Усреднение нестационарного модельного уравнения электродинамики

В $L_2(\mathbb R^3;\mathbb C^3)$ рассматривается самосопряженный оператор $\mathscr L_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, порожденный дифференциальным выражением $\operatorname{rot}\eta(\mathbf x /\varepsilon)^{-1}\operatorname{rot} -\nabla\nu(\mathbf x/\varepsilon)\operatorname{div}$. Здесь матрица-функция $\eta(\mathbf x)$ с вещественными элементами и вещественная функция $\nu(\mathbf x)$ периодичны относительно некоторой решетки, положительно определены и ограничены. Изучается поведение операторов $\cos(\tau\mathscr L_\varepsilon^{1/2})$ и $\mathscr L_\varepsilon^{-1/2} \sin(\tau\mathscr L_\varepsilon^{1/2})$ при $\tau\in\mathbb R$ и малом $\varepsilon$. Показано, что эти операторы сходятся к $\cos(\tau(\mathscr L^0)^{1/2})$ и $(\mathscr L^0)^{-1/2}\sin(\tau(\mathscr L^0)^{1/2})$ соответственно по норме операторов, действующих из пространства Соболева $H^s$ (с подходящим $s$) в $L_2$. Здесь $\mathscr L^0$ – эффективный оператор с постоянными коэффициентами. Получены оценки погрешности; исследован вопрос о точности результата в отношении типа операторной нормы. Результаты применяются к вопросу об усреднении задачи Коши для модельного гиперболического уравнения $\partial^2_\tau\mathbf v_\varepsilon =-\mathscr L_\varepsilon\mathbf v_\varepsilon$, $\operatorname{div}\mathbf v_\varepsilon=0$, возникающего в электродинамике. Рассмотрено применение к нестационарной системе Максвелла в случае, когда магнитная проницаемость равна единице, а диэлектрическая проницаемость задается матрицей $\eta(\mathbf x/\varepsilon)$.
Библиография: 20 названий.