| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Влияние размеров классов сопряженности некоторых элементов на структуру конечной группы Руйфан Чен, Хианьхэ Чжао College of Mathematics and Computer Science, Henan Normal University, КНР
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462301011X 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВсе группы, рассмотренные в этой статье, конечны. Пусть $G$ – группа, и пусть $x$ – элемент группы $G$. Для любого элемента $x\in G$, множество $\{x^g=g^{-1}xg: g\in G\}$ называется классом сопряженности элемента $x\in G$ и обозначается символом $x^G$. Размер класса сопряженности элемента $x\in G$ обозначается как $|x^G|$ или, что равносильно, $|G:C_G(x)|$. Элемент $y$ группы $G$ называется примарным или бипримарным, если порядок элемента $y$ делится точно на одно или два различных простых числа. Кроме того, для простого числа $p$ элемент $x$ называется $p$-элементом ($p'$-элементом), если порядок элемента $x$ равен некоторой степени числа $p$ (не делится на $p$). Все остальные обозначения являются стандартными, см., например, [1]. В 1904 г. Бернсайд доказал, что группа $G$ не является простой, если размер класса сопряженности некоторого нецентрального элемента группы $G$ является простой степенью, см., например, [2]. С тех пор исследование взаимосвязи между структурой группы и размерами классов сопряженности ее элементов вызвало интерес многих авторов, например, таких как Ахлаги, Бертрам, Манн, Чиллаг и Ито, и было получено много интересных результатов в данной области, см., например, [3]–[6]. В последние годы многие авторы пытаются исследовать структуру группы $G$, используя размеры классов сопряженности некоторых ее элементов, например, задавая структуру группы с помощью размеров классов сопряженности $p'$-элементов или примарных и бипримарных элементов, см., например, [7]–[9]. В работе [4], авторы исследовали структуру группы $G$, в которой размеры классов сопряженности всех нецентральных элементов имеют одинаковую $p$-часть для некоторого простого числа $p$. Доказано, что $G$ разрешимо и $p$-нильпотентно в этом случае. Эта статья мотивировала нас на исследование структуры группы $G$, в которой размеры классов сопряженности всех нецентральных примарных и бипримарных элементов имеют одинаковую $p$-часть для некоторого простого числа $p$. В данной статье, мы предположим, что $p$ – простое число и $e>0$ – целое. Будем говорить, что $G$ является $\mathcal{B}$-группой, если $G$ является неабелевой группой, а размеры классов сопряженности всех нецентральных примарных и бипримарных элементов в $G$ имеют одинаковую $p$-часть, т.е. $p^e$. Фактически, имеет место следующая теорема. Теорема A. Пусть $G$ – группа, и пусть $p$ – простой делитель для $|G|$ такой, что $(p-1,|G|)=1$. Если $G$ – $\mathcal{B}$-группа, то $G$ разрешима и $p$-нильпотентна. Для нильпотентной группы $G$ ее класс нильпотентности является наименьшим целым числом $l$ таким, что $Z_l(G)=G$, где $Z_1(G)=Z(G)$ и $Z_{i+1}(G)/Z_i(G)=Z(G/Z_i(G))$ при $i\geqslant 1$. Пусть
$$
\begin{equation*}
cs(G)=\{|x^G|: x\in G\}= \{1,n_1,\dots,n_t\},\qquad 1<n_1<\dots<n_t.
