О базисности ультрасферических полиномов Якоби в весовом пространстве Лебега с переменным показателем

В настоящей работе исследована задача о базисности ультрасферических полиномов Якоби в пространстве Лебега с переменным показателем. Найдены достаточные условия на переменный показатель $p(x)>1$, которые гарантируют равномерную ограниченность последовательности сумм Фурье $S_n^{\alpha,\alpha}(f)$, $n=0,1,\dots$, по ультрасферическим полиномам Якоби $P_k^{\alpha,\alpha}(x)$ в весовом пространстве Лебега $L_\mu^{p(x)}([-1,1])$ с весом $\mu=\mu(x)=(1-x^2)^\alpha$, где $\alpha>-1/2$. Случай $\alpha=-1/2$ рассмотрен отдельно. Показано, что для равномерной ограниченности последовательности сумм Фурье–Чебышёва $S_n^{-1/2,-1/2}(f)$, $n=0,1,\dots$, в пространстве $L_\mu^{p(x)}([-1,1])$ c $\mu(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ достаточно и в определенном смысле необходимо, чтобы переменный показатель $p$ подчинялся условию Дини–Липшица вида
$$ |p(x)-p(y)|\leqslant \frac{d}{-\ln|x-y|}, \qquad\text{где}\quad |x-y|\leqslant \frac{1}{2},\quad x,y\in[-1,1],\quad d>0, $$
а также условию $p(x)>1$ для всех $x\in[-1,1]$.
Библиография: 16 названий.