Two variants of Lempel – Ziv test for binary sequences

Пусть гипотеза $H_0$ состоит в том, что элементы последовательности $X_1,\ldots,X_n$ являются независимыми случайными величинами с равновероятным распределением на множестве $\{0,1\}$. Предложены два критерия согласия с гипотезой $H_0$, основанные на статистике Лемпеля – Зива $W(T)$, построенной по блокам длины $T$. Для первого критерия последовательность длины $n=2mT$ разбивается на $2m$ блоков длины $T$, для этих блоков вычисляются значения $W_1(T),\ldots, W_{2m}(T)$ статистики Лемпеля – Зива. Первый критерий основан на статистике $\tilde W(2mT)=\sum_{k=1}^m W_k(T)-\sum_{k=m+1}^{2m}W_k(T)$, ее распределение при гипотезе $H_0$ симметрично относительно нуля. Для второго критерия последовательность длины $n=mrT$ разбивается на $mr$ блоков длины $T$. Для этих блоков вычисляются значения $W_{i,j}(T)$ ($i\in\{1,\ldots,m\}, j\in\{1,\ldots,r\}$) статистики Лемпеля – Зива. Второй критерий использует значение $\tilde \chi^2(mrT)=\max_{1\le k\le m} \chi_k^2(rT)$, где $\chi_k^2(rT)$ — статистика хи-квадрат, соответствующая $W_{k,1}(T),\ldots, W_{k,r}(T).$ Для обоих критериев найдены предельные распределения статистик, а для первого критерия указана оценка скорости сходимости к предельному нормальному распределению. Приведены формулы для вычисления распределения $W(T)$.