\end{equation*}
\notag
$$
Ито показал [6], что $G$ нильпотентна, если $t=1$. Ишикава [10] и Манн [11] независимо друг от друга доказали, что класс нильпотентности группы $G$ не превышает 3, если $t=1$. Кроме того, пусть $M(G)=\langle x\in G:|x^G|=1\text{ или }n_1\rangle$. Манн доказал, что если $G$ является нильпотентной группой, то $M(G)$ имеет класс нильпотентности не выше 3. Айзекс [12] доказал, что если $G$ суперразрешима, то $M(G)$ нильпотентна с классом нильпотентности не выше 3, и в целом подходящая подгруппа $M(G)$ имеет класс нильпотентности не выше 4. Пусть $H$ и $K$ – две подгруппы группы $G$, а $x$ – элемент группы $G$. Следуя [13], через $[x,H]$ обозначим множество $\{[x,h]=x^{-1}x^h:h\in H\}$, а через $[K,H]$ обозначим подгруппу, порожденную множеством $\{[k,h]:k\in K, h\in H\}$. Подмножество $S$ группы $G$ называется нормальным подмножеством, если $S^g=S$ для любого $g\in G$. Пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$, и пусть $x\in N$. Тогда $|x^N|$ делит $|x^G|$. Фактически, имеем $|x^N|<|x^G|$ во многих группах. Например, пусть $G=N\rtimes H$ – группа Фробениуса, где $N$ – ядро Фробениуса и $H$ – дополнение Фробениуса. Предположим, что $N$ является абелевым. Тогда $|x^N|=1$ и $|x^G|=|H|$ для любых $x\in N$. В данной работе, всегда предполагается, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{cs}_G(N)=\{|x^G|:x\in N\}=\{1, n_1, n_2,\dots,n_t\},\qquad 1<n_1<n_2<\cdots<n_t.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [14] Алемани и ее коллеги доказали, что $N$ нильпотентно, если $t=1$. Следуя [12] и [13], в данной работе, будем писать
$$
\begin{equation*}
M_N(G)=\langle x\in N: |x^G|=1\text{ или }n_1\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В п. 4 сформулирована следующая теорема. Теорема B. Пусть $G$ – группа, и пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Если $C_G(F(G))\leqslant F(G)$ и $[x,F(G)]$ – нормальное подмножество в $F(G)$ для любых $x\in N$ при $|x^G|=1$ или при $n_1$, то $M_N(G)$ – нильпотентная группа с классом нильпотентности не выше $2$. 2. Вспомогательные утвержденияВ этом разделе мы приводим некоторые леммы, которые будут полезны при доказательстве наших основных теорем. Лемма 2.1 [15; теорема 5]. Пусть $G$ – группа, и пусть $p$ – простое число. Если $p\nmid |x^G|$ для любых примарных $p'$-элементов $x$ группы $G$, то силовская $p$-подгруппа группы $G$ является прямым фактором для $G$. Напомним, говорят, что группа автоморфизмов $A$ группы $G$ действует свободно с неподвижной точкой на $G$, если равенство $y^x=y$ выполняется для любых $x\in A$ и $y\in G$ тогда и только тогда, когда $x=1$ или $y=1$. Лемма 2.2. Пусть $G$ – $\mathcal{B}$-группа. Для любого нецентрального $p$-элемента $g\in G$, выполняются следующие условия: Доказательство. (i) Для любого примарного $p'$-элемента $x\in C_G(g)$ Поскольку $gx\notin Z(G)$ и $G$ – $\mathcal{B}$-группа, $p$ не делит Следовательно, пункт (i) следует из леммы 