О предельных теоремах для момента первого выхода случайных процессов из полосы. I

Рассматривается однородный случайный процесс с независимыми приращениями $\xi(t)$, $t\ge 0$, $\xi(0)=0$. Пусть $T=T(a,b)=\inf\{t>0:\xi(t)\notin[-a,b)\}$, $a>0$, $b>0$. При некоторых ограничениях на распределение $\xi(1)$ получены асимптотические разложения при $a+b\to\infty$ для преобразования Лапласа–Стилтьеса подходящим образом нормированной случайной величины $T$ с фиксацией направления выхода. Рассмотрены случаи $\mathbb E\xi(1)=0$ и $\mathbb E\xi(1)<0$; для каждого из них отдельно изучены ситуации $a\to\infty$ и $a=\mathrm{const}$. Демонстрируется также способ перехода к асимптотическим разложениям для распределений.