Некоторые задачи, связанные с вполне монотонными и положительно определенными функциями

В работе рассматривается несколько задач для вполне монотонных функций (класс ${\mathcal{CM}}$) и для функций, которые являются положительно определенными на вещественном линейном пространстве $E$ (класс $\Phi(E)$).
В теореме 1 доказаны некоторые предположения Д. Моука, связанные с вполне монотонностью функции $x^{-\mu}(x^2+1)^{-\nu}$. В теореме 2 доказано, что если функция $f\in C^{\infty}{(0,+\infty)}$ и $\delta\in{\mathbb{R}}$, то
$$ f(x)-a^\delta f(a x)\in {\mathcal{CM}}\qquad \text{для всех}\quad a>1 $$
тогда и только тогда, когда
$$ -\delta f(x)-xf'(x)\in \mathcal{CM}. $$

Аналогичный результат для функций из $\Phi(E)$ получен в теореме 9: если $\varepsilon\in{\mathbb{R}}$, а функция $h\colon [0,+\infty)\to\mathbb{R}$ непрерывна на $[0,+\infty)$, дифференцируема на интервале $(0,+\infty)$ и $xh'(x)\to 0$ при ${x\to+0}$, то
$$ h(\rho(u))-a^{-\varepsilon}h(a\rho(u))\in\Phi(E)\qquad \text{для всех}\quad a>1 $$
тогда и только тогда, когда
$$ \psi_{\varepsilon}(\rho(u))\in\Phi(E), $$
где $\psi_{\varepsilon}(x):=\varepsilon h(x)- xh'(x)$ при $x>0$ и $\psi_{\varepsilon}(0):=\varepsilon h(0)$. Здесь $\rho$ – неотрицательная, однородная функция на $E$ и $\rho(u)\not\equiv 0$.
Доказано (пример 6), что

• $e^{-\alpha\|u\|}(1-\beta\|u\|)\in\Phi(\mathbb{R}^m)$ тогда и только тогда, когда $-\alpha\leqslant\beta\leqslant\alpha/m$;
• $e^{-\alpha\|u\|^2}(1-\beta\|u\|^2)\in\Phi({\mathbb{R}}^m)$ тогда и только тогда, когда $0\leqslant\beta\leqslant2\alpha/m$.

Здесь $\|u\|$ – евклидова норма в $\mathbb{R}^m$.
В теореме 11 рассмотрен случай радиальных положительно определенных функций $h_{\mu,\nu}$.
Библиография: 31 название.