Случайные отображения с неподвижными элементами

Рассматриваются ориентированные графы случайных отображений $n$-элементного множества в себя, выбираемых случайно и равновероятно из множества всех отображений, имеющих неподвижную точку. Найдены точные и предельные (при $n\to\infty$) распределения числа вершин в дереве или лесе, которые содержат заданную вершину, и высоты заданной вершины при условии, что она принадлежит лесу. Найдены также точные и предельные распределения высоты заданной вершины в случайном корневом дереве или лесе с $n$ вершинами.