Локальная предельная теорема для момента достижения случайным блужданием фиксированного уровня

Пусть $X,X(1),X(2),\dots$ – независимые случайные величины с одинаковым распределением, нулевым средним и конечной положительной дисперсией. Положим $S(n)=X(1)+\dots+X(n)$, $n=1,2,\dots$, и определим момент $\eta_y=\inf\{n\ge1\colon S(n)\ge y\}$ первого прохождения уровня $y\ge0$ блужданием $S(n)$, $n=1,2,\dots$. В [5] для случая $\mathbb E|X|^3<\infty$ получено соотношение $\mathbb P(\eta_0=n)=\frac1{n\sqrt n}(R+\nu_n+o(1))$, $n\to\infty$, где константа $R$ и ограниченная числовая последовательность $\nu_n$ найдены в явном виде; получены также необходимые и достаточные условия существования предела $H(y):=\lim_{n\to\infty}n^{3/2}\mathbb P(\eta_y=n)$ для любого фиксированного $y\ge0$ и предложено представление для функции $H(y)$. Появление настоящей работы вызвано следующими обстоятельствами. Оказалось, что ранее в работах [8; 9], которые по непростительному недосмотру авторов статьи [5] не были приняты во внимание, приведенные выше соотношения сходимости были получены при более широких предположениях, а именно, в [8] утверждалось существование предела $\lim_{n\to\infty}n^{3/2}\mathbb P(\eta_y=n)$ для любого фиксированного $y\ge0$ при выполнении лишь условия $\mathbb EX^2<\infty$; в [9] был найден явный вид предела $\lim_{n\to\infty}n^{3/2}\mathbb E(\eta_0=n)$ при том же условии $\mathbb EX^2<\infty$ для случая, когда слагаемое $X$ имеет арифметическое распределение. В настоящей работе показано, что основное утверждение в [8] является ошибочным, и доказана верная версия этого утверждения (эта версия сформулирована в [5] в качестве гипотезы).