Дифференцирования на идеалах в коммутативных $AW^*$-алгебрах

Пусть $\mathcal A$ – коммутативная $AW^*$-алгебра, $S(\mathcal A)$ – $*$-алгебра всех измеримых относительно $\mathcal A$ операторов, $\mathcal I$ – идеал в $\mathcal A$, $s(\mathcal I)$ – носитель идеала $\mathcal I$, $\mathbb Y$ – идеальное линейное подпространство в $S(\mathcal A)$. Даются необходимые и достаточные условия, обеспечивающие существование ненулевых нерасширяющих дифференцирований из $\mathcal I$ в $\mathbb Y$. Доказывается, что если $\mathbb Y\subset\mathcal A$ либо $\mathbb Y$ – квазинормируемое идеальное пространство, то любое нерасширяющее дифференцирование из $\mathcal I$ в $\mathbb Y$ обязательно является нулевым. В то же время наличие ненулевых нерасширяющих дифференцирований из $\mathcal I$ со значениями в $S(\mathcal A)$ равносильно отсутствию свойства $\sigma$-дистрибутивности у булевой алгебры всех проекторов $AW^*$-алгебры $s(\mathcal I)\mathcal A$.