$A$-системы, независимые функции и множества, ограниченные в пространствах измеримых функций

Пусть $U\subset L_\circ\bigl([0,1],\mathscr M,\mathbf m\bigr)$ – некоторое множество измеримых по Лебегу функций и пусть, далее, заданы два квазинормированных пространства вещественных числовых последовательностей: $\mathscr A$ и $\mathscr B$. Исследованы $(\mathscr A,\mathscr B)$-множества $U$, которые определяются лассами $\mathscr A$ и $\mathscr B$ по следующей схеме:
$$ \begin{gathered} \forall a=(a_n)\in\mathscr {A},\quad \forall(f_n(t))\in u^{\mathbb{N}}\quad\text{(или для последовательностей,} \\ \text{подобных}\quad (f_n(t)) \quad\exists E=E(a)\subset[0,1],\quad \mathbf m E=1\quad\text{такое, что} \\ \{a_nf_n(t)\mathbf{1}_E(t)\}\in\mathscr B,\qquad t\in[0,1]. \end{gathered} $$

Рассмотрены три варианта определения $(\mathscr A,\mathscr B)$-множеств, один из которых использует независимые в вероятностном смысле функции. Подробно исследован случай $\mathscr B=l_\infty$. Оказалось, что $(\mathscr A,l_\infty)$-независимые множества – это множества, ограниченные или порядково ограниченные в некоторых хорошо известных функциональных пространствах ($L_p$, $L_{p,q}$ и других), построенных по лебеговой мере. Получена характеризация таких множеств квазинормированными пространствами числовых последовательностей. $(l_1,c_\circ)$- и $(\mathscr A,l_1)$-множества изучались Е. М. Никишиным.
Библиография: 19 названий.