Об интерполяции аналитических отображений

Пусть $(E_0,E_1)$ и $(H_0,H_1)$ – две пары комплексных банаховых пространств плотно и непрерывно вложенных друг в друга $E_1\hookrightarrow E_0$ и $H_1\hookrightarrow H_0$, более того, $\|x\|_{E_0} \le \|x\|_{E_1}$. Обозначим через $E_\theta=[E_0,E_1]_\theta$ и $H_\theta=[H_0,H_1]_\theta$ пространства, полученные методом комплексной интерполяции при $\theta\in[0,1]$, а через $B_\theta (0,R)$ – открытый шар радиуса $R$ в пространстве $E_\theta$. Пусть $\Phi\colon B_0(0,R)\to H_0$ является аналитическим отображением, отображает $B_1(0,R)$ в $H_1$ и при $\theta = 0, 1$ справедливы оценки
$$ \|\Phi(x)\|_{H_\theta} \le C_\theta\|x\|_{H_\theta} \qquad \text{для всех}\quad x\in B_\theta(0,R). $$
Тогда при всех $\theta\in [0,1]$ отображение $\Phi$ переводит шар $B_\theta(0,r)$ пространства $E_\theta$ радиуса $r\in(0,R)$ в $H_\theta$ и
$$ \|\Phi(x)\|_{H_\theta}\leqslant C_0^{1-\theta}C_1^\theta\frac{R}{R-r}\|x\|_{E_\theta}, \qquad x\in B_\theta(0,r). $$

Библиография: 7 названий.