2.1. (ii) Для любого $u\in P(g)-Z(G)$, имеем $Q(g)\leqslant C_G(u)$, так как $C_G(g)=Q(g)\times P(g)$, и таким образом, $Q(g)\leqslant Q(u)$, откуда следует, что $g\in P(u)$. Аналогично, получим, что $Q(u)\leqslant Q(g)$, откуда следует пункт (ii). (iii) Обозначим $Y=P(g)$, и пусть $K$ – силовская $p$-подгруппа группы $G$, содержащая $P(g)$. Тогда $Y<K$, и таким образом, $N=N_K(Y)>Y$. Поскольку $Q(x)=Q(g)$ для любых $x\in K-Z(G)$ в силу (ii), $N$ нормализует $Q(g)$, и таким образом, $N$ действует как спряжение на $Q(g)$. Теперь, для любого примарного элемента $u\in Q(g)-Z(G)$, $Y\leqslant C_N(u)$, и таким образом, $Y=C_N(u)$. Следовательно, для любого $v\in Q(g)-Z(G)$, имеем $Y=C_N(v)$. Поэтому $Y=C_N(Q(g))$ и $N/Y$ действует свободно с неподвижной точкой на $Q(g)$. Следовательно, $Q(g)$ является нильпотентной, так как $N/Y\ne 1$. Лемма 2.3. Предположим, что $G$ – $\mathcal{B}$-группа и $x$ – нецентральный примарный $p'$-элемент в $G$. Если $Y/(Y\cap Z(G))$ абелева, где $Y$ является силовской $p$-подгруппой группы $C_G(x)$, то $Y$ абелева. Доказательство. Обозначим $Z=Y\cap Z(G)$. Для любого $y\in Y-Z$ имеем Отсюда следует, что $y$ централизует некоторый $Y^u$ для некоторого $u\in C_G(x)$, так как $G$ является $\mathcal{B}$-группой. Поскольку $Y/Z$ абелева, имеем $\langle Z, y\rangle\unlhd Y$. Следовательно, $Y$ нормализует $C_G(\langle Z,y\rangle)=C_G(y)=Q(y)\times Y^u$ и, следовательно, $Y$ нормализует $Y^u$. Отсюда следует, что $YY^u$ является $p$-подгруппой, содержащейся в $C_G(x)$, и, таким образом, $Y=Y^u$. Отсюда следует, что $y\in Z(Y)$, а значит $Y$ является абелевой. Лемма 2.4 [16; следствие 3.28]. Пусть $A$ – группа, действующая через автоморфизм на группу $G$, и пусть $N$ – нормальная $A$-инвариантная подгруппа группы $G$. Предположим, что $(|A|,|N|)=1$. Тогда $C_{G/N}(A)=C_G(A)N/N$. Лемма 2.5. Пусть $\pi$ – множество некоторых простых чисел, и пусть $N$ – a нормальная подгруппа группы $G$. Если $xN$ является $\pi$-элементом группы $G/N$, то существует $\pi$-элемент $x^*$ группы $G$ такой, что $xN=x^*N$. Доказательство. Пусть $|xN|=n_0$ и $|x|=n\cdot m$ такие, что $n$ является $\pi$-числом и $(n,m)=1$. Тогда $n_0\mid n$ и $x^{n_0}\in N$. Поскольку $(n,m)=1$, существуют целые числа $u$ и $v$ такие, что $un+vm=1$. Следовательно, $x=x^{un}\cdot x^{vm}$, и таким образом, $xN=(x^m)^vN$. Ясно, что $x^*=(x^m)^v$ является $\pi$-элементом. Лемма 2.6. Пусть $G$ – $\mathcal{B}$-группа. Если $N$ является нормальной $p'$-подгруппой группы $G$, то $G/N$ является $\mathcal{B}$-группой. Доказательство. Чтобы доказать, что $G/N$ является $\mathcal{B}$-группой, достаточно показать, что $G/N$ неабелева и что $p$-часть числа $|(xN)^{G/N}|$ равна $p^e$ для любого нецентрального примарного или бипримарного элемента $xN$ группы $G/N$. Поскольку $N$ – $p'$-подгруппа группы $G$ и $G$ – $\mathcal{B}$-группа, то $G/N$ является неабелевой. Пусть $xN$ – произвольный нецентральный примарный или бипримарный