След и разности идемпотентов в $C^*$-алгебрах

Пусть $\varphi$ – след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathcal{A}$, $\mathfrak{M}_{\varphi}$ – идеал определения следа $\varphi$ и идемпотенты $P,Q \in \mathcal{A}$ с $QP=P$. Если $Q \in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $P \in \mathfrak{M}_{\varphi}$ и $0 \leqslant \varphi(P) \leqslant \varphi(Q)$. Если $Q-P \in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $\varphi(Q-P)\in \mathbb{R}^+$. Пусть трипотенты $A,B\in \mathcal{A}$. Если $AB=B$ и $A\in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $B \in \mathfrak{M}_{\varphi}$ и $0 \leqslant \varphi (B^2)\leqslant \varphi (A^2)<+\infty$.
Пусть $\mathcal{A}$ – алгебра фон Неймана. Тогда
$$ \varphi(|PQ-QP|)\leqslant \min\{\varphi(P),\varphi(Q),\varphi(|P-Q|)\} $$
для всех проекторов $P,Q \in \mathcal{A}$. Для положительного нормального функционала $\varphi$ на алгебре фон Неймана $\mathcal{A}$ следующие условия эквивалентны:
(i) $\varphi $ является следом;
(ii) $\varphi(Q-P) \in \mathbb{R}^+$ для всех идемпотентов $P,Q \in \mathcal{A}$ с $QP=P$;
(iii) $ \varphi(|PQ-QP|) \leqslant \min\{\varphi(P),\varphi(Q)\}$ для всех проекторов $P,Q \in \mathcal{A}$;
(iv) $\varphi(PQ+QP) \leqslant \varphi(PQP+QPQ)$ для всех проекторов $P,Q \in \mathcal{A}$.
Библиография: 24 названия.