Два примера, связанные со свойствами дискретных мер

Предложены два примера, основанные на свойствах дискретных мер.
В первой части статьи доказывается, что для произвольной единичной меры $\mu$, $\operatorname{supp}{\mu}=[-1,1]$, логарифмический потенциал которой непрерывный на $[-1,1]$, существовует (дискретная) мера $\sigma=\sigma(\mu)$, $\operatorname{supp}{\sigma}=[-1,1]$, такая, что для соответствующих ортогональных полиномов $P_n(x;\sigma)=x^n+\dotsb$ справедливо соотношение:
$$ \frac1n\,\chi(P_n(\,\cdot\,;\sigma))\xrightarrow{*}\mu,\qquad n\to\infty, $$
где $\chi(\,\cdot\,)$ – мера, считающая нули полинома.
Доказательство существования меры $\sigma$ основано на свойствах обобщенных точек Лея (weighted Leja points).
Во второй части приводится пример компакта и последовательности дискретных мер с носителями на этом компакте, обладающей следующим свойством. Эта последовательность мер сходится в $*$-слабой топологии к равновесной мере компакта, но соответствующая последовательность логарифмических потенциалов не сходится по емкости к равновесному потенциалу ни в одной окрестности компакта.
Библиография: 11 названий.