элемент группы $G/N$. В силу леммы 2.5 можно считать, что $x$ является нецентральным примарным или бипримарным элементом группы $G$. Поскольку $C_G(x)N/N\leqslant C_{G/N}(xN)$ и $|C_G(x)N/N|_p=|C_G(x)|_p$, то Пусть $K$ – $p$-подгруппа группы $G$ такая, что $KN/N$ является силовской $p$-подгруппой группы $C_{G/N}(xN)$. Тогда из леммы 2.4 следует, что существует некоторый $y\in xN$ такой, что $y$ централизуется подгруппой $K$. Тогда Следовательно, $|C_{G/N}(xN)|_p=|G|_p/p^e$, и таким образом, $p$-часть числа $|(xN)^{G/N}|$ есть $p^e$.Лемма 2.7. Пусть $G$ – группа, и пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Если $K$ – абелева нормальная подгруппа группы $G$, то $[M_N(G),K]\leqslant Z(G)$. Доказательство. Если $x$ является элементом подгруппы $N$ при $|x^G|=n_1$, то $[x,k]$ является элементом в $N$ и $|[x, k]^G|<|x^G|$ в силу леммы 1 в работе [12]. Следовательно, $|[x, k]^G|=1$ и, таким образом, $[x,k]\in Z(G)$, откуда следует утверждение леммы. Следующая лемма является обобщением приведенной выше леммы. Лемма 2.8. Пусть $K$ и $N$ – две нормальные подгруппы группы $G$ такие, что $[x,K]$ является нормальным подмножеством в $K$ для всех элементов $x$ в $N$ с $|x^G|=n_1$. Тогда $[M_N(G),K]\leqslant Z(G)$. Доказательство. Достаточно показать, что $[x,K]\subseteq Z(G)$ для любого элемента $x$ в $N$ с $|x^G|=n_1$. Пусть $x$ – такой элемент. Тогда $[x,K]$ является нормальным подмножеством подгруппы $K$ по предположению. Пусть $y$ – произвольный элемент в $[x,K]$. Из леммы 2.1 в работе [13] следует, что $|y^G|<|x^G|$. Поскольку $y\in N$, то $|y^G|=1$. Следовательно, $y\in Z(G)$, и таким образом, $[x,K]\subseteq Z(G)$. Теперь легко получаем требуемое утверждение. Лемма 2.9. Пусть $G$ – группа, и пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Если $G$ имеет нормальную подгруппу $A$ такую, что $C_G(A)\leqslant A$ и $[x,A]$ является нормальным подмножеством в $A$ для любого $x\in N$ при $|x^G|=1$ или $n_1$, то $M_N(G)$ является нильпотентной группой, класс которой не выше 3. Доказательство. Будем писать $M=M_N(G)$ для удобства. Поскольку $[x,A]$ является нормальным подмножеством в $A$, имеем $[A,M]\subseteq Z(G)$ в силу леммы 2.8 и, таким образом, $[A,M,M]=1$. В силу леммы о трех подгруппах (см., например, [1; теорема 5.1.10]), имеем $M'\subseteq C_G(A)\leqslant A$, откуда следует, что Следовательно, $M$ является нильпотентной группой, класс которой не выше 3. 3. Доказательство теоремы AСледующая теорема показывает, что $G$ разрешима, если $G$ удовлетворяет условиям теоремы A. Теорема 3.1. Пусть $G$ – группа, и пусть $p$ – простой делитель группы $G$ такой, что $(p-1,|G|)=1$. Если $G$ является $\mathcal{B}$-группой, то $G$ разрешима. Доказательство. Если $p$ – нечетное простое число, то $G$ является группой нечетного порядка и, таким образом, $G$ разрешима по теореме Фейта–Томпсона о нечетном порядке. Следовательно, достаточно показать, что утверждение теоремы верно для $p=2$. Если $G$ нильпотентна, то теорема верна. В дальнейшем мы можем предположить, что $G$ не является нильпотентной и что $K$ является силовской 2-подгруппой группы $G$. В силу теоремы 2 в работе [17], достаточно доказать, что $e=1$. Пусть $N=O_{2'}(Z(G))$. Тогда $G/N$ не является нильпотентной и $G/N$ является $\mathcal{B}$-группой по лемме 2.6. Если $N\ne 1$, то $G/N$ разрешима по индукции относительно $|G|$ и, таким образом, $G$ разрешима. Следовательно, можно предположить, что $N=1$ и тогда $Z(K)=Z(G)$. Введем обозначения $Z=Z(K)$ и $W=Z_2(K)$ и будем различать следующие два отдельных случая. Случай 1. Существует $y\in W-Z$ такой, что $Q(y)\ne 1$ (в обозначениях леммы 2.2). Мы можем предположить, что $y^2\in Z$. Тогда, так как $y\in W$, то $K'\leqslant C_K(y)$. Кроме того, $[y,g]\in Z$ для любых $g\in K$ и, таким образом, $[y,g^2]=[y^2,g]=1$. Поэтому $\Phi(K)\leqslant C_K(y)$. Теперь, $[K,y]\leqslant Z$ и, таким образом, $K$ нормализует Значит, $K$ нормализует как $Q(g)$, так и $P(g)$. Отсюда следует, что $P(y)\leqslant K$. Поэтому, $P(y)=C_K(y)$, и так как $Z(G)$ является 2-группой, из леммы 2.2 следует, что $K/C_K(y)$ действует свободно с неподвижной точкой на $Q(y)$. Поскольку $K/C_K(y)$ абелева, то $2^e=|K:C_K(y)|=2$, и поэтому теорема верна.Случай 2. Имеем $Q(y)=1$ для любого $y\in W-Z$. В этом случае, $C_G(y)=C_G(\langle y,Z\rangle)$ – $2$-группа для любого $y\in W-Z$. Поскольку $K$ нормализует $\langle y,Z\rangle$, то $K$ нормализует и $C_G(y)$ и, таким образом, $C_G(y)\leqslant K$. Следовательно, $C_G(y)=C_K(y)$, в частности, $|K:C_K(y)|=2^e$. Как и в случае 1, выбираем $y\in W-Z$ такой, что $y^2\in Z$, и пишем $Y=C_K(y)$. Тогда как и в случае 1, имеем $\Phi(K)\leqslant Y$ и $|K:Y|=2^e$. Поскольку $G$ не является 2-группой и $Z(G)=Z(K)$, можно выбрать нецентральный примарный $2'$-элемент $a$ группы $G$. Заменив его сопряженным, мы можем предположить, что $C=C_K(a)$ является силовской $2$-подгруппой группы $C_G(a)$. Для любого $x\in C-Z$, так как $a\in C_G(x)$ и $a$ является $2'$-элементом, то $Q(x)\ne 1$. С другой стороны, $Q(w)=Q(y)=1$ для любого $w\in Y-Z$ в силу леммы 2.2. Следовательно, $C\cap Y=Z$. Отсюда следует, что $C/Z\cong CY/Y$ является элементарно абелевой и, таким образом, $C$ абелева по лемме 2.3. Мы утверждаем, что $C$ не является нормальной в подгруппе $K$. Фактически, если $C$ нормальная в подгруппе $K$, то $C\cap W>Z$, что противоречит нашему предположению. Тогда существует некоторый элемент $g\in K$ такой, что $C^g\ne C$ и $C^g$ нормализует $C$. Как $C$ так и $C^g$ абелевы, $C\cap C^g=Z$. Теперь, $P(x)=C$ для любого $x\in C-Z$, и $C^g$ нормализует $Q(x)=O_{2'}(C_G(C))$. Следовательно, $C^g/Z=C^g/ (C^g\cap P(x))$ действует свободно с неподвижной точкой на $Q(x)$ по лемме 2.2. Так как $C^g/Z$ является элементарно абелевой, мы приходим к выводу, что $|C^g/Z|=|C/Z|=2$. Теперь, $2^e=|K:C|=|P:Y|$, поэтому $|Y/Z|=2$ и $|K|=|Z|2^{e+1}$. Обозначим $\overline{K}=K/Z$. Тогда поэтому $\overline{K}$ является дополнительной специальной 2-группой. Кроме того, $2|Z|\leqslant |C_K(g)|\leqslant |K|/2^e$ для любого $g\in K-Z$, в частности, $\langle g,Z\rangle/Z=C_K(g)/Z$ имеет порядок 2. Отсюда следует, что $K/Z$ имеет показатель степени 2 и, следовательно $K/Z$ является абелевой, что означает, что $C$ является нормальной в $K$, что противоречит началу этого раздела.