Условия формосохранения при интерполяции кубическими сплайнами

Рассматривается задача формосохраняющей интерполяции классическими кубическими сплайнами, а именно рассматриваются условия, при которых кубический сплайн или его производная будут положительны, если соответственно положительна интерполируемая функция или ее производная. Дан обзор известных результатов, полностью описаны случаи задания в качестве краевых условий первой производной и результаты дополнены аналогичными для случая задания второй производной. Подробно разобран математический аппарат, лежащий в основе методов получения достаточных условий формосохранения. Рассмотрено развитие аппарата, позволившее получить условия положительности сплайна и производных в общем виде. Доказано, что в случае строгой положительности функции или производной всегда можно добиться наследования интерполянтом знака функции или соответствующей производной путем загущения сетки.