Положительная определенность комплексной кусочно-линейной функции и некоторые ее применения

Для заданных $\alpha\in(0,1)$ и $c=h+i\beta$, $h,\beta\in\mathbb R$, функция $f_{\alpha,c}\colon\mathbb R\to\mathbb C$ определяется следующим образом:
1) $f_{\alpha,c}$ является эрмитовой, т.е. $f_{\alpha,c}(-x)=\overline{f_{\alpha,c}(x)}$, $x\in\mathbb R$;
2) $f_{\alpha,c}(x)=0$ при $x>1$, а на каждом отрезке $[0,\alpha]$ и $[\alpha,1]$ функция $f_{\alpha,c}$ является линейной и $f_{\alpha,c}(0)=1$, $f_{\alpha,c}(\alpha)=c$, $f_{\alpha,c}(1)=0$.
В статье доказано, что комплексная кусочно-линейная функция $f_{\alpha,c}$ является положительно определенной на $\mathbb R$ тогда и только тогда, когда
$$ m(\alpha)\le h\le 1-\alpha\quad \text{и}\quad |\beta|\le\gamma(\alpha,h), $$
где
$$ m(\alpha)= \begin{cases} 0, &\text{если } 1/\alpha\notin\mathbb N, \\ -\alpha, &\text{если }1/\alpha\in\mathbb N. \end{cases} $$
Если $m(\alpha)<h<1-\alpha$ и $\alpha\in\mathbb Q$, то $\gamma(\alpha,h)>0$; в остальных случаях $\gamma(\alpha,h)=0$. С помощью этого результата получен критерий вполне монотонности функций специального вида и доказано точное неравенство для тригонометрических многочленов.
Библиография: 25 названий.