О плотности многочленов в некоторых пространствах $L^2(M)$

В данной работе мы изучаем вопрос плотности многочленов в некоторых пространствах $L^2(M)$. Рассматриваются два варианта меры $M$ и многочленов: 1) $(N\times N)$ матричнозначная неотрицательная борелевская мера на $\mathbb{R}$ и векторнозначные многочлены $p(x)=(p_0(x),p_1(x),\dots,p_{N-1}(x))$, где $p_j(x)$ являются комплексными многочленами, $N\in \mathbb{N}$; 2) скалярная неотрицательная борелевская мера в полосе $\Pi=\{(x,\varphi): x\in \mathbb{R}, \, \varphi\in [-\pi,\pi)\}$, и степенно-тригонометрические многочлены: $p(x,\varphi)=\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty \alpha_{m,n}x^m e^{in\varphi}$, $\alpha_{m,n}\in \mathbb{C}$, где лишь конечное число $\alpha_{m,n}$ отлично от нуля. Мы показываем, что многочлены плотны в $L^2(M)$ тогда и только тогда, когда $M$ является каноническим решением соответствующей проблемы моментов. Подчеркнем, что при этом не предполагается дополнительных ограничений на меры, кроме существования моментов. Используя известные описания канонических решений, мы получаем условия плотности многочленов в $L^2(M)$. Попутно установлена модель для коммутирующих самосопряженных и унитарных операторов с конечнократным спектром.
Библиография: 17 названий.