Оценка образов Фурье по системе обобщенных собственных функций оператора Шредингера с потенциалом штуммелевского типа

Пусть $\mathscr A$ – неотрицательное самосопряженное расширение в $\mathbb R^N$ $(N\geqslant 1)$ формального дифференциального оператора $-\Delta u+q(x)u$ с потенциалом $q(x)$, удовлетворяющим при $N=1,2,3$ условию
$$ \sup_{x\in\mathbb R^N}\int_{|x-y|\leqslant 1}|q(y)|^2dy<\infty $$
и при $N\geqslant 4$ условию
$$ \sup_{x\in\mathbb R^N}\int_{|x-y|\leqslant 1}|x-y|^{4-N}\varkappa(|x-y|)|q(y)|^2dy<\infty, $$
в котором неотрицательная функция $\varkappa(r)$ такова, что $\int_0^1\bigl(\varkappa(r)r\bigr)^{-1}dr<\infty$. Для каждого $\alpha\in(0,2]$ установлена оценка для обобщенных образов Фурье произвольной функции $f\in L_2^\alpha(\mathbb R^N)$ вида
$$ \sum_{i=1}^m\int_0^\infty|\widehat f_i(\lambda)|^2(1+\lambda)^\alpha d\rho(\lambda)\leqslant M\|f\|^2_{L_2^\alpha(\mathbb R^N)}. $$
Если дополнительно $\lim_{r\to0+0}\varkappa(r)=+\infty$, то наряду с этой обоснована аналогичная оценка снизу.
Библиография: 11 названий.