О малых уклонениях рядов независимых положительных случайных величин c весами, близкими к экспоненциальным

Пусть $\xi,\xi_0,\xi_1,\dots$ – независимые одинаково распределенные положительные случайные величины. Данная статья является продолжением [4], где изучалась асимптотика вероятностей малых уклонений сумм $S=\sum^\infty_{j=0}a(j)\xi_j$ при различных предположениях относительно убывания вероятностей $\mathbb P(\xi<x)$ при $x\to0$ и коэффициентов $a(j)\ge0$ при $j\to\infty$. В настоящей работе изучается асимптотика $\mathbb P(S<x)$ при $x\to0$ при условии, что коэффициенты $a(j)\ge0$ близки к геометрической прогрессии. В случае, когда коэффициенты $a(j)$ образуют геометрическую прогрессию и $\mathbb P(\xi<x)\sim bx^\alpha$ при $x\to0$, $b>0$, $\alpha>0$, асимптотика $\mathbb P(S<x)$, $x\to0$, находится в явном виде с точностью до множителя $x^{o(1)}$. Своеобразие методов исследования в настоящей работе (они существенно отличаются от подходов в [4]) заключается в том, что при $a(j)=q^j$ , $q<1$, становится возможным использование теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.