Следующая теорема показывает $p$-нильпотентность группы $G$, которая удовлетворяет условиям теоремы A. Теорема 3.2. Пусть $G$ – группа, и пусть $p$ – простой делитель числа $|G|$ такой, что $(p-1,|G|)=1$. Если $G$ является $\mathcal{B}$-группой, то $G$ $p$-нильпотентна. Доказательство. По теореме 3.1 $G$ разрешима. Если $O_{p'}(G)\ne 1$, то $G/O_{p'}(G)$ является $\mathcal{B}$-группой в силу леммы 2.6 и, таким образом, $G/O_{p'}(G)$ является $p$-нильпотентной по индукции. Отсюда следует, что $G$ $p$-нильпотентна. Следовательно, мы можем предположить, что $O_{p'}(G)=1$. Пусть $x$ – произвольный примарный $p'$-элемент в $G$, и пусть $K$ – силовская $p$-подгруппа группы $C_G(x)$. Тогда $x\notin Z(G)$, так как $O_{p'}(G)=1$. Мы утверждаем, что $K\nleq Z(G)$. Фактически, так как $e>0$, то $K<T$ для некоторой силовской $p$-подгруппы $T$ группы $G$. Следовательно, существует элемент $y\in T-K$. Если $K\leqslant Z(G)$, то $K<\langle y,K\rangle\leqslant C_G(y)$, что противоречит тому, что $|C_G(y)|_p=|K|$. Теперь пусть $x$ – примарный $p'$-элемент в $G$, и пусть $g$ – $p$-элемент в $C_G(x)-Z(G)$. Рассмотрим действие группы $\langle x\rangle\times\langle g\rangle$ на $N=O_p(G)$. Ясно, что $\langle x\rangle$ тривиально действует на $C_N(g)$ в силу леммы 2.2. Следовательно, по лемме Томпсона (см., например, [16; теорема 4.31]), получим, что $\langle x\rangle$ централизирует $N$. С другой стороны, имеем $C_G(N)\leqslant N$, так как $G$ разрешима и $O_{p'}(G)=1$. Отсюда следует, что $x=1$ и, таким образом, $G$ является $p$-группой. что завершает доказательство. Теперь, приведем доказательство теоремы A. 4. Доказательство теоремы BТеорема 4.1. Пусть $G$ – группа, и пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Если $G$ имеет нормальную подгруппу $A$ такую, что $C_G(A)=A$, то $M_N(G)$ является нильпотентной группой, класс нильпотентности которой не выше $3$. Доказательство. Так как $C_G(A)=A$, то $A$ абелева. Поскольку $A$ является нормальной подгруппой группы $G$, то $[x,A]$ является подмножеством в $A$ для любого элемента $x\in N$ такого, что $|x^G|=n_1$. Следовательно, $[x,A]$ очевидно будет нормальным подмножеством в $A$. Теперь утверждение теоремы верно в силу леммы 2.9. Хорошо известно, что если $G$ является суперразрешимой группой и $A$ является максимальной абелевой нормальной подгруппой группы $G$, то $C_G(A)=A$. Следовательно, имеем следующее утверждение. Следствие 4.1. Если $G$ является суперразрешимой группой и $N$ является нормальной подгруппой группы $G$, то $M_N(G)$ является нильпотентной