К неравенству Лебега в среднем

Пусть $\varepsilon=\{\varepsilon_\nu\}_{\nu=0}^\infty$ — последовательность неотрицательных чисел, монотонно стремящаяся к нулю, и $L(\varepsilon)$-класс суммируемых $2\pi$-периодических функций, которые имеют последовательность $\varepsilon$ мажорантой наилучших приближений тригонометрическими полиномами в метрике $L$. Установлен точный порядок при $n\to\infty$ величин $J_n(\varepsilon)$ — верхних граней остатков рядов Фурье функций из класса $L(\varepsilon)$ в метрике $L$. Доказано, что
$$ \frac1c\sum_{\nu=n}^{2n}\frac{\varepsilon_\nu}{\nu-n+1}\leqslant J_n(\varepsilon)_1\leqslant c\sum_{\nu=n}^{2n}\frac{\varepsilon_\nu}{\nu-n+1}, $$
где $c$ — положительная постоянная. Эта оценка является аналогом соответствующей оценки верхних граней остатков в равномерной метрике, установленной ранее (см. РЖ Матем., 1976, № 2, 2Б 65). Библ. 5 назв.