Почти линейные участки графиков функций

Пусть $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ – такая функция, что ее график $\{(x, f(x))\}_{x \in \mathbb{R}}$ в $\mathbb{R}^2$ является спрямляемой кривой. Доказано, что тогда для любых $L < \infty$ и $\varepsilon > 0$ существуют такие точки $A = (a, f(a))$ и $B = (b, f(b))$, что расстояние между $A$ и $B$ больше $L$, а расстояния от всех точек $(x, f(x))$, $a \leqslant x \leqslant b$, до отрезка $AB$ не больше $\varepsilon |AB|$. Приведен пример плоской спрямляемой кривой, для которой это утверждение неверно. Показано, что для покоординатно не убывающей последовательности целых точек плоскости с ограниченными расстояниями между соседними точками при любом $r < \infty$ существует прямая, содержащая не меньше $r$ точек этой последовательности.
Библиография: 2 названия.