососимметрична. Пусть $\sigma$ – автоморфизм алгебры Ли $\mathfrak{sl}(V)$, отображающий оператор $X$ в $-X^*$, где $X^*$ – оператор, сопряженный $X$ относительно $f$. Тогда $\mathfrak g=\mathfrak g^{(1)}\oplus\mathfrak g^{(2)}\oplus\mathfrak g^{(3)}$. Идеал $\mathfrak g^{(1)}=\mathfrak{so}(V_1)$ соответствует поддиаграмме Дынкина, составленной из вершин $\alpha_0,\dots,\alpha_{k-1}$. В случае $A_{2l-1}^{(2)}$ при $k>2$ он имеет тип $D_k$, при $k=2$ – тип $A_1\oplus A_1$, а в случае $A_{2l}^{(2)}$ – тип $B_k$. Идеал $\mathfrak g^{(2)}=\mathfrak{sp}(V_2)$ – простая алгебра типа $C_{l-k}$. Идеал $\mathfrak g^{(3)}$ – нулевой. Модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ разлагается в прямую сумму трех неприводимых $\mathfrak g$-подмодулей: подмодули $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ и $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$ изоморфны пространствам симметрических операторов с нулевым следом в $V_1$ и $V_2$ соответственно, а $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(3)}$ одномерен и состоит из операторов с нулевым следом, скалярных на $V_1$ и $V_2$. Заметим, что представление алгебры $\mathfrak g^{(1)}$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ удовлетворяет условиям следствия 1 из теоремы 1. Значит, $(\operatorname{ad} e_k)^2\mathfrak g^{(1)}=0$ в $\widetilde{\mathfrak g}$. В то же время корень алгебры $\mathfrak g^{(2)}$ является вещественным корнем алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$, а
$$
\begin{equation*}
\theta=\beta+2\alpha_k=2\alpha_k+2\alpha_{k+1}+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l
\end{equation*}
\notag
$$
также является корнем алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Поэтому $e_{\theta}=(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\beta}\ne 0$, значит В алгебре $C_{l-k}$ корень $\beta$ – единственный положительный корень вида $2\alpha_{k+1}+c_{k+2}\alpha_{k+2}+\dots+c_l\alpha_l$. Докажем, что для корневых векторов $e_{\gamma}$ отвечающих корням $\gamma=c_{k+1}\alpha_{k+1}+c_{k+2}\alpha_{k+2}+\dots+c_l\alpha_l$, где $c_{k+1}=0$ или $c_{k+1}=1$, условие $(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\gamma}=0$ выполняется. Можно считать, что $e_{\gamma}$ – лиевский одночлен от $e_{k+1},\dots,e_l$. Тогда утверждение доказывается индукцией по степени лиевского одночлена аналогично следствию 1 из теоремы 1. База индукции. Если $e_{\gamma}=e_j$, где $j\in\{k+1,\dots,l\}$, то равенство $(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\gamma}=0$ следует из соотношений Серра. Шаг индукции. Можем считать, что $e_{\gamma}=[e_j,x]$, где $x$ – лиевский моном, для которого выполнено соотношение $(\operatorname{ad} e_k)^2x=0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
(\operatorname{ad} e_k)^2[e_j,x]=[(\operatorname{ad} e_k)^2e_j,x]+2[[e_k,e_j],[e_k,x]]+[e_j,(\operatorname{ad} e_k)^2x].
\end{equation*}
\notag
$$
В правой части третье слагаемое равно 0. Если $j\ne {k+1}$, то в правой части первые два слагаемых равны 0 из условия $[e_k,e_j]=0$. Если $j=k+1$, то $x$ является лиевским одночленом от переменных $e_{k+2},\dots, e_l$. Тогда $[e_k,x]=0$, и второе слагаемое равно 0. Первое слагаемое равно 0, так как выполнено соотношение $(\operatorname{ad} e_k)^2e_{k+1}=0$. Значит, идеал $\mathfrak J$ порождается единственным элементом $e_{\theta}=(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\beta}$. Вектор $e_{\theta}$ корневой, значит он содержится в одном из неприводимых подмодулей, а именно в $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$, потому что он соответствует корню $\delta-\alpha_0-\alpha_1-2\alpha_2-\dots-2\alpha_{k-1}$ в случае $A_{2l-1}^{(2)}$ или корню $\delta-2\alpha_0-\dots-2\alpha_{k-1}$ в случае $A_{2l}^{(2)}$. Таким образом, $\mathfrak J\cap\widetilde{\mathfrak g}_2=\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$. Модуль $\widetilde{\mathfrak g}_3$ – неприводимый. Докажем, что $\widetilde{\mathfrak g}_3\subset \mathfrak J$. Для этого, как и в случае $E_6^{(2)}$, достаточно найти такие корневые векторы $x\in\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}, y\in\widetilde{\mathfrak g}_1$, отвечающие вещественным корням $\beta_1$ и $\beta_2$ соответственно, что $\beta_1+\beta_2$ – корень. Корень $\beta_1$ в обоих случаях выберем одинаковым:
$$
\begin{equation*}
\beta_1=\theta=2\alpha_k+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l.
\end{equation*}
\notag
$$
Корень $\beta_2$ возьмем вида в случае $A_{2l}^{(2)}$ и
$$
\begin{equation*}
\beta_2=\alpha_0+\alpha_1+2\alpha_2+\dots+2\alpha_{k-1}+\alpha_k
\end{equation*}
\notag
$$
в случае $A_{2l-1}^{(2)}$. В обоих случаях $\beta_1+\beta_2=\delta+\alpha_k$. Заметим, что представления $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ и $\widetilde{\mathfrak g}_3$ изоморфны, так как самодвойственны, а $\beta_1+\beta_2$ получается сдвигом на $\delta$ из корня $\alpha_k$. Значит, $\beta_1+\beta_2$ – вещественный корень алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$. Тогда, взяв $x=e_{\beta_1}=e_{\theta}$, $y=e_{\beta_2}$, получим, что $[x,y]$ – ненулевой элемент, содержащийся в $\mathfrak J\cap\widetilde{\mathfrak g}_3$. Значит, $\widetilde{\mathfrak g}_3\subset \mathfrak J$. Таким образом, $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_1\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(3)}$, и алгебра $\mathfrak L$ конечномерна. Мы рассмотрели все случаи, перечисленные в п. 1 и 2 теоремы. В остальных случаях выполнены условия следствия 1 из теоремы 1 (это непосредственно следует из вида диаграмм Дынкина). Следовательно, в них алгебра $\mathfrak L$ изоморфна алгебре $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$, которая бесконечномерна. Автор благодарен своему научному руководителю Д. А. Тимашеву за постановку задачи и полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zav23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|