группой, класс нильпотентности которой не выше $3$. В дальнейшем рассмотрим подгруппу $M_N(G)$, и получим два следующих результата. Теорема 4.2. Пусть $G$ – группа, и пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Если $F(M_N(G))\ne 1$, то $Z(M_N(G))\ne 1$. Доказательство. Введем обозначение $M=M_N(G)$ для удобства. Пусть $Z=Z(F(M))$. Тогда $Z$ является нетривиальной характеристической подгруппой группы $M$. В частности, $Z$ является абелевой нормальной подгруппой группы $G$. Тогда $[Z, M]\subseteq Z(G)\cap M$ по лемме 2.7. Если $[Z, M]\ne 1$, то $Z(G)\cap M\ne 1$. Поскольку $Z(G)\cap M\subseteq M$, то $Z(M)\ne 1$. Если $[Z,M]=1$, то $1\ne Z\subseteq Z(M)$. Теорема 4.3. Пусть $G$ – группа, и пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Тогда $F(M_N(G))$ имеет класс нильпотентности не выше $4$. Доказательство. Обозначим $M=M_N(G)$ и $F=F(M)$ и предположим, что $n$ – класс нильпотентности для $F$. Таким образом, $L_n(F)>1$ и $L_{n+1}(F)=1$. Если $n<3$, то это утверждение верно. Таким образом, мы можем предположить, что $n\geqslant 3$. Если $L_{n-2}(F)$ абелева, то $[L_{n-2}(F), M]\subseteq Z(G)$ по лемме 2.7 и, таким образом, $L_n(F)=[L_{n-2}(F),F,F]=1$, что приводит к противоречию. Следовательно, $L_{n-2}(F)$ неабелева, откуда следует, что $1<[L_{n-2}(F),L_{n-2}(F)]\subseteq L_{2n-4}(F)$. Поскольку $L_{n+1}(F)=1$, то $2n-4<n+1$, откуда следует, что $n=4$. Доказательство теоремы B. Пусть $\overline{G}=G/Z(G)$. Аналогично, как в доказательстве теоремы A, в работе [13], мы утверждаем, что $C_{\overline{G}}(F(\overline{G}))\leqslant F(\overline{G})$. Теперь пусть $x$ – произвольный элемент в $N$ такой, что $|x^G|=n_1$. По предположению, $[x,F(G)]$ является нормальным подмножеством в $F(G)$. Следовательно, из леммы 2.8 следует, что $[x,F(G)]\subseteq Z(G)$. Таким образом, Следовательно, $\overline{x}\in C_{\overline{G}}(F(\overline{G})) \leqslant F(\overline{G})$, и поэтому $x\in F(G)$. Поскольку $[x,F(G)]\subseteq Z(G)\leqslant Z(F(G))$, то имеем $x\in Z_2(F(G))$, откуда следует, что $M_N(G)\leqslant Z_2(F(G))$. Легко получить $Z_2(M_N(G))=M_N(G)$ и, таким образом, $M_N(G)$ является нильпотентной группой, класс нильпотентности не выше 2. Следствие 4.2. Пусть $G$ – разрешимая группа, и пусть $N$ – нормальная подгруппа группы $G$. Если $[x,F(G)]$ является нормальным подмножеством в $F(G)$ для любого $x\in N$ такого, что $|x^G|=1$ или $n_1$, то $M_N(G)$ является нильпотентной группой, класс нильпотентности которой не выше $2$. Доказательство. Для разрешимой группы $G$, имеем $C_G(F(G))\leqslant F(G)$ по теореме 5.4.4 в работе [1]. Теперь требуемое утверждение легко вытекает из теоремы B. Авторы благодарят авторов работ [4], [12] и [13] за оказание содействия в подготовке настоящей статьи. Авторы благодарят рецензентов за ценные указания и тщательное прочтение рукописи. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{RuiXia23} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|