О системах векторов в евклидовом пространстве и одной экстремальной задаче для многочленов

С помощью системы векторов специального вида доказываются следующие утверждения:
Пусть
$$ \Delta_n=\sup\left\Vert\sum_{j=1}^n x_j\right\Vert, $$
где $\sup$ берется по всем системам единичных векторов в евклидовом пространстве, обладающем тем свойством, что среди любых трех векторов найдется пара ортогональных. Тогда при некоторых $c_1>0$ и $c_2>0$
$$ c_1n^{\frac43-\frac{\ln3}{2\ln2}}\leqslant\Delta_n\leqslant c_2n^{\frac23}. $$

Пусть $k, l$ — целые числа, $k>l\geqslant0$, $P(t)$ — многочлен степени не выше $l$, для которого при $j=1,\dots,k$ $(-1)^jP(k-2j)+1\geqslant0$. Тогда
$$ P(k)\geqslant\frac{2^k}{\sum_{j=0}^{\left[\frac{k-l-1}{2}\right]}C_k^j}-1. $$
Библ. 